学易金卷：高一数学下学期期中模拟卷01（天津专用，测试范围：人教A版必修第二册第6～8章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][CD] 7[A][B][C[D] 2[A[B][C[D] 5A]B][C]D] 8 [A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 9[A[B][C[D] 双阙 ■ 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 12 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) D B A : M D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ）． A．1 B． C． D．2 2．设向量，若，则负数（   ） A． B． C． D． 3．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．一个菱形的边长为4，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 5．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 11．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为_____． 12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 13．如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 14．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 15．在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若复数满足，求的最大值. 17．（15分） 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若向量与平行，求实数的值. 18．（15分） 如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. （1）小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ （2）求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 19．（15分） 如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行. （1）求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； （2）求证：平面平面； （3）点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积. 20．（16分） 已知的内角，，的对边分别为，，.且满足. （1）求角； （2）已知的外接圆的圆心为，半径. （i）作角的平分线交于，，求的面积； （ii）若，求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D D B C B D A B B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12． 13． 14．2 15．① ② 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. （4分） （2）由（1）知，又， 则， 所以. （9分） （3）设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. （14分） 17．（15分） （1）由题意可得， 所以， 所以. （5分） （2）因为，所以， 解得. （9分） （3）因为向量与平行， 所以存在实数使得， 所以，即解得或. （15分） 18．（15分） （1）设小艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，过作的垂线，则，在中，，则. 由余弦定理，得， 即. 整理得. 当，即时，取得最小值9，即， 所以小艇至少以的速度行驶才能追上这位运动员. （7分） （2）当时， 在中，， 由余弦定理，得， 所以， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为. （15分） 19．（15分） （1）解：取的中点，连接，易知， 所以梯形为所求截面图形， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为正方体的体积为，可得，解得， 则，，， 故所求梯形面积. （5分） （2）因为为正方形，可得； 又因为平面，平面，所以； 因为，且平面，所以平面； 因为平面，所以平面平面. （9分） （3）如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 因为平面，且平面，则平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且点是侧面内的动点，则点在线段PQ上， 又因为，故当点为线段的中点时，最短， 设，在直角中，点为的外心， 连接交于点，则平面， 则四面体的外接球的球心在上， 设四面体的外接球的球心为点，则长即外接球半径r； 设，则，因为，， 在直角中，， 在直角中，， 联立方程组，，解得，， 故外接球的表面积为. （15分） 20．（16分） （1）在中，∵，∴， ∴，即， 即， ∴，即. ∵，∴.∵，∴. ∵，∴. （5分） （2）（i）由（1）知.由正弦定理可得. ∵是角的角平分线，∴. ∵，∴，∴，即. 由余弦定理可得，整理可得. 又，∴，即，∴，解得或（舍去）. ∴. （10分） （ii）由（1）知.∵点为的外接圆的圆心，∴，，. ∵，， ∴，即， 即，∴，∴， ∴. ∵，∴，∴，∴， 即的取值范围为. （16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ）． A．1 B． C． D．2 2．设向量，若，则负数（   ） A． B． C． D． 3．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．一个菱形的边长为4，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 5．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 11．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为_____． 12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 13．如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 14．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 15．在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若复数满足，求的最大值. 17．（15分） 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数的值； （3）若向量与平行，求实数的值. 18．（15分） 如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. （1）小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ （2）求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 19．（15分） 如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行. （1）求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； （2）求证：平面平面； （3）点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积. 20．（16分） 已知的内角，，的对边分别为，，.且满足. （1）求角； （2）已知的外接圆的圆心为，半径. （i）作角的平分线交于，，求的面积； （ii）若，求的取值范围. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：D 2．设向量，若，则负数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积的运算律及向量垂直的表示得，再由向量模长的坐标运算求参数值. 【详解】由题设，则， 所以，则负数. 故选：D 3．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 4．一个菱形的边长为4，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出菱形面积，根据直观图和原图面积之间的关系，即可得答案. 【详解】如图，菱形，,    则为正三角形，故, 故菱形面积为, 根据直观图面积与原图面积的关系式, 可得此菱形的直观图的面积为， 故选：C 5．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直， 即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错. 故选：B． 6．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 7．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的性质得到，，再结合圆锥的表面积公式和球的表面积公式求出表面积，结合题意建立方程，得到，最后再利用圆锥的底面积和侧面积公式求出比例关系即可. 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接，    则，可得，故， 因为，，， 所以，故， 则，可得， 由圆锥表面积公式得 ， 因为，所以， 由球的表面积公式得， 因为圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，所以， 可得， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得， 整理得，即， 化简得，解得． 得到，故A正确. 故选：A． 8．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 9．已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 【答案】 【分析】将代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案. 【详解】因是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 11．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为_____． 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，利用平方和关系求得，从而利用正弦定理可得，即可解答. 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又， 故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得， 解得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】. 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径． 【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为． 【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题. 13．如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 14．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______. 【答案】2 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求，即可求出. 【详解】，， ，即， 在上的投影向量为， 则，整理得：，化简得：， ，， 由可得， 因，则， 由 ， 令， 时，，， ，解得：. 15．在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，得，即可求解； （2）利用虚数单位的性质，即可求解； （3）设，根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. （2）由（1）知，又， 则， 所以. （3）设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. 17．（15分） 已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】（1）由向量数量积的运算结合模长的运算可得； （2）利用垂直的向量表示和数量积的运算律可得； （3）利用向量共线的条件列方程组可得. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 所以. （2）因为，所以， 解得. （3）因为向量与平行， 所以存在实数使得， 所以，即解得或. 18．（15分） 如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)构造三角形，利用余弦定理求解速度满足的一元二次函数，利用一元二次函数的最值求解出最小的速度； (2)构造三角形利用余弦定理求解角度. 【详解】（1）设小艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，过作的垂线，则，在中，，则. 由余弦定理，得， 即. 整理得. 当，即时，取得最小值9，即， 所以小艇至少以的速度行驶才能追上这位运动员. （2）当时， 在中，， 由余弦定理，得， 所以， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为. 19．（15分） 如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行. (1)求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； (2)求证：平面平面； (3)点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积. 【答案】(1)18 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得正方体的棱长，取的中点，得到梯形为所求截面图形，结合梯形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，分别证得和，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （3）分别取的中点，证得平面和平面，证得平面平面，得到点在线段PQ上，且点为线段的中点时，最短，连接交于点，得到四面体的外接球的球心在上，结合球的截面圆的形状，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：取的中点，连接，易知， 所以梯形为所求截面图形， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为正方体的体积为，可得，解得， 则，，， 故所求梯形面积. （2）因为为正方形，可得； 又因为平面，平面，所以； 因为，且平面，所以平面； 因为平面，所以平面平面. （3）如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 因为平面，且平面，则平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且点是侧面内的动点，则点在线段PQ上， 又因为，故当点为线段的中点时，最短， 设，在直角中，点为的外心， 连接交于点，则平面， 则四面体的外接球的球心在上， 设四面体的外接球的球心为点，则长即外接球半径r； 设，则，因为，， 在直角中，， 在直角中，， 联立方程组，，解得，， 故外接球的表面积为. 20．（16分） 已知的内角，，的对边分别为，，.且满足. (1)求角； (2)已知的外接圆的圆心为，半径. （i）作角的平分线交于，，求的面积； （ii）若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）在中，由三角形内角和定理及诱导公式可得，结合两角和的余弦公式整理化简可得，进而，即可求解. （2）（i）由（1）知.由正弦定理可得的值.根据角平分线的性质及三角形面积公式可得.结合余弦定理求出的值即可求解； （ii）由（1）知.由的外接圆的性质可知，，.根据向量数量积的运算可得 ，化简整理得，故，根据三角恒等变换及角的范围即可求解. 【详解】（1）在中，∵，∴， ∴，即， 即， ∴，即. ∵，∴.∵，∴. ∵，∴. （2）（i）由（1）知.由正弦定理可得. ∵是角的角平分线，∴. ∵，∴，∴，即. 由余弦定理可得，整理可得. 又，∴，即，∴，解得或（舍去）. ∴. （ii）由（1）知.∵点为的外接圆的圆心，∴，，. ∵，， ∴，即， 即，∴，∴， ∴. ∵，∴，∴，∴， 即的取值范围为. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $