6.3.1空间图形基本位置关系的认识（教学课件）数学北师大版必修第二册

§3空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1空间图形基本位置关系的认识 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理 第六章 立体几何初步 1 2 3 了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示。（重点） 了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示。（重难点） 掌握四个基本事实及推论。（重点） 新课导入 以上这些知名的建筑是由各种几何体构成的,其中,长方体形状往往是标志性建筑的主体. 苏州博物馆 水立方（冰立方） 类似长方体这样的空间图形由点、线、面构成.研究空间的点、线、面的关系是研究立体几何的基础.观察图中的长方体,它有8个顶点、12条棱、6个面.12条棱对应12条棱所在的直线,6个面对应6个面所在的平面.这些直线、平面及顶点的位置关系有哪些呢? 初中所学点、直线、平面的表示 点的表示： 直线的表示： 大写字母；如：点A,B,C... 小写字母或两个点；如：直线a,b,AC... 在《西游记》中，如来佛祖对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心.”结果孙悟空真没有跑出如来佛祖的手掌心. 阅读教材，结合上述情境回答如果把孙悟空看作是一个点，他的运动为一条直线，请问如来佛祖的手掌像什么？ 新课导入 读教材 阅读课本P219-P223，5分钟后完成下列问题： 1.空间点、线、面间有哪些位置关系？你能用符号语言表示出来吗？ 2.初中我们学过哪些基本事实？你能用符号语言表示吗？ 3.如何能确定唯一平面？ 我们一起来探究“空间图形基本关系”吧！ 1、平面的概念 (2)无限延展性 (3)没有厚度 (1)平展性 2、平面的特征 现实平面加以抽象的结果，如地面、海平面、桌面 3、平面的画法 4、平面的表示 希腊字母；如：平面α,β,γ... 或用顶点；如：平面ABCD，平面ABC... 或两个对顶点；如：平面AC,BD... 新知探索 一、认识平面 （一）、点与直线、点与平面的位置关系 直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合． “点动成线，线动成面，面动成体” 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 文字表示 图形表示 符号表示 点与直线的位置关系 点与平面的位置关系 （一）、点与直线、点与平面的位置关系 点在直线上 点在直线外 A A 点在平面内 点在平面外 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 1.同一平面内两条直线的位置关系 相交直线 平行直线 (二)、直线与直线、直线与平面的位置关系 a b a b 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 a∩b=B a//b A B C D 2.空间内两条直线的位置关系 （不相交关系） 直线与直线的位置关系 相交关系：记作 不相交关系：记作 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 (二)、直线与直线、直线与平面的位置关系 a∩b=B a∩b=∅ 观察并思考:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 图形表示 文字表示 符号表示 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 3.空间中直线与平面的位置关系 α a α a α a 位置关系 公共点 图形语言 符号语言 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 直线在平面外 A 有无数个 公共点 有且仅有一个公共点 没有公共点 常记作 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 3.空间中直线与平面的位置关系 思考：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”描述的是同一种位置关系吗？ 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 A1B在平面AA1B1B内 A1B和平面A1B1C1D1、平面ABCD、平面AA1D1D、平面BB1C1C相交 A1B和平面CC1D1D平行 典例讲解 例1 观察如图所示的长方体ABCD−A1B1C1D1，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？ 观察并思考: 两个不重合的作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 两个平面平行 两个平面相交 平面α与平面β相交. 记作α∩β=l 平面α与平面β平行. 即α∥β 记作α∩β= β α β l 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 （三）、空间中平面与平面的位置关系 位置关系 公共点 图形语言 符号语言 两个平面平行 两个平面相交 没有公共点 有一条公共直线 新知探索 二、空间图形基本位置关系的认识 α∥β α∩β=l α∩β=l 例2 用符号表示下列语句，并画出图形. （1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B ； （2）点A，B在平面α内，直线a与平面α相交于点C，点C不在直线AB上. 典例讲解 解： （1）用符号表示：，， ，如图. （2）用符号表示： ， ，， ，如图. 符号语言的使用 练习:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系． a l A B a m P b (1) (2) 符号语言的使用 典例讲解 解： （1），，。 。 （2），，。 。 这些是初中平面几何中的一些常用定理(基本事实)，那么，立体几何中也存在着一些常用定理(基本事实)，做为学习空间中位置关系的基础。 ①两点确定一条直线； ②两点之间线段最短； ③过直线外有且仅有一条直线与这条直线平行... 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 生活中经常看到用三角架支撑照相机、自行车，门的合页和锁等． 思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 C A B 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． A C B 记作：平面ABC 图形语言 符号语言 基本事实1： 注意：1.有：存在性 2.只有：唯一性 3.作用：确定平面的主要依据 “三点确定一个平面” 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 思考2：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？ A l A B l 直线l在平面内． 平面经过直线l． 直线l在平面外． 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． A B l 作用：判断直线是否在平面内的依据． 符号语言： 基本事实2： “两点确定一条直线” 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 如图，在长方体中，A，B两点在平面ABCD内，那么整条直线AB都在平面ABCD内；A，D1两点在平面A1ADD1内，那么直线AD1上的所有点都在平面A1ADD1内. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 A α B C 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论 作用：确定一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 例如：用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内。 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 在长方体中，不共线的三点A，C，D1确定平面ACD1（如图6-36(1)）； 直线BC1和直线外一点A确定平面ABC1D1（如图6-36(2)）. 思考3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ B 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 1.判断两个平面相交的依据． 2.判断点在直线上． l P 符号语言： 作用： 基本事实3： 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 基本事实4： 平行于同一条直线的两直线互相平行。 初中学习过“平行与同一条直线的两条直线平行”，这一事实可推广到空间。 判断两直线平行的依据． 符号语言： 作用： a b c 新知探索 三、刻画空间点、线、面位置关系的公理 空间平行线的传递性 例3 四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形 ABCD 中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形. A B D C H E F G 证明：如图，连接BD， ∵FG是△CBD的中位线，∴FG∥BD，FG BD 又∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH BD 根据基本事实4可得：FG∥EH，FGEH ∴四边形EFGH是平行四边形 典例讲解 典例讲解 例4 如图，已知平面 ， ，且.设梯形中，， 且 ， .求证：，， 共点（相交于一点）. 证明： 因为梯形中， ， 所以，是梯形 的两腰， 所以， 必定相交于一点. 设 ， 又因为 ， ，所以 ， ， 所以 . 又因为，所以 . 即，， 共点（相交于一点）. 题型一：证明三线共点问题 典例讲解 方法总结 证明三线共点的步骤 （1）首先说明两条直线共面且交于一点； （2）说明这个点在另外两个平面上，并且这两个平面相交； （3）得到交线也过此点，从而得到三线共点. 提分笔记 典例讲解 巩固训练 如图，在三棱柱中，， . 求证：直线，， 相交于一点. 证明： 如图，连接 . ， ， ，且 . 又，，且 ， 四边形为梯形， 直线，相交,设交点为,则 ， . 又 平面， 平面 ， 平面，且 平面 ， 在平面与平面的交线上，即 ， 直线，， 相交于一点. 典例讲解 例5 已知正方体中，，分别为， 的中点， ， .求证： （1），，， 四点共面； （2）若交平面于点，则，， 三点共线. 证明：（1）如图，连接是 的中位线， .在正方体中， ， ，确定一个平面，即，，， 四点共面. 典例讲解 （2）在正方体中， 设平面为平面 ，平面为平面 . ， .又， . 则是 与 的公共点，同理，是 与 的公共点， . 又， . ，且 ，则 . 故，， 三点共线. 例5 已知正方体中，，分别为， 的中点， ， .求证： （2）若交平面于点，则，， 三点共线. 典例讲解 方法总结 证明三点共线的方法 （1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点， 根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上. （2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 提分笔记 典例讲解 巩固训练 如图，在正方体中，为的中点， 为 的中点.求证： （1），，， 四点共面； （2），， 三线共点. 证明： （1）连接， ，如图所示. ，分别是， 的中点，且 . 又 ， 四边形 是平行四边形， ，从而 ，与 确定一个平面， ，，， 四点共面. 典例讲解 证明：（2）， 直线和必相交. 如图，设 . 平面，， 平面 . 又 平面，， 平面 ， 即是平面与平面 的公共点. 而平面 平面 ， ， 直线，， 三线共点. 巩固训练 如图，在正方体中，为的中点， 为 的中点.求证： （2），， 三线共点. $