8.2用配方法解一元二次方程 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《8.2用配方法解一元二次方程》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．用配方法解方程，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（   ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 3．若一元二次方程的两根为，（），则点位于平面直角坐标系中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（    ） A．4 B．8 C．9 D．16 5．若关于的方程可以配方成，则（    ） A． B．1 C． D． 6．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 7．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则的值为（   ） A．1 B．或 C． D．1或 8．关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 二、填空题（满分24分） 9．多项式的最大值是_____，此时_____． 10．方程的解为_______． 11．用配方法解方程，方程的解为____． 12．关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为______________ 13．用配方法解方程，则方程可变形为______． 14．若关于的一元二次方程的一个根为2，则方程的两根之和为______． 15．对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为___________． 16．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是________． 三、解答题（满分72分） 17．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 18．用配方法解方程： (1)； (2)． 19．试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 20．解方程，某同学的解题步骤如下： 解：．① ．② ．③ ．④ 方程无实数根．⑤ 完成下列问题： (1)这位同学解方程的过程中，从第_____步开始写错了； (2)请你帮他将解方程的正确过程完整地书写出来． 21．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)填空： ； (2)若，求的值； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 22．小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________镜像； (2)若式子关于镜像，求出方程的解． 23．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即 故选：D． 2．C 【分析】本题考查的是配方法，注意在配方的时候要抓住二次项和一次项系数，去配平常数项． 分别对四个选项的式子进行配方即可． 【详解】解：A、化为； B、化为； C、化为； D、化为； 故选项C错误； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，判断点所在的象限问题，解题的关键是正确解一元二次方程． 解一元二次方程得到两根，根据大小关系确定点坐标，再根据象限点的符号特征判断位置． 【详解】解：解方程，得， ∵ ， ∴ ，， ∴点 ， ∵横坐标 ，纵坐标 ， ∴点在第二象限， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程时，需加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，由此即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程中，一次项系数为，其一半为，平方为16， ∴应加上16， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过将方程配方成给定形式，比较系数求出m和n的值，再计算表达式的值，即可作答． 【详解】解：依题意，方程配方后为， 即， ∵关于的方程可以配方成， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵方程要有实数根， ∴， 解得：； 故选A． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据题意得关于a的方程为，解方程即可，注意舍去负值． 【详解】解：由题意得：， 配方得：， 即， ∴（舍去）， 即a的值为； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 9． 2 【分析】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，把原代数式化为，从而可得答案. 【详解】解： ； ∴当时，多项式的最大值是． 故答案为：，2 10．， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：，． 11． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方求解即可． 【详解】解： ∴； 故答案为： 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为， ，解得． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为2， ∴， ∴， ∴方程可化为：， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，直接开平方法解一元二次方程．理解题意，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，则，利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 故答案为：或． 16．2024 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ， ， ， ， ， 代数式能取的最小值是2024， 故答案为：2024． 17．(1)或； (2)或 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，直接开方法适用于形如或的方程，核心是将方程转化为完全平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义求解． （1）先利用平方差公式展开方程左边，将方程转化为的形式，再直接开平方求解； （2）方程两边都是完全平方的形式，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 直接开平方得； 所以原方程的根为：或． （2）解：， 两边直接开平方得， ①当时，解得； ②当时，解得； 所以原方程的根为：或． 18．(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 19．见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴关于的方程总为一元二次方程． 20．(1)③ (2)， 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了． 故答案为：③． （2）∵， 两边同除以2，得． 配方，得． ∴． 移项，得． 两边开平方，得， 即，或． ∴，． 21．(1) (2) (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】 本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题． （1）运用完全平方公式求解即可. （2）首先将，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a，b的值即可； （3）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， （3）解：为等边三角形，理由如下： 即， ∴，，， ∴，, ∴， 为等边三角形． 22．(1) (2) 【分析】（1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可； （2）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可得到的值，将求出的代入方程，利用配方法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， ∴多项式关于镜像， 故答案为：． （2）原式， 当或1时，原式， ， 关于的方程可化为， 即，， ． 故方程的解为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握把整式通过配方写成完全平方式的形式． 23．(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $