第三单元长方体和正方体·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

五下第三单元 长方体和正方体 1.长方体和正方体的认识 2.长方体和正方体的表面积 3.长方体和正方体体积 棱长之和 A.长方体：4x（长+宽+高） B.正方体：12x棱长 长方体的侧面展开图 （1）长方体 （2）正方体 （长x宽+长x高+宽x高）x2 6x棱长x棱长 2x（ab+ah+bh） （1）体积含义：物体所占的空间大小 （2）体积单位：立方厘米，立方分米，立方米 （3）体积计算公式 A.长方体 B.正方体 长x宽x高 棱长x棱长x棱长 abh 4.容积和容积单位 5.求不规则物体的体积 （1）含义：容器所能容纳物体的体积 （2）容积单位：升L,毫升ml （3）进率：1L=1000ml 1L=1立方分米 1ml=1立方厘米 底面积x高 底面积x高 （1）等积变形法 （2）排水法 把不规则的物体转变成规则的 计算排水的体积 第 1 页 共 29 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 29 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 第 3 页 共 29 页 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； 第 4 页 共 29 页 （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 第 5 页 共 29 页 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 第 6 页 共 29 页 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 第 7 页 共 29 页 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 第 8 页 共 29 页 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 第 9 页 共 29 页 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一：体积和容积的认识。 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、 立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、 毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 第 10 页 共 29 页 知识点十二：体积和容积的单位。 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的 卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微 波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡 皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车 油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装 酸奶（100mL）、口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立 方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 第 11 页 共 29 页 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三：长方体的体积。 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四：正方体的体积。 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a 相 乘。 知识点十五：长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系。 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大 到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面 第 12 页 共 29 页 面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体 积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六：剪角折叠求体积问题。 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积 公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七：等积变形问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八：排水法求不规则物体体积。 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 第 13 页 共 29 页 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八：不规则及组合立体图形的表面积和体积。 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些 面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各 部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 第 14 页 共 29 页 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【高频考题 02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】 15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要 100厘米的彩带。 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 少米包装袋？ 【答案】 40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 第 15 页 共 29 页 答：捆扎这个物体一共需要 3.5米包装带。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】 （5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是 4.2米。 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】 0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做 30节这样的排水管至少需要 45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】 3×3×5 ＝9×5 第 16 页 共 29 页 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要 45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】 （5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要 2100元。 【高频考题 04】长方体和正方体的体积（容积）与生活实际应用。 1．一辆汽车，油箱长 5dm、宽 4dm、高 3dm。如果每升汽油可行驶 10千米，这 一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 【答案】 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×10＝600（千米） 答：这一箱汽油可使汽车行驶 600千米。 2．修路工人把 10.5立方米的沙子铺在一段长 25米、宽 3米的路上，可以铺多 厚？（用方程解） 【答案】 解：设可以铺 x米。 3×25x＝10.5 75x＝10.5 75x÷75＝10.5÷75 x＝0.14 第 17 页 共 29 页 答：可以铺 0.14米厚。 3．一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克， 这块石料的质量是多少千克？ 【答案】 6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是 583.2千克。 【高频考题 05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是 50( ) 一瓶墨水约 60( ) 一块橡皮的体积约是 6( ) 小轿车油箱的容积约 45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约 500( ) 一间教室的空间约 200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2 409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3 0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 第 18 页 共 29 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】切拼问题。 1．把一块长 120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表 面积增加了 0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【答案】 0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是 48立方分米。 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了 4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是 20厘米、 15厘米 6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘 米的包装纸？（接口处不计） 【答案】 把这四个长方体盒子的 20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的 20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至 少需要 2280平方厘米的包装纸。 3．一个正方体的高增加 2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面 积增加了 56平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】 56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 第 19 页 共 29 页 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是 343立方厘米。 【高频考题 02】剪角折叠求体积问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是 3厘米的正方形后， 做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】 （16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是 300立方厘米。 2．一块长 40cm、宽 30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为 5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？ （厚度忽略不计） 【答案】 40-5×2=30（cm） 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【高频考题 03】等积变形问题。 1．把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的 第 20 页 共 29 页 长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】 4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是 50厘米。 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下 放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】 35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是 14厘米。 【高频考题 04】排水法求不规则物体的体积。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长 5分米、宽 4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完 全沉入水中后，观察到水面上升了 1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】 5分米＝50厘米 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是 2000立方厘米。 第 21 页 共 29 页 2．一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8分米。如 果投入一块棱长为 4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】 4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出 6.4升。 【高频考题 05】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】 12 8 4  （厘米） 表面积：  20 20 20 12 20 12 2 6 4 2         1760 48  1712 （平方厘米） 体积： 20 20 12 20 6 4     4800 480  4320 （立方厘米） 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 第 22 页 共 29 页 【答案】 图形体积为： 10 10 10 5 5 5     1000 125  875 （立方厘米） 图形表面积为： 10 10 6 5 5 4     600 100  700 （平方厘米） 第 23 页 共 29 页 一、填空题。 1．（2024·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。 (1)这个正方体中，6的对面是( )。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大” 或“小”） 【答案】(1)4；(2)大 2．（2024·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约 24( ) ②一瓶洗洁精约 500( ) 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 3．（2024·四川凉山·期末）单位换算。 124升＝( )立方米 8立方分米 6立方厘米＝( )立方厘米 【答案】 0.124 8006 4．（2024·湖南邵阳·期末）一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长 5分 米，宽 3分米，高 4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要 ( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( ) 立方分米。 【答案】 48 94 60 5．（2024·贵州黔东南·期末）如图用了( )个小正方体，在此摆放的基础 上继续摆一个大正方体，至少还要( )个小正方体。 【答案】 7 20 6．（2024·海南海口·期末）如图所示，一段长方体木料的长是 a厘米，宽是 b 第 24 页 共 29 页 厘米，高是 h厘米。如果锯去 m厘米高，则它的表面积减少( )平方厘米， 体积减少( )立方厘米。 【答案】 2am＋2bm abm 二、选择题。 7．（2024·海南海口·期末）一个矿泉水瓶的容积大约为 500( )。 A．毫升 B．升 C．立方米 【答案】A 8．（2024·河北保定·期末）泳池的周长是 56米，宽是 8米，深是 2.5米。要在 泳池的内壁贴瓷砖。求贴瓷砖的面积，下面错误的是( )。 A．56×2.5 B．（56÷2－8）×2.5＋8×2.5×2 C．（56÷2－8）×2.5×2＋8×2.5×2 【答案】B 9．（2024·四川凉山·期末）下面有( )个图形能折成正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 10．（2024·四川南充·期末）母亲节那天，文文买了一个礼品要送给妈妈作为节 日礼物，得精心包装一番（如图所示），在选用丝带捆扎这个礼品盒时，遇到了 一个问题，“要捆扎这种礼品盒至少需要准备( )厘米长的丝带”。（接头 处长 15厘米） A．40 B．110 C．114 D．129 第 25 页 共 29 页 【答案】D 11．（2024·重庆忠县·期末）如图是测量一颗铁球体积的过程：①将 300毫升的 水倒进一个容积为 500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没 有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这 样一颗铁球的体积大约是( )cm3。 A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70 【答案】B 12．（2021·四川内江·期末）用 8个棱长是 1cm的小木块拼成一个长方体或正方 体，拼成后的表面积最少是( )。 A．34cm2 B．28cm2 C．24cm2 D．20cm2 【答案】C 三、计算题。 13．（2024·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。 【答案】 长方体的表面积： （25×10＋25×4＋10×4）×2 ＝（250＋100＋40）×2 ＝390×2 ＝780（cm2） 正方体 4个面的面积： 8×8×4 ＝64×4 ＝256（cm2） 第 26 页 共 29 页 一共：780＋256＝1036（cm2） 图形的表面积是 1036cm2。 25×10×4＋8×8×8 ＝1000＋512 ＝1512（cm3） 图形的体积是 1512cm3。 四、作图题。 14．（2024·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出 长方体的各面。 【答案】 五、解答题。 15．（2024·海南海口·期末）希望小学有一间长 10米，宽 6米，高 4米的长方 形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴 1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积 6平方米后， 这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 【答案】 （1）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方米） 答：这间教室的空间是 240立方米。 第 27 页 共 29 页 （2）（10＋6）×2×1.2－6 ＝16×2×1.2－6 ＝38.4－6 ＝32.4（平方米） 答：这间教室贴瓷砖的面积是 32.4平方米。 16．（2024·四川凉山·期末）凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干 燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一 个铁皮做成的无盖正方体，棱长 25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重 1吨，这个水箱能装水多少吨？ 【答案】 25×25×25 ＝625×25 ＝15625（立方分米） 15625立方分米＝15.625立方米 1×15.625＝15.625（吨） 答：这个水箱能装水 15.625吨。 17．（2024·河北唐山·期末）如图，花花用一张长 30厘米、宽 24厘米的长方形 纸板，从四角各切掉一个边长 6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ 第 28 页 共 29 页 （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】 （1）30×24－6×6×4 ＝720－144 ＝576（平方厘米） 答：贴彩纸的面积是 576平方厘米。 （2）30－6×2 ＝30－12 ＝18（厘米） 24－6×2 ＝24－12 ＝12（厘米） 18×12×6＝1296（立方厘米） 答：这个盒子的容积是 1296立方厘米。 18．（2024·湖南邵阳·期末）在一个长 80厘米、宽 50厘米、高 40厘米的长方 体水箱中有 30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为 20厘米的正方体铁块， 这时水箱中水深多少厘米？ 【答案】 20×20×20＝8000（立方厘米） 8000÷（80×50） ＝8000÷4000 ＝2（厘米） 30＋2＝32（厘米） 答：这时水箱中水深 32厘米。 19．（2024·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是 8分 第 29 页 共 29 页 米，宽是 5分米，高是 6分米，水深 5.4分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是 3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不 会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分 米？ 【答案】 （1）8×5＋8×6×2＋5×6×2 ＝40＋96＋60 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃 196平方分米。 （2）3×3×3＝27（立方分米） 8×5×（6－5.4） ＝8×5×0.6 ＝24（立方分米） 27＞24 答：鱼缸里的水会溢出。 （3）27－24＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：鱼缸里会溢出 3升水。 第 1 页 共 40 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 40 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 第 3 页 共 40 页 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； 第 4 页 共 40 页 （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 第 5 页 共 40 页 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 第 6 页 共 40 页 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 第 7 页 共 40 页 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 第 8 页 共 40 页 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 第 9 页 共 40 页 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一：体积和容积的认识。 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、 立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、 毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 第 10 页 共 40 页 知识点十二：体积和容积的单位。 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的 卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微 波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡 皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车 油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装 酸奶（100mL）、口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立 方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 第 11 页 共 40 页 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三：长方体的体积。 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四：正方体的体积。 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a 相 乘。 知识点十五：长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系。 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大 到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面 第 12 页 共 40 页 面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体 积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六：剪角折叠求体积问题。 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积 公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七：等积变形问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八：排水法求不规则物体体积。 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 第 13 页 共 40 页 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八：不规则及组合立体图形的表面积和体积。 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些 面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各 部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【详解】长方体共有 6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形 第 14 页 共 40 页 对边平行且相等可知，长方体中 4条宽互相平行，则与 b平行的棱有 3条。 【点睛】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【详解】长方体是由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立 体图形。正方体是由 6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、 宽、高都相等的长方体。 【高频考题 02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】100厘米 【分析】捆扎的彩带包括 2条长，2条宽，4条高和接头，用长×2＋宽×2＋高×4 ＋接头＝彩带长度，列式解答即可。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要 100厘米的彩带。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，明确彩带的组成是解题的关键。 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 第 15 页 共 40 页 少米包装袋？ 【答案】3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方 体的棱长为 40厘米，用 40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装 带，然后把单位换算成米，据此解答。 【详解】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要 3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包 含了几条棱长。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】4.2米 【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求 出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱 长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以 12，即可求出正方体的棱长。 【详解】（5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是 4.2米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要 熟练掌握公式。 第 16 页 共 40 页 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】0.15×2.5×4×30 【分析】根据题意，结合长方形的面积公式：长×宽可知，用 0.15乘上 2.5再乘 上 4，即为一节排水管的面积，再用求出的结果乘上 30，即可求出答案。 【详解】0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做 30节这样的排水管至少需要 45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】45平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。 正常情况正方体有 6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求 5个面的面积和， 根据求正方体表面积方法求解即可。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要 45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 第 17 页 共 40 页 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体 的 4个侧面和 1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再 减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就 是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要 2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方 形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 【高频考题 04】长方体和正方体的体积（容积）与生活实际应用。 1．一辆汽车，油箱长 5dm、宽 4dm、高 3dm。如果每升汽油可行驶 10千米，这 一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 【答案】5×4×3×10 【分析】根据题意，结合长方形的体积公式：长×宽×高，求出油箱的体积，因 为 1立方分米等于 1升，所以即为求出油箱可装多少升油，再用求出的结果乘上 10，即可求出答案。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×10＝600（千米） 答：这一箱汽油可使汽车行驶 600千米。 2．修路工人把 10.5立方米的沙子铺在一段长 25米、宽 3米的路上，可以铺多 厚？（用方程解） 【答案】0.14米 第 18 页 共 40 页 【分析】可以把所铺的道路形状看作是一个长为 25米，宽为 3米，高（厚）未 知的长方体，根据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方 体的高即道路的厚度。 【详解】解：设可以铺 x米。 3×25x＝10.5 75x＝10.5 75x÷75＝10.5÷75 x＝0.14 答：可以铺 0.14米厚。 【点睛】本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及根据等量关系列方 程解决问题。 3．一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克， 这块石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘 2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是 583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【高频考题 05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是 50( ) 一瓶墨水约 60( ) 一块橡皮的体积约是 6( ) 小轿车油箱的容积约 45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一辆公交车的体积约是 50立方米 ； 第 19 页 共 40 页 一瓶墨水约 60毫升； 一块橡皮的体积约是 6立方厘米； 小轿车油箱的容积约 45升。 【点睛】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单 位和数据的大小，灵活地选择。 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约 500( ) 一间教室的空间约 200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根据生活经验以及数据的 大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一瓶矿泉水的体积约 500毫升；一间教室的空间约 200立方米； 450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单 位和数据的大小，灵活地选择。 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2 409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3 0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据 1dm2＝100cm2，用 3290÷100即可； 高级单位换低级单位乘进率，根据 1L＝1000mL，用 409×1000即可，根据 1m3 ＝1000L，则用 409÷1000即可；根据 1m3＝1000dm3，把 7508拆成 7000＋508， 然后用 7000÷1000即可；根据 1m3＝1000L，则 0.09×1000即可，根据 1m3＝ 1000000mL，用 0.09×1000000即可。 【详解】3290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2 409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m3 第 20 页 共 40 页 7508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm3 0.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 第 21 页 共 40 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】切拼问题。 1．把一块长 120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表 面积增加了 0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，把长方体木材锯成两段后，表面积比原来增加了 2个横截面 的面积，先用增加的表面积除以 2，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体 积公式 V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是 48立方分米。 【点睛】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵 活运用长方体的体积公式是解题的关键。 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了 4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是 20厘米、 15厘米 6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘 米的包装纸？（接口处不计） 【答案】把这四个长方体盒子的 20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面 积最小；2280平方厘米 【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这 4个长方体盒子的最大面， 即（20×15）这个面摞在一起，拼成一个长 20厘米、宽 15厘米、高（6×4）厘 米的长方体最省纸，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数 据解答即可。 【详解】由分析得： 把这四个长方体盒子的 20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 第 22 页 共 40 页 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的 20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至 少需要 2280平方厘米的包装纸。 【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体 表面积公式求解。 3．一个正方体的高增加 2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面 积增加了 56平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】343立方厘米 【分析】由题意可知：将正方体的高增加 2厘米后，增加了四个相同的宽为 2 厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝56÷4÷2 ＝7厘米；所以正方体的体积＝7×7×7＝343立方厘米；据此解答。 【详解】56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是 343立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增 加 2厘米后，增加了四个相同的宽为 2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面 积）。 【高频考题 02】剪角折叠求体积问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是 3厘米的正方形后， 做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】300立方厘米 第 23 页 共 40 页 【分析】由题意可知：这个无盖铁盒的长、宽都是 16－3×2＝10（厘米），高是 3厘米。长方体的容积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入长方体容积计算公 式计算即可。 【详解】（16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是 300立方厘米。 【点睛】用长方形铁皮或正方形铁皮制成盒子（四个角上分别去掉一个相同的小 正方形），盒子的长和宽要在铁皮的长和宽中去掉两个小正方形的边长，盒子的 高是去掉的小正方形的边长。 2．一块长 40cm、宽 30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为 5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？ （厚度忽略不计） 【答案】3L 【详解】40-5×2=30（cm） 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【高频考题 03】等积变形问题。 1．把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的 长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔 铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个 长方体铁块的长。 第 24 页 共 40 页 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是 50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下 放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用 35×22×8即可求出水的体积，如果 把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为 22厘米，宽变为 20 厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。 【详解】35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是 14厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。 【高频考题 04】排水法求不规则物体的体积。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长 5分米、宽 4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完 全沉入水中后，观察到水面上升了 1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】2000立方厘米 【分析】水面上升的那部分水的体积就是乌龟的体积，根据“长方体的体积＝长× 宽×高”求出水面上升的那部分水的体积，即乌龟的体积。 【详解】5分米＝50厘米 第 25 页 共 40 页 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是 2000立方厘米。 【点睛】此题考查了用排水法求不规则物体的体积的方法。向盛水的容器中放入 物体，且物体完全浸入水中（水未溢出），放入物体的体积等于容器中升高的那 部分水的体积。 2．一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8分米。如 果投入一块棱长为 4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是 8分米、6分米、4分米，水深 2.8 分米，现在投入一块正方体铁块，铁块的棱长为 4分米，缸里的水溢出来了；正 方体的棱长与长方体的高相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋ 溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正方体铁块的体积为 4×4×4，长方体空余部 分体积为 8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列式为：4×4×4－8×6×（4－ 2.8）。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出 6.4升。 【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻 璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。 【高频考题 05】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 第 26 页 共 40 页 【答案】表面积：1712平方厘米；体积：4320立方厘米 【分析】图中的几何体可以看成是从长、宽、高分别为 20厘米、20厘米、12 厘米的长方体上面切下一个长、宽、高分别为 20厘米、6厘米、4厘米的小长方 体，算表面积可以用平移的方法求解，最终相当于是原长方体的表面积减去两个 6 4 的面，求体积直接用大长方体体积减去小长方体体积即可。 【详解】12 8 4  （厘米） 表面积：  20 20 20 12 20 12 2 6 4 2         1760 48  1712 （平方厘米） 体积： 20 20 12 20 6 4     4800 480  4320 （立方厘米） 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积为 875立方厘米；表面积为 700平方厘米。 【分析】题干中图形是由一个棱长 10厘米的正方体挖去一个棱长为 5厘米的正 方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正 第 27 页 共 40 页 方体积可得出体积。 表面积增加了小正方体 4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。 【详解】图形体积为： 10 10 10 5 5 5     1000 125  875 （立方厘米） 图形表面积为： 10 10 6 5 5 4     600 100  700 （平方厘米） 第 28 页 共 40 页 一、填空题。 1．（2024·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。 (1)这个正方体中，6的对面是( )。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大” 或“小”） 【答案】(1)4 (2)大 【分析】（1）根据正方体展开图的 11种特征可知，这个展开图属于正方体展开 图的“2—3—1”型，折成正方体后，1和 5相对，3和 2相对，4和 6相对； （2）一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数， 如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；先根据质数、合数 的意义，从 1～6中找出质数和合数；再根据可能性大小的判断方法，比较质数、 合数的个数多少，个数多的，朝上的可能性就大；据此解答。 【详解】（1）这个正方体中，6的对面是 4。 （2）1～6中，质数有：2、3、5，共 3个；合数有：4、6，共 2个；3＞2，质 数比合数多；所以抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性大。 2．（2024·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约 24( ) ②一瓶洗洁精约 500( ) 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 【分析】根据生活经验，对容积单位、体积单位和数据大小的认识，一盒纯牛奶 大概是 200毫升，所以一瓶洗洁精的容积用毫升作单位合适；一个粉笔盒的体积 是约 1立方分米，所以电饭锅的体积用立方分米作单位合适；据此解答。 【详解】①一个电饭锅的体积约 24立方分米； 第 29 页 共 40 页 ②一瓶洗洁精约 500毫升。 3．（2024·四川凉山·期末）单位换算。 124升＝( )立方米 8立方分米 6立方厘米＝( )立方厘米 【答案】 0.124 8006 【分析】根据 1立方分米＝1升，1立方米＝1000立方分米，所以 1立方米＝1000 升，1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转 化为高级单位除以进率。复名数换单名数，单位相同的不用换，单位不同的先统 一单位，再加上之前没换单位部分的数，据此解答。 【详解】124 1000 0.124  （立方米） 8 1000 6  8000 6  8006 （立方厘米） 124升＝0.124立方米 8立方分米 6立方厘米＝8006立方厘米 4．（2024·湖南邵阳·期末）一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长 5分 米，宽 3分米，高 4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要 ( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( ) 立方分米。 【答案】 48 94 60 【分析】已知长方体纸箱的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高） ×4，代入数据计算，求出它的棱长和； 求做这个立体纸箱需要硬纸板的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体的表 面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个纸箱所占的空间大小。 【详解】（5＋3＋4）×4 ＝12×4 ＝48（分米） （5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 第 30 页 共 40 页 ＝94（平方分米） 5×3×4 ＝15×4 ＝60（立方分米） 它的棱长和是48分米，做这个立体纸箱需要94平方分米的硬纸板（接头处不计）， 这个纸箱所占的空间是 60立方分米。 5．（2024·贵州黔东南·期末）如图用了( )个小正方体，在此摆放的基础 上继续摆一个大正方体，至少还要( )个小正方体。 【答案】 7 20 【分析】如图所示，最上面的一层有 1个小正方体，中间的一层有 2个小正方体， 最下面的一层有 4个小正方体，把这 3层的数量依次相加即可求出用了多少个小 正方体。找出图形中最长的一边为正方体的棱长，最长的有 3个小正方体，那么 拼成一个每条棱长都有 3个正方体的大正方体需要 3×3×3＝27（个）小正方体， 再利用总数减掉图中已有的 7个即可。 【详解】1＋2＋4＝7（个） 3×3×3＝27（个） 27−7＝20（个） 所以图中用了 7个小正方体，还需要 20个小正方体才能拼成一个大正方体。 6．（2024·海南海口·期末）如图所示，一段长方体木料的长是 a厘米，宽是 b 厘米，高是 h厘米。如果锯去 m厘米高，则它的表面积减少( )平方厘米， 体积减少( )立方厘米。 【答案】 2am＋2bm abm 【分析】根据题意，一段长方体木料锯去 m厘米高，则减少的表面积是 4个侧面的面积， 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一：体积和容积的认识。 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 知识点十二：体积和容积的单位。 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三：长方体的体积。 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四：正方体的体积。 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五：长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系。 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六：剪角折叠求体积问题。 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七：等积变形问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八：排水法求不规则物体体积。 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八：不规则及组合立体图形的表面积和体积。 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【高频考题02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【高频考题04】长方体和正方体的体积（容积）与生活实际应用。 1．一辆汽车，油箱长5dm、宽4dm、高3dm。如果每升汽油可行驶10千米，这一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 2．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解） 3．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【高频考题05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是50( )              一瓶墨水约60( ) 一块橡皮的体积约是6( )                  小轿车油箱的容积约45( ) 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约500( ) 一间教室的空间约200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2        409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3      0.09m3＝( )L＝( )mL 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】切拼问题。 1．把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 3．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。 【高频考题02】剪角折叠求体积问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 2．一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【高频考题03】等积变形问题。 1．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【高频考题04】排水法求不规则物体的体积。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【高频考题05】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 一、填空题。 1．（2024·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。 (1)这个正方体中，6的对面是( )。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大”或“小”） 2．（2024·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约24( )    ②一瓶洗洁精约500( ) 3．（2024·四川凉山·期末）单位换算。 124升＝( )立方米        8立方分米6立方厘米＝( )立方厘米 4．（2024·湖南邵阳·期末）一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长5分米，宽3分米，高4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( )立方分米。 5．（2024·贵州黔东南·期末）如图用了( )个小正方体，在此摆放的基础上继续摆一个大正方体，至少还要( )个小正方体。 6．（2024·海南海口·期末）如图所示，一段长方体木料的长是a厘米，宽是b厘米，高是h厘米。如果锯去m厘米高，则它的表面积减少( )平方厘米，体积减少( )立方厘米。 二、选择题。 7．（2024·海南海口·期末）一个矿泉水瓶的容积大约为500( )。 A．毫升 B．升 C．立方米 8．（2024·河北保定·期末）泳池的周长是56米，宽是8米，深是2.5米。要在泳池的内壁贴瓷砖。求贴瓷砖的面积，下面错误的是( )。 A．56×2.5 B．（56÷2－8）×2.5＋8×2.5×2 C．（56÷2－8）×2.5×2＋8×2.5×2 9．（2024·四川凉山·期末）下面有( )个图形能折成正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2024·四川南充·期末）母亲节那天，文文买了一个礼品要送给妈妈作为节日礼物，得精心包装一番（如图所示），在选用丝带捆扎这个礼品盒时，遇到了一个问题，“要捆扎这种礼品盒至少需要准备( )厘米长的丝带”。（接头处长15厘米） A．40 B．110 C．114 D．129 11．（2024·重庆忠县·期末）如图是测量一颗铁球体积的过程：①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约是( )cm3。 A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70 12．（2021·四川内江·期末）用8个棱长是1cm的小木块拼成一个长方体或正方体，拼成后的表面积最少是( )。 A．34cm2 B．28cm2 C．24cm2 D．20cm2 三、计算题。 13．（2024·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。 四、作图题。 14．（2024·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出长方体的各面。 五、解答题。 15．（2024·海南海口·期末）希望小学有一间长10米，宽6米，高4米的长方形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积6平方米后，这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 16．（2024·四川凉山·期末）凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一个铁皮做成的无盖正方体，棱长25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重1吨，这个水箱能装水多少吨？ 17．（2024·河北唐山·期末）如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 18．（2024·湖南邵阳·期末）在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？ 19．（2024·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一：体积和容积的认识。 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 知识点十二：体积和容积的单位。 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三：长方体的体积。 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四：正方体的体积。 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五：长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系。 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六：剪角折叠求体积问题。 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七：等积变形问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八：排水法求不规则物体体积。 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八：不规则及组合立体图形的表面积和体积。 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【高频考题02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】 15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要100厘米的彩带。 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【答案】 40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】 （5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是4.2米。 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】 0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做30节这样的排水管至少需要45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】 （5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要2100元。 【高频考题04】长方体和正方体的体积（容积）与生活实际应用。 1．一辆汽车，油箱长5dm、宽4dm、高3dm。如果每升汽油可行驶10千米，这一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 【答案】 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×10＝600（千米） 答：这一箱汽油可使汽车行驶600千米。 2．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解） 【答案】 解：设可以铺x米。 3×25x＝10.5 75x＝10.5 75x÷75＝10.5÷75 x＝0.14 答：可以铺0.14米厚。 3．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】 6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【高频考题05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是50( )              一瓶墨水约60( ) 一块橡皮的体积约是6( )                  小轿车油箱的容积约45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约500( ) 一间教室的空间约200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2        409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3      0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】切拼问题。 1．把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【答案】 0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是48立方分米。 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】 把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至少需要2280平方厘米的包装纸。 3．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】 56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是343立方厘米。 【高频考题02】剪角折叠求体积问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】 （16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是300立方厘米。 2．一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【答案】 40-5×2=30（cm） 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【高频考题03】等积变形问题。 1．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】 4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是50厘米。 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】 35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是14厘米。 【高频考题04】排水法求不规则物体的体积。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】 5分米＝50厘米 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是2000立方厘米。 2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】 4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 【高频考题05】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】 （厘米） 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】 图形体积为： （立方厘米） 图形表面积为： （平方厘米） 一、填空题。 1．（2024·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。 (1)这个正方体中，6的对面是( )。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大”或“小”） 【答案】(1)4；(2)大 2．（2024·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约24( )    ②一瓶洗洁精约500( ) 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 3．（2024·四川凉山·期末）单位换算。 124升＝( )立方米        8立方分米6立方厘米＝( )立方厘米 【答案】 0.124 8006 4．（2024·湖南邵阳·期末）一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长5分米，宽3分米，高4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( )立方分米。 【答案】 48 94 60 5．（2024·贵州黔东南·期末）如图用了( )个小正方体，在此摆放的基础上继续摆一个大正方体，至少还要( )个小正方体。 【答案】 7 20 6．（2024·海南海口·期末）如图所示，一段长方体木料的长是a厘米，宽是b厘米，高是h厘米。如果锯去m厘米高，则它的表面积减少( )平方厘米，体积减少( )立方厘米。 【答案】 2am＋2bm abm 二、选择题。 7．（2024·海南海口·期末）一个矿泉水瓶的容积大约为500( )。 A．毫升 B．升 C．立方米 【答案】A 8．（2024·河北保定·期末）泳池的周长是56米，宽是8米，深是2.5米。要在泳池的内壁贴瓷砖。求贴瓷砖的面积，下面错误的是( )。 A．56×2.5 B．（56÷2－8）×2.5＋8×2.5×2 C．（56÷2－8）×2.5×2＋8×2.5×2 【答案】B 9．（2024·四川凉山·期末）下面有( )个图形能折成正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 10．（2024·四川南充·期末）母亲节那天，文文买了一个礼品要送给妈妈作为节日礼物，得精心包装一番（如图所示），在选用丝带捆扎这个礼品盒时，遇到了一个问题，“要捆扎这种礼品盒至少需要准备( )厘米长的丝带”。（接头处长15厘米） A．40 B．110 C．114 D．129 【答案】D 11．（2024·重庆忠县·期末）如图是测量一颗铁球体积的过程：①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约是( )cm3。 A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70 【答案】B 12．（2021·四川内江·期末）用8个棱长是1cm的小木块拼成一个长方体或正方体，拼成后的表面积最少是( )。 A．34cm2 B．28cm2 C．24cm2 D．20cm2 【答案】C 三、计算题。 13．（2024·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。 【答案】 长方体的表面积： （25×10＋25×4＋10×4）×2 ＝（250＋100＋40）×2 ＝390×2 ＝780（cm2） 正方体4个面的面积： 8×8×4 ＝64×4 ＝256（cm2） 一共：780＋256＝1036（cm2） 图形的表面积是1036cm2。 25×10×4＋8×8×8 ＝1000＋512 ＝1512（cm3） 图形的体积是1512cm3。 四、作图题。 14．（2024·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出长方体的各面。 【答案】 五、解答题。 15．（2024·海南海口·期末）希望小学有一间长10米，宽6米，高4米的长方形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积6平方米后，这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 【答案】 （1）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方米） 答：这间教室的空间是240立方米。 （2）（10＋6）×2×1.2－6 ＝16×2×1.2－6 ＝38.4－6 ＝32.4（平方米） 答：这间教室贴瓷砖的面积是32.4平方米。 16．（2024·四川凉山·期末）凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一个铁皮做成的无盖正方体，棱长25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重1吨，这个水箱能装水多少吨？ 【答案】 25×25×25 ＝625×25 ＝15625（立方分米） 15625立方分米＝15.625立方米 1×15.625＝15.625（吨） 答：这个水箱能装水15.625吨。 17．（2024·河北唐山·期末）如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】 （1）30×24－6×6×4 ＝720－144 ＝576（平方厘米） 答：贴彩纸的面积是576平方厘米。 （2）30－6×2 ＝30－12 ＝18（厘米） 24－6×2 ＝24－12 ＝12（厘米） 18×12×6＝1296（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1296立方厘米。 18．（2024·湖南邵阳·期末）在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？ 【答案】 20×20×20＝8000（立方厘米） 8000÷（80×50） ＝8000÷4000 ＝2（厘米） 30＋2＝32（厘米） 答：这时水箱中水深32厘米。 19．（2024·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【答案】 （1）8×5＋8×6×2＋5×6×2 ＝40＋96＋60 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）3×3×3＝27（立方分米）   8×5×（6－5.4） ＝8×5×0.6 ＝24（立方分米）   27＞24 答：鱼缸里的水会溢出。 （3）27－24＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：鱼缸里会溢出3升水。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一：体积和容积的认识。 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 知识点十二：体积和容积的单位。 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三：长方体的体积。 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四：正方体的体积。 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五：长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系。 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六：剪角折叠求体积问题。 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七：等积变形问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八：排水法求不规则物体体积。 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八：不规则及组合立体图形的表面积和体积。 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【详解】长方体共有6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形对边平行且相等可知，长方体中4条宽互相平行，则与b平行的棱有3条。 【点睛】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【详解】长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都相等的长方体。 【高频考题02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】100厘米 【分析】捆扎的彩带包括2条长，2条宽，4条高和接头，用长×2＋宽×2＋高×4＋接头＝彩带长度，列式解答即可。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要100厘米的彩带。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，明确彩带的组成是解题的关键。 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【答案】3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方体的棱长为40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装带，然后把单位换算成米，据此解答。 【详解】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包含了几条棱长。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】4.2米 【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以12，即可求出正方体的棱长。 【详解】（5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是4.2米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】0.15×2.5×4×30 【分析】根据题意，结合长方形的面积公式：长×宽可知，用0.15乘上2.5再乘上4，即为一节排水管的面积，再用求出的结果乘上30，即可求出答案。 【详解】0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做30节这样的排水管至少需要45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】45平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。正常情况正方体有6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求5个面的面积和，根据求正方体表面积方法求解即可。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体的4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 【高频考题04】长方体和正方体的体积（容积）与生活实际应用。 1．一辆汽车，油箱长5dm、宽4dm、高3dm。如果每升汽油可行驶10千米，这一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 【答案】5×4×3×10 【分析】根据题意，结合长方形的体积公式：长×宽×高，求出油箱的体积，因为1立方分米等于1升，所以即为求出油箱可装多少升油，再用求出的结果乘上10，即可求出答案。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×10＝600（千米） 答：这一箱汽油可使汽车行驶600千米。 2．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解） 【答案】0.14米 【分析】可以把所铺的道路形状看作是一个长为25米，宽为3米，高（厚）未知的长方体，根据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方体的高即道路的厚度。 【详解】解：设可以铺x米。 3×25x＝10.5 75x＝10.5 75x÷75＝10.5÷75 x＝0.14 答：可以铺0.14米厚。 【点睛】本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及根据等量关系列方程解决问题。 3．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【高频考题05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是50( )              一瓶墨水约60( ) 一块橡皮的体积约是6( )                  小轿车油箱的容积约45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一辆公交车的体积约是50立方米 ； 一瓶墨水约60毫升； 一块橡皮的体积约是6立方厘米； 小轿车油箱的容积约45升。 【点睛】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约500( ) 一间教室的空间约200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一瓶矿泉水的体积约500毫升；一间教室的空间约200立方米； 450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2        409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3      0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1dm2＝100cm2，用3290÷100即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1L＝1000mL，用409×1000即可，根据1m3＝1000L，则用409÷1000即可；根据1m3＝1000dm3，把7508拆成7000＋508，然后用7000÷1000即可；根据1m3＝1000L，则0.09×1000即可，根据1m3＝1000000mL，用0.09×1000000即可。 【详解】3290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2 409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m3 7508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm3 0.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】切拼问题。 1．把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，把长方体木材锯成两段后，表面积比原来增加了2个横截面的面积，先用增加的表面积除以2，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是48立方分米。 【点睛】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小；2280平方厘米 【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这4个长方体盒子的最大面，即（20×15）这个面摞在一起，拼成一个长20厘米、宽15厘米、高（6×4）厘米的长方体最省纸，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【详解】由分析得： 把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至少需要2280平方厘米的包装纸。 【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。 3．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】343立方厘米 【分析】由题意可知：将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝56÷4÷2＝7厘米；所以正方体的体积＝7×7×7＝343立方厘米；据此解答。 【详解】56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是343立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。 【高频考题02】剪角折叠求体积问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】由题意可知：这个无盖铁盒的长、宽都是16－3×2＝10（厘米），高是3厘米。长方体的容积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入长方体容积计算公式计算即可。 【详解】（16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是300立方厘米。 【点睛】用长方形铁皮或正方形铁皮制成盒子（四个角上分别去掉一个相同的小正方形），盒子的长和宽要在铁皮的长和宽中去掉两个小正方形的边长，盒子的高是去掉的小正方形的边长。 2．一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【答案】3L 【详解】40-5×2=30（cm） 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【高频考题03】等积变形问题。 1．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用35×22×8即可求出水的体积，如果把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为22厘米，宽变为20厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。 【详解】35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是14厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。 【高频考题04】排水法求不规则物体的体积。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】2000立方厘米 【分析】水面上升的那部分水的体积就是乌龟的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出水面上升的那部分水的体积，即乌龟的体积。 【详解】5分米＝50厘米 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是2000立方厘米。 【点睛】此题考查了用排水法求不规则物体的体积的方法。向盛水的容器中放入物体，且物体完全浸入水中（水未溢出），放入物体的体积等于容器中升高的那部分水的体积。 2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是8分米、6分米、4分米，水深2.8分米，现在投入一块正方体铁块，铁块的棱长为4分米，缸里的水溢出来了；正方体的棱长与长方体的高相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正方体铁块的体积为4×4×4，长方体空余部分体积为8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列式为：4×4×4－8×6×（4－2.8）。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。 【高频考题05】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】表面积：1712平方厘米；体积：4320立方厘米 【分析】图中的几何体可以看成是从长、宽、高分别为20厘米、20厘米、12厘米的长方体上面切下一个长、宽、高分别为20厘米、6厘米、4厘米的小长方体，算表面积可以用平移的方法求解，最终相当于是原长方体的表面积减去两个的面，求体积直接用大长方体体积减去小长方体体积即可。 【详解】（厘米） 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积为875立方厘米；表面积为700平方厘米。 【分析】题干中图形是由一个棱长10厘米的正方体挖去一个棱长为5厘米的正方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正方体积可得出体积。 表面积增加了小正方体4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。 【详解】图形体积为： （立方厘米） 图形表面积为： （平方厘米） 一、填空题。 1．（2024·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。 (1)这个正方体中，6的对面是( )。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大”或“小”） 【答案】(1)4 (2)大 【分析】（1）根据正方体展开图的11种特征可知，这个展开图属于正方体展开图的“2—3—1”型，折成正方体后，1和5相对，3和2相对，4和6相对； （2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；先根据质数、合数的意义，从1～6中找出质数和合数；再根据可能性大小的判断方法，比较质数、合数的个数多少，个数多的，朝上的可能性就大；据此解答。 【详解】（1）这个正方体中，6的对面是4。 （2）1～6中，质数有：2、3、5，共3个；合数有：4、6，共2个；3＞2，质数比合数多；所以抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性大。 2．（2024·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约24( )    ②一瓶洗洁精约500( ) 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 【分析】根据生活经验，对容积单位、体积单位和数据大小的认识，一盒纯牛奶大概是200毫升，所以一瓶洗洁精的容积用毫升作单位合适；一个粉笔盒的体积是约1立方分米，所以电饭锅的体积用立方分米作单位合适；据此解答。 【详解】①一个电饭锅的体积约24立方分米；    ②一瓶洗洁精约500毫升。 3．（2024·四川凉山·期末）单位换算。 124升＝( )立方米        8立方分米6立方厘米＝( )立方厘米 【答案】 0.124 8006 【分析】根据1立方分米＝1升，1立方米＝1000立方分米，所以1立方米＝1000升，1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率。复名数换单名数，单位相同的不用换，单位不同的先统一单位，再加上之前没换单位部分的数，据此解答。 【详解】（立方米） （立方厘米） 124升＝0.124立方米 8立方分米6立方厘米＝8006立方厘米 4．（2024·湖南邵阳·期末）一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长5分米，宽3分米，高4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( )立方分米。 【答案】 48 94 60 【分析】已知长方体纸箱的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，求出它的棱长和； 求做这个立体纸箱需要硬纸板的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个纸箱所占的空间大小。 【详解】（5＋3＋4）×4 ＝12×4 ＝48（分米） （5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） 5×3×4 ＝15×4 ＝60（立方分米） 它的棱长和是48分米，做这个立体纸箱需要94平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是60立方分米。 5．（2024·贵州黔东南·期末）如图用了( )个小正方体，在此摆放的基础上继续摆一个大正方体，至少还要( )个小正方体。 【答案】 7 20 【分析】如图所示，最上面的一层有1个小正方体，中间的一层有2个小正方体，最下面的一层有4个小正方体，把这3层的数量依次相加即可求出用了多少个小正方体。找出图形中最长的一边为正方体的棱长，最长的有3个小正方体，那么拼成一个每条棱长都有3个正方体的大正方体需要3×3×3＝27（个）小正方体，再利用总数减掉图中已有的7个即可。 【详解】1＋2＋4＝7（个） 3×3×3＝27（个） 27−7＝20（个） 所以图中用了7个小正方体，还需要20个小正方体才能拼成一个大正方体。 6．（2024·海南海口·期末）如图所示，一段长方体木料的长是a厘米，宽是b厘米，高是h厘米。如果锯去m厘米高，则它的表面积减少( )平方厘米，体积减少( )立方厘米。 【答案】 2am＋2bm abm 【分析】根据题意，一段长方体木料锯去m厘米高，则减少的表面积是4个侧面的面积，即2个长为a厘米、宽为m厘米的长方形的面积与2个长为b厘米、宽为m厘米的长方形的面积之和；根据“长方形的面积＝长×宽”求出减少的表面积； 减少的体积是长为a厘米、宽为b厘米、高为m厘米的长方体的体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出减少的体积。 【详解】a×m×2＋b×m×2＝（2am＋2bm）（平方厘米） a×b×m＝abm（立方厘米） 填空如下： 则它的表面积减少（2am＋2bm）平方厘米，体积减少（abm）立方厘米。 二、选择题。 7．（2024·海南海口·期末）一个矿泉水瓶的容积大约为500( )。 A．毫升 B．升 C．立方米 【答案】A 【分析】容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积，1毫升液体的体积就是1立方厘米，20滴水大约是1毫升；所以计量一个矿泉水瓶的容积用“毫升”作单位比较合适。 【详解】一个矿泉水瓶的容积大约为500毫升。 故答案为：A 8．（2024·河北保定·期末）泳池的周长是56米，宽是8米，深是2.5米。要在泳池的内壁贴瓷砖。求贴瓷砖的面积，下面错误的是( )。 A．56×2.5 B．（56÷2－8）×2.5＋8×2.5×2 C．（56÷2－8）×2.5×2＋8×2.5×2 【答案】B 【分析】把这个泳池近似看作是一个无盖的长方体，泳池的周长是56米，（长＋宽）×2＝56；已知泳池的宽和深，根据泳池的周长已知可以求出长；要在泳池的内壁贴瓷砖，则贴瓷砖的面积是四个侧面的面积之和，据此逐项分析。 【详解】泳池的长： 56÷2－8 ＝28－8 ＝20（米） A．长方体四个侧面的面积之和： （20×2.5＋8×2.5）×2 ＝（20＋8）×2.5×2 ＝28×2.5×2 ＝56×2.5 此处计算了四个侧面的面积之和，计算正确，不符合题意； B．（56÷2－8）×2.5＋8×2.5×2，此处仅计算了一个长侧面的面积，漏算了另一个长侧面，计算错误，符合题意； C．（56÷2－8）×2.5×2＋8×2.5×2，计算了四个侧面的面积之和，计算正确，不符合题意。 故答案为：B 9．（2024·四川凉山·期末）下面有( )个图形能折成正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体；据此解答。 【详解】 ，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体； ，不是正方体的展开图，不能折成正方体； ，属于“3—3”型，是正方体的展开图，能折成正方体； ，属于“2—2—2”型，是正方体的展开图，能折成正方体； ，属于“2—3—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体； 所以，有4个图形能折成正方体。 故答案为：C 10．（2024·四川南充·期末）母亲节那天，文文买了一个礼品要送给妈妈作为节日礼物，得精心包装一番（如图所示），在选用丝带捆扎这个礼品盒时，遇到了一个问题，“要捆扎这种礼品盒至少需要准备( )厘米长的丝带”。（接头处长15厘米） A．40 B．110 C．114 D．129 【答案】D 【分析】根据题图可知，丝带捆扎的长度为4条高，2条长、2条宽，再加上接头处的长度，据此解答即可。 【详解】10×4＋25×2＋12×2＋15 ＝40＋50＋24＋15 ＝90＋24＋15 ＝114＋15 ＝129（厘米） 要捆扎这种礼品盒至少需要准备129厘米长的丝带。 故答案为：D 11．（2024·重庆忠县·期末）如图是测量一颗铁球体积的过程：①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约是( )cm3。 A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70 【答案】B 【分析】先根据进率1mL＝1cm，将300mL换算成300 cm3，500mL换算成500 cm3； 根据题意，将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知四颗铁球的体积要小于500－300＝200（cm3），那么一颗铁球的体积就小于（200÷4）cm3；再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知五颗铁球的体积要大于500－300＝200（cm3），那么一颗铁球的体积就大于（200÷5）cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。 【详解】300mL＝300 cm3 500mL＝500 cm3 500－300＝200（cm3） 200÷4＝50（cm3） 200÷5＝40（cm3） 40 cm3＜一颗铁球的体积＜50 cm3 所以，一颗铁球的体积大约在40 cm3~50 cm3。 故答案为：B 12．（2021·四川内江·期末）用8个棱长是1cm的小木块拼成一个长方体或正方体，拼成后的表面积最少是( )。 A．34cm2 B．28cm2 C．24cm2 D．20cm2 【答案】C 【分析】用8个棱长是1cm的小木块拼成一个长方体或正方体，拼成的这个长方体（或正方体）有3种情况：第一种是长8cm，宽1cm，高1cm；第二种是长4cm，宽2cm，高1cm；第三种是长2cm，宽2cm，高2cm；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别计算出这三种立体图形的表面积，再作比较，找出表面积最少的即可。 【详解】第一种表面积：（8×1＋8×1＋1×1）×2 ＝（8＋8＋1）×2 ＝17×2 ＝34（cm2） 第二种表面积：（4×2＋4×1＋2×1）×2 ＝（8＋4＋2）×2 ＝14×2 ＝28（cm2） 第三种表面积：2×2×6＝24（cm2） 因此拼成第三种的表面积最少，是24cm2。 故答案为：C 三、计算题。 13．（2024·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。 【答案】表面积1036cm2；体积1512cm3 【分析】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积V＝abh，正方体的体积V＝a3，代入数据计算即可。 【详解】长方体的表面积： （25×10＋25×4＋10×4）×2 ＝（250＋100＋40）×2 ＝390×2 ＝780（cm2） 正方体4个面的面积： 8×8×4 ＝64×4 ＝256（cm2） 一共：780＋256＝1036（cm2） 图形的表面积是1036cm2。 25×10×4＋8×8×8 ＝1000＋512 ＝1512（cm3） 图形的体积是1512cm3。 四、作图题。 14．（2024·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出长方体的各面。 【答案】见详解 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，观察长方体可知，前后面最大，左右面其次，上下面最小，据此标出长方体的各面。 【详解】 五、解答题。 15．（2024·海南海口·期末）希望小学有一间长10米，宽6米，高4米的长方形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积6平方米后，这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 【答案】（1）240立方米；（2）32.4平方米 【分析】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出这间教室的空间； （2）根据题意可知， 教室贴瓷砖的面积＝（长＋宽）×2×瓷砖的高－门窗面积，代入数据即可解答。 【详解】（1）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方米） 答：这间教室的空间是240立方米。 （2）（10＋6）×2×1.2－6 ＝16×2×1.2－6 ＝38.4－6 ＝32.4（平方米） 答：这间教室贴瓷砖的面积是32.4平方米。 16．（2024·四川凉山·期末）凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一个铁皮做成的无盖正方体，棱长25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重1吨，这个水箱能装水多少吨？ 【答案】15.625吨 【分析】根据题意，水箱是一个铁皮做成的棱长25分米的无盖正方体，根据正方体的体积（容积）公式V＝a3，求出水箱的容积，再根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位；然后用每立方米水的重量乘水箱的容积，即可求出这个水箱能装水的总重量。 【详解】25×25×25 ＝625×25 ＝15625（立方分米） 15625立方分米＝15.625立方米 1×15.625＝15.625（吨） 答：这个水箱能装水15.625吨。 17．（2024·河北唐山·期末）如图，花花用一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸板，从四角各切掉一个边长6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）576平方厘米 （2）1296立方厘米 【分析】（1）贴彩纸的面积＝长方形纸板的面积－4个正方形的面积，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答； （2）长方体的长＝长方形的长－正方形边长×2，长方体的宽＝长方形的宽－正方形边长×2，长方体的高＝正方形的边长，根据长方体容积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】（1）30×24－6×6×4 ＝720－144 ＝576（平方厘米） 答：贴彩纸的面积是576平方厘米。 （2）30－6×2 ＝30－12 ＝18（厘米） 24－6×2 ＝24－12 ＝12（厘米） 18×12×6＝1296（立方厘米） 答：这个盒子的容积是1296立方厘米。 18．（2024·湖南邵阳·期末）在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】将水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，则水面上升的体积就是正方体的体积，根据，得出水上升的体积，长方体的体积＝底面积×高，长方体的底面积＝长×宽，那么用水上升的体积除以长方体的底面积，就是水面上升的高度，最后再加上原来水箱中水的高度就是现在水的深度。 【详解】20×20×20＝8000（立方厘米） 8000÷（80×50） ＝8000÷4000 ＝2（厘米） 30＋2＝32（厘米） 答：这时水箱中水深32厘米。 19．（2024·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【答案】（1）196平方分米 （2）会溢出；见详解 （3）3升 【分析】（1）从图中可知：这个长方体的长是8分米，宽是5分米，高是6分米。这个无盖的长方体有下面和前后左右面共5个面，因此需要玻璃的面积＝ 长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 （2）此时水深5.4分米，还剩下空间的高度6－5.4＝0.6分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，分别求出剩下空间的容积、正方体的体积，再比较即可。 （3）若溢出，用正方体的体积减去剩下空间的容积，即可求出溢出的水量（换算成以升为单位）；若不会溢出，用正方体的体积÷长方体的底面积，求出正方体放入水中后，水面升高的高度，再加上原来的水面高度，即可求出现在的水面高度。 【详解】（1）8×5＋8×6×2＋5×6×2 ＝40＋96＋60 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）3×3×3＝27（立方分米）   8×5×（6－5.4） ＝8×5×0.6 ＝24（立方分米）   27＞24 答：鱼缸里的水会溢出。 （3）27－24＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：鱼缸里会溢出3升水。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 24 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 24 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 第 3 页 共 24 页 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； 第 4 页 共 24 页 （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 第 5 页 共 24 页 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 第 6 页 共 24 页 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 第 7 页 共 24 页 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 第 8 页 共 24 页 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 第 9 页 共 24 页 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一：体积和容积的认识。 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、 立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、 毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 第 10 页 共 24 页 知识点十二：体积和容积的单位。 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的 卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微 波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡 皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车 油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装 酸奶（100mL）、口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立 方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 第 11 页 共 24 页 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三：长方体的体积。 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四：正方体的体积。 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a 相 乘。 知识点十五：长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系。 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大 到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面 第 12 页 共 24 页 面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体 积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六：剪角折叠求体积问题。 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积 公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七：等积变形问题。 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八：排水法求不规则物体体积。 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 第 13 页 共 24 页 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八：不规则及组合立体图形的表面积和体积。 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些 面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各 部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 第 14 页 共 24 页 【高频考题 02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 少米包装袋？ 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 第 15 页 共 24 页 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【高频考题 04】长方体和正方体的体积（容积）与生活实际应用。 1．一辆汽车，油箱长 5dm、宽 4dm、高 3dm。如果每升汽油可行驶 10千米，这 一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 2．修路工人把 10.5立方米的沙子铺在一段长 25米、宽 3米的路上，可以铺多 厚？（用方程解） 3．一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克， 这块石料的质量是多少千克？ 第 16 页 共 24 页 【高频考题 05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是 50( ) 一瓶墨水约 60( ) 一块橡皮的体积约是 6( ) 小轿车油箱的容积约 45( ) 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约 500( ) 一间教室的空间约 200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2 409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3 0.09m3＝( )L＝( )mL 第 17 页 共 24 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】切拼问题。 1．把一块长 120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表 面积增加了 0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了 4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是 20厘米、 15厘米 6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘 米的包装纸？（接口处不计） 3．一个正方体的高增加 2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面 积增加了 56平方厘米。求原来正方体的体积。 【高频考题 02】剪角折叠求体积问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是 3厘米的正方形后， 做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 第 18 页 共 24 页 2．一块长 40cm、宽 30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为 5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？ （厚度忽略不计） 【高频考题 03】等积变形问题。 1．把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的 长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下 放，那么水面的高是多少厘米？ 【高频考题 04】排水法求不规则物体的体积。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长 5分米、宽 4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完 全沉入水中后，观察到水面上升了 1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 第 19 页 共 24 页 2．一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8分米。如 果投入一块棱长为 4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【高频考题 05】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 第 20 页 共 24 页 一、填空题。 1．（2024·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。 (1)这个正方体中，6的对面是( )。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大” 或“小”） 2．（2024·海南海口·期末）在括号里填定合适的单位名称。 ①一个电饭锅的体积约 24( ) ②一瓶洗洁精约 500( ) 3．（2024·四川凉山·期末）单位换算。 124升＝( )立方米 8立方分米 6立方厘米＝( )立方厘米 4．（2024·湖南邵阳·期末）一种家用电器的外包装是一个长方体纸箱，长 5分 米，宽 3分米，高 4分米，它的棱长和是( )分米，做这个立体纸箱需要 ( )平方分米的硬纸板（接头处不计），这个纸箱所占的空间是( ) 立方分米。 5．（2024·贵州黔东南·期末）如图用了( )个小正方体，在此摆放的基础 上继续摆一个大正方体，至少还要( )个小正方体。 6．（2024·海南海口·期末）如图所示，一段长方体木料的长是 a厘米，宽是 b 厘米，高是 h厘米。如果锯去 m厘米高，则它的表面积减少( )平方厘米， 体积减少( )立方厘米。 第 21 页 共 24 页 二、选择题。 7．（2024·海南海口·期末）一个矿泉水瓶的容积大约为 500( )。 A．毫升 B．升 C．立方米 8．（2024·河北保定·期末）泳池的周长是 56米，宽是 8米，深是 2.5米。要在 泳池的内壁贴瓷砖。求贴瓷砖的面积，下面错误的是( )。 A．56×2.5 B．（56÷2－8）×2.5＋8×2.5×2 C．（56÷2－8）×2.5×2＋8×2.5×2 9．（2024·四川凉山·期末）下面有( )个图形能折成正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2024·四川南充·期末）母亲节那天，文文买了一个礼品要送给妈妈作为节 日礼物，得精心包装一番（如图所示），在选用丝带捆扎这个礼品盒时，遇到了 一个问题，“要捆扎这种礼品盒至少需要准备( )厘米长的丝带”。（接头 处长 15厘米） A．40 B．110 C．114 D．129 11．（2024·重庆忠县·期末）如图是测量一颗铁球体积的过程：①将 300毫升的 水倒进一个容积为 500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没 有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这 样一颗铁球的体积大约是( )cm3。 A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70 12．（2021·四川内江·期末）用 8个棱长是 1cm的小木块拼成一个长方体或正方 体，拼成后的表面积最少是( )。 第 22 页 共 24 页 A．34cm2 B．28cm2 C．24cm2 D．20cm2 三、计算题。 13．（2024·海南海口·期末）计算下列图形的表面积和体积。 四、作图题。 14．（2024·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出 长方体的各面。 五、解答题。 15．（2024·海南海口·期末）希望小学有一间长 10米，宽 6米，高 4米的长方 形教室。 （1）这间教室的空间有多大？ （2）现在要在教室四面墙壁上贴 1.2米高的瓷砖，扣除门窗面积 6平方米后， 这间教室贴瓷砖的面积是多少？ 第 23 页 共 24 页 16．（2024·四川凉山·期末）凉山州位于四川省西南部，每年一月至五月天气干 燥雨水少，属于护林防火期，在护林防火区域会准备储存水用的水箱，水箱是一 个铁皮做成的无盖正方体，棱长 25分米（铁皮厚度忽略）。如果每立方米水重 1吨，这个水箱能装水多少吨？ 17．（2024·河北唐山·期末）如图，花花用一张长 30厘米、宽 24厘米的长方形 纸板，从四角各切掉一个边长 6厘米的正方形，然后做成无盖盒子。 （1）如果在盒子外面贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ （2）这个盒子的容积是多少立方厘米？ 18．（2024·湖南邵阳·期末）在一个长 80厘米、宽 50厘米、高 40厘米的长方 体水箱中有 30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为 20厘米的正方体铁块， 这时水箱中水深多少厘米？ 第 24 页 共 24 页 19．（2024·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是 8分 米，宽是 5分米，高是 6分米，水深 5.4分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是 3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不 会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分 米？