第三单元 长方体和正方体（单元复习课件）-2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点举一反三讲义

第三单元 长方体和正方体 人教版五年级下册单元复习举一反三培优讲练 目录 CONTENTS 01 知识点梳理 02 重点难点考点讲练 03 真题实战演练 04 难度分层训练 知识点梳理 PART 01 知识点一 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点二 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 体积公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点三 长方体的体积 体积公式 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 区分相关概念 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点四 正方体的体积 重点难点考点讲练 PART 02 典例精讲 （24-25五年级下·贵州黔南·期末）如图，将这个展开图围成正方体后，与“树”字相对的是（ ）字。 高频考点一：正方体的展开图 A．黄 B．布 C．瀑 D．大 【解答】根据正方体展开图的规律可知：将这个展开图围成正方体后，与“树”字相对的是布。 故答案为：B 变式训练 （24-25五年级下·广西柳州·期末）小亮画正方体的展开图（如图）。请把漏画的一个面补充完整，使得这个展开图折叠后能围成一个正方体。 高频考点一：正方体的展开图 【解答】如图： 典例精讲 （24-25五年级下·河南焦作·期中）万老师用铁皮制作一个环保回收箱（无盖），他已经画出其中的两个面，如图。（每个小方格的边长表示1dm） (1)回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是( )dm、( )dm、( )dm。 (2)要保证制作回收箱所用的铁皮最少，请你在方格纸上画出回收箱的其他三个面。 (3)做这样一个回收箱至少需要铁皮多少平方分米？ 高频考点二：长方体表面积的应用 典例精讲 【解答】（1）回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是6dm、4dm、4dm。 （2）画图如下： （3）6×4＋（6×4＋4×4）×2 ＝24＋（24＋16）×2 ＝24＋40×2 ＝24＋80 ＝104（dm2） 高频考点二：长方体表面积的应用 变式训练 （24-25五年级下·河南三门峡·期末）为争创“五星”村部，河堤村决定重新粉刷会议室。会议室长8米，宽6米，高3米，门窗面积9.5平方米。 (1)算式“8×6”所解决的问题是( )。 (2)如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要涂料多少千克？ 【解答】（1）算式“8×6”所解决的问题是会议室地面（或天花板）的面积是多少平方米？ （2）8×6＋8×3×2＋6×3×2－9.5 ＝48＋24×2＋18×2－9.5 ＝48＋48＋36－9.5 ＝96＋36－9.5 ＝132－9.5 ＝122.5（平方米） 0.5×122.5＝61.25（千克） 答：一共需要涂料61.25千克。 高频考点二：长方体表面积的应用 典例精讲 （24-25五年级下·广东汕头·期末）张老师做一个棱长是80厘米的正方体无盖鱼缸，每平方米的费用是160元，一共需要付多少元？ 【解答】80×80×5＝32000（平方厘米） 1平方米＝10000平方厘米 32000÷10000＝3.2（平方米） 160×3.2＝512（元） 答：一共需要付512元。 高频考点三：正方体表面积的应用 变式训练 （24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）涛涛和爸爸一起用36分米长的铁丝做了一个正方体孔明灯框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，这个孔明灯至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？ 【解答】36÷12＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：这个孔明灯至少需要45平方分米的安全阻燃纸。 高频考点三：正方体表面积的应用 典例精讲 （24-25五年级下·浙江温州·期中）把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 高频考点四：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【解答】（1）1.2米＝12分米 12÷3＝4（分米） 原来的长方体木料的宽是4分米，高是4分米。 （2）（3－1）×2×（4×4） ＝2×2×16 ＝4×16 ＝64（平方分米） 变式训练 （24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 高频考点四：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【解答】 （平方厘米） 答：变成正方体后表面积增加了96平方厘米。 典例精讲 （24-25五年级下·河南南阳·期中）如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 高频考点五：表面涂色的正方体 【解答】（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（块） （3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝1×6 ＝6（块） 因此，三面涂色的小正方体有8块，两面涂色小正方体有12块，一面涂色小正方体有6块。 变式训练 （24-25五年级下·河南商丘·期中）一些棱长是2分米的小正方体堆放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面的面积是( )平方分米。 高频考点五：表面涂色的正方体 【解答】数露在外面的面：正面有5个，上面有5个，侧面有4个，总共5＋5＋4＝14（个）。 单个面面积：2×2＝4（平方分米） 总面积：14×4＝56（平方分米） 有14个面露在外面，露在外面的面的面积是56平方分米。 典例精讲 （24-25五年级下·重庆江北·期中）一个长方体无盖玻璃鱼缸，长5.2分米、宽3分米、高4分米。 (1)为了加固鱼缸，在它的面与面之间的棱上涂玻璃胶，涂玻璃胶的长度是多少分米？ (2)做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？ (3)鱼缸里有高度为3.5分米的水，此时放入一块长3.4分米、宽2分米、高是1.5分米的铁块，水会不会溢出来？如果没有溢出，鱼缸空的部分的体积是多少立方分米？如果溢出，溢出部分水的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 高频考点六：长方体的体积 典例精讲 【规范解答】（1）5.2×2＋3×2＋4×4 ＝10.4＋6＋16 ＝32.4（分米） 答：涂玻璃胶的长度是32.4分米。 （2）5.2×3＋（5.2×4＋3×4）×2 ＝15.6＋（20.8＋12）×2 ＝15.6＋32.8×2 ＝15.6＋65.6 ＝81.2（平方分米） 81.2平方分米＝0.812平方米 答：做这个鱼缸要用0.812平方米的玻璃。 高频考点六：长方体的体积 （3）水的体积：5.2×3×3.5＝54.6（立方分米） 铁块体积：3.4×2×1.5＝10.2（立方分米） 水和铁块总体积：54.6＋10.2＝64.8（立方分米） 鱼缸总容积：5.2×3×4＝62.4（立方分米） 64.8＞62.4，所以水会溢出。 溢出体积：64.8－62.4＝2.4（立方分米） 答：水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米。 典例精讲 【规范解答】（1）5.2×2＋3×2＋4×4 ＝10.4＋6＋16 ＝32.4（分米） 答：涂玻璃胶的长度是32.4分米。 （2）5.2×3＋（5.2×4＋3×4）×2 ＝15.6＋（20.8＋12）×2 ＝15.6＋32.8×2 ＝15.6＋65.6 ＝81.2（平方分米） 81.2平方分米＝0.812平方米 答：做这个鱼缸要用0.812平方米的玻璃。 高频考点六：长方体的体积 （3）水的体积：5.2×3×3.5＝54.6（立方分米） 铁块体积：3.4×2×1.5＝10.2（立方分米） 水和铁块总体积：54.6＋10.2＝64.8（立方分米） 鱼缸总容积：5.2×3×4＝62.4（立方分米） 64.8＞62.4，所以水会溢出。 溢出体积：64.8－62.4＝2.4（立方分米） 答：水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米。 典例精讲 （24-25五年级下·河南三门峡·期末）计算下面图形的表面积和体积。 高频考点七：正方体的体积 【解答】长方体表面积：（7×3＋7×4＋3×4）×2 ＝（21＋28＋12）×2 ＝（49＋12）×2 ＝61×2 ＝122（cm2） 体积：7×3×4 ＝21×4 ＝84（cm3） 正方体表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm2） 体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 典例精讲 （24-25五年级下·云南玉溪·期末）一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 高频考点八：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【解答】20×16×7 ＝320×7 ＝2240（立方厘米） 0.16立方分米＝160立方厘米 （160＋2240）÷（10×16） ＝2400÷160 ＝15（厘米） 答：此时水面的高度是15厘米。 典例精讲 （24-25五年级下·江西宜春·期末）为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，县二小开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。乐乐参加这次活动时，将3个横截面的面积是9.6平方厘米，长是4厘米长方条橡皮泥改捏成一个长8厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）乐乐的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面（不含底面）涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 高频考点九：体积的等积变形（长方体、正方体) 【解答】（1）9.6×4×3＝115.2（立方厘米） 115.2÷8÷4＝3.6（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是3.6厘米。 （2）8×4＋8×3.6×2＋4×3.6×2 ＝32＋57.6＋28.8 ＝118.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是118.4平方厘米。 变式训练 （24-25五年级下·山东菏泽·期中）把一个棱长是0.8米的正方体的钢块，铸造成一个长0.5米，宽0.4米的长方体钢柱，这个长方体钢柱高是多少米？（要求：方程法解答） 【解答】解：设这个长方体钢柱高是x米。 0.5×0.4×x＝0.8×0.8×0.8 0.2x＝0.512 0.2x÷0.2＝0.512÷0.2 x＝2.56 答：这个长方体钢柱高是2.56米。 高频考点九：体积的等积变形（长方体、正方体) 典例精讲 （24-25五年级下·北京海淀·期末）用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 高频考点十：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【解答】12＝3×2×2 长方体的长、宽、高可以是3、2、2。 把最顶层的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面。至少需要移动3个小正方体。 故答案为：B 变式训练 （24-25五年级下·重庆南川·期末）聪聪把一根长4米的长方体木料沿横截面锯成3段，表面积增加了12平方分米，那么这根木料原来的体积是( )立方分米。 【解答】4米＝40分米 12÷（2×2） ＝12÷4 ＝3（平方分米） 3×40＝120（立方分米） 所以这根木料原来的体积是120立方分米。 高频考点十：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 典例精讲 （24-25五年级下·河南南阳·期中）计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 高频考点十一：组合体的体积（长方体、正方体） 【解答】（6×3＋6×4＋3×4）×2－2×2×2＋3×2×2 ＝（18＋24＋12）×2－8＋12 ＝54×2－8＋12 ＝108－8＋12 ＝112（dm2） 6×3×4－2×3×2 ＝72－12 ＝60（dm3） 这个图形的表面积是112dm2，体积是60dm3。 变式训练 （24-25五年级下·广西百色·期末）有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 高频考点十一：组合体的体积（长方体、正方体） 【解答】6×62 ＝6×36 ＝216（dm2） 6×6×6－2×2×3 ＝216－12 ＝204（dm3） 该图形的表面积是216dm2，体积是204dm3。 典例精讲 （24-25五年级下·新疆·期中）一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 高频考点十二：长方体、正方体的容积 【解答】30×20－5×5×4 ＝600－25×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） （30－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（30－10）×（20－10）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个纸盒所用的纸板是500平方厘米，纸盒的容积是1000立方厘米。 变式训练 （2025五年级下·浙江杭州·专题练习）一个无盖的长方体玻璃缸，底面长8分米，宽4分米，高6分米。制作这个玻璃缸需要玻璃的面积是( )平方分米，这个玻璃缸的容积是( )升。（玻璃的厚度不计） 【解答】8×4＋（8×6＋4×6）×2 ＝32＋（48＋24）×2 ＝32＋72×2 ＝32＋144 ＝176（平方分米） 8×4×6 ＝32×6 ＝192（立方分米） 192立方分米＝192升 所以。制作这个玻璃缸需要玻璃的面积是176平方分米，这个玻璃缸的容积是192升。 高频考点十二：长方体、正方体的容积 典例精讲 （24-25五年级下·浙江温州·期中）在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 高频考点十三：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【解答】15－3＝12（厘米） 10×10×（12－10＋3） ＝10×10×（2＋3） ＝10×10×5 ＝100×5 ＝500（立方厘米） 变式训练 （24-25五年级下·全国·课后作业）杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 高频考点十三：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【解答】 （立方厘米） （分） 答：至少需要6.45分钟才能将这块假山石淹没。 真题实战演练 PART 03 演练1 （2025·四川绵阳·小升初真题）将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【解答】5×5×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 即将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加50平方厘米。 真题演练 演练2 （2025·四川绵阳·小升初真题）将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为( )平方厘米。 真题演练 【解答】第一个：54÷6＝9，因为9＝3×3，所以棱长为3厘米； 第二个：96÷6＝16，因为16＝4×4，所以棱长为4厘米； 第三个：150÷6＝25，因为25＝5×5，所以棱长为5厘米。 第一个体积：3×3×3＝27（立方厘米）； 第二个体积：4×4×4＝64（立方厘米）； 第三个体积：5×5×5＝125（立方厘米）； 演练2 真题演练 大正方体的体积： 27＋64＋125 ＝91＋125 ＝216（立方厘米） 因为216＝6×6×6，所以大正方体的棱长为6厘米。 大正方体的表面积： （6×6）×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 因此，将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为216平方厘米。 演练3 真题演练 （2025·四川绵阳·小升初真题）两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【解答】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） ＝0.0304平方米 答：拼成后的长方体表面积是0.0304平方米。 难度分层训练 PART 04 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级下·江西赣州·期中）用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高（    ）米的长方体教具。 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】52÷4－6－4 ＝13－6－4 ＝7－4 ＝3（米） 用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高3米的长方体教具。 基础夯实 能力提升 2．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一个长方体（非正方体）的宽和高都是7.5厘米，它的6个面中有( )个面是正方形。 【解答】由于长方体的宽和高都是7.5厘米，且长方体是非正方体，即长不等于7.5厘米，长方体的面分为三组：前后面（由长和高组成）、左右面（由宽和高组成）、上下面（由长和宽组成）。左右面中宽和高相等，都是7.5厘米，所以左右面是正方形；而其他面由长与宽或长与高组成，这些面都是长方形。所以，只有2个面是正方形。 基础夯实 能力提升 3．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一间长方体仓库，长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米（如图）。给仓库四面墙和地面涂上防潮漆，每平方米用漆0.8千克，至少需要买多少千克防潮漆？ 【解答】8×6＋（8×4＋6×4）×2－2×2 ＝48＋（32＋24）×2－4 ＝48＋56×2－4 ＝48＋112－4 ＝160－4 ＝156（平方米） 156×0.8＝124.8（千克） 答：至少需要买124.8千克防潮漆。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·河南焦作·期中）在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（    ）cm2的玻璃。 A．126 B．111 C．96 D．84 【解答】6×5＋6×3×2＋5×3×2 ＝30＋36＋30 ＝66＋30 ＝96（） 制作这个玻璃鱼缸至少需要96的玻璃。 创新拓展 拔尖冲刺 2．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个长方体的装水容器，长8分米，宽5分米，把一石块完全放入水中后水面从原来的6分米上升为10.5分米，石块的体积是( )立方分米。 【解答】8×5×（10.5－6） ＝8×5×4.5 ＝40×4.5 ＝180（立方分米） 创新拓展 拔尖冲刺 3．（24-25五年级下·江西赣州·期中）“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 创新拓展 拔尖冲刺 【解答】（1）（50＋25）×2 ＝75×2 ＝150（米） 答：一共要走150米。 （2）50×25＋（50×2.5＋25×2.5）×2 ＝1250＋（125＋62.5）×2 ＝1250＋187.5×2 ＝1250＋375 ＝1625（平方米） 答：铺瓷砖的面积是1625平方米。 谢谢大家 $