精品解析：安徽省芜湖市第一中学2026届高三下学期3月月考数学试题

安徽省芜湖市第一中学2026届高三下学期3月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再求交集运算即可. 【详解】， 所以， 故选：B. 2. 已知，若点D满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 3. 若（i为虚数单位，），则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等，可得，即可根据不等式求解. 【详解】由可得， 所以且， 故，当且仅当时取到等号， 故选：B 4. 箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可. 【详解】，排除A. 既不是奇函数，也不是偶函数，排除D. 在上单调递减，排除C. 的图象符合题中图象，B正确. 故选：B 5. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得、、、均不为，将两式相除得到，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，，显然、、、均不为， 所以，即，所以， 所以， 因为向量与向量互相垂直， 所以 则，又，解得. 故选：C 6. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】易知当时，函数单调递增，且; 当时，函数，易知, 显然当时，恒成立，即在上单调递增； 当时，；当时，， 此时函数的图象大致如下图所示： 若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点， 由上图可知； 当时，根据对勾函数性质可知， 当且仅当时，等号成立； 此时其图象大致如下图： 显然函数的图象与没有交点，不合题意； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题的描述，球内切于圆台，画出圆台的轴截面图，根据圆台的侧面积，和上下底面的面积关系求出球的半径，进而即得. 【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示， 过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则， 设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，， 圆台的侧面积为，解得，则，即， 则球的表面积. 故选：A. 8. 已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【详解】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图： 易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数有极大值 D. 函数在上的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD. 【详解】由题意可得， 因，则，故A不正确； 由得或，由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，故B正确，C正确， ，则函数在上的最小值为，故D不正确． 故选：BC. 10. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用恒等式赋值思想，通过赋值可判断AB，通过作出分段函数图象可判断C，通过分析定义在的二次型函数取到最大值，可得到参数范围来判断D. 【详解】对于A，由题意可知：当时，有，故A正确； 对于B，当时，有， 又因为，所以有，故B错误； 对于C，当时，， 当时，由于，， ，，， 所以，， 作出分段函数和函数图象如下： 由于，直线经过点，而函数的图象不经过点， 则由图象可得，它们只有5个交点，即在上恰有5个零点，故C正确； 对于D，根据当时，由于， 要满足对，在区间有最大值， 则只需要在上存大最大值， 即满足或，解得或， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：通过对恒等式赋值，可转化到定义域内函数解析式求值；通过函数值的伸缩关系作出分段函数图象来判断函数的零点. 11. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则数列也是等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则时取到最小值 D. 若为等比数列，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式推导的表达式，即可判断；根据等比数列的定义即可判断；通过等差数列前项和的二次函数的形式即可判断；根据等比数列前项和的形式与已知条件给出的形式，即可解得. 【详解】因为为等差数列，所以前项和， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，故正确； 因为，若，则所有项都为， 所以数列不是等比数列，故错误； 因为，所以， 所以为等差数列，首项为，公差为， 所以，此二次函数开口向上，对称轴为， 因为，所以当时，取到最小值，故正确； 因为为等比数列，且，故公比不为1， 所以， 所以，所以，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积相等结合半角公式求出，再根据余弦定理可求解. 【详解】由面积相等，可得， 即， 化简得， 又. 由余弦定理可得. 故答案为：. 13. 在公比不为的等比数列中，若，且有成立，则______． 【答案】或##或 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，且， 由，则，故， 又， ， ，即， ，又， ，， 化简整理得，即， 解得或，均满足. 14. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，根据条件得到，，，故，其中，，则或2，当时，，，，分，和，，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案. 【详解】事件，事件，故， 又，故，即， 因为，， 所以，故，即， 又，， 故，所以， 即，所以，故， 其中，，则或2， 若，则， 又，故， ，故， 若，，可令或或或； 若，，可令或或或， 事件，事件 若，则，此时， 此时，故，不合要求，舍去， 综上，满足条件的事件的个数为8. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合余弦定理运算求解即可； （2）利用正弦定理可得，即可得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为，则即为， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得，则， 可得，即， 由（1）可得，则， 即，可得， 所以的面积. 16. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 【答案】（1） （2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据题干条件直接计算即可； （2）写出零假设，列联表，计算卡方对比即可得出结论； （3）先得出，进一步列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； 【小问2详解】 零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． 【小问3详解】 现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则， 所以， 令，解得， 故使事件“”概率最大的的值为20． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点. （1）若点为线段 的中点，求证:直线平面 ； （2）若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，即得，由线线平行证明线面平行即可； （2）先证明平面，取中点，连接，建立空间直角坐标系后，，写出相关点的坐标，利用点到平面的距离公式列出方程，求解得到，利用结合图形，求得，利用空间向量的夹角公式计算直线与平面所成角即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，因点为线段 的中点，故， 因底面为矩形，为的中点，则， 故有，即得，则， 因平面，平面，故有直线平面； 【小问2详解】 如图，因平面平面，平面平面， 为等边三角形，且为的中点，则，故平面， 取中点，连接，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 因为侧棱的中点，则，于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 又，则点到平面的距离为，解得. 因，则， 因， 设平面的法向量为，则，故可取， 设直线 与平面 所成角为，则. 18. 已知函数 . （1）设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求最小值; （3）若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【小问1详解】 由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：； 【小问2详解】 当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的, 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 【点睛】方法点睛：原不等式进行同构函数，然后再利用单调性，化简为简单不等式，再用分离参变量方法,来求解即可. 19. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 ①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省芜湖市第一中学2026届高三下学期3月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，若点D满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若（i为虚数单位，），则最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 6. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 9 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数．则下列结论正确是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数有极大值 D. 函数在上最小值为 10. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 11. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则数列也是等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则时取到最小值 D. 若为等比数列，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则___________． 13. 在公比不为的等比数列中，若，且有成立，则______． 14. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 16. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点. （1）若点为线段 的中点，求证:直线平面 ； （2）若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值. 18. 已知函数 . （1）设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值; （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值; （3）若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $