程序设计与实数运算、新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

程序设计与实数运算、新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 程序设计与实数运算、新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 考点目录 程序设计与实数运算 新定义下的实数运算 与实数运算相关的规律问题 考点一 程序设计与实数运算 例1．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 例2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 例3．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 变式1．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 变式2．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 变式3．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 考点二 新定义下的实数运算 例1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①是，理由见解析；②证明见解析 【详解】（1）证明：，且， 是一个3阶“汇和数”； （2）证明：若n是一个k阶“汇和数”， 不妨设，， 则， 且， 故是阶“汇和数”； ， 且， 故是阶“汇和数”； （3）①解：505是“汇和数” 理由：由（1）知11是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， 是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， ，，，， 是“汇和数”； ②证明：设，， ， ， 是一个阶“汇和数”． 例2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 【答案】(1)①不是；②是 (2)能被11整除，理由见解析 (3)满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104 【详解】（1）解：中，， 不是“勤奋数”； 中，， 是“勤奋数”； 故答案为：不是，是； （2）证明：设任意一个四位“勤奋数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b， 则十位上的数字为，个位上的数字为， ， ，b均为整数， 也为整数， 能被11整除， 任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除； （3）解：由（2）知“勤奋数”， ，， ， 又为整数， 所以当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 综上，满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104． 例3．（25-26七年级上·福建漳州·月考）新定义：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，． 例如：；． (1)填空：_______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)的值为或或 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：当时，； 当时，； 当时， ， 综上，的值为或或． 变式1．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）定义一种新运算“”： ； ； ； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算表达式； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意可得， 则； （2）解： ， 则， 解得； （3）解：， ． 变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【详解】（1）解：，，， ； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或． 是的相反数，且， ． 当时，， ， 当时，， ． 综上所述，的值为或． 变式3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列各式：定义一种新运算“”： ，， ，， ，…… (1)写出一般性结论： ； (2)计算： (3)若．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，， ，， ，… ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 考点三 与实数运算相关的规律问题 例1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 例2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 【答案】C 【详解】解：∵, , , , , , ... ∴ 当n为偶数时，；当n为奇数时，． ∵ 2025是奇数， ∴ ． 故选：C． 例3．（24-25七年级下·山东德州·月考）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 例4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 例5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算的值______． 【答案】 【详解】解：， ，，，， 则该数列以这三个数循环出现， ， ， ， 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 变式3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 变式4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是_______． 【答案】 【详解】解： 数列可以写为： ，，，，…， 由此可得： 数列的符号为 ，第10项为偶数，故符号为正． 分子中的数字规律：，故第10项，分子为． 分母中的数字规律：，故第10项，分母为． 因此第10个数为． 故答案为：． 变式5．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 【答案】 【详解】解：原式 故答案为：． 变式6．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是_________. 【答案】 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $程序设计与实数运算、新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 程序设计与实数运算、新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 考点目录 程序设计与实数运算 新定义下的实数运算 与实数运算相关的规律问题 考点一 程序设计与实数运算 例1．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 例2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 例3．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 变式1．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 变式2．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 变式3．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 考点二 新定义下的实数运算 例1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 例2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 例3．（25-26七年级上·福建漳州·月考）新定义：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，． 例如：；． (1)填空：_______； (2)求的值． 变式1．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）定义一种新运算“”： ； ； ； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算表达式； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 变式3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列各式：定义一种新运算“”： ，， ，， ，…… (1)写出一般性结论： ； (2)计算： (3)若．求的值． 考点三 与实数运算相关的规律问题 例1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 例3．（24-25七年级下·山东德州·月考）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 例5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算的值______． 例6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 变式1．（24-25八年级下·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 变式4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是_______． 变式5．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 变式6．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是_________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $