第二单元 因数和倍数（期中复习讲义）基础版（导图+13个考点真题讲练+提优练 共46题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 因数和倍数【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+13个考点讲练+真题提优练 共46题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 因数和倍数的认识 考点讲练二 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练三 根据因数的特征解决问题 考点讲练四 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练五 根据倍数的特征解决问题 考点讲练六 倍数和因数的综合应用 考点讲练七 2、5的倍数特征 考点讲练八 奇数与偶数的认识 考点讲练九 3的倍数特征 考点讲练十 2、3、5的倍数特征综合 考点讲练十一 质数与合数的认识 考点讲练十二 质数与合数的综合应用 考点讲练十三 运算性质（奇数和偶数) 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 考点讲练一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔西南·期中）下面各数中，（    ）是7的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是（    ）。 A．12 B．16 C．24 D．48 考点讲练二 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广东潮州·期中）同学们报名参加跳绳比赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山西吕梁·期中）教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 考点讲练三 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广东东莞·期中）小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 考点讲练四 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数最大是（    ）。 A．6 B．12 C．36 D．72 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是( )。一个数既不是4，也不是24，但是是4的倍数，也是24的因数，这个数是( )。 考点讲练五 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 考点讲练六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【变式】（难度：☆☆☆）实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 考点讲练七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔东南·期中）从卡片2、0、5、7中任选三张，按要求组成三位数。（每种列出两个数即可。） 2的倍数：( )；3的倍数：( )；既是3的倍数又是5的倍数：( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔西南·期中） （1）找出2的倍数，把相应的星星涂色。 （2）找出3的倍数，把相应的星星圈出来。 考点讲练八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南郑州·期中）寒假里，小明和爸爸、妈妈一起去看电影《哪吒之魔童闹海》，座位号正好是三个连续的奇数，它们的和是57，这三张电影票的座位号中，最大的数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）从7，5，2，0这四张数字卡片中任选三张，按要求摆成三位数（每题写三个即可）。 (1)既是偶数又是3的倍数的有( )。 (2)既是3的倍数又是5的倍数的有( )。 考点讲练九 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期中）下面各数中，既是2的倍数，又是3和5的倍数的是（    ）。 A．12 B．20 C．30 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）按要求填空。 (1)17( )，既是2的倍数，又是5的倍数。 (2)251( )，既是3的倍数，又是2的倍数。 (3)( )，既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 考点讲练十 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·贵州六盘水·期中）教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．10 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·福建福州·期中）既是2的倍数，又是3的倍数的最大两位数是( )，能被2、3、5同时整除的最小三位数是( )。 考点讲练十一 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·广东潮州·期中）用最小的质数、最小的合数和0组成同时是2、3、5的倍数的数，其中最大的三位数是( )，最小的三位数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔西南·期中）按要求填数。 填奇数：8＝______＋______    填质数：12＝______－______ 填偶数：16＝______＋______ 考点讲练十二 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）李老师家有两个孩子，这两个孩子的年龄是两个质数，它们的和是18，积是65，这两个孩子分别是( )岁和( )岁。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 考点讲练十三 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东临沂·期中）把一根长20cm的彩带剪成两段（每段长度都是整厘米数），下面关于这两段彩带长度的叙述中，一定错误的是（    ）。 A．两段都是奇数 B．两段都是偶数 C．一段是奇数，另一段是偶数 D．一段是质数，另一段是合数 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）( )＋( )＋( )＝26，请在括号里填写三个不同的质数。不论怎么填，这三个质数中都必有一个数是2.”请解释其中的道理：( )。 1．（24-25五年级下·湖南永州·期中）下面数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．110 B．115 C．120 D．125 2．（24-25五年级下·福建福州·期中）哥德巴赫猜想的证明是数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。猜想认为：每一个大于2的偶数都可以表示为两个质数（素数）的和。下列式子中能反映这个猜想的是（    ）。 A．20＝5＋15 B．13＝2＋11 C．18＝13＋5 D．12＝1＋11 3．（24-25五年级下·贵州六盘水·期中）中国云南省昆明市被称为“春城”。因其独特的气候、丰富的历史文化和多样的旅游资源而闻名。暑假，乐乐一家从贵阳出发，乘坐高铁去昆明旅游，购票时乐乐发现开往昆明的火车车次都用奇数表示，从昆明开出的火车车次都用偶数表示。下面的车次，有（    ）个是开往昆明的。 G2865      G2801        G1422         G1236          G2128 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），下列说法正确的是（    ）。 A．a是奇数 B．b定是奇数 C．a是偶数 D．b是a的因数 5．（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）206至少加上( )是3的倍数，至少减去( )是5的倍数。 6．（24-25五年级下·湖南永州·期中）在10以内的自然数中，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 7．（24-25五年级下·广东肇庆·期中）“25”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 8．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）在1~20中，既是奇数又是合数的数有______个；既是偶数又是质数的数是______。 9．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一个数是6的倍数，这个数一定是3的倍数。( )（判断对错） 10．一个数的倍数一定比它的因数大。( )（判断对错） 11．（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数的倍数不可能是它的因数。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·河北廊坊·期中）求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 13．（24-25五年级下·河南郑州·期中）云云的妈妈在超市买了3桶同样的花生油，付款时售货员说应付257元，云云认为不对。你觉得云云的看法正确吗？说说你的理由。（每桶花生油的单价为整元数） 14．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）秦始皇陵兵马俑是享誉世界的珍贵文物，其中一号坑总计约有陶俑、陶马6000余件，是以战车和步兵组合的长方形坑。横线上的数3个3个地数，能正好数完吗？如果5个5个地数呢？ 15．（24-25五年级下·山西长治·期中）唐代诗人韦应物在《滁州西涧》中写道：“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横。”渡口是道路越过河流以船渡的方式衔接两岸交通的地点。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返。摆渡10次后，船工在南岸还是北岸？有人说，摆渡99次后船工在南岸，对吗？为什么？ 16．（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3，100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√）。 903（  ） 693（  ） 239（  ） 990（  ） (2)我发现的规律是：_______________________，这个数就是9的倍数。 17．（24-25五年级下·福建福州·期中）为了推进美丽乡村的建设，幸福村规划再建一个长方形健身场所，这个长方形健身场所的长和宽均为质数，并且周长是64米。这个长方形健身场所的面积最大是多少？ 18．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）张老师在黑板上写了一个八位数ABCDEFGH。A是10以内最大的质数，B是最小的质数，C既是奇数又是合数，D是质数中最小的奇数，E是最小的合数，F是最小的偶数，G既是2的倍数又是3的倍数，H是5的倍数。请你根据提示写出这个八位数。 19．（24-25五年级下·广西玉林·期中）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 20．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）在探究4的倍数特征时，小明同学在百格表中圈一圈，找出了4、8、12、16、20、24…他得出结论：个位是0、2、4、6、8的数都是4的倍数。小丽同学不同意小明同学的结论，她说14个位是4，但不是4的倍数。张老师让两位同学在千格表中多圈一圈4的倍数，他们发现104、108、112、116、120、124…204、208、212、216、220…都是4的倍数，所以他们猜想：只需看末尾两位数，如果它是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。张老师总结到，一个大的整数A，可以写成A＝100m＋n，m是某个整数，n是A的最后两位数字组成的数，由于100m是4的倍数，所以只需确认n，即最后两位数字组成的数是否是4的倍数。 根据以上信息，判断674259138是不是4的倍数？请写出怎么判断的？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 因数和倍数【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+13个考点讲练+真题提优练 共46题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 因数和倍数的认识 考点讲练二 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练三 根据因数的特征解决问题 考点讲练四 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练五 根据倍数的特征解决问题 考点讲练六 倍数和因数的综合应用 考点讲练七 2、5的倍数特征 考点讲练八 奇数与偶数的认识 考点讲练九 3的倍数特征 考点讲练十 2、3、5的倍数特征综合 考点讲练十一 质数与合数的认识 考点讲练十二 质数与合数的综合应用 考点讲练十三 运算性质（奇数和偶数) 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 考点讲练一 因数和倍数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔西南·期中）下面各数中，（    ）是7的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 【答案】C 【思路引导】分别计算每个数除以7的结果，能够整除的就是7的倍数。 【规范解答】A．20÷7＝2……6，不是7的倍数； B．32÷7＝4……4，不是7的倍数； C．49÷7＝7，是7的倍数； D．65÷7＝9……2， 不是7的倍数。 49是7的倍数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是（    ）。 A．12 B．16 C．24 D．48 【答案】B 【思路引导】因数：如果a×b＝c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数。倍数：如果a×b＝c（a、b、c都是非0自然数），那么c就是a和b的倍数。既有因数6，说明这个数能被6整除；又是4的倍数，说明这个数能被4整除。据此分析各选项，进而得出正确答案。 【规范解答】A．12÷6＝2，没有余数，说明12能被6整除，所以12有因数6。12÷4＝3，没有余数，说明12是4的倍数。因此12既有因数6，又是4的倍数。 B．16÷6＝2……4，有余数，说明16不能被6整除，所以16没有因数6。虽然16÷4＝4，是4的倍数，但因为不满足有因数6这一条件，所以16不符合要求。 C．24÷6＝4，没有余数，说明24能被6整除，所以24有因数6。24÷4＝6，没有余数，说明24是4的倍数。因此24既有因数6，又是4的倍数。 D．48÷6＝8，没有余数，说明48能被6整除，所以48有因数6。48÷4＝12，没有余数，说明48是4的倍数。因此48既有因数6，又是4的倍数。 一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是16。 考点讲练二 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广东潮州·期中）同学们报名参加跳绳比赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。 【答案】36 【思路引导】先计算72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。 【规范解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 4和9的倍数：36、72、144、288 符合条件的数有36和72，最小的数是36。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山西吕梁·期中）教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 【答案】 6 因数 【思路引导】①分法种数等于42在2到21之间的因数个数；列出42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，筛选出符合条件每组至少2人，最多21人，符合条件的有2、3、6、7、14、21共6个。 ②计算出每组人数：总人数÷组数＝42÷6＝7，判断7与42的关系：42能被7整除，故7是42的因数。 【规范解答】42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，符合每组至少2人，最多21人有6种。 42÷6＝7，42能被7整除，故7是42的因数。 每组至少2人，最多21人，共有6种分法，若分成6组，每组人数是42的因数。 考点讲练三 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【答案】 1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种 【思路引导】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。 【规范解答】32＝32×1＝16×2＝8×4 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广东东莞·期中）小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 【答案】3个月 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。 【规范解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48 在15到25之间的是24 （个） 答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。 考点讲练四 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数最大是（    ）。 A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【思路引导】列举出36的因数和6的倍数，找出满足题目条件的最大数。 【规范解答】因为6的倍数有6、12、18、24、30、36，…； 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数可能是：6，12，18，36，最大为36。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是( )。一个数既不是4，也不是24，但是是4的倍数，也是24的因数，这个数是( )。 【答案】 12 8或12 【思路引导】（1）根据因数和倍数的基本性质：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 （2）先列出24的所有因数，再从中找出是4的倍数的数。 【规范解答】一个数的最大因数和最小倍数都是12，因此这个数就是12。 先列出24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24 再从中找出是4的倍数的数：4、8、12、24 这个数既不是4，也不是24，因此剩下符合要求的数是8和12。 一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是12。一个数既不是4，也不是24，但是是4的倍数，也是24的因数，这个数是8或12。 考点讲练五 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·河北张家口·期中）小红的年龄是2和7的倍数，妈妈的年龄是小红年龄的倍数，也是42的因数。小红的年龄是( )，妈妈的年龄是( )。 【答案】 14 42 【思路引导】根据题意先找出42的因数，再从42的因数里面找出同时是2和7的倍数的数，小的数是小红的年龄，大的数是妈妈的年龄。 【规范解答】小红的年龄：需同时是2和7的倍数，即最小公倍数为14。 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。 其中只有14和42是14的倍数。排除不合理数据（如14岁与小红同龄），妈妈的年龄应为42岁。 因此，小红14岁，妈妈42岁。 【变式】（难度：☆☆☆☆）水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【思路引导】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【规范解答】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【考点剖析】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 考点讲练六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【规范解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 【变式】（难度：☆☆☆）实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【思路引导】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【规范解答】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【考点剖析】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 考点讲练七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔东南·期中）从卡片2、0、5、7中任选三张，按要求组成三位数。（每种列出两个数即可。） 2的倍数：( )；3的倍数：( )；既是3的倍数又是5的倍数：( )。 【答案】 250，502 570，750 720，750 【思路引导】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数；据此解答即可。 【规范解答】2的倍数：250，502；3的倍数：570，750；既是3的倍数又是5的倍数：720，750。（答案不唯一） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔西南·期中） （1）找出2的倍数，把相应的星星涂色。 （2）找出3的倍数，把相应的星星圈出来。 【答案】见详解 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除；据此可得2的倍数有：6、4、20，将这三个数对应的星星涂色；3的倍数有：6、33、15、93，将这四个数对应的星星圈出来即可。 【规范解答】（1）（2） 考点讲练八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南郑州·期中）寒假里，小明和爸爸、妈妈一起去看电影《哪吒之魔童闹海》，座位号正好是三个连续的奇数，它们的和是57，这三张电影票的座位号中，最大的数是( )。 【答案】21 【思路引导】因为三个数是连续奇数，所以可设中间的奇数为x，另外两个数分别表示为x−2和x＋2。因为三个数的和是57，所以可列出关于x的一元一次方程并求解。求出中间数后，根据最大数与中间数的关系x＋2，即可得到最大的数。 【规范解答】解：设中间的奇数为x。 x＋（x－2）＋（x＋2）＝57 3x＝57 3x÷3＝57÷3 x＝19 x＋2＝19＋2＝21 即最大的数是21。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）从7，5，2，0这四张数字卡片中任选三张，按要求摆成三位数（每题写三个即可）。 (1)既是偶数又是3的倍数的有( )。 (2)既是3的倍数又是5的倍数的有( )。 【答案】(1)720、702、270 (2)750、570、705 【思路引导】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数；能被2整除的数是偶数，据此解答即可。 【规范解答】（1）7＋5＋0＝12（是3的倍数） 7＋2＋0＝9（是3的倍数） 5＋2＋0＝7（不是3的倍数） 7＋5＋2＝14（不是3的倍数） 既是偶数又是3的倍数的有720、702、270（答案不唯一）。 （2）既是3的倍数又是5的倍数的有750、570、705（答案不唯一）。 考点讲练九 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期中）下面各数中，既是2的倍数，又是3和5的倍数的是（    ）。 A．12 B．20 C．30 【答案】C 【思路引导】2的倍数：个位是0、2、4、6、8；3的倍数：各位数字之和是3的倍数；5的倍数：个位是0或5，据此解答。 【规范解答】A．12：个位是2（是2的倍数），各位和1＋2＝3（是3的倍数），但个位不是0或5（不是5的倍数），不符合。 B．20：个位是0（是2和5的倍数），各位和2＋0＝2（不是3的倍数），不符合。 C．30：个位是0（是2和5的倍数），各位和3＋0＝3（是3的倍数），符合。 既是2的倍数，又是3和5的倍数的是30。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）按要求填空。 (1)17( )，既是2的倍数，又是5的倍数。 (2)251( )，既是3的倍数，又是2的倍数。 (3)( )，既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【答案】(1)0 (2)4 (3)105 【思路引导】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；同时是2和5的倍数的数的特征是：个位上必须是0；同时是2和3的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8，且各位上的数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的数的特征是：个位上是0或5，且各位上的数字之和是3的倍数。 【规范解答】（1）根据“同时是2和5的倍数的数，个位必须是0”的特征，可知应填0。 170，既是2的倍数，又是5的倍数。 （2）先满足2的倍数：个位只能是0、2、4、6、8； 再满足3的倍数：各位数字之和2＋5＋1＝8，8＋括号里的数需是3的倍数； 验证：8＋4＝12，12是3的倍数，所以应填4。 2514，既是3的倍数，又是2的倍数。 （3）先满足5的倍数：个位只能是0或5； 要找最小三位数，百位取1，十位取0； 验证个位为0：1＋0＋0＝1，不是3的倍数； 验证个位为5：1＋0＋5＝6，是3的倍数，所以这个数是105。 105既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 考点讲练十 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·贵州六盘水·期中）教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数，5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数，3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，既是2的倍数，又是3和5的倍数，那么个位数是0，并且各位上的数的和是3的倍数，据此解答。 【规范解答】同时是2和5的倍数，则个位上的数是0，又是3的倍数， 5＋1＋0＝6，那么百位上的数可能是0或3或6或9，6＋0＝6，6＋3＝9，6＋6＝12，6＋9＝15，6，9，12，15都是3的倍数，所以密码可能是5010，5310，5610，5910，因此最多需要输入4次。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·福建福州·期中）既是2的倍数，又是3的倍数的最大两位数是( )，能被2、3、5同时整除的最小三位数是( )。 【答案】 96 120 【思路引导】既是2的倍数，又是3的倍数的特征：是偶数，并且各数位上的数字之和是3的倍数； 能同时被2、3、5整除的数的特征：个位上的数字是0；各数位上的数字之和是3的倍数。据此解答。 【规范解答】通过分析可得： 既是2的倍数，又是3的倍数的最大两位数十位是9，个位是6，所以是96； 能被2、3、5同时整除的最小三位数百位上是1，个位上是0，这时十位上最小是2，是120。 考点讲练十一 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·广东潮州·期中）用最小的质数、最小的合数和0组成同时是2、3、5的倍数的数，其中最大的三位数是( )，最小的三位数是( )。 【答案】 420 240 【思路引导】最小的质数是2；最小的合数是4；同时是2、3、5的倍数的特征：个位为0且各位数字之和是3的倍数。最大三位数：个位数字是0，百位数字＞十位数字；最小三位数：个位数字是0，百位数字＜十位数字。 【规范解答】最小的质数是2；最小的合数是4。 用2、4、0三个数字组成同时是2、3、5的倍数的最大三位数是420；最小三位数是240。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·贵州黔西南·期中）按要求填数。 填奇数：8＝______＋______    填质数：12＝______－______ 填偶数：16＝______＋______ 【答案】 1 7 19 7 2 14 【思路引导】根据质数、奇数与偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。据此解答。 【规范解答】（1）1和7是奇数，所以8＝1＋7；（答案不唯一） （2）19和7是质数，所以12＝19－7；（答案不唯一） （3）2和14是偶数，所以16＝2＋14；（答案不唯一） 考点讲练十二 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）李老师家有两个孩子，这两个孩子的年龄是两个质数，它们的和是18，积是65，这两个孩子分别是( )岁和( )岁。 【答案】 5 13 【思路引导】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，由于积是65，说明这两个质数是65的因数，找出65的因数，并且和是18的即可。 【规范解答】65＝1×65＝5×13 5＋13＝18 这两个孩子分别是5岁和13岁。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【思路引导】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【规范解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 考点讲练十三 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东临沂·期中）把一根长20cm的彩带剪成两段（每段长度都是整厘米数），下面关于这两段彩带长度的叙述中，一定错误的是（    ）。 A．两段都是奇数 B．两段都是偶数 C．一段是奇数，另一段是偶数 D．一段是质数，另一段是合数 【答案】C 【思路引导】根据奇数与偶数的加法性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，结合彩带总长20cm是偶数，即可解答。 【规范解答】一段奇数加一段偶数的和一定是奇数，不可能等于20，则一定错误的是“一段是奇数，另一段是偶数”。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）( )＋( )＋( )＝26，请在括号里填写三个不同的质数。不论怎么填，这三个质数中都必有一个数是2.”请解释其中的道理：( )。 【答案】 2 7 17 见详解 【思路引导】首先需要列出所有小于26的质数，三个质数中都必有一个数是2，我们将尝试2加哪两个质数，使得这三个质数的和等于26。尝试所有可能的组合。 26是一个偶数，如果三个数都是大于2的质数（即都是奇数），那么它们的和将是奇数，这与题目要求的偶数矛盾。因此，为了满足和为偶数的条件，这三个数中必须有一个是2，说清道理即可。 【规范解答】小于26的质数有：2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23。 满足题目要求的组合有： 2 ＋ 5 ＋ 19 ＝ 26 2 ＋ 7 ＋ 17 ＝ 26 2 ＋ 11 ＋ 13 ＝ 26 任选一组：2 ＋ 7 ＋ 17 ＝ 26（答案不唯一） 不论怎么填，这三个质数中都必有一个数是2.”请解释其中的道理： 三个质数相加和为26，这是一个偶数，奇数加奇数的结果是偶数，偶数加偶数的结果是偶数。因此这三个数中必须至少有一个是偶数。而唯一既是偶数又是质数的数是2，所以这三个数中必有一个是2。（答案不唯一） 1．（24-25五年级下·湖南永州·期中）下面数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】C 【思路引导】2的倍数：个位是0、2、4、6、8；5的倍数：个位是0或5；3的倍数：各位数字之和是3的倍数。同时满足这三个特征的数，才同时含有2、3、5的因数。 【规范解答】A．110：个位是0，满足2和5的倍数特征；各位数字和为 1＋1＋0＝2，2不是3的倍数，因此110不含因数3，不符合要求。 B．115：个位是5，满足5的倍数特征，但不满足2的倍数特征（个位不是偶数），因此115不含因数2，不符合要求。 C．120：个位是0，满足2和5的倍数特征；各位数字和为 1＋2＋0＝3，3是3的倍数，满足3的倍数特征，因此120同时含有2、3、5的因数，符合要求。 D．125：个位是5，满足5的倍数特征，但不满足2的倍数特征，因此125不含因数2，不符合要求。 120同时含有2、3、5的因数。 2．（24-25五年级下·福建福州·期中）哥德巴赫猜想的证明是数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。猜想认为：每一个大于2的偶数都可以表示为两个质数（素数）的和。下列式子中能反映这个猜想的是（    ）。 A．20＝5＋15 B．13＝2＋11 C．18＝13＋5 D．12＝1＋11 【答案】C 【思路引导】每一个大于2的偶数都可以表示为两个质数（素数）的和，一要看这个数是否是大于2的偶数，二要看写成的两个数是否是质数。据此逐一分析各项即可。 【规范解答】A．20＝5＋15，20是大于2的偶数，5是质数，但15不是质数是合数，所以不符合题意； B．13＝2＋11，13是奇数，不是偶数，不符合题意； C．18＝13＋5，18是大于2的偶数，13和5是质数，符合题意； D．12＝1＋11，12是大于2的偶数，但是1既不是质数，也不是合数，不符合题意。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·贵州六盘水·期中）中国云南省昆明市被称为“春城”。因其独特的气候、丰富的历史文化和多样的旅游资源而闻名。暑假，乐乐一家从贵阳出发，乘坐高铁去昆明旅游，购票时乐乐发现开往昆明的火车车次都用奇数表示，从昆明开出的火车车次都用偶数表示。下面的车次，有（    ）个是开往昆明的。 G2865      G2801        G1422         G1236          G2128 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；个位是0，2，4，6，8的数是偶数，个位是1，3，5，7，9的数是奇数，据此可以判断。 【规范解答】奇数有2865，2801，因此有G2865和G2801两个是开往昆明的。 4．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），下列说法正确的是（    ）。 A．a是奇数 B．b定是奇数 C．a是偶数 D．b是a的因数 【答案】A 【思路引导】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数；偶数＋奇数＝奇数，据此解答。 【规范解答】a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），由此可知，a＝2b＋41；2b是偶数，41是奇数，偶数＋奇数＝奇数，a一定是奇数，所以说法正确的是a是奇数。 5．（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）206至少加上( )是3的倍数，至少减去( )是5的倍数。 【答案】 1 1 【思路引导】3的倍数特征：一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【规范解答】2＋0＋6＝8，8＋1＝9，9是3的倍数，所以206至少加上1是3的倍数； 206的个位是6，6－1＝5，205是5的倍数，所以206至少减去1是5的倍数。 6．（24-25五年级下·湖南永州·期中）在10以内的自然数中，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 【答案】 2 4 【思路引导】自然数中，除了1和它本身以外，不含其他因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其他因数的数是合数；据此解答即可。 【规范解答】在10以内的自然数中，最小的质数是，最小的合数是。 7．（24-25五年级下·广东肇庆·期中）“25”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【答案】 0 5 【思路引导】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】 既是2的倍数又是5的倍数的数的个位数字一定是0，“25”是一个三位数，当里填0时，它既是2的倍数，又是5的倍数；2＋5＋0＝7、2＋5＋5＝12，当里填5时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 8．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）在1~20中，既是奇数又是合数的数有______个；既是偶数又是质数的数是______。 【答案】 2 2 【思路引导】奇数：不能被2整除的整数，即个位上是1、3、5、7、9的整数。偶数：能被2整除的整数，即个位上是0、2、4、6、8的整数。质数：只有1和它本身两个因数的自然数。合数：除了1和它本身还有其他因数的自然数。1既不是质数也不是合数。 【规范解答】写出1~20的奇数： 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 其中1既不是质数，也不是合数；3是质数；5是质数；7是质数；9是合数；11是质数；13是质数；15是合数；17是质数；19是质数。 所以1~20的奇数中合数是9和15，共2个。 写出1~20的偶数： 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20 其中2是质数；4是合数；6是合数；8是合数；10是合数；12是合数；14是合数；16是合数；18是合数；20是合数。 所以1~20的偶数中质数是2。 在1~20中，既是奇数又是合数的数有2个；既是偶数又是质数的数是2。 9．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一个数是6的倍数，这个数一定是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】先明确6的因数包含3，一个数是6的倍数，说明这个数能被6整除，而6能被3整除，因此这个数也能被3整除，据此判断对错。 【规范解答】因为6＝2×3，所以6的因数包含3，一个数是6的倍数，说明这个数可以写成6×n（n为非0自然数）的形式，代入可得这个数＝3×（2×n），因此这个数一定能被3整除，也就是3的倍数。 故答案为：√ 10．一个数的倍数一定比它的因数大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。由此可知，一个数的倍数可能等于它的因数，不一定比因数大。 【规范解答】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。所以一个数的倍数不一定比它的因数大。 故答案为：× 11．（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数的倍数不可能是它的因数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】一个数的最大因数是它本身，最小的倍数是它本身，据此举例说明即可。 【规范解答】15是15的倍数，也是15的因数，一个数的倍数可能是它的因数，所以原题说法错误。 故答案为：× 12．（24-25五年级下·河北廊坊·期中）求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 【答案】（1）8；96；（2）5；75；（3）10；120 【思路引导】两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公因数就叫做这几个整数的最大公因数。两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。用枚举法分别写出每组数中每个数的因数与倍数，从而找到每组数的最大公因数和最小公倍数。 【规范解答】（1）24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 32的因数有1，2，4，8，16，32。 24和32的最大公因数是8。 24的倍数有24，48，72，96，120…。 32的倍数有32，64，96，128，160…。 24和32的最小公倍数是96。 （2）15的因数有1，3，5，15。 25的因数有1，5，25。 15和25的最大公因数是5。 15的倍数有15，30，45，60，75…。 25的倍数有25，50，75，100，125…。 15和25的最小公倍数是75。 （3）30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。 40的因数有1，2，4，5，8，10，20，40。 30和40的最大公因数是10。 30的倍数有30，60，90，120，150…。 40的倍数有40，80，120，160，200…。 30和40的最小公倍数是120。 13．（24-25五年级下·河南郑州·期中）云云的妈妈在超市买了3桶同样的花生油，付款时售货员说应付257元，云云认为不对。你觉得云云的看法正确吗？说说你的理由。（每桶花生油的单价为整元数） 【答案】正确；理由见详解 【思路引导】单价×数量＝总价。3桶油的价钱应该是3的倍数，3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】花生油单价×3桶＝应付钱数 2＋5＋7＝14 257不是3的倍数。 答：云云的看法正确。因为每桶花生油的单价为整元数，3桶同样的花生油的价钱应该是3的倍数，257不是3的倍数，付257元不对。 14．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）秦始皇陵兵马俑是享誉世界的珍贵文物，其中一号坑总计约有陶俑、陶马6000余件，是以战车和步兵组合的长方形坑。横线上的数3个3个地数，能正好数完吗？如果5个5个地数呢？ 【答案】3个3个地数能正好数完，5个5个地数也能正好数完。 【思路引导】如果一个数各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，所以先计算6000各位数字之和，再判断是否为3的倍数。 如果一个数的个位是0或5，那么这个数就是5的倍数，所以观察6000的个位数字，判断是否符合5的倍数特征。 若6000是3的倍数，则3个3个地数能正好数完；若6000是5的倍数，则5个5个地数能正好数完。 【规范解答】6＋0＋0＋0＝6，6000的各数位上的数字之和6是3的倍数，即6000是3的倍数； 6000的个位为0，即6000是5的倍数； 答：3个3个地数能正好数完，5个5个地数也能正好数完。 15．（24-25五年级下·山西长治·期中）唐代诗人韦应物在《滁州西涧》中写道：“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横。”渡口是道路越过河流以船渡的方式衔接两岸交通的地点。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返。摆渡10次后，船工在南岸还是北岸？有人说，摆渡99次后船工在南岸，对吗？为什么？ 【答案】见详解 【思路引导】每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，摆渡1次在北岸，摆渡2次在南岸，即摆渡次数为奇数时在北岸，摆渡次数为偶数时在南岸，据此解答。 【规范解答】船工在南岸。 不对，因为摆渡1次后在北岸，摆渡2次后在南岸，摆渡3次后在北岸，摆渡4次后在南岸……即摆渡奇数次后在北岸，摆渡偶数次后在南岸，99是奇数，因此摆渡99次后船工在北岸。 16．（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3，100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√）。 903（  ） 693（  ） 239（  ） 990（  ） (2)我发现的规律是：_______________________，这个数就是9的倍数。 【答案】(1)693（√）；990（√） (2)各个数位上的数字和能被9整除 【思路引导】（1）分别用各数除以9，能整除的，就是9的倍数。 （2）根据数的意义，把9的倍数的数改写成几个百、几个十、几个一组成，再根据乘法分配律改写成与9的倍数相关的式子，据此找出9的倍数特征。 【规范解答】（1）903÷9＝100……3，不能整除，所以903不是9的倍数； 693÷9＝77，能整除，所以693是9的倍数； 239÷9＝26……5，不能整除，所以239不是9的倍数； 990÷9＝110，能整除，所以990是9的倍数； 903（  ） 693（√） 239（  ） 990（√） （2）693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需要看“6＋9＋3”，也就是693“各个数位上的数字和”是否为9的倍数；6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。 我发现的规律是：各个数位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 17．（24-25五年级下·福建福州·期中）为了推进美丽乡村的建设，幸福村规划再建一个长方形健身场所，这个长方形健身场所的长和宽均为质数，并且周长是64米。这个长方形健身场所的面积最大是多少？ 【答案】247平方米 【思路引导】先根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出长与宽的和。然后根据质数的定义，找出和为该值的两个质数有哪些组合。接着根据长方形面积＝长×宽，分别求出每种组合下的长方形面积。最后比较面积大小，求出最大值。 【规范解答】长与宽的和：64÷2＝32（米） 32以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31。 3＋29＝32（3和29均为质数） 13＋19＝32（13 和 19 均为质数） 3×29＝87（平方米） 13×19＝247（平方米） 247＞87 答：这个长方形健身场所的面积最大是247平方米。 18．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）张老师在黑板上写了一个八位数ABCDEFGH。A是10以内最大的质数，B是最小的质数，C既是奇数又是合数，D是质数中最小的奇数，E是最小的合数，F是最小的偶数，G既是2的倍数又是3的倍数，H是5的倍数。请你根据提示写出这个八位数。 【答案】72934065 【思路引导】A、10以内最大的质数7 ； B、最小的质数2； C、既是奇数又是合数的一位数中，只有9； D、质数中最小的奇数3； E、最小的合数是4； F、最小的偶数0； G、既是2的倍数又是3的倍数，即6的倍数，一位数为6； H、5的倍数，一位数为0或5，但F是0，则H是5。 【规范解答】根据分析得出：这个八位数是72934065。 19．（24-25五年级下·广西玉林·期中）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 【答案】五（1）班：39人；五（2）班：36人；五（3）班：33人 【思路引导】3的倍数的特征：所有数位上的数字之和能被3整除的数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此先找出30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数；再把这些数比较大小，其中最小的数就是五（3）班的人数；偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数，据此找出其中的奇数和偶数并确定五（1）班和五（2）班的人数。 【规范解答】30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数：33，36，39； 其中33和39是奇数，36是偶数， 且39＞36＞33。 答：五（1）班有39人，五（2）班有36人，五（3）班有33人。 20．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）在探究4的倍数特征时，小明同学在百格表中圈一圈，找出了4、8、12、16、20、24…他得出结论：个位是0、2、4、6、8的数都是4的倍数。小丽同学不同意小明同学的结论，她说14个位是4，但不是4的倍数。张老师让两位同学在千格表中多圈一圈4的倍数，他们发现104、108、112、116、120、124…204、208、212、216、220…都是4的倍数，所以他们猜想：只需看末尾两位数，如果它是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。张老师总结到，一个大的整数A，可以写成A＝100m＋n，m是某个整数，n是A的最后两位数字组成的数，由于100m是4的倍数，所以只需确认n，即最后两位数字组成的数是否是4的倍数。 根据以上信息，判断674259138是不是4的倍数？请写出怎么判断的？ 【答案】不是；判断方法见详解 【思路引导】依据4的倍数特征来解答，一个数是否为4的倍数，只需看其最后两位数字组成的数是否为4的倍数，通过对给定数取最后两位并判断来求解。 674259138最后两位数字组成的数是38。计算38÷4＝9……2，结果不是整数，说明38不是4的倍数。 【规范解答】674259138最后两位数字组成的数是38。 38÷4＝9……2 答：674259138不是4的倍数。看该数最后两位组成的38是否为4的倍数，因38不是4的倍数，所以674259138不是4的倍数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $