山东高密市第一中学卓越部2024-2025学年高一上学期期中测试数学试题

2024年卓越高一期中测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设全集，，则图中阴影部分所表示的集合（　　） A． B． C． D． 2．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（    ） 66    06    58    61    54    35    02    42    35    48    96    21    14    32    52    41    52    48 A．54 B．14 C．21 D．32 3．已知a，b是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（    ） A． B． C． D． 6．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ） A． B． C． D． 8．已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 二、多选题 9．在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 10．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（   ) A． B．函数在其定义域上是增函数 C．若实数满足不等式，则的取值范围是 D．函数的值域为 11．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线 C．当时，在区间上单调递增 D．存在实数，使得在区间上恰有2023个零点 三、填空题 12．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1. 13．某校19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，， ，.则S阴影= . 14．已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知. （1）化简； （2）若是第二象限角，且，求的值. 16．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a，b的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 17．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 18．已知函数的图象过点，图象与P点最近的一个最高点坐标为. （1）求函数解析式； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 19．临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性. (1)设，求W=的最小值. (2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设） (3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C C C A B AC BC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】先将集合的表示元素范围求解出来，然后将阴影部分先用集合间的运算表示出来，最后再计算结果. 【详解】因为，所以，所以；因为，所以，所以；又因为阴影部分为：，且，所以， 故选D. 【点睛】本题考查根据集合的交并补计算图表示的阴影部分，难度较易.解指数不等式时注意利用指数函数单调性分析. 2．B 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复）， 21，14，32，故第5个编号为14， 故选：B. 3．A 【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断. 【详解】当且时, ,即且时成立. 当时,即解得且,或且 综上可知, “且”是“”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题. 4．C 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 5．C 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，即可求解. 【详解】角的终边上一点的坐标为,,, 故， 又角在第三象限，故的最小正值为， 故选：C． 6．C 【分析】根据题意得到，进而求得数据的平均数为，结合方差的公式，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，数据的中位数为，可得，所以， 所以这6个月的月慢走里程的平均数为， 要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要最小， 又由， 故当标准差最小时，. 故选：C 7．A 【解析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论． 【详解】解：依题意，设． 则． ，． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为． 则， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．B 【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案. 【详解】由题意知， 因为为奇函数，所以， ， 因为为偶函数，所以， 相加得， 又因为，所以， 当代入得，即， 代入得，即，即； 当代入得，即， 代入得，即，即； 因为 在上没有最小值， 设，则，所以，的最大值是6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系. 9．AC 【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可. 【详解】 如图，时，方程存在4个不同根， 当时，， 时，得 即，由正弦函数对称性知， ， 在上单调递增，所以； ， 在上单调递减，所以，无最小值， 故选：AC 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键. 10．BC 【分析】求出函数的解析式，再结合指数函数性质，逐项分析判断即可. 【详解】依题意，， 对于A，，A错误； 对于B，函数的定义域为R，显然函数在R上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数在R上单调递增，B正确； 对于C，显然，则不等式， 由选项B知，，解得，因此的取值范围是，C正确； 对于D，，则，即有，因此函数的值域为，D错误. 故选：BC 11．BCD 【分析】化简的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；结合正弦函数的单调性可判断C；取，结合正弦函数的零点可判断D. 【详解】对于A，， 故 ，即为的一个周期， 说明不是的最小正周期，A错误； 对于B， ， 故图象的一条对称轴为直线，B正确； 对于C，当时，，则， 由于正弦函数在上单调递增，且， 故在上单调递增，且， 此时， 而在上单调递减，则在上单调递增， 故在上单调递增，C正确； 对于D，由A可知即为的一个周期，且的最小正周期为， 故的最小正周期为， 当时，， 当时，，则在上的零点为和， 故当时，恰有个零点， 且第个零点为， 故当时，恰有个零点， 即存在实数，使得在区间上恰有2023个零点，D正确， 故选：BCD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了含型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断. 12．4 【分析】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度. 【详解】，，，所以，满足， 开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为， 故有，即，则， 所以至少需要操作4次. 故答案为：4. 13． 【分析】阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积，利用已知数据计算即可. 【详解】，则为⊙A的直径，连接，如图所示， ，，则为等边三角形，， 的半径为2，的半径为4， 阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积， 则阴影部分的面积为. 故答案为： 14． 【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间上最值点的情况以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 所得函数图象对应的解析式为， 则当， 即时，在上至少存在两个最值点，满足题意； 当时，，所以（）， 解得（）．当时，解集为，不符合题意； 当时，解得；当时，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】三角函数图象变换，首先要看是变还是变，平移变换中：变是“左加右减”，变是“上加下减”.伸缩变换中，如：由变换为，则是缩小为原来的倍；如变为，则是放大为原来的倍. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）根据诱导公式对进行化简即可． （2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解． 【详解】（1）． （2）， ， ∵ 是第二象限角， ∴， ． 【点睛】本题考查利用诱导公式进行化简，涉及利用同角三角函数关系由正弦值求余弦值，属综合基础题. 16．(1)，； (2). 【分析】（1）根据，可得，再由即可求解； （2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，然后根据即可求解. 【详解】（1）因为是R上的奇函数， 所以，即，解得， 从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； （2）由（1）知， 任取，且，则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以， 所以， 所以k的取值范围为. 17．(1)，75 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）（i）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可； （ii）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图有， 解得， 因为，， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； （2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，， 所以有，，， （i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则， 所以 ， 解得：. 18．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据已知条件依次求得的值，从而求得的解析式. （2）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域. （3）利用对称性求得，结合诱导公式求得的值. 【详解】（1）根据最高点可知. 为的零点，与P点最近的一个最高点坐标为， 所以， 所以. ， 由于. 所以. （2）， 所以在区间上的值域为. （3）， 的两个解为，. 则，， 所以. 19．(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）先证明在为凹函数，再利用琴生不等式求解； （2）证明在为凹函数再结合琴生不等式得证； （3）分离参数，求函数最值得解. 【详解】（1）记函数，首先证明其凹凸性： ,则 所以在为凹函数. 由琴生不等式，得， 即 所以，当时，W的最小值为. （2）设,因为故 要证只需证 由琴生不等式，只需证在为凹函数. 设， 下证，即证， 即证, 化简得. 即证 式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证. （3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，    可得在时恒成立． 因为，所以，，所以． 由，及，可得，所以． 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质应用，解决问题关键是将凹凸性和琴生不等式联系起来. 答案第12页，共12页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $