13.2.3直线与平面的位置关系（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十三章 立体几何初步 13.2.3直线与平面的位置关系 知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系定义： （1）如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行； （2）如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交； （3）如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内。 2.直线与平面的位置关系： 我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a⊄α. 即学即练 （23-24高一下·湖北·月考）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面平行的性质、线面关系有关命题的判断、用定义证明线面关系 【分析】由点线面位置关系、定理及性质即可判断. 【详解】对于A，如图，若，则或与异面，故A错误； 对于B，，若，则由线面垂直定义，故B错误； 对于C，如图，，此时，故C错误； 对于D，若，则由线面平行性质定理，故D正确. 故选：D. 知识点二 直线与平面平行 1.判定定理：（1）定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （2）符号： 2.直线与平面平行的性质定理：（1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （2）符号：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 即学即练 （2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 【答案】点为棱中点时，证明见解析 【知识点】补全线面平行的条件、证明线面平行 【分析】根据题意确定点为棱中点，通过线面平行的判断定理证明即可. 【详解】当点为棱中点时，此时直线与平面平行， 证明如下：∵点分别为棱和中点， ∴，∵平面，平面， ∴平面． 知识点三 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α。直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，线和平面的交点叫作垂足. 2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 3.直线与平面垂直的性质定理：直于同一个平面的两条直线平行。 4.唯一性结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以 知识点四 点到平面、直线到平面的距离 1.点到平面的距离：平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离。 2.直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离。 即学即练 （24-25高二上·上海·课堂例题）已知长方体的棱、AB和AD的长分别为3cm、4cm和5cm． (1)求点A和点的距离； (2)求点A到棱的距离； (3)求棱AB和平面的距离． 【答案】(1)； (2)5cm； (3)3cm． 【知识点】求直线与平面的距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）（2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理计算即得. （3）利用直线与其平行平面距离的定义求解即得. 【详解】（1）在长方体中，连接， 由平面，平面，得，则， 而，因此， 所以． （2）在长方体中，连接，由平面，平面， 则，而， 所以点A到棱的距离为5cm． （3）在长方形中，平面，平面， 所以AB到平面的距离为，为3cm. 知识点五 平面的斜线与线面角 1.一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段.过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1 Q就是斜线段PQ在平面α内的射影。 2. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角。 即学即练 （23-24高一下·山东烟台·月考）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由线面角的大小求值、求异面直线所成的角 【分析】结合条件根据线面角的定义求得，连接，根据异面直线夹角的定义，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 设，则， 所以，所以， 连接连接，由长方体的性质知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角即为直线与直线所成角， 在中，， 所以由余弦定理得， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A    题型01 判断图形中的线面关系 直线与平面位置关系的判断： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． 典｜例｜精｜析 （24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 【答案】①② 【知识点】判断图形中的线面关系、空间中的点（线）共面问题、平行公理 【分析】由题意可得，，从而得，即可判断①，②；由与的数量关系可得，四边形为梯形，为腰，设，由点线面的位置关系及公理2，可得，从而判断③；求得，，即可判断④. 【详解】解：由题意可得，， ，， 所以且， 所以四点共面，故①，②正确； 所以四边形为梯形，为两底， 因为四边形为梯形，为腰， 所以设， 所以平面，平面， 又因为平面平面， 所以， 所以三线共点，故③错误； 易知三角形为等腰直角三角形， 所以； 设正方体的棱长为1， 在中，, 所以 又因为， 所以， 所以，故④错误. 故答案为：①② 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【详解】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体中，直线与平面的位置关系用符号表示为________． 【答案】平面 【知识点】判断图形中的线面关系 【详解】由长方体的性质可得直线与平面平行， 用符号可表示为平面. 题型02 用定义证明线面关系 典｜例｜精｜析 （20-21高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？ 【答案】直线与平面ABCD相交，直线与平面ABCD相交.证明见解析. 【知识点】用定义证明线面关系、判断图形中的线面关系、空间中的线共点问题、平面的基本性质及辨析 【分析】如图，根据题意可得四边形是梯形，由平面得出直线与平面的交点一定在平面内，进而直线与平面相交，同理可得直线与平面相交. 【详解】①直线与平面相交.理由如下： 在长方体中，点P为的中点， 所以，且， 所以四边形是梯形，所以与AB相交，设交点为M，如图， 所以，又平面，所以平面， 故点M是直线与平面的公共点， 所以直线与平面相交； ②直线与平面相交.理由如下： 如图，连接BD，在长方体中，点P为的中点， 所以，且， 所以四边形是梯形，所以与BD相交，设交点为N， 所以，又平面，所以平面， 故点N是直线与平面的公共点， 所以直线与平面相交. 变｜式｜巩｜固 1.（15-16高一下·湖南·月考）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线________上． 【答案】BD 【知识点】用定义证明线面关系、空间中的线共点问题 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 2.（21-22高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是________． 【答案】或 【知识点】用定义证明线面关系 【分析】分直线在平面外与直线在平面内分别讨论，即可得到结果. 【详解】若直线在平面外，则； 若直线在平面内，符合条件. 或 故答案为: 或 题型03 线面关系有关命题的判断 1.直线与平面位置关系的判断： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． 2.应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设，肯定结论． 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·上海宝山·期末）已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】①由直线与平面的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由直线与平面的位置关系判断；④由直线与平面垂直的性质判断. 【详解】①或，故错误； ②，或与相交，故错误； ③或，故错误； ④由直线与平面垂直的性质知，正确， 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）以下四个命题中正确的是（   ） A．过空间一点作已知平面的垂线有且只有一条 B．过空间一点作已知平面的平行线有且只有一条 C．过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条 D．过空间一点（点不在直线上）作已知直线的平行线有且只有一条 【答案】AD 【知识点】线面关系有关命题的判断 【详解】A选项，根据线面垂直的性质定理，过空间任意一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故A正确； B选项，过空间一点可以作无数条直线与已知平面平行，故B错误； C选项，若点在直线上，则过该点可以作无数条直线与已知直线垂直，故C错误； D选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D正确. 题型04 判断线面平行 线面平行的判定定理，将判断线面平行的位置关系转化为判断这条直线与平面内一条直线的平行关系，为了实现这一目标，“找”或“作”出平面内的这条直线就成了应用判定定理的关键，实际解题时，要充分利用题目中给出的几何体的特征性质或题设条件，借助于三角形的中位线，梯形的中位线，平行四边形，平行线分线段成比例定理，公理4，内错角(同位角)相等时两直线平行等等已学过的平面几何与立体几何知识，作出必要的辅助线来解决． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 【答案】D 【知识点】判断线面平行 【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】，，， ，或． 故选：D. 2．（2023·山东·模拟预测）已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、判断线面平行 【分析】根据线面关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，为平面内的一条直线， 由推不出，如且，此时得不到，故充分性不成立； 由也推不出，事实上当时，或与异面均有可能，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件。 故选：D 题型05 证明线面平行 判定直线与平面平行的两类方法 (1)用定义 ①用反证法说明直线与平面没有公共点； ②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行． (2)用判定定理 设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内． 1.忽略线面平行的判定定理使用的前提条件. 2.线面平行判定定理应用的误区 (1)条件不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】连接，在线段上取一点，使，在线段上取一点，使，连接，结合已知先证，再由线面平行的判定证明结论. 【详解】连接，在线段上取一点，使， 在线段上取一点，使，连接，，， 则，且， 因为，，，分别为棱，，，的中点. 则，且，，， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形， 所以，，所以. 因为平面，不包含于平面，所以平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】利用中位线定理在平面内找到与平行的直线，再通过线面平行判定定理完成证明即可. 【详解】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 2.（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 题型06 补全线面平行的条件 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【知识点】补全线面平行的条件、证明线面平行 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【知识点】证明线面平行 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 【答案】（答案不唯一） 【知识点】证明线面平行、补全线面平行的条件 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定，结合棱柱的几何特征求解. 【详解】 如图，当时，平面，理由如下： 在长方体中，由，得， 由，得四边形是平行四边形， 则，即，而平面，平面， 因此平面，所以当时，平面. 题型07 线面平行的性质及其应用 1.已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线． 2.要证线线平行，可把它们转化为线面平行． 3.线线平行与线面平行可以相互转化：线线平行线面平行 4.要证线面平行，可在平面内找(或作)出一条与已知直线平行的直线，作图的依据是线面平行的性质定理； 5.已知线面平行，可直接找(或作)出经过已知直线且与已知平面平行的平面，则两平面的交线与已知直线平行，因此，线面平行的性质定理是解题思考的突破口． 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【知识点】补全线面平行的条件、证明线面平行 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题：师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面内一点与棱将木料锯开．问题：他应该怎样画线？ 【答案】答案见解析 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行的性质定理确定. 【详解】设平面与平面交于直线，因为平面，所以， 所以在中作过的直线与平行． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、证明线面平行、棱柱的结构特征和分类 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 题型08 判断线面是否垂直 (1)直线与平面垂直定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线． 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·北京西城·期末）在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断线面是否垂直 【分析】由不成立及直线与平面垂直的性质可判断①，由四边形是正方形可判断②，由线面垂直的判断定理可判断③，由不成立及直线与平面垂直的性质可判断④. 【详解】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故①错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故②正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故③正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故④错误； 所以正确的结论是②③. 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面是否垂直 【分析】注意与平行这一特殊情况：，，再结合充要条件分析即可. 【详解】直线平面，则且， 反之，若，则，， 所以“，”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2.（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线l与平面内的一条直线垂直，则 B．若直线l与平面内的两条直线垂直，则 C．若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则 D．若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则 【答案】CD 【知识点】判断线面是否垂直、用定义证明线面关系 【分析】根据题意，结合线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由线面垂直的判定定理知，直线与平面内的两条相交直线垂直时，直线l与平面垂直，所以C正确； 再由线面垂直的定义知，直线与平面内的任意一条直线垂直时，直线l与平面垂直，所以D正确. 故选：CD. 题型09 证明线面垂直 线面垂直的判定方法： (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论． (3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法． 典｜例｜精｜析 （25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求出，，由勾股定理逆定理可得，故，从而证明出平面. 【详解】，∴，， 由余弦定理得， 故， ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. 2.（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 题型10 补全线面垂直的条件 直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可． 典｜例｜精｜析 （22-23高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【知识点】补全线面垂直的条件、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 变｜式｜巩｜固 1．（22-23高一下·江苏镇江·月考）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 2.（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】补全线面垂直的条件、证明线面垂直、余弦定理解三角形 【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解. 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 题型11 线面垂直关系的应用 1．线线垂直和线面垂直的相互转化 2.当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化． 3.要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论．因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用． 典｜例｜精｜析 （24-25高一·全国·假期作业）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）连接，利用中位线性质可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）连接，利用中位线性质可得，首先证明平面，从而得到，同理得到，结合线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得到结论. 【详解】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，中，、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，，， 所以平面，所以平面； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 2．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再由正三棱柱的性质证明，进而由线面垂直的判定定理证得平面，即得； （2）由（1）的结论可得，通过计算边长，利用勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得平面． 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 题型12 求点面距离 求点面距一般有以下三种方法 ①作点到面的垂线，求点到垂足的距离． ②等体积法． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】由线面角的大小求值、线面角的概念及辨析、求点面距离 【分析】由题意作出于H，可得，，中勾股定理解得，即为点到平面的距离. 【详解】过C作于H，连结，则，.    在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【知识点】求点面距离、求线面角、由线面角的大小求值 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 题型13 求直线与平面的距离 1.空间中点、线、面距离的相互转化关系 2.求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离. 典｜例｜精｜析 （24-25高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面平行、求直线与平面的距离 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【知识点】求直线与平面的距离 【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离， 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 2．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【答案】 【知识点】求直线与平面的距离、求点面距离、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 题型14 求线面角（函数值） 求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 易忽视角的范围，无法准确确定函数的单调区间等. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角 【分析】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 【答案】 / / 【知识点】求线面角 【分析】由线面垂直的判定定理证明平面．再由线面角的定义得是与平面所成的角，解三角形即可求解. 【详解】由已知得，和是全等的等边三角形且F是的中点，所以，．又，故平面． 连接，则是在平面内的射影，所以是与平面所成的角． 设空间四边形的边长为a，则在等边三角形中； 在中，． 故． ，故． 故答案为：，. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值． 【答案】． 【知识点】求线面角 【分析】过作面的垂线，即得直线与底面所成的角，求解. 【详解】解：设正四面体的棱长为1． 如图，作平面，垂足为， 则是的重心，故. 过点作，， 则平面．连接， 于是就是直线与底面所成的角． 在Rt中，， ． ∴直线与底面所成的角的正弦值为． 题型15 由线面角的大小求其它量 几何法求线面角的关键是找出线面角(重点是找垂线与射影),然后在三角形中应用余弦定理(或勾股定理)求解; 典｜例｜精｜析 （23-24高一下·山东菏泽·月考）在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于_____________. 【答案】 【知识点】由线面角的大小求值 【分析】由平面，得到是与底面所成角，进而根据条件求出即可. 【详解】由题意可得平面，所以是与底面所成角， 因为与底面所成角的正切值为，所以， 因为底面ABCD为正方形，且边长为，所以，则，所以 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【答案】 【知识点】由线面角的大小求值 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 2．（23-24高一下·陕西渭南·月考）在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=________.（用角度表示） 【答案】 【知识点】求线面角、由线面角的大小求值 【分析】根据线面角的定义，结合题设条件即可求得． 【详解】因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 又，所以在中， ，所以． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 立体几何初步 13.2.3直线与平面的位置关系 知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系定义： （1）如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行； （2）如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交； （3）如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内。 2.直线与平面的位置关系： 我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a⊄α. 即学即练 （23-24高一下·湖北·月考）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点二 直线与平面平行 1.判定定理：（1）定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （2）符号： 2.直线与平面平行的性质定理：（1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （2）符号：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 即学即练 （2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明． 知识点三 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α。直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，线和平面的交点叫作垂足. 2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 3.直线与平面垂直的性质定理：直于同一个平面的两条直线平行。 4.唯一性结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 知识点四 点到平面、直线到平面的距离 1.点到平面的距离：平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离。 2.直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离。 即学即练 （24-25高二上·上海·课堂例题）已知长方体的棱、AB和AD的长分别为3cm、4cm和5cm． (1)求点A和点的距离； (2)求点A到棱的距离； (3)求棱AB和平面的距离． 知识点五 平面的斜线与线面角 1.一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段.过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1 Q就是斜线段PQ在平面α内的射影。 2. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角。 即学即练 （23-24高一下·山东烟台·月考）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型01 判断图形中的线面关系 直线与平面位置关系的判断： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． 典｜例｜精｜析 （24-25高二上·上海浦东新·月考）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是______. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体中，直线与平面的位置关系用符号表示为________． 题型02 用定义证明线面关系 典｜例｜精｜析 （20-21高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？ 变｜式｜巩｜固 1.（15-16高一下·湖南·月考）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线________上． 2.（21-22高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是________． 题型03 线面关系有关命题的判断 1.直线与平面位置关系的判断： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． 2.应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设，肯定结论． 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·上海宝山·期末）已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏·一模）已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）以下四个命题中正确的是（   ） A．过空间一点作已知平面的垂线有且只有一条 B．过空间一点作已知平面的平行线有且只有一条 C．过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条 D．过空间一点（点不在直线上）作已知直线的平行线有且只有一条 题型04 判断线面平行 线面平行的判定定理，将判断线面平行的位置关系转化为判断这条直线与平面内一条直线的平行关系，为了实现这一目标，“找”或“作”出平面内的这条直线就成了应用判定定理的关键，实际解题时，要充分利用题目中给出的几何体的特征性质或题设条件，借助于三角形的中位线，梯形的中位线，平行四边形，平行线分线段成比例定理，公理4，内错角(同位角)相等时两直线平行等等已学过的平面几何与立体几何知识，作出必要的辅助线来解决． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 2．（2023·山东·模拟预测）已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 证明线面平行 判定直线与平面平行的两类方法 (1)用定义 ①用反证法说明直线与平面没有公共点； ②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行． (2)用判定定理 设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内． 1.忽略线面平行的判定定理使用的前提条件. 2.线面平行判定定理应用的误区 (1)条件不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 2.（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 题型06 补全线面平行的条件 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 题型07 线面平行的性质及其应用 1.已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线． 2.要证线线平行，可把它们转化为线面平行． 3.线线平行与线面平行可以相互转化：线线平行线面平行 4.要证线面平行，可在平面内找(或作)出一条与已知直线平行的直线，作图的依据是线面平行的性质定理； 5.已知线面平行，可直接找(或作)出经过已知直线且与已知平面平行的平面，则两平面的交线与已知直线平行，因此，线面平行的性质定理是解题思考的突破口． 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题：师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面内一点与棱将木料锯开．问题：他应该怎样画线？ 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 题型08 判断线面是否垂直 (1)直线与平面垂直定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线． 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·北京西城·期末）在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线l与平面内的一条直线垂直，则 B．若直线l与平面内的两条直线垂直，则 C．若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则 D．若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则 题型09 证明线面垂直 线面垂直的判定方法： (1)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论． (3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法． 典｜例｜精｜析 （25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面； 2.（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 题型10 补全线面垂直的条件 直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可． 典｜例｜精｜析 （22-23高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 变｜式｜巩｜固 1．（22-23高一下·江苏镇江·月考）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 2.（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 题型11 线面垂直关系的应用 1．线线垂直和线面垂直的相互转化 2.当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化． 3.要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论．因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用． 典｜例｜精｜析 （24-25高一·全国·假期作业）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 2．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 题型12 求点面距离 求点面距一般有以下三种方法 ①作点到面的垂线，求点到垂足的距离． ②等体积法． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 题型13 求直线与平面的距离 1.空间中点、线、面距离的相互转化关系 2.求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离. 典｜例｜精｜析 （24-25高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 题型14 求线面角（函数值） 求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 易忽视角的范围，无法准确确定函数的单调区间等. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值． 题型15 由线面角的大小求其它量 几何法求线面角的关键是找出线面角(重点是找垂线与射影),然后在三角形中应用余弦定理(或勾股定理)求解; 典｜例｜精｜析 （23-24高一下·山东菏泽·月考）在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于_____________. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    2．（23-24高一下·陕西渭南·月考）在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=________.（用角度表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $