专题06 旋转重难点题型（五大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题06 旋转重难点题型 【题型1 手拉手模型】...................................................................................................................1 【题型2 “半角”模型】..............................................................................................................10 【题型3 构造旋转模型解题 】....................................................................................................19 【题型4 奔驰模型】....................................................................................................................23 【题型5 费马点模型】................................................................................................................27 【题型1 手拉手模型】 1．如下图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转（）得到，连接，．，交于点，，交于点． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得到，以及，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用得到，最后通过全等三角形的性质即可证明； （2）由得到，根据三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得， ，，， ， 即． 又， ， ， ． （2）解：， ． ， ，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 2．已知和都是等腰直角三角形，， (1)如图①，连接，，求证：； (2)如图②，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了几何变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键． （1）利用证明即可： （2）连接， 证明， 得， 结合等腰直角三角形的性质，即可证． 【详解】（1）证明：， ，即， 和都是等腰直角三角形， ，， ； （2）证明：如图，连接， 是等腰直角三角形， ， 同可证， ，， ， ， ， 在中，， ． 3．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解题的关键是熟练运用知识点进行解题． （1）根据题中所给的信息通过证出； （2）由题意可得，，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ． 4．【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． （1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； ①证明，再由全等三角形的性质和三角形外角的性质即可证明结论，②和的边，再过D作于Y，过B作于X，构造，得相等边对应高相等，从而证明两个三角形面积相等， （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，    ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知和都是等边三角形， 将绕点A逆时针旋转， 连接． 【问题背景】 （1） 如图1， 求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2， 当点D 恰好在边上时， 若， 求 的度数； （3） 如图3， 当点E恰好在 的延长线上时， 若， 则的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是关键． （1）根据等边三角形的性质证明，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，线段和差的计算得到，由此即可求解； （3）过点C作于点 M，可得，在 中， ，由此即可求解． 【详解】解：（1） ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2） ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴． （3）如图3， 过点C作于点 M， ∵都是等边三角形， ∴， ∵点E 恰好在 的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 中， ， ． 6．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解． （1）通过判定证明全等即可； （2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可； （3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ， 又，， ， 在与中 ， ， ； （2）解：由（1）可知 ，， 在等边中，由可得 则， 在中，，， 由勾股定理可得：； （3）解：连接， ， ， 在与中 ， ， ，， ， ， ． 【题型2 “半角”模型】 1．（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请写出理由． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 【答案】（1），见解析；（2）成立，；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的综合运用； （1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （2）设，则，如图，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可证，可得，在中，，可求出的长，由此可表示出的长，再根据线段的关系表示出，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，得到， 四边形中，，，， ，， ，即点，，共线． 由旋转可得，，． ， ， ， 在和中， ， ． 又， ； （2）成立．； 证明：设，则， 如图，将绕点顺时针旋转得到， ，，，． ， ， 点，，在同一直线上． ，， ， ， ， 在和中， ， ； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， 在中，， ，， ，，即， ． ， ，即， 解得 2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 3．当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1），理由见解答；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，根据勾股定理解出即可； （3）（3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【题型3 构造旋转模型解题 】 1．在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到； （2）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕着点按逆时针方向旋转后得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 2.（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 【题型4 奔驰模型】 1．如图，点是等边内一点，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据条件推出，结合等边三角形的性质证明即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明，进而求解． 【详解】（1）证明：由题意知，，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴≌ （2）解：由（1）知，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 2．如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到． (1)求点与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识，理解旋转的性质，熟知等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识是解题关键． （1）根据旋转的性质得到为等边三角形 ，问题得解； （2）根据旋转性质得到，得到，根据勾股定理逆定理证明 ，即可求出； 【详解】（1）解：如图，连接， 为等边三角形， ，． 是绕点逆时针旋转得到的， ，，， 是等边三角形， ； （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴ ， 在中， ∵，，， 而， 即， 是直角三角形，且， 是等边三角形， ， ． 2．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 【答案】（1），（2）6，（3）． 【分析】（1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为； （2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离； （3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数． 【详解】解：（1）∵由绕点A旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴旋转角度数为； （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴, 即点P与点之间的距离为6； （3）在中， 由（1）得：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的度数为． 【点睛】题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键． 【题型5 费马点模型】 1．（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形， ，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案； （4）先由旋转的性质得出，则，推出是等边三角形，那么有，当、、、在一条直线上时，最小，此时，再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中， （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形， ， ， ，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ， ，， 是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小 当最小时， 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 2．