专题03 一元一次不等式（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材华东师大版

可学科网·上好课 www zxxk.com 专题03一元一次不等式（期中复 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01不等式的概念 题型02不等式的性质 题型03解不等式（组） 题型04在数轴上表示不等式（组）的解集 题型05不等式（组）的整数解 题型06由不等式（组）的解集求参数 题型07由不等式（组）的解的情况求参数 题型08不等式组与方程综合 题型09绝对值型不等式 题型10不等式（组）的应用 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 1/12 上好每一堂课 习讲义) 可学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 不等式、一元一次不等式定义 基础概念0 不等式的解与解集 解集在数轴上表示（空心/实心） 性质1：加减同一个数，不等号方向不变 不等式性质0 性质2：乘除正数，不等号方向不变 考什么（核心考点）O 性质3：乘除负数，不等号必须变向 解法步骤0 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 解集四种情况：同大取大/同小取小W大小小大中间找/大大小小找不到 不等式组0 解不等式组并表示解集 实际应用。 关键词：至少、最多、不超过、不低于 列不等式求解 判断不等式性质运用是否正确 选择填空。 数轴表示解集 求简单不等式/组的解集 二、怎么考（题型考法） 解答题（中档必考）。 规范解一元一次不等式 解一元一次不等式组 含参数不等式（已知解集求参数范围） 拔高题型。 不等式与方程综合 方案选择、最值类应用题 基础必拿分0 熟记3条性质，重点记负数变号 数轴画法：空心不包含，实心包含 严格按步骤解方程，避免跳步出错 解题重点0 去分母不漏乘常数项 系数为负时，牢记变号 三、该重点复习啥（提分重点） 移项要变号 易错必纠。 不等号方向判断错误 不等式组解集取错 应用题关键0 找准不等关系，正确列不等式 检验结果是否符合实际意义 记·必备知识 局知识点01不等式的定义 1.不等式的定义：像4>3,3x<6这样用符号“>”、“<”表示大小关系的式子，叫做不等式，像2这样用 符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a>0 a是非正数 a<0 a、b同号 ab>0 a是负数 a<0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab<0 ® 知识点02不等式的性质 (1)不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a>b,那么a±m>b士m: 2/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a>b,且m>0,那么am>bm或a>b mm ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a>b,且m<0,那么am<bm或a<b: mm (2)不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号； ②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变 【规律方法】 1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号 的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论 2.不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c. 局知识点3在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含 于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右” 不等式的解集 图示 说明 x>a 界点用空心圆圈，方向向右 X<a 界点用空心圆圈，方向向左 x=a 界点用实心圆点，方向向右 X≤a 界点用实心圆点，方向向左 知识点04解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项； ⑤化系数为1. 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号 方向 注意：符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式. 解一元一次不等式组 3/12 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 解集 (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组. (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解 集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集， 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. 几种常见的不等式组的解集：设α<b,a,b是常数，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等 号取不到时在数轴上用空心圆点表示)： 不等式组 数轴表示 解集 口诀 (其中a<b) x≥a x≥b 同大取大 x≥b ab x≤a 力 x≤b x≤a 同小取小 ab x≥a a≤x≤b 大小、小大中间找 x≤b a b x≤a 无解 大大、小小取不了 x≥b 知识点5一元一次不等式（组）的应用 (1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际 问题的答案。 (2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此，建 立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵， (3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数 ②根据题中的不等关系列出不等式. ③解不等式，求出解集. 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ④写出符合题意的解. 破·重难题型 它题型一 不等式的概念 解|题|技|巧 像4>3,3x<6这样用符号“>”、“<”表示大小关系的式子，叫做不等式，像≠2这样用符号“≠”表示 的不等关系的式子也叫不等式 【典例1】下列表达式中是不等式的有()个 ①-2<0；②2x+3y<0;③x=1;④x2+3x-1;⑤x+2y=4;⑥x+3y-3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：· 【变式2】下列式子：①-2≤0；②3x+2y>0;③b=2;④m≠3；⑤x+2y;⑥x+5≤6；⑦2m-3.其 中是不等式的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 题型二不等式的性质 解|题|技|巧 1.不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方 向不变； 2.不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变： 3不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【典例1】已知ab,则下列不等式一定成立的是() A.a-1b-1B.号<号 C.-a>-b D.a+1b+1 【变式1】下列不等式的解法中，正确的是() A.-x≥-5，两边同乘-1，得x≥5 B.-x≤-5，两边同乘-1，得x≤5 C.2x≥-6，两边同时除以-2，得x≤3 D.-2x≥-6，两边同时除以-2，得x≤3 【变式2】阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法： 5/12 列学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：x-y=2,xy+2,又x>1,y+2>1,y>-1, 又y<0,.-1y<0.①， 同理可得1<X<2...②， 由①+②得：-1+1<x+y<0+2 x+y的取值范围是0x+y<2, 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x-y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是 (2)若a-b=4,a>1,b<2,求2a+3b的取值范围. 题型三 解不等式（组） 解|题|技|巧 去分母→去括号→移项→化成ax>b(或ax<b等)的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到 不等式的解集（化成b或xb的形式） 、 【典例1】解不等式： (1号-x+1>培+餐； (2x-[x-号(&-1)]<号&-1) 5x-13(x+1) 【变式1】解不等式组： 胖-x3 3 1x-3(x-2)>4 【变式2】解不等式组： ≤· 它题型四 在数轴上表示不等式（组）解集 解|题|技|巧 1.边界值的表示： 不等号含“=”（之、≤）：边界值处画实心圆点（表示包含该点）； 不等号不含=”(>、<)：边界值处画空心圆圈（表示不包含该点)。 2.方向的表示： 不等号为“>”或≥”：解集在边界值的右侧（沿数轴正方向延伸）； 不等号为“<”或“≤”：解集在边界值的左侧（沿数轴负方向延伸）。 【典例1】一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为() 6/12 命学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 0 A.x>-2 B.x22 C.-2x≤2 D.x≤2 【变式1】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. (1)-x+1>7x-15 2-1012 2整02 -2-1012 1-2(x-3)+624 【变式2】解不等式组 3-x<4 ,并把它的解集在下列数轴上表示出来. -5-4-3-2-1012345→ 立题型五不等式（组）的整数解 解|题|技|巧 :1.求出解集：先解不等式（或不等式组），得到完整的解集范围： 2列出整数：在解集范围内，找出所有整数（注意边界值是否包含，需结合不等号是否含“=”）； 3.验证：检查列出的整数是否都在解集中，避免漏解或多解。 【典例1】不等式3x-5<3+x的非负整数解有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1】求不等式9>-1的最小整数解。 4■ 2x+5>3x ① 【变式2】求不等式组： (岁-1≥3-2x②的所有整数解之和。 它题型六由不等式（组）的解集求参数 解|题|技|巧 1.解含参数的不等式：将参数当作已知数，按解不等式的步骤，化为“x>m”或“x<m”的形式(m含 参数)； 2.对比已知解集：将化简后的解集与题目给出的解集对比，列等式（或不等式）求参数； 3.验证参数：求出参数后，代入原不等式，验证解集是否正确（避免因参数正负导致的错误）。 7112 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 关|键|提|醒 解含参数的不等式时，系数化为1前，必须判断参数的正负（或范围），否则无法确定不等号方向； 若化简后的解集形式与已知一致（如均为x>m),则系数为正；若方向相反（如化简后xm,己知 x>n),则系数为负。 2x+1-号≤智 【典例1】关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是 8-a>0 x+8<4x-1 【变式1】一元一次不等式组 x>a 的解集为x>3,那么a的取值范围是() A.a<3 B.a≤3 C.a=3 D.a≥3 3x-6>0 【变式2】关于x的不等式组a-x-2的解集是2<x<5,则a的值为 它题型七由不等式（组）的解的情况求参数 解|题|技|巧 1.解每个含参数的不等式：分别化为“x>a“x<b”的形式(a、b含参数)； 2.根据解集情况列条件： 。若不等式组无解：按“大大小小找不到”列条件（如{x>m,x<2}无解，则m≥2）； 。 若不等式组有解：按“大小小大中间找”列条件（如{x>1,x<n}有解，则n>1); :。若不等式组解集为某一范围：按“同大取大“同小取小”列条件（如x>3,x>k}解集为x>3, 则k≤3)； 3.验证边界值：参数取边界值时，需验证不等式组的解集是否符合要求（如{x>m,x<2},m=2时， 解集为{x>2,X<2},无解，符合“无解”的条件)。 (1+8≤a 【典例1】若不等式组x+32≥1有解，则实数a的取值范围是（） A.a>-30 B.a≤-36 C.a>-36 D.a≥-30 x十y=a 2(m+3)-3<m+1 【变式1】关于x,y的方程组 x-y=2的解为整数，关于m的不等式组 2m+22a 有且仅有一 个偶数解，则所有满足条件的整数a的和为() A.-4 B.-6 C.-14 D.-16 X-a20 【变式2】已知关于x的不等式组3-2x之-1 的整数解共有5个，则a的取值范围是 题型八不等式组与方程的综合 x-y=11-m 【典例1】已知在关于x,y的二元一次方程组x+y=7-3m中，x为非负数，y为负数。 8/12 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求m的取值范围. (2)在(1)的条件下，若不等式(2m+1)x-2m<1的解集为x>1,则整数m的值是多少？ =2+a 【变式1】关于x,y的方程组 x+a-y=3a-2)且x,y满足-10x-2y≤-8. (I)求a的取值范围； (2)已知3a+b=1,求a-b的取值范围 (2x+y=3k+1 【变式2】已知关于xy的二元一次方程组 8-2y=4 (k为常数).若该方程组的解x、y满足 3x-y<1,求k的取值范围. 它题型九绝对值型不等式 【典例1】若|3x-2=2-3x,则() A.X=3 B.X>号 C.x≤ D.x≥ 【变式1】先阅读绝对值不等式x<6和x>6的解法，再解答问题.①因为8>6，从数轴上（如图1） 可以看出只有小于一6的数和大于6的数的绝对值大于6.所以x>6的解集为x<-6或x>6.②因为 |x<6,从数轴上（如图2）可以看出只有大于一6且小于6的数的绝对值小于6，所以x<6的解集为 -6<x<6. ● -6-5-4-3-2-10123456 -6-5-4-3-2-10123456 图1 图2 (1)川x<2的解集为 (2)解不等式x-1<1: (3)解不等式|2x-3|>1, (x=m 【变式2】对于二元一次方程x-2y=2的任意一个解{y=n，给出如下定义：若m≥，则称m为 方程x-2y=2的“关联值”；若|m<n,则称|n为方程x-2y=2的“关联值”. (1)当m=2时，此方程的“关联值”是-： (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)当m≥2时，探究方程x-2y=2是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由， 题型十不等式（组）的应用 【典例1】小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元.销售时先每件加价20元销售，在销 9/12 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元.问：他 加价销售的衬衫至少有多少件？ 【变式1】某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果.已知购进杨梅2斤，龙眼3斤共需69元；购进杨 梅1斤，龙眼4斤共需72元. (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (②)该水果店计划用不超过540元购进杨梅、龙眼共40斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的3倍.若杨梅的 购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【变式2】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件) 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【变式3】为有效防控“新冠病毒”疫情，稠州学校打算购进一批酒精消毒液和额温枪，己知酒精消毒液和额 温枪的单价之和为200元，购进2瓶酒精消毒液和3把额温枪需花费520元. (1)求酒精消毒液和额温枪的单价分别是多少？ (②)学校欲用9600元用于进货，且最多购进酒精消毒液36瓶，额温枪的数量不超过酒精消毒液数量的2倍， 则共有几种进货方案？ (3)已知药店售出一瓶酒精消毒液可获利10元，售出一把额温枪可获利18元，为体现“抗疫”的决心，店主决 定每售出一把额温枪，为希望工程捐款m元，在(2)的条件下，若酒精消毒液和额温枪全部售出后所有方 案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？ 【变式4】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老 师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动.活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的 客车至少租用5辆).A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐 满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人. (I)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (②)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多 10/12 专题03 一元一次不等式（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的概念 题型02 不等式的性质 题型03 解不等式（组） 题型04 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型05 不等式（组）的整数解 题型06 由不等式（组）的解集求参数 题型07 由不等式（组）的解的情况求参数 题型08 不等式组与方程综合 题型09 绝对值型不等式 题型10 不等式（组）的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 知识点01 不等式的定义 1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 知识点03 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 不等式的解集 图示 说明 x>a 界点用空心圆圈,方向向右 x<a 界点用空心圆圈,方向向左 x≥a 界点用实心圆点,方向向右 x≤a 界点用实心圆点,方向向左 知识点04 解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 知识点05 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型一 不等式的概念 解｜题｜技｜巧 像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 【典例1】下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 【变式1】根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 【变式2】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 题型二 不等式的性质 解｜题｜技｜巧 1.不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； 2.不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3.不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【典例1】已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 【变式1】下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：A．，两边同乘，得，故A错误； B．，两边同乘，得，故B错误； C．，两边同时除以2，得，故C错误； D．，两边同时除以，得，故D正确． 【变式2】阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 题型三 解不等式（组） 解｜题｜技｜巧 去分母→去括号→移项→化成ax>b（或ax<b等）的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集（化成x>或x<的形式） 【典例1】解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可，注意系数为负数时，不等号需要改变方向． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后再确定出公共解集即可得． 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 【变式2】解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 题型四 在数轴上表示不等式（组）解集 解｜题｜技｜巧 1.边界值的表示： 不等号含 “=”（≥、≤）：边界值处画实心圆点（表示包含该点）； 不等号不含 “=”（>、<）：边界值处画空心圆圈（表示不包含该点）。 2.方向的表示： 不等号为 “>” 或 “≥”：解集在边界值的右侧（沿数轴正方向延伸）； 不等号为 “<” 或 “≤”：解集在边界值的左侧（沿数轴负方向延伸）。 【典例1】一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于． 【详解】解：由数轴可得，这个不等式组的解集为． 【变式1】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)         (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： （2）解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 【变式2】解不等式组，并把它的解集在下列数轴上表示出来． 【答案】，图见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，先求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 题型五 不等式（组）的整数解 解｜题｜技｜巧 1.求出解集：先解不等式（或不等式组），得到完整的解集范围； 2.列出整数：在解集范围内，找出所有整数（注意边界值是否包含，需结合不等号是否含 “=”）； 3.验证：检查列出的整数是否都在解集中，避免漏解或多解。 【典例1】不等式的非负整数解有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先利用一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出符合要求的非负整数，统计个数即可得到答案. 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ， ∴ 不等式的非负整数解为 ，共4个． 【变式1】求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 【变式2】求不等式组：的所有整数解之和． 【答案】10 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再在解集中找出所有整数解，求和即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为， 它们的和为． 题型六 由不等式（组）的解集求参数 解｜题｜技｜巧 1.解含参数的不等式：将参数当作已知数，按解不等式的步骤，化为 “x> m” 或 “x < m” 的形式（m 含参数）； 2.对比已知解集：将化简后的解集与题目给出的解集对比，列等式（或不等式）求参数； 3.验证参数：求出参数后，代入原不等式，验证解集是否正确（避免因参数正负导致的错误）。 关｜键｜提｜醒 解含参数的不等式时，系数化为 1 前，必须判断参数的正负（或范围），否则无法确定不等号方向； 若化简后的解集形式与已知一致（如均为 x > m），则系数为正；若方向相反（如化简后 x <m，已知 x> n），则系数为负。 【典例1】关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰有个整数解，确定参数的取值范围. 【详解】解： 不等式①两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 不等式组的整数解为，，， 可得：. 【变式1】一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 【变式2】关于的不等式组的解集是，则的值为______． 【答案】3 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集是：， 关于的不等式组的解集是， ， ， 故答案为：3 ． 题型七 由不等式（组）的解的情况求参数 解｜题｜技｜巧 1.解每个含参数的不等式：分别化为 “x> a”“x < b” 的形式（a、b 含参数）； 2.根据解集情况列条件： ◦若不等式组无解：按 “大大小小找不到” 列条件（如 {x > m, x < 2} 无解，则 m ≥ 2）； ◦若不等式组有解：按 “大小小大中间找” 列条件（如 {x > 1, x < n} 有解，则 n > 1）； ◦若不等式组解集为某一范围：按 “同大取大”“同小取小” 列条件（如 {x > 3, x > k} 解集为 x > 3，则 k ≤ 3）； 3.验证边界值：参数取边界值时，需验证不等式组的解集是否符合要求（如 {x> m, x < 2}，m=2 时，解集为 {x > 2, x < 2}，无解，符合 “无解” 的条件）。 【典例1】若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 【变式1】关于，的方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有一个偶数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组的解为整数，可得是偶数，由不等式组有且仅有一个偶数解，知这个偶数解为，从而，可得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 ∴，这两个方程相加，得 ∴，这两个方程相减，得 即， 方程组的解为整数， 是偶数， 由不等式组可得， 不等式组有且仅有一个偶数解， 这个偶数解为， ， ， 可取，， 所有满足条件的整数的和为． 【变式2】已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组的整数解有5个， 所以不等式组的解集为． 这个整数解为，，，，． ∴的取值范围是． 题型八 不等式组与方程的综合 【典例1】已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 【变式1】关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于的不等式组解答即可求解； （）由已知得，即得，再结合（）的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：解二元一次方程组，得， ∴， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 由（）知，， ， 的取值范围是． 【变式2】已知关于的二元一次方程组（为常数）．若该方程组的解、满足，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 题型九 绝对值型不等式 【典例1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 【变式1】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【变式2】对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，此方程的“关联值”是 ； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)当时，探究方程是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)，； (3)2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次不等式，理解新概念，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）当时，代入，求解，根据“关联值”的概念即可得解； （2）根据“关联值”的概念，分类讨论当，的4种情况即可得解； （3）将代入方程可得，求得， ．分，分类讨论，然后再确定是否有最小值即可． 【详解】（1）当时，， 解得， ， ， 此时方程的“关联值”为2； 故答案为∶ 2； （2）根据“关联值”为4，可分以下四种情况∶ ①当时，即， 解得， ，符合题意， 方程的解为； ②当时，即， 解得， ，符合题意， 方程的解为； ③当时，即， 解得， ， 不满足，“关联值” 实际应取，不符合 “关联值为” ，舍去． ④当时，即， 解得， ， 不满足，“关联值” 实际应取，不符合 “关联值为” ，舍去．  综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵方程 的解为， 将其代入方程可得， 变形为 ．   根据“关联值”定义，分两种情况讨论：   情况一：当时，“关联值”为 ．   把代入，即 ．   ∵， ∴， 不等式可简化为 ．   解这个不等式得： ； 此时“关联值”为 ∵，为非负数，且的最小值为（ 当时， ，满足 ， ∴“关联值”为．   情况二：当时 “关联值”为 ．   把代入，即 ．   因为，， 不等式变为 ．   解这个不等式得： 这与矛盾， 所以这种情况不存在． 当时，方程的最小“关联值”为2． 题型十 不等式（组）的应用 【典例1】小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？ 【答案】至少有61件 【分析】先计算单件进价，设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件，根据“盈利大于1000元”，总销售额减去总成本大于1000，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 100件衬衫总进价8000元， ∴每件衬衫进价为元， 设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件， 加价销售单件售价为元，亏损销售单件售价为元， 根据题意得， 解得， 因为是衬衫件数，为正整数， 因此的最小值为61 即他加价销售的衬衫至少有61件． 【变式1】某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【答案】(1)杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； (2)共有种进货方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． （）设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设杨梅购进斤，则龙眼购进斤，由题意可得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元， 根据题意，得，解得， 答：杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； （2）解：设杨梅购进斤，则龙眼购进斤， 由题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴共有种进货方案． 【变式2】某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【变式3】为有效防控“新冠病毒”疫情，稠州学校打算购进一批酒精消毒液和额温枪，已知酒精消毒液和额温枪的单价之和为元，购进瓶酒精消毒液和把额温枪需花费元． (1)求酒精消毒液和额温枪的单价分别是多少？ (2)学校欲用元用于进货，且最多购进酒精消毒液瓶，额温枪的数量不超过酒精消毒液数量的倍，则共有几种进货方案？ (3)已知药店售出一瓶酒精消毒液可获利元，售出一把额温枪可获利元，为体现“抗疫”的决心，店主决定每售出一把额温枪，为希望工程捐款元，在（2）的条件下，若酒精消毒液和额温枪全部售出后所有方案获利均相同，则的值是多少？此时店主可获利多少元？ 【答案】(1)酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元 (2)共有种进货方案，购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把 (3)的值是，此时店主可获利元 【分析】（1）设酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元，根据“酒精消毒液和额温枪的单价之和为元，购进瓶酒精消毒液和把额温枪需花费元”列出关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）设购进酒精消毒液瓶，额温枪把，，为正整数，根据“用元用于进货，且最多购进酒精消毒液瓶，额温枪的数量不超过酒精消毒液数量的倍”得，确定，可得答案； （3）设共获利元，得，继而得到，求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：设酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：酒精消毒液的单价为元，额温枪的单价为元； （2）解：设购进酒精消毒液瓶，额温枪把，，为正整数，且最多购进酒精消毒液瓶， 依题意，得：， 整理得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，且为正整数， ∴只能是3的倍数， ∴x只能取30，33，36这三个值， ∴进货方案有： ①购进酒精消毒液瓶，额温枪把； ②购进酒精消毒液瓶，额温枪把； ③购进酒精消毒液瓶，额温枪把； 答：共有种进货方案，购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把；购进酒精消毒液瓶，额温枪把； （3）解：设共获利元， 依题意，得：， 整理，得：， ∵酒精消毒液和额温枪全部售出后所有方案获利均相同， ∴， 解得：， 此时（元）， 答：的值是，此时店主可获利元． 【变式4】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【变式5】儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套．问：有多少个班级？学习用品有几套？ 【答案】有个班级，学习用品有套． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键． 设有x个班级，则学习用品有套， 根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解． 【详解】解：设有x个班级，则学习用品有套， 由题意，得， 解得：． ∵只能取整数， ∴， 此时． 答：有个班级，学习用品有套． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2024·贵州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需要明确小于号对应的数轴表示规则，包括空心圆圈和方向． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集时，步骤如下： ①先找到数字对应的点， ∵是（不包含）， ∴在这个点画空心圆圈； ②再根据“小于向左”的原则，将空心圆圈左边的区域表示出来． A、是的表示，不符合题意； B、是的表示（实心圆点且向右），不符合题意； C、在处画空心圆圈，且向左表示，符合的解集表示，符合题意； D、是的表示（实心圆点且向左），不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题关键是掌握数轴的表示规则． 2．（24-25七年级下·广西百色·期中）不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：． 故答案为： 3．（24-25七年级下·广西百色·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握在不等式两边同时乘除一个负数，不等号的方向改变．根据不等式性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ，故A错误，不符合题意； 当，时，满足，但，故B错误，不符合题意； ∵， ， ∴，故C正确，符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·广西百色·期中）“与的和的3倍与8的差是一个非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式，读懂题意，找出不等关系是解题的关键．与的和的3倍与8的差表示为，非负数即大于等于0的数，进一步即可解题． 【详解】解：“与的和的3倍与8的差是一个非负数”，用不等式表示为． 故选D． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1，即可解得一元一次不等式． 本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法，是解题的关键． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式的基本性质，注意系数正负对不等号方向的影响．根据不等式解集的形式，可知除系数时不等号方向不变，因此系数必须为正数，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴除以后不等号方向不变， ∴， ∴， 故选：C． 7．（25-26七年级上·河南商丘·期中）如图，点在点的左侧，点在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是______（写出一个正确的数字） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．由数轴得出，解一元一次不等式再根据选项即可求出结果． 【详解】解：由数轴可知，， 解得， ∴的值可能是0． 故答案为： 0（答案不唯一）． 8．（25-26七年级上·山西运城·期中）下列各数中，能使的值为负数的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；需要使的值为负数，即解不等式，求出的范围，再比较选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项中小于的只有， 故选D． 9．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知代数式的值小于0，且满足，则___________． 【答案】1 【分析】该题考查了一元一次不等式，绝对值的性质，首先根据代数式的值小于0解不等式得到的取值范围，再根据方程求解，结合取值范围确定a的值． 【详解】解：由题意得，解得． ∵，因为， 所以． 故答案为：1． 10．（24-25七年级下·北京海淀·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；，0，1， 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：解不等式，得：解不等式，得：， 原不等式组的解集为， 满足题意的整数解为，0，1， 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25七年级下·全国·期中）某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（  ） A．19道 B．20道 C．21道 D．22道 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式，求解的最小整数值． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为，根据题意得： ， 解得， 为整数， ， 故至少答对道． 故选：D． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）某商品进价加价后出售，最后降价处理库存．要使后续销售不亏本，售价降价不能高于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解进价、售价和降价率的关系．设进价为，则初始售价为，设降价率为，根据不亏本条件列不等式求解． 【详解】解：设进价为，则初始售价为， 设降价率为，则降价后售价为， 由题意得：， 两边除以：， ， ， ， ， 即售价降价不能高于， 故选：A． 14．（13-14八年级上·山东淄博·月考）不等式组的解集在数轴上的表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则． 求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，即可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式的解集时，大于号用空心圆圈，小于号也用空心圆圈，选项C表示的是，符合题意． 故选：C． 15．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．请根据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． 【答案】共有3种方案，见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键，设生产x件A种产品，则生产B产品件，根据题意可得，求出不等式组的解，再根据x为正整数，得出有3种生产方案． 【详解】解：设生产x件A种产品，则生产B产品件， 由题意得： 解得， 由于x为正整数， ，31，32， 则有3种生产方案， 方案一：生产A种产品30件，B种产品20件； 方案二：生产A种产品31件，B种产品19件； 方案三：生产A种产品32件，B种产品18件． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $