专题03 一元一次不等式（组）（12大压轴题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题03 一元一次不等式（组）（12大压轴题型） 题型1 不等式的定义 题型7 用一元一次不等式解决几何问题 题型2 不等式的性质 题型8 求不等式组的解集 题型3 求一元一次不等式的解集 题型9 求一元一次不等式组的整数解 题型4求一元一次不等式的整数解 题型10 由一元一次不等式组的解集求参数 题型5 求一元一次不等式解的最值 题型11 不等式组和方程组结合问题 题型6 用一元一次不等式解决实际问题 题型12 一元一次不等式组的应用 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）“大于的倍”用不等式表示为：__________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江西吉安·月考）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　） A． B．+ C． D．× 【答案】A 【分析】本题主要考查的是不等式的定义，含有不等号的式子为不等式，直接根据定义进行判断即可． 【详解】解：是不等式， 则“”代表的符号可以是， 故选：A． 题型二 不等式的性质（共3小题） 4．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ， ，故本选项错误，不符合题意； B. ， ，故本选项错误，不符合题意； C. ， ，故本选项错误，不符合题意； D. ， ，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（2026·山东济南·一模）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一分析判定即可，注意：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵，∴，该选项正确，不符合题意； B． ∵，∴，该选项正确，不符合题意； C． ∵，∴，∴，该选项正确，不符合题意； D．若，则，该选项错误，符合题意． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 题型三 求一元一次不等式的解集（共3小题） 7．（25-26七年级下·上海闵行·月考）已知，关于的不等式的解集为___________． 【答案】/ 【分析】先根据不等式的性质得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴关于的不等式的解集为． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 解得． 解集在数轴上表示如下： 9．（2026·陕西咸阳·一模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解，进而得出不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【详解】解：去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为，得． 解集在数轴上表示如图所示： 题型四 求一元一次不等式的整数解（共3小题） 10．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）不等式的最小整数解为_______． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 不等式的最小整数解为． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式的所有正整数解之和为______． 【答案】 【分析】先解得不等式的解集为，则不等式的所有正整数解为，，，然后把它们相加即可． 【详解】解：解不等式， 得， 所以不等式的所有正整数解为，，， 所以所有正整数解之和． 12．（25-26七年级上·全国·期末）关于的方程有负整数解，则所有符合条件的整数的和为____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，以及确定参数的取值范围．熟悉解一元一次方程的基本方法和根据解的性质求出参数的取值范围是解题的关键．首先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为等方法解一元一次方程，根据“负整数解”分析参数取值范围，求出整数的值并求和． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， ∵方程有负整数解， ∴且为整数， ∴，即，且为整数， ∴是的负约数，即或， 解得或， ∴． 故答案为：． 题型五 求一元一次不等式解的最值（共3小题） 13．（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知，且，求的最大值． 【答案】17 【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键． 通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得：④， ①+③得：⑤，即， ④+⑤得：，即， 将、代入得：， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为17． 题型六 用一元一次不等式解决实际问题（共3小题） 16．（2026·山西太原·一模）学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元． (1)该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套． (2)该社团计划再次采购两种套件共套，若采购总经费不超过元，则智能传感器套件最多能采购多少套？ 【答案】(1)采购简易电路套件套，智能传感器套件套 (2)套 【分析】（1）设采购简易电路套件套，智能传感器套件套，可列关于的一元一次方程，解方程即可求出结果； （2）设智能传感器套件最多能采购套，根据采购总经费不超过元，列一元一次不等式即可求出结果． 【详解】（1）解：设采购简易电路套件套，智能传感器套件套， 根据题意可得：， 解得：， （套）， 答：采购简易电路套件套，智能传感器套件套； （2）解：设智能传感器套件最多能采购套， 根据题意可得：， 解得：， 答：智能传感器套件最多能采购套． 17．（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； (2)最多能购买A型机器人台． 【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； （2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买A型机器人台． 18．（2025·山西忻州·三模）维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应用于药物治疗和预防．苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等． (1)求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克； (2)某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜．某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克． 【答案】(1)每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克； (2)该食堂最多购买苦瓜14千克． 【分析】（1）设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克，根据总费用不超过108元，结合单价列出一元一次不等式，求解得到m的最大值，即最多可购买的苦瓜重量． 【详解】（1）解：设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据题意，得 解，得 答：每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克； （2）解：设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克． 根据题意，得． 解，得． 答：该食堂最多购买苦瓜14千克． 题型七 用一元一次不等式解决几何问题（共3小题） 19．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 20．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 21．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】(1)点A、B间的距离是； (2)； (3)表示数的点落在线段上． 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 题型八 求不等式组的解集（共3小题） 22．（2026·山东济南·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，3、4 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是：， 它的整数解为：3、4． 23．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如图： 不等式组的解集为：． 24．（2026·河北邯郸·一模）已知满足不等式组． (1)分别求出不等式①和不等式②的解集； (2)直接写出这个不等式组的解集； (3)若x是一个两位数的个位数字，且这个两位数的十位上的数字是个位上的数字的一半，则这个两位数是多少? 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1的步骤，解不等式即可； （2）根据两个不等式的解集得出不等式组的解集即可； （3）根据，且x是个位上的数字，得出或6或7，根据十位上的数字是个位上的数字的一半，得出是偶数，故，即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式①得：， ， 解得：； 解不等式②得：， ， 解得：； （2）解：这个不等式组的解集为； （3）解：∵，且x是个位上的数字， ∴或6或7， 又∵十位上的数字是个位上的数字的一半， ∴是偶数，故， 则十位上的数字是3， ∴这个两位数是36． 题型九 求一元一次不等式组的整数解（共3小题） 25．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）求满足不等式组的整数解． 【答案】的取值是. 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解． 【详解】解：解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是， ∵是整数， ∴的取值是. 26．（25-26八年级上·山东济南·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，不等式组的整数解，，0，1，2 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“大小小大中间找”确定不等式组的解集，再在解集内确定其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解，，0，1，2． 27．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 题型十 由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 根据口诀：同大取大，且结合不等式组的解集，得出，再解得，可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为：， ， 解这个不等式得， 故答案为： 29．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 30．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是_____； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解，再根据不等式无解的含义列不等式求解即可； （2）首先根据不等式组有解求得 ，再根据题意得到或，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 解①，得， 解②，得， 若该不等式组无解，则， 解得． 故答案为：． （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中， 则首先要满足不等式有解， ， 解得， 其次要满足或， 解得或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 题型十一 不等式组和方程组结合问题（共3小题） 31．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知关于、的方程组的解满足，则（）a的取值范围是__________；（）如果，且，那么的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、解一元一次不等式，解决本题的关键是根据的取值范围求出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值． 解方程组，把方程组的解用含的代数式表示出来，可得：，再根据可得：，从而可得：； 根据可得：，从而可得：，再根据的取值范围求出的取值范围，从而可得的最大值． 【详解】解：， 得：， 得：， 系数化为得：， 把代入方程得：， 解得：， ， ， ， 解得：， 故答案为：； 解：， ， ， 又， ， ， ， 的最大值是， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意，解二元一次方程组，得到，，结合x，y互为相反数，求出k值即可； （2）根据，，得到，代入到不等式，解不等式，得到结果． 本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得：， 把代入②，得， ， ，y互为相反数， ， 解得； （2）解：， 方程组的解满足， ， ， 33．（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 【答案】[完善材料]①，②，③；[方法应用]；[拓展提升]8 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行求解． （1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， 解题思想二：：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 故答案为：①； ；③； [方法应用] ∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； [拓展提升] ∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， 故答案为：8． 题型十二 一元一次不等式组的应用（共6小题） 34．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 35．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【答案】每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件，根据每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】解：设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件， 由题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴， 答：每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 37．（25-26九年级上·广西玉林·期末）据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建，两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． (1)若搭建2个类展位和3个类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个类展位和1个类展位，共需搭建费用1600元．求类展位和类展位的搭建费用单价各是多少？ (2)组委会计划搭建，两类展位共80个，其中类展位的数量不少于类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个类展位？ 【答案】(1)、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元； (2)组委会至少要搭建54个类展位 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系列出方程组和不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设、两类展位搭建费用的单价分别为元，元， 根据题意得：， 解得． 答：、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元． （2）解：设搭建类展位个，则搭建类展位个，依题意得， ， 解得， ∵为展位数量，需取正整数， ∴的最小值为54． 答：组委会至少要搭建54个类展位． 38．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 39．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案． 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元 (2)可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由“购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元”列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元， 根据题意得：， 解得， 答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元； （2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 解得： 为正整数， 当时，， 当时，， 答：可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元一次不等式 (组) (12大压轴题型) 题型归纳·内容导航 题型1不等式的定义 题型7用一元一次不等式解决几何问题 题型2不等式的性质 题型8求不等式组的解集 题型3求一元一次不等式的解集 题型9求一元一次不等式组的整数解 题型4求一元一次不等式的整数解 题型10由一元一次不等式组的解集求参数 题型5求一元一次不等式解的最值 题型11不等式组和方程组结合问题 题型6用一元一次不等式解决实际问题 题型12一元一次不等式组的应用 题型通关·靶向提分 题型一不等式的定义（共3小题）】 1.(25-26八年级上浙江金华.期中)“a大于b的2倍用不等式表示为： 2.(25-26八年级上·浙江宁波·期中)“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 3.(24-25八年级下江西吉安·月考)若口6是不等式，则“口”代表的符号可以是() A.≥ B.+ C.= D.× 题型二不等式的性质（共3小题） 4.(2425七年级下·湖南益阳·期中)若ab,则下列不等式成立的是() A.a+5>b+5B.-2a<-2b C.>渭 D.a-1b-1 5.(2026山东济南一模)若p<q,则下列结论错误的是() A.p+m<q+m B.-2p>-2q C.3p+1<3q+1 D.p2<q2 6.(24-25七年级下·吉林长春期末)若xy,则下列式子中错误的是() A.x-2<y-2 B.8+2<y+2 C.-2x>-2y D.器> 题型三求一元一次不等式的解集（共3小题） 7.(25-26七年级下·上海闵行月考)已知a<-1,关于x的不等式(a+1)x<a2-1的解集为 8.(25-26七年级上江苏苏州期末)解不等式2+号<1，并将其解集在数轴上表示出来。 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 432101234> 9.(2026陕西咸阳一模)解不等式：2x-1<3(x+1),并将解集在数轴上表示出来. -5-4-3-2-10123> 题型四求一元一次不等式的整数解（共3小题） 10.(24-25七年级下·湖南益阳期中)不等式2(1-8)≤7的最小整数解为 11.(24-25七年级下·吉林长春期末)不等式3-2y>-5的所有正整数解之和为 12.(25-26七年级上全国期末)关于x的方程mx-号=专(x-号)有负整数解，则所有符合条件的整数m 的和为 题型五求一元一次不等式解的最值（共3小题） （8=1 13.(25-26八年级上福建三明：期末)若y=1是方程2ax+by=25的解，a,b是正整数，则ab的最小 值是· 14.(24-25八年级下·陕西汉中.期末)如果关于x的不等式5x-m≤0的解的最大值是4，则m的值是 15.(24-25七年级上湖南长沙月考)已知b≥0，且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c十d的 最大值， 题型六用一元一次不等式解决实际问题（共3小题） 16.（2026山西太原一模)学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路 套件每套8元，智能传感器套件每套15元. 简易电路 智能传感器 (1)该社团首次采购两种套件共50套，共花费540元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套， (②)该社团计划再次采购两种套件共200套，若采购总经费不超过2300元，则智能传感器套件最多能采购多 少套？ 17.(2026湖南长沙.一模)2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与机器人技术的飞速发展.某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览.已知购买1台A型机 器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元. (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器 人多少台？ 18.(2025·山西忻州三模)维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应 用于药物治疗和预防.苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜 中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等。 (1)求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克； (②)某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜.某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千 克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过 108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克. 题型七用一元一次不等式解决几何问题（共3小题） 19.(25-26九年级上·云南昭通·期中)用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m 设垂直于墙的一边长为xm,则平行于墙的一边长为多少m(用含x的代数式表示)· 20.(24-25七年级下·重庆期中)如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3.动点P从点A出发， 沿折线A→B→C以每秒1个单位长度运动，到达点C时停止，设点P运动的时间为t秒. B ()点P整个运动过程中，共需秒： 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△APC的面积为2时，求t的值： (3)若△APC的面积大于号时，求t的取值范围。 21.(23-24八年级下福建三明期中)如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A,B分别表示数-2， -2x+6 A B -2 -2x+6 (1)若x=一1，则点A,B间的距离是多少？ (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数-x+2的点应落在点A左边？点B右边？还是线段AB上？说明理由. 题型八求不等式组的解集（共3小题） 5x-2>3(x+1)① 22.（2026山东济南一模)解不等式组 等≤1+号② 并写出它的所有整数解. 2x+1>X-1 23.(24-25七年级下·吉林长春期末)解不等式组 、4x-1≤x+2，并将它的解集在数轴上表示出来. -3-2-10123 (7(x-5)<13+x① 24.（2026河北邯郸.一模)已知x满足不等式组 器>-x+6② (1)分别求出不等式①和不等式②的解集； (2)直接写出这个不等式组的解集； (3)若x是一个两位数的个位数字，且这个两位数的十位上的数字是个位上的数字的一半，则这个两位数是 多少？ 题型九求一元一次不等式组的整数解（共3小题） 3x+6① 25.（25-26九年级下湖北武汉·月考)求满足不等式组 x+3>1② 的整数解. 3x≤+4① 26.(25-26八年级上山东济南期末)解不等式组： 2x+3≥x+1②·并写出它的所有整数解。 ∫a-x>0 27. (25-26八年级上浙江宁波期末)已知6<a<7,则关于x的不等式组6-2x<0 的所有整数解的积 是 题型十由一元一次不等式组的解集求参数（共3小题） 4/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (x≥3a 28。(24-25七年级下江苏宿迁·期未)若不等式组x6的解集是x>6,则α的取值范围是 x-a>2 29.（24-25八年级下甘肃兰州期末)若不等式组6-2x0的解集是-1<x<1,则(a+b)2025=() A.-1 B.1 C.±1 D.0 2a-x>3 30.(24-25七年级下河南新乡期末)已知关于x的不等式组2x+8>2a (1)若该不等式组无解，则a的取值范围是； (2)若该不等式组的解集中，每一个值均不在-1≤x≤5的范围中，则a的取值范围是一· 题型土一不等式组和方程组结合问题（共3小题） 13x-y=2a-5 31.(2425七年级下湖北黄冈期末)已知关于x、y的方程组气x+2y=3a+3的解满足0x+y≤3，则 (1)a的取值范围是 ;(2)如果a+b=4,且z=2a-3b,那么z的最大值为 (2x+y=3k-1 32.(24-25七年级下安徽阜阳期末)已知关于x,y的二元一次方程组 x-y=4 (①)若方程组的解x,y互为相反数，求k的值： (2)若方程组的解满足-1X+y<2,求k的取值范围. 33.(24-25七年级下江苏期末)【阅读材料】： 解答"己知x-y=1,且x>-1y<2,试确定x+y的取值范围"有如下解法： 解：解题思想一：”消元” :X-y=1x=(①（用含y的代数式表示）， ∴.x+y=y+1+y=2y+1 :8>-1y+1>-1,即y>②. 又：y<2-2y<2 解题思想二：”配凑” 上式三边先同时乘2，得③<2y<4, 再同时加1，得-4+1<2y+1<4+1, ∴.x+y的取值范围是-3<x+y<5 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若8-y=-1,且x>1y<3,试确定x+y的取值范围； 【拓展提升】若x-y=n(n是大于3的整数)，且x≥3，y≤0，当x+2y的取值范围内恰有2n个整数时，则 n的值为. 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型十二一元一次不等式组的应用（共6小题） 34.(24-25七年级下江苏南京·期末)如图(1)，A,B两地间的公路长360km,其中有一段长10km的 施工道路MN,M距离A地200km.甲、乙两辆轿车分别从A,B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比 甲车晚出发20min在非施工道路（其限速情况如图(2）所示)，甲车始终以100kmh的速度行驶，乙车 始终以Vkmh的速度行驶；在施工道路，两车均以40kmh的速度行驶. 20 60 6。 100 60 ■■ 00 60 图(1) 图(2) (1)若V=90 ①甲车出发2h时， 甲车行至 处，乙车行至 处；（填“M“W或“MN的中点） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为h. (2)己知两车在P处相遇 ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上(P不与M,N重合)，直接写出V的取值范围 35.(24-25七年级下.甘肃陇南期末)车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零 件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元， 售价130元.如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多 少件？ 36.(24-25七年级下湖北武汉期末)把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前 面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本，这些图书有 本 37.(25-26九年级上广西玉林期末)据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划 搭建A,B两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品. (1)若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元：搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭 建费用1600元.求A类展位和B类展位的搭建费用单价各是多少？ (②)组委会计划搭建A,B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍.若总搭建预算 资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？ 38.(24-25七年级下·重庆·期中)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方 6/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 式达到节水的目的.重庆市自来水的收费价格见价目表.注：水费按月结算.若某户居民1月份用水8立 方米，则应交水费：2×6+4×(8-6)=20（元） 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/位方米 超出10立方米的部分 8元/位方米 (1)若小明家2月份用水12.5立方米，则应交水费 元 (2)若小明家3月用水量为a立方米，当6<a≤10时，小明家应交水费元，当a>10时，小明家应交水 费元；（请用含a的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米(4月份用水量多于3月份)，共交水费38元，则小明家3,4 月份各用水多少立方米？ 39.(25-26九年级下·辽宁锦州期中)为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗.已知购买20 棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元. ()求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260 元，请设计购买方案。 7/7