11.3 一元一次不等式组 同步讲义(题型归纳+知识梳理+过关小练)-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

11.3 一元一次不等式组 同步讲义（人教版） 💦 题型归纳 题型1求不等式组的解集. 题型2求一元一次不等式组的整数解. 题型3由一元一次不等式组的解集求参数. 题型4由不等式组解集的情况求参数. 题型5不等式组和方程组结合的问题. 题型6列一元一次不等式组. 题型7不等式组的行程问题. 题型8不等式组的经济问题. 题型9不等式组的分配问题. 题型10一元一次不等式组的其他应用. 题型11过关小练. 💧 知识梳理 【知识点一、一元一次不等式组】 1.定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 (1)一元：指整个不等式组中，只含有一个未知数（通常设为 x）, (2)一次：指在这个不等式组里，每一个不等式的未知数的次数都是 1, (3)不等式组：指由至少两个一元一次不等式组合而成（数量上 ≥2）。 【知识点二、一元一次不等式组的解集】 1. 定义：一元一次不等式组中，所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2.若所有不等式的解集没有公共部分，则该不等式组无解。 【知识点三、解一元一次不等式组的步骤】 （1）求分解：分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解：将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解：将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集． 【知识点四、一元一次不等式组的应用、核心考点】 1.解题步骤： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）答：写出答案（包括单位名称）． 2.核心考点： （1）基础考点：不等式性质的应用、一元一次不等式组的解集； （2）提升考点：解一元一次不等式组，在数轴上表示解集； （3）拔高考点：求不等式组的整数解、正整数解，一元一次不等式组的应用。 ✏ 题型解读 题型1.求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集求出不等式组的解集，即可在数轴上表示． 【详解】解：， 由①得，， ∴不等式组的解集为 数轴表示为： ． 2．已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于选项A，通过消去y，得到不等式，求解不等式即可； 对于选项B，通过消去x，得到不等式，求解不等式即可； 对于选项C，通过消去y，得到，再根据，可得，即可判断答案； 对于选项D，通过消去y，得到，再根据，可得，即可判断答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得， 选项A错误； ， ， ， 解得， 选项B错误； ， ， ， ， ， 即， 选项C正确； ， ， ， ， 则， 即， 选项D错误； 综上所述，只有选项C正确．. 【点睛】此类不等式问题，通常通过消元得到一元一次不等式组进行进一步求解． 3．不等式组 的解集为_______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 移项得， 解得 解不等式， 移项得， 解得； ∴原不等式组的解集为：． 题型2.求一元一次不等式组的整数解 1．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 3．若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 题型3.由一元一次不等式组的解集求参数 1．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 2．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 关于x的不等式的解集是， ，， ，， ，， 关于x的不等式的解集为． 3．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 【答案】 【分析】先求解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：由不等式得：， 因此原不等式组的解集为， 不等式组只有4个整数解， 4个整数解为0、1、2、3， 可得， 不等式两边同时加2，得：． 题型4.由不等式组解集的情况求参数 1．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 2．关于，的方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有一个偶数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组的解为整数，可得是偶数，由不等式组有且仅有一个偶数解，知这个偶数解为，从而，可得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 ∴，这两个方程相加，得 ∴，这两个方程相减，得 即， 方程组的解为整数， 是偶数， 由不等式组可得， 不等式组有且仅有一个偶数解， 这个偶数解为， ， ， 可取，， 所有满足条件的整数的和为． 3．请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知不等式的解集，再根据一元一次不等式组无解的条件，即两个不等式的解集没有公共部分，判断选项即可． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴， ∵不等式组无解，即：另一个不等式的解集需要和没有公共部分， A、 与没有公共部分，不等式组无解，符合题意； B、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； C、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； D、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意． 题型5.不等式组和方程组结合的问题 1．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 2．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 3．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 题型6.列一元一次不等式组 1．某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 2．已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．根据题意用表示出，即代入，即可判断A，进而得出，代入，即可判断B，进而判断C，根据，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∴，则，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项正确 ，不符合题意； 故选：C． 3．列不等式组：与的和不小于，且与的差是负数________． 【答案】 【分析】表示出与3的和，与6的差即可． 【详解】解：与3的和不小于4， ； 与6的差是负数， ． 所列不等式组为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列不等式组；“不小于4”及“负数”用数学语言表示是解决本题的易错点． 题型7.不等式组的行程问题 1．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 2．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 3．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 题型8.不等式组的经济问题 1．某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 2．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 3．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 题型9.不等式组的分配问题 1．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 2．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 3．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 题型10.一元一次不等式组的其他应用 1．北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆，根据题意可列不等式组，再求解出即可． 【详解】解：设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆， 由题意得： 解得： ，且为正整数，故． 故选：B． 2．一些小姑娘去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵；第二次又有一些小姑娘（人数与第一次不同）出去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵．已知两次采到蘑菇数相同，并且蘑菇数大于，但不超过，如果不记顺序，两次去采蘑菇的平均人数为（    ）个 A．       B．              C．             D．               【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和二元一次方程的应用，通过不等式确定变量范围，再结合方程求出具体变量值．先确定第一次采蘑菇数的可能值，再根据第二次的条件筛选出符合条件的蘑菇数，进而求出两次的人数． 【详解】解：设第一次有个小姑娘去采蘑菇，第二次有个小姑娘去采蘑菇， ∵第一次采到的蘑菇数大于，但不超过， ， 解得： ∵两次采到的蘑菇数相同， ∴， ∴ 又∵,均为正整数， ∴两次去采蘑菇的人数分别为个，个， 两次去采蘑菇的平均人数为个． 故选：C． 3．丽丽比爷爷小52岁．4年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还多；4年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的6倍还少．今年丽丽的年龄是__________岁． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，年龄问题的数量关系，掌握利用年龄差不变设未知数，根据题意列不等式组，求解整数解并验证是解题的关键． 设今年丽丽年龄为 岁，则爷爷年龄为岁；根据年前和年后的条件列出不等式，求解的取值范围，并验证整数解． 【详解】解：设今年丽丽年龄为 岁，则爷爷年龄为岁； 由题意得， 解得： ∵为正整数， ∴，则 验证：今年丽丽岁，爷爷岁； 年前丽丽岁，爷爷岁，，符合条件； 年后丽丽岁，爷爷岁，，符合条件． 故答案为：． ☘过关小练 一、单选题 1．不等式组的解集在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式组，得出不等式组的解集即可判断在数轴上的表示情况． 【详解】解：解不等式， 得，结合， 得不等式组的解集为， 故在数轴上表示如下图： 2．不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先分别解两个一元一次不等式，求出不等式组的解集，再确定解集中的最小整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为 因此原不等式组的最小整数解为3． 3．不等式组的解集为，则m的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的不等式，再利用不等式组的解集为确定m的取值范围，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组的解集为， ∴， 则m的取值范围在数轴上表示为 ， 选项B符合题意． 4．已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解关于、的方程组，用含的式子表示出、；再计算，结合不等式得到的取值范围；根据“满足条件的正整数仅有3个”确定的具体取值，进而求出的取值范围． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得 ∴， ∵ ∴， 解得， ∵满足条件的正整数仅有3个， ∴这3个正整数为、、， ∴， 解得． 5．我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如： ，则下列结论： ①若，则；②若，则x的取值范围是； ③若整数，满足，则共有个有序数对； ④若非负数，满足，则实数的取值范围是． 正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算法则建立方程，求解后可判断①；根据运算法则建立不等式，求解后可判断②；根据运算法则建立不等式组，再结合整数，的条件可求出有序数对，可判断③；根据运算法则建立方程组，再结合非负数，的条件可建立不等式组，求解后可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， 解得：，故原结论正确； ②∵， ∴， 解得：，故原结论错误； ③∵， ∴， ∵，是整数， ∴是整数， ∴， ∴整数解为：，，，，，，共组，故原结论错误； ④∵， ∴， 解得：， ∵，是非负数，即， ∴， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 即实数的取值范围是，故原结论正确； 综上所述，正确结论为①和④，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查新的运算法则、解方程、不等式、方程组及不等式组，掌握二阶行列式的运算法则是解题的关键． 二、填空题 6．盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是， ∴当天盐湖区气温的变化范围为： 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 7．如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围______________ ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．由实际问题中的不等关系列出不等式，理解题意是解题关键．根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意知，，即， 故答案为：． 8．不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【详解】解：不等式组为， 由①得，，解得， 由②得，， 因此不等式组的解集为． 9．关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰有个整数解，确定参数的取值范围. 【详解】解： 不等式①两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 不等式组的整数解为，，， 可得：. 10．关于x的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是____． 【答案】 【分析】首先求出不等式组的解集，根据不等式组有个整数解，得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式②可得：， 不等式组有个整数解， ， 不等式组的个整数解为、、、， ， 解得：． 三、解答题 11．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别求出不等式的解集，再将解集联立，在数轴上表示出来． 【详解】解：， 解不等式①：解得； 解不等式②：解得． 不等式的解集为：． 12．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为和 【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定所有整数解，即可解题． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ． ∴整数解为和． 13．已知关于x，y的方程组的解x，y均为负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】先求解二元一次方程组得到x和y关于a的表达式，再根据x，y均为负数构造关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∵x，y均为负数， ∴， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴的取值范围是． 14．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 15．规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题依托新定义考查了解一元一次不等式，不等式组，以及不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义和分类讨论思想的应用． （1）根据题意即可求得“关联不等式”； （2）根据题意先得到“关联不等式”，即可得到“关联不等式组”， 解不等式组即可； （3）先求得“关联不等式组”，再分和，解得不等式组的解，再结合题意列出满足不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵不等式是不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式”为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，不等式的“关联不等式”为 则不等式的“关联不等式组”为， 解得； （3）解：∵不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式组”为， 若，，解得， 若，，解得且， ∵不等式的“关联不等式组”解集是， ∴且， 解得． 16．我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【分析】本题考查了不等式组的求解以及新定义： （1）先解不等式组，再根据定义得到解集的长度，再求“整点”； （2）先求不等式组，根据不等式组的长度来确定的值． 【详解】（1）解：， 解得， ∴， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1． （2）解：， ， 当时，可以是任意实数， 不等式组的解集为， ，不符合题意； 当时，即， 则：， ∵且，， ∴不等式的解集为， ∴， 解得：； 当时，即， 则：， 此时， ∴不等式组的解集为， ，不符合题意； 综上所述：的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3 一元一次不等式组 同步讲义（人教版） 💦 题型归纳 题型1求不等式组的解集. 题型2求一元一次不等式组的整数解. 题型3由一元一次不等式组的解集求参数. 题型4由不等式组解集的情况求参数. 题型5不等式组和方程组结合的问题. 题型6列一元一次不等式组. 题型7不等式组的行程问题. 题型8不等式组的经济问题. 题型9不等式组的分配问题. 题型10一元一次不等式组的其他应用. 题型11过关小练. 💧 知识梳理 【知识点一、一元一次不等式组】 1.定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 (1)一元：指整个不等式组中，只含有一个未知数（通常设为 x）, (2)一次：指在这个不等式组里，每一个不等式的未知数的次数都是 1, (3)不等式组：指由至少两个一元一次不等式组合而成（数量上 ≥2）。 【知识点二、一元一次不等式组的解集】 1. 定义：一元一次不等式组中，所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 2.若所有不等式的解集没有公共部分，则该不等式组无解。 【知识点三、解一元一次不等式组的步骤】 （1）求分解：分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解：将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解：将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集． 【知识点四、一元一次不等式组的应用、核心考点】 1.解题步骤： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）答：写出答案（包括单位名称）． 2.核心考点： （1）基础考点：不等式性质的应用、一元一次不等式组的解集； （2）提升考点：解一元一次不等式组，在数轴上表示解集； （3）拔高考点：求不等式组的整数解、正整数解，一元一次不等式组的应用。 ✏ 题型解读 题型1.求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组 的解集为_______． 题型2.求一元一次不等式组的整数解 1．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 3．若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 题型3.由一元一次不等式组的解集求参数 1．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 题型4.由不等式组解集的情况求参数 1．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．关于，的方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有一个偶数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 3．请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 题型5.不等式组和方程组结合的问题 1．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 题型6.列一元一次不等式组 1．某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．列不等式组：与的和不小于，且与的差是负数________． 题型7.不等式组的行程问题 1．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 2．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 3．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 题型8.不等式组的经济问题 1．某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 3．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 题型9.不等式组的分配问题 1．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 3．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 题型10.一元一次不等式组的其他应用 1．北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 2．一些小姑娘去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵；第二次又有一些小姑娘（人数与第一次不同）出去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵．已知两次采到蘑菇数相同，并且蘑菇数大于，但不超过，如果不记顺序，两次去采蘑菇的平均人数为（    ）个 A．       B．              C．             D．               3．丽丽比爷爷小52岁．4年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还多；4年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的6倍还少．今年丽丽的年龄是__________岁． ☘过关小练 一、单选题 1．不等式组的解集在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C．3 D．4 3．不等式组的解集为，则m的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 5．我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如： ，则下列结论： ①若，则；②若，则x的取值范围是； ③若整数，满足，则共有个有序数对； ④若非负数，满足，则实数的取值范围是． 正确的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为_______． 7．如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围______________ ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 8．不等式组的解集为________． 9．关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 10．关于x的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是____． 三、解答题 11．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 12．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 13．已知关于x，y的方程组的解x，y均为负数，求的取值范围． 14．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 15．规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 16．我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $