2026年中考数学三维复习专题23视图与投影、尺规作图

专题23视图与投影、尺规作图（原卷版） 【一维夯实双基】 1．（2025·河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•齐齐哈尔）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•陕西）上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•山东）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•安徽）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•自贡）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·贵州）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（2025•北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 11．（2025•湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．75° 12．（2025•眉山）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 13．（2025•湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 ． 14．（2025·四川南充）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是 ． 15．（2025·黑龙江大庆）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 16．（2025·四川）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 17．（2025•陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D． （1）求∠BCD的度数； （2）若BC＝2.5，求AD的长． 19．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 20．（2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴③ . ∴OP平分∠AOB． 【二维提升能力】 1．（2025•深圳）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（　　） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 2．（2025•凉山州）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同 3．（2025•成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•绥化）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9· 6．（2024·内蒙古包头）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 7．（2025·内蒙古）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 9．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 10．（2025·黑龙江哈尔滨）如图，△ABC中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（　　） A．5 B． C．8 D． 11．（2025·四川成都）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 12．（2025•齐齐哈尔）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 ． 13．（2025•广安）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线AF交BC于点E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 ． 14．（2025·海南）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 15．（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 16．（2025·江苏徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（2025·山东烟台）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． 18．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 19．（2025•江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出BC的中点； （2）在图2中作出△ABC的重心． 20．（2025•山东）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1． （1）求∠ADC的度数； （2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长． 【三维探究创新】 1．（2024·山东烟台）下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（　　）    A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025·黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　） A．7 B．8 C．6 D．5 3．（2025·山东济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 4．（2025·青海西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025·江苏扬州）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 6．（2025•苏州）如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝ .（结果保留根号） 7．（2025•威海）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由； （2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 8．（2025·广东深圳）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求 ； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 9．（2025•威海）问题提出 已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ °； （3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 10．（2025·江苏镇江）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 11．（2025·江苏扬州）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 12．（2025·河北）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为 ； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23视图与投影、尺规作图（解析版） 【一维夯实双基】 1．（2025·河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（　　） A． B． C． D． 解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 2．（2025·广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 解：从左面看得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． ∴它的左视图是： 故选：C． 3．（2025•齐齐哈尔）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（　　） A． B． C． D． 解：如图中飞机的俯视图为选项A的图形． 故选：A． 4．（2025•陕西）上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 解：从上面看这个几何体，可得选项D的图形． 故选：D． 5．（2025•福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 解：从正面看，可得选项A的图形． 故选：A． 6．（2025•山东）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　） A． B． C． D． 解：从正面看，是一行三个相邻的矩形． 故选：C． 7．（2025•安徽）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（　　） A． B． C． D． 解：如图水平放置的“阳马”的主视图为 ． 故选：A． 8．（2025•自贡）如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（　　） A． B． C． D． 解：几何体的主视图是 ． 故选：D． 9．（2025·贵州）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选：D． 10．（2025•北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 解：连接AB，AC，BC， 由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠ACO＝∠BCO，50°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 故选：B． 11．（2025•湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．75° 解：由作图可得： ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，而∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠AOE＝2∠ABD＝60°， 故选：C． 12．（2025•眉山）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 解：由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线， ∴∠BAG＝∠DAG． ∵AD∥BC， ∴∠AGB＝∠DAG， ∴∠BAG＝∠AGB， ∴BG＝AB＝6， ∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4． 故选：A． 13．（2025•湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 ． 解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴点D为AB的中点． ∵点E是AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE3． 故答案为：3． 14．（2025·四川南充）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是 ． 解：连，由作图可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·黑龙江大庆）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2025·四川）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 解：，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 17．（2025•陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P， ∴25°， ∴∠AOP＝25°，CP∥OB， 则点P即为所求． 18．（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D． （1）求∠BCD的度数； （2）若BC＝2.5，求AD的长． 解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°， ∴∠ACB＝∠B＝72°， 由作图可知：CD是∠ACB的角平分线， ∴； （2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°， ∴∠BDC＝∠B， ∴CD＝CB， ∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°， ∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AD＝BC＝2.5． 19．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 解：（1）如图①中，点D即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中，点E即为所求（答案不唯一）． 20．（2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴③ . ∴OP平分∠AOB． 解：图形如图所示： 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴∠POE＝∠POF， ∴OP平分∠AOB． 故答案为：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF， 【二维提升能力】 1．（2025•深圳）如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（　　） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同 解：这个石墩的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 2．（2025•凉山州）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同 解：该几何体的主视图与左视图相同，均为两列，从左到右小正方形的个数分别是3、1．它的俯视图的底层左边是一个正方形，上层是两个正方形． 故选：A． 3．（2025•成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　） A． B． C． D． 解：A．主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B．主视图是一个矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），俯视图是三角形，故本选项不合题意； C．主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意； D．主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是三角形，三角形的内部有一点与三角形的三个顶点相连，故本选项不合题意； 故选：C． 4．（2025•绥化）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱 解：根据主视图和左视图是矩形可知该几何体是柱体，根据俯视图是圆可知该几何体是圆柱． 故选：A． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9· 解： 左视图： 俯视图： ∴该几何体左视图与俯视图的面积和是： 故选：B 6．（2024·内蒙古包头）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形， ∴面积为； 故选：A． 7．（2025·内蒙古）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8．（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°， ∴DB＝DC，∠BDC＝90°， 故选项A，B，C正确． 故选：D． 9．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选：B. 10．（2025·黑龙江哈尔滨）如图，△ABC中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（　　） A．5 B． C．8 D． 解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 11．（2025·四川成都）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 12．（2025•齐齐哈尔）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为 ． 解：设MN交AC于点O， 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴点O为AC的中点，∠CON＝90°． ∵点N为BC的中点， ∴ON为△ABC的中位线， ∴ON∥AB， ∴∠CAB＝∠CON＝90°． ∵BC＝2AB＝8， ∴AB＝4， ∴AC． 故答案为：． 13．（2025•广安）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线AF交BC于点E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 ． 解：连接AD， 由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC， ∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE． ∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD＝13． ∵BC＝23，BD＝13， ∴CD＝BC﹣BD＝10， ∴DE5， ∴AE12． 故答案为：12． 14．（2025·海南）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ． 解：如图，作交于I， ∵菱形， ∴，即， 由作图可知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 解：（1）如图，射线OP即为所求； （2）如图2中，弧CD即为所求． 16．（2025·江苏徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） （1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 17．（2025·山东烟台）如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作，使与关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若交于点，，，求的长． （1）解：如图，即为所求作的三角形； 由作图可得：，，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：； ∴． 18．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 解：（1）正方形EFGH即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD2， ∴OB＝OD， ∵tan∠ADB， ∴OE， ∵四边形EFGH是正方形， ∴OE＝OH，EO⊥OH， ∴EHOE， ∴正方形EFGH的边长为． 19．（2025•江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出BC的中点； （2）在图2中作出△ABC的重心． 解：（1）如图1，点D即为所求． （2）如图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O， 则点O即为所求． 20．（2025•山东）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1． （1）求∠ADC的度数； （2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长． 解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； （2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°， ∴AD＝CD，∠ADB＝60°， ∴∠CDF＝60°， 如图2，连接CF， 由作图过程可知：MN是CD的垂直平分线， ∴FC＝FD， ∴△CDF是等边三角形， ∴FC＝FD＝CD＝AD， ∵AB＝3，∠BAD＝30°， ∴AD2， ∴DF＝AD＝2． 【三维探究创新】 1．（2024·山东烟台）下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（　　）    A．① B．② C．③ D．④ 解： 解：A、取走①时，左视图为  ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．（2025·黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　） A．7 B．8 C．6 D．5 解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 如图：（其中一种情形） 故选：A． 3．（2025·山东济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·青海西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 5．（2025·江苏扬州）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025•苏州）如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝ .（结果保留根号） 解：如图，过点B作BD⊥OC于点D， 由作图过程可知：OC平分MON， ∴∠BODMON＝30°， ∴BDOB2＝1， ∵BC， ∴CD， ∴tan∠BCO， 故答案为：． 7．（2025•威海）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由； （2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 解：（1）结论：四边形EFGH是矩形． 理由：通过折叠的性质可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG， ∵∠AFB＝180°， ∴2∠EFK+2∠KFG＝180°， ∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°， 同法可证∠FGH＝∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； （2）如图，分别以点D、C为圆心，大于DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求． 8．（2025·广东深圳）如图1，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求 ； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． （1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形． ， ， 又， ， ， 切于， ， ； ； ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： 9．（2025•威海）问题提出 已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ °； （3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 解：（1）如图1中，连接BC， ∵AB＝BC，BC， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∴∠α+∠β＝45°； （2）如图2中，连接BC， 由题意，α＝∠BAD，β＝∠DAC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴α+β＝90°． 故答案为：90； （3）如图2中，α＝∠CDH，β＝∠HDF， 在Rt△DGF中，tan（α+β）． 10．（2025·江苏镇江）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． （1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 11．（2025·江苏扬州）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 12．（2025·河北）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为 ； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． （1）解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； （2）解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； （3）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； （4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $