学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷01（天津专用，测试范围：人教A版选修第5～7章）

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 4 5 7 8 9 D A A B A D B B 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.711.0.2912.144 13.1920 14. -( 15. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) 在一局北赛中，手将2分的鞋幸为-写)月 (3分) (2)每局比赛“有人得分”的对立事件是“两人均得0分”， 故每局比赛有人得分的概率为1 到 因为每局比疼相互独立。故X服从二项分布®4号 P叫x=0-Px==c*号-- nx-a-ci Px==c*)1 Px=4=-9 故X的分布列为 0 1 2 3 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 8 8 32 81 81 27 81 X的数学期望为E(X)=4×2-8 33 (8分) (⊙每同t家甲得2分的概率为号乙得2分的版率对-日》名两人均的1分碳均得0分、耳两人 乙最终获胜可分为以下三种情况： 1 )3 ①乙3局都得2分，其概率为 6216 ®Z有2局2分，另1局2分成分差为0，共据率为C信八传》-是 ③乙有1局得2分，另外2局分差为0，其概率为C× 综上，乙最终获胜的概率为，1+5+1-43 (13分) 216728216 17.(15分) (1)由题意X的可能取值为0,1,2， 所以P(X=0)= C210' 所以X的分布列为 X 0 2 1 3 3 10 5 10 (5分) (2)令事件A表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件A表示“甲以3：1获胜”，事件A表示“甲以 3:2获胜”，事件B表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以A)=c×写图叫4-c得 所以P利=P氏4)+P4=7+8 816_40 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P(AB)= 3 3243 32 所以P(BA PAB-243-4 P(A)4015 (10分) 81 (3)由已知有μ=74，G=7,所以P(60<X<88)=P(4-2o<X<4+2o)=0.9545, 所以P(X<60=P叫X>89)=2-P60<X<8]-×1-09545到=0275<5%， 所以高二年级学生体能检测合格， (15分) 18.(15分) (1)由题意，设甲在一轮比赛中共抢到i(i=0,1,2,3)道题为事件A, 甲在一轮比赛中得i(i=0,1,2,3)分为事件B, 则P4=C9P叫4)（日8 P川=P叫4号+川4xc-)6 “甲丝一轮比赛中我得1分的率为8 (5分) (2)由题意及(1)得 (2-4-c(2)--G22 设甲在一轮比赛中获胜为事件C, c)- ic- Pca)-周+c-引-号 Pc4-+c引9 3/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .P(C)=P(4)P(C A)+P(A)P(C A)+P(A)P(C 4)+P(A)P(C 4) =1x1+3×7.32120539 8281283827864 :甲在每轮比赛中获胜的概率为539 (10分) 864 (3)由题意，(1)及(2)得， Pa)-P4名P马=A4)7 设甲前三轮累计得分恰为6分为事件D, .PD=C×PB,×PB,×P(B)+AP(B)×P(B,)×P(B)+PB,)×P(B2×PB,) =3x×2x7+6xx2xtx2x-25 27^27240276366661458 ：甲前三轮累计得分恰为6分的概率为1458 25 (15分) 19.(15分) (1)f(x=e-x-1,求导得f'(x)=e*-1,f'(0)=0, 因为x>0时，f'（x)>0,所以∫(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为x<0时，f'（x)<0,所以f(x在(-o0,0)上单调递减， 又f(0)=0,故f(x)在x=0处取极小值0，无极大值 (5分) (2)函数hx)=fx-gx=e-x-1-alnx+x=e-alnx-1, 求导得h(=e-日-e-a,由hx)在1,2单调递增， x 得h'(x≥0在l,2]上恒成立，即xe≥a在l,2上恒成立，因此a≤(xe）,x∈，2]， 设H(x)=xe,xe[l,2],H'(x=e+xe=(x+l)e>0,则H(x在[l,2]上单调递增， 于是H(x)mn=H(I)=e,即a≤e,所以a的取值范围为-o,e] (10分) （3若对任意的[，总存在无尽， 使得f(x)≤g(x), 则当xeJ时，f到an≤g到m, 4/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当xe时，f=-0 即在 上单调递增，fx)m=f山)=e-2, 承黄-a,6c0, 求导得g(x)=a-1=a-x 由a<0,得81到<0，函数8到在]上单调递减。 e 所以4的取值箱目为列x2-e一 (15分) 20.(16分) 1D当a=2时，=rnx-,f=-1, 3 f(对=2xnx-1+.1=2xnx-x,故f"=-1, 故函数在x=1处的切线方程为y+1=-(x-),即x+y=0; (4分) 2=r血0定义城为0e, 3 f(=2nx-2a+x=21nx+1-3a, 3a-1 3a-1 令f"(>0,解得x>e,令f"(x<0,解得0<x<e, 3a-1 3a-1 故f(x的单调递增区间为e?,+o, 单调递减区间为0e: (8分) (3)由题意得f'(e=e2lne+1-3a=0,解得a=1, 故f'(x=2x(nx-1,x>0, 当x∈(0，e)时，f'(x)<0,f(x单调递减， 当xe(e,+o)时，f'(x>0,f(x单调递增， 可知函数f(x)在x=e处取得极值，故a=1符合题意， 因为f'x)=f'(x2,x<2, (x)=f(x)=2x(In x-1),x>0,(x)=2(In x-1)+2=2Inx, 5/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x∈(0,1)时，p'(x<0,p(x)单调递减， 当x∈(1，+o)时，p'x)>0,px)单调递增， 且当xe(0,1)时，px<0恒成立，p(e=0,当x∈(e,+o)时，px)>0, 画出p(x)=2x(1nx-1)的图象如下： 故0<x<1<x2<e, 令F(x=px)-p(2-x),0<x<1, 则F'(=p'(x+p'(2-=2lnx+2In(2-x=2In(2x-）=2ln[-(x-1+1], 因为0<x<1,所以-(x-12+1∈(0,1，F'(x=2n「-(x-12+1<0, 故F(x=px)-p(2-x)在(0,1上单调递减， 又F(1=0,故F(x)=px-p(2-x)>0在(0,1)上恒成立， 即p(x)>p(2-x,0<x<1, 因为0<x<1,所以p(x>p2-x), 其中0x2)=0(x),故p(x2)>p2-x), 其中1<x2<e,2-x>1,p(x在x∈(1，+0上单调递增， 故x2>2-x1,即x1+x2>2, 令G(x=9(-p(e-刘，0<x<气 G'(x)=o'(x)+o'(e-x)=2Inx+2In(e-x)=2In(ex-x2) m号 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当0<x<号时，所以y= 由复合函数可得G'(x)=2ln 故存在》使得c1-0, 当xe(0,x)时，G'(x<0,G(x单调递减， 当x引时，G(>0,G到单调遍增， 当x→0时，c(→0，c=》p®-》0， 故当0<r<时，G)=p-pe-<0恒成立， 因为0<<1<分故G=9-pe-<0,即p<pe-, 又p(x=px),故p(x2)<p(e-x), 其中1<x2<e,e-x>1,p(x在x∈(1，+o)上单调递增， 故x2<e-,故x1+x2<e, 综上，2<x+x2<e. (16分) 7/7 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第5~7章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某高三毕业班有50人，若同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（   ） A．2450条 B．1875条 C．1225条 D．675条 3．函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（   ） A． B． C． D． 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 5．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．160 B．243 C．405 D．810 7．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 9．设函数，若恒成立，则的最大值为（  ） A．-1 B． C．1 D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若是正整数，则除以8的余数是___________． 11．在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为_________． 12．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 13．在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是________ 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率______． 15．已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. （1）求在一局比赛中，甲得2分的概率； （2）若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； （3）若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 17．（15分） 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 18．（15分） 甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． （1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 19．（15分） 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 20．（16分） 已知函数，a为实数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D正确． 2．某高三毕业班有50人，若同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（   ） A．2450条 B．1875条 C．1225条 D．675条 【答案】A 【分析】利用排列数公式直接求解即可. 【详解】全班共写了条毕业留言. 故选：A. 3．函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，判断导函数的奇偶性及函数值的正负即可求解. 【详解】由函数图象知为偶函数，则，因为的导数存在， 两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故， 即为奇函数，排除CD， 由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B， 故选：A 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 5．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 6．已知，则的值为（   ） A．160 B．243 C．405 D．810 【答案】A 【分析】对两边求导，再令可求得结果 【详解】因为， 所以 即， 令，则. 故选：A 7．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 8．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【答案】B 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行. 9．设函数，若恒成立，则的最大值为（  ） A．-1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由得到或，解得或，分别按照和讨论求解，当时，分别按照，，这三种情况讨论求解，得到，则，构造函数，利用导数法求出的单调性，得到的最大值即为所求. 【详解】，，或， 或， 当时，的解为，无解，故的解为， 不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，的解为， 当时，的解为，解为， 则的解为或，不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，解为， 则的解为或，不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，解为， 则的解为或，即的解为， 满足恒成立，故符合题意； ， 设，， 的解为，则在上是单调递增函数； 的解为，则在上是单调递减函数； 则在处取得最大值，且最大值为. 故选：B. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若是正整数，则除以8的余数是___________． 【答案】7 【分析】由二项式定理得到，即可求解. 【详解】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 11．在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为_________． 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性计算即可得出结果. 【详解】易知正态分布关于90对称， 所以， 可得. 故答案为：. 12．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 【答案】144 【分析】根据分步计数乘法原理计算即可. 【详解】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 13．在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是________ 【答案】1920 【分析】根据题意，按照地图涂色问题的方法，分步讨论每个区域的涂色方法，由分步计数原理计算求解即可. 【详解】如图， 设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A.种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择，则区域E可选择的花卉有4种， 故不同的种植方法种数是：. 故答案为： 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率______． 【答案】 【分析】记事件次传球后球在甲手中，设，利用全概率公式可得出，分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式. 【详解】记事件次传球后球在甲手中，设， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 即，所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，故. 故答案为：. 15．已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】对函数解析式进行因式分解，分类讨论函数恒成立的成立条件，解出两个参数之间的等量关系，再构造函数，根据函数导数求出构造函数单调性，求出值域，求出结果. 【详解】由，则定义域为，通分得， 恒成立，即恒成立， 当时，，解得， ，解得， 要使恒成立，有相同的单调性，且零点相同，即，即， 令，， 当，解得， 可知，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，在取得最大值， ，当时，， 所以此时的取值范围是， 当时，，可知在单调递减，时，，不符合题意， 所以的取值范围是， 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据题意利用独立事件乘法公式求概率； （2）根据对立事件的概率关系求得每局比赛有人得分的概率，可得服从二项分布，进而求出的分布列和期望； （3）由题先求出乙得2分的概率，两人分差为0的概率，乙最终获胜可分为三种情况，①乙3局都得2分；②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0；③乙有1局得2分，另外2局分差为0；依次求出概率得解. 【详解】（1）在一局比赛中，甲得2分的概率为. （2）每局比赛“有人得分”的对立事件是“两人均得0分”， 故每局比赛有人得分的概率为. 因为每局比赛相互独立，故服从二项分布. ，， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为. （3）每局比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为. 乙最终获胜可分为以下三种情况： ①乙3局都得2分，其概率为； ②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0，其概率为； ③乙有1局得2分，另外2局分差为0，其概率为. 综上，乙最终获胜的概率为. 17．（15分） 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 18．（15分） 甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． (1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率； (2)求甲在每轮比赛中获胜的概率； (3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出甲在一轮比赛中共抢到1题和3题的概率，即可求出甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求出甲在一轮比赛中共抢到0~3题的概率，得出在抢到不同题量的情况下获胜的概率，即可求出甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求出甲得0~3分的概率，即可得出甲前三轮累计得分恰为6分的概率. 【详解】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件， 甲在一轮比赛中得（）分为事件， 则， ， ∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为. （2）由题意及（1）得 设甲在一轮比赛中获胜为事件， ∵， ， ， ， ∴ ， ∴甲在每轮比赛中获胜的概率为. （3）由题意，（1）及（2）得， ，， ，， 设甲前三轮累计得分恰为6分为事件， ∴ ∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为. 19．（15分） 已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 20．（16分） 已知函数，a为实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明过程见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题. 【详解】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下：    故， 令，， 则， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 故，即， 令，， 则 ， 当时，所以单调递增， 由复合函数可得在上单调递增， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，， 故当时，恒成立， 因为，故，即， 又，故， 其中，，在上单调递增， 故，故， 综上，. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第5~7章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某高三毕业班有50人，若同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（   ） A．2450条 B．1875条 C．1225条 D．675条 3．函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（   ） A． B． C． D． 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 5．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．160 B．243 C．405 D．810 7．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 9．设函数，若恒成立，则的最大值为（  ） A．-1 B． C．1 D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若是正整数，则除以8的余数是___________． 11．在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为_________． 12．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 13．在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是________ 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率______． 15．已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. （1）求在一局比赛中，甲得2分的概率； （2）若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； （3）若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 17．（15分） 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 18．（15分） 甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和． （1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率； （2）求甲在每轮比赛中获胜的概率； （3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率． 19．（15分） 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 20．（16分） 已知函数，a为实数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][CD] 7[A][B][C[D] 2[A[B][C[D] 5A]B][C]D] 8 [A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 9[A[B][C[D] 双阙 ■ 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 12 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）