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？ (1)问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：； (2)问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________； (3)问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【答案】(1)画图见解析；证明见解析 (2)120°；120° (3) 【分析】（1）问题的转化：根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论； （2）问题的解决：运用类比的思想，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知：当在同一直线上时，的值为最小，当满足时，满足三点共线； （3）问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】（1）解：如图1， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）满足时，PA+PB+PC的值为最小，理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知： 当在同一直线上时，的值最小． 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， 故答案为：，； （3）如图3， 在中， ∵，， ∴，， 把绕点B逆时针旋转60°得到，连接， 由旋转可得，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当在同一直线上时，的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 4．【问题发现】 （1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】 （2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】 （3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出； （2）如图，连接，由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，可得，即可得到，故当点、、、共线时，最小，最小值为的长，连接，作于交延长线于E，求出，则，进一步求出，，则，即的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，同（2）可得当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；设此时交于G，证明，则由三线合一定理得到，则；再证明四边形是矩形，得到，则． 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， 将绕点C逆时针旋转得， ，，， ∴是等边三角形， ∴， ， 当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E， ，边长为， ，， ， ， ，， ， 的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键． 5．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1)①3；②150°； (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出的值； ②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°， 则，， ∴为等边三角形， ； ②∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°， 又∵是等边三角形， ∴∠PAC+=60°， ∴∠BAP=， 在△ABP与中，， ∴△ABP≌（SAS）， ∴ ∴，， ， 又∵旋转，∴； （2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到， 则， 在中，， ， ， 又∵， ，， 过作⊥BC交BC的延长线于点D， 则， ， （30°所对的直角边等于斜边的一半）， ， ，为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题． 6．根据材料回答下列小题 (1)【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形． (3)【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积． (4)【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 【答案】(1)等边 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）【操作发现】：如图1中，只要证明是等边三角形即可； （2）【类比探究】：如图2中，以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题； （3）【解决问题】：如图3中，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题； （4）【拓展应用】：如图4中，将绕点M顺时针旋转，得到，连接，则，，过点E作，交延长线于点F，求出当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长； 【详解】（1）解：等边三角形，理由： ∵绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：如图，以为边长作等边，使 P，D分别在，的两侧，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴  ， 在中，∵， 又∵， ∴， ∴以的长为三边必能组成三角形． （3）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴   ， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴（舍负）， ∴， ∴； （4）如图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接， ∵将绕点M顺时针旋转，得到， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 过点E作，交延长线于点F， 当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长， 最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 旋转重难点题型 【题型1 手拉手模型】...................................................................................................................1 【题型2 “半角”模型】...............................................................................................................5 【题型3 构造旋转模型解题 】....................................................................................................7 【题型4 奔驰模型】....................................................................................................................8 【题型5 费马点模型】...............................................................................................................9 【题型1 手拉手模型】 1．如下图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转（）得到，连接，．，交于点，，交于点． (1)求证：． (2)求的度数． 2．已知和都是等腰直角三角形，， (1)如图①，连接，，求证：； (2)如图②，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：． 3．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 4．【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 5．已知和都是等边三角形， 将绕点A逆时针旋转， 连接． 【问题背景】 （1） 如图1， 求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2， 当点D 恰好在边上时， 若， 求 的度数； （3） 如图3， 当点E恰好在 的延长线上时， 若， 则的面积为 ． 6．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【题型2 “半角”模型】 1．（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请写出理由． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 3．当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【题型3 构造旋转模型解题 】 1．在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 2.（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【题型4 奔驰模型】 1．如图，点是等边内一点，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 【题型5 费马点模型】 1．（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 2．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 3．问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？ (1)问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：； (2)问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________； (3)问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 4．【问题发现】 （1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】 （2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】 （3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 5．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 6．根据材料回答下列小题 (1)【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形． (3)【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积． (4)【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $