10.1 二元一次方程组的概念 同步练习 2025-2026学年 人教版数学 七年级下册

二元一次方程组的概念同步练习 一、单选题 1．下列各式中，为二元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选A． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键． 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可． 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 3．下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解需使方程左右两边相等，因此将每组、的值代入方程验证即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、当，时，，故A是方程的解，不符合题意； B、当，时，，故B是方程的解，不符合题意； C、当，时，，故C不是方程的解，符合题意； D、当，时，，故D是方程的解，不符合题意； 故选：C． 4．已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 将代入方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意，得： 将代入方程得， ， 解得：， 即． 故选：D． 5．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 6．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选A． 7．已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值．把二元一次方程组的解代入方程组求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：把代入得到， ∴， 故选：D 8．关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知概念、掌握求解的方法是关键．根据二元一次方程的解的定义，结合、均为非负整数解答即可． 【详解】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 故选：B． 9．若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解满足方程组，是解答本题的关键． 将代入，解出的值，即为，再将，同时代入，即可求得的值． 【详解】解：已知，将代入，得， 解得，即为， 将，同时代入，得，即， 故选：C． 10．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 二、填空题 11．下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，判断各式即可得出答案． 【详解】解：①是代数式，不是方程，故不是二元一次方程； ②，不是整式方程，故不是二元一次方程； ③，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程． ④,未知数的最高次数为2，故不是二元一次方程； ⑤，只含有一个未知数，故不是二元一次方程； 故是二元一次方程的是③． 故答案为：③． 12．若关于的方程是二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义可得，进一步即可求出结果． 【详解】解：根据题意，得，， 解得：， 故答案为： 13．“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 【答案】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】 解：由题意得，则表示的方程是， 故答案为：． 14．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 15．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， ． 故答案为：． 16．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案． 【答案】3/三 【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出，由于，且x，y都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可． 【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， ，解得， ∵，且x，y都是正整数， ∴y是4的整数倍， ∴时，， 时，， 时，， 时，，不符合题意， 故有3种购买方案， 故答案为：3． 【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键． 三、解答题 17．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，求原方程组的解. 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 18．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 19．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【答案】●为5，▲为1 【分析】本题考查二元一次方程组的解的含义．先将变形得，再将代入中得，再将代入与中即可计算出▲，●的值． 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 20．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 【答案】(1)①②③ (2)①④ (3)① 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解． （1）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （2）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解． 【详解】（1）解：将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①②③是方程的解； （2）解：将①代入得：，左边右边； 将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①④是方程的解； （3）解：由（1）（2），得①是方程组的解． 21．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 22．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏 (2)730元 (3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏 【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． （3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可． 【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏， 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元． （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得． 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）． 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏． 23．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 24．先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 【答案】(1)有无数个解；有唯一解 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义； （1）根据二元一次方程组的解与系数的关系求解即可； （2）根据（1）的结论可知，原方程组无解，所以出现错误． 【详解】（1）解：对于第一个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有无数个解； 对于第二个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有唯一解． （2）解：∵ ∴二元一次方程组无解，故小明出现错误． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组的概念 一、单选题 1．下列各式中，为二元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是方程的一个解，则的值为（ 　） A． B． C． D． 5．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知是方程组的解，则的值是（    ） A．5 B． C．25 D． 7．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．关于、的二元一次方程的非负整数解有（     ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 9．若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 10．已知方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 12．若关于的方程是二元一次方程，则的值为______． 13．“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 14．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 15．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为______． 16．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案． 三、解答题 17．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，求原方程组的解. 18．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 19．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 20．已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 21．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 22．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 23．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 24．先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $