重难点05 几何综合求解题（填空压轴）（5大题型）（重难专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

重难点05 几何综合求解题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 几何综合 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 几何计算填空题 2023年 正方形背景下的线段求值 利用全等、勾股或设未知数求解 2024年 几何综合（中点相关） 构造中位线、运用“8字型”全等 2025年 几何综合（全等+特殊角） 全等三角形、构造30°-60°直角三角形 预计延续几何综合考查，可能结合旋转或相似，需灵活选择解题方法。无刻度直尺网格作图题，大概率仍是圆与三角形结合的背景，考查在圆中作切线、等弧或确定圆心等。 重●难●要●点●剖●析 题型1 折叠相关几何求解 考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．常考折叠与中点、角平分线结合的计算。若出现“折叠后顶点落在边上”，可优先尝试建系法——设折痕解析式，利用垂直平分条件求交点，计算量有时比几何法更直接。 1．（2024·天津南开·二模）在矩形中，，将其沿对角线折叠，顶点的对应点，交于点如图1，再折叠，使点落在处，折痕交于，交于，交于，得到图2，则折痕的长为____________. 【答案】 【分析】由折叠的性质可知△DFM为直角三角形，且DF=AD=2，可证△ABE≌△DE，在Rt△ABE中，由勾股定理求BE，利用△ABE∽△FDM，可得对应边的比相等可求MF，继而求出MN的长． 【详解】解：如图，由已知可得MN垂直平分AD，DF=AD=2，FN=AB=， ∵AB=CD=D，∠A=∠=90°，∠AEB=∠ED， ∴△ABE≌△DE，∴BE=ED, ∠ABE=∠DE 设AE=x，则BE=ED=4-x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得 AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4-x）2， 解得x=，∴AE= ∵∠ABE=∠DE, ∠BAE=∠=90°， ∴△ABE∽△FDM， ∴=，即 ， 解得MF=． ∴MN=NF+FM=+=． 故答案为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的运用．关键是由性质将有关线段进行转化． 2．（2025·天津红桥·一模）如图，有一个矩形纸片，，，E是边上一点，沿着折叠该纸片，得点A的对应点为F，延长与边相交于点G，且G为边的中点． （Ⅰ）线段的长为_______； （Ⅱ）线段的长为_______． 【答案】 【来源】天津市红桥区2025年九年级结课考试（一模）数学试题 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理列方程进行解答是解题的关键． （Ⅰ）根据折叠的性质，可得，利用勾股定理求得的值，即可解答； （Ⅱ）连接，设，利用勾股定理列方程，即可解答． 【详解】解： 四边形为矩形， ， G为边的中点， ， 根据勾股定理可得， 根据折叠可得， ； 如图，连接， 设， 根据勾股定理可得， 可得方程， 解得：． 故答案为：；． 3．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图，在矩形中，点是的中点，点为上一点，将沿折叠后，点恰好落在上的点处，过点作交于点，若，，则______． 【答案】//2.625 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出所需辅助线是解题关键． 4．（2025·天津河北区·三模）如图，一张矩形纸片中，（为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点． （1）当，若，，则的长为________． （2）当点落在的中点时，且，则_______． 【答案】 【详解】（1）连接，过点作于，则，，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴设，， ，则， 由折叠的性质得，，，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ，即，解得， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴； （2）∵， 设，则， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴① ∵，，， ∴， 在中，， ∴②， 解①②得， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键． 5．（2022·天津西青·二模）如图， 边长为的正方形的对角线与交于点， 将正方形沿直线折叠， 点C落在对角线的点处，折痕交于点，交于点，则的长为__________．    【答案】 【来源】2022天津市西青区二模数学试题 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=,,求得,得到，根据折叠的性质得到，求得根据全等三角形的性质即可得到结论。 【详解】过点M作MP⊥CD垂足为P，过点O作OQ⊥CD垂足为Q， ∵ 正方形的边长为， ∴OD＝1, OC＝1, OQ＝DQ＝,由折叠可知，∠EDF＝∠CDF. 又∵AC⊥BD, ∴OM＝PM, 设OM＝PM＝x ∵OQ⊥CD，MP⊥CD ∴∠OQC＝∠MPC＝90°，  ∠PCM＝∠QCO, ∴△CMP∽△COQ ∴ ＝ ,即 ，解得x＝ －1 ∴OM＝PM＝ －1.    【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，添加合适的辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形，是解题的关键． 题型2 最值相关几何求解 1. 识别模型：拿到题先判断动点轨迹是直线还是圆，再确定用哪类模型。 2. 化折为直：几乎所有最值最终都回归到“两点之间线段最短”或“垂线段最短”。 3. 计算落点：确定最值位置后，通常还需利用勾股定理或相似求值，列方程能力是关键。 6．（22-23九下·天津七中·结课质量调查）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为______． 【答案】 【来源】天津市第七中学2022-2023学年九年级下学期结课质量调查数学试卷 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D′，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在边长为4的菱形中，， ∴，，， 将沿射线的方向平移得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，令交于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（2025·天津红桥·三模）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 8．（2025·天津建华中学·模拟）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值____． 【答案】2 【来源】天津市建华中学2024-2025学年九年级下中考模拟预测数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标，解题关键是建立平面直角坐标系． 以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，可得出，，，先求出直线的解析式，再设出点的坐标为，然后证明，从而可得出点的坐标，再求出点的坐标，然后利用两点间的距离求出用表示出，再求出最小值即可． 【详解】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，则，，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 过点作于点，过点作的延长于点，过点作， 则四边形是矩形，，， 所以，又， 所以， 所以，， 因为四边形是矩形， 所以，， 因为四边形是正方形，是对角线， 所以平分， 所以点到的距离等于它到的距离为， 所以到轴的距离为，即点的横坐标为， 所以，所以到的距离为，即点的纵坐标为， 所以点的坐标为， 因为点是的中点， 所以点的横坐标为， 所以，当时，有最小值2， 故答案为：2． 9．（2025·天津南开·二模）如图，矩形中，是直线上一动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点． （1）当点为中点时，__________； （2）线段的最小值是__________． 【答案】 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，取中点G，取中点H，连接， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵F、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的值， 在中，由矩形的性质可得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（2024·天津滨海新区·二模）如图，四边形是正方形，边长为，是边上的动点，在正方形的外侧以为边作正方形，连接，若为的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【来源】2024年天津市滨海新区中考二模数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，垂线段最短，勾股定理，连接，延长交点，连接，可得为等腰直角三角形，进而得，得到为的中位线，即得，可得当取最小值时，取最小值时，由当时，的值最小，此时，点为的中点，得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴    ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当取最小值时，取最小值时， 当时，的值最小，此时，点为的中点，， ∴， 故答案为：． 题型3 几何求解与相似综合 第一步：圈目标。明确要求的是哪条边或哪个比例。 第二步：找三角。寻找包含目标线段且形状确定的三角形。 第三步：造或找相似。若直接相似不存在，通过作平行线、垂线或利用旋转构造相似 11．（2025·天津·一模）如图，在正方形的边上有一点，连接，过点作（点在边右侧），垂足为点，与相交于点，连接，若，点为的中点，且． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段的长为_____． 【答案】 2 【来源】专题04 三角形与四边形的综合（4题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】解：如图，作交于点， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上性质和定理，合理做出辅助线是解题的关键． 12．（2025·天津中新生态城一中·三模）如图，正方形的边长为2，点E是的中点，与交于点 P，F 是上一点，连接分别交于点M，N，且，连接， 则（1）的长为_________．        （2）的长为_________． 【答案】 / 【来源】2025年天津市中新天津生态城一中中考数学三模试卷 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．作于．证明，由全等三角形的性质得出，，由三角形的面积求出，由勾股定理求出，由相似三角形的判定与性质求出，的长，根据勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）作于． 正方形的边长为2，点是的中点， ，，， ， （2）， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ，， ， 故答案为：，． 13．（2025·天津南开·三模）如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且． （1）线段的长为______； （2）线段的长为______． 【答案】 【来源】2025年天津市南开区九年级中考三模数学试卷 【分析】（1）先证明为等边三角形，可得，再证明，推出，再由全等三角形的性质得出结论； （2）先得出是等边三角形，可得，，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）菱形的边长为，为边中点， ， 在菱形中，， ，，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明全等三角形或相似三角形是解题的关键． 14．（2025·天津塘沽一中·三模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为______； （2）若G为的中点，则线段的长为______． 【答案】 【来源】天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年下学期数学第三次中考模拟试卷 【分析】（）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，得到即可； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（2025·天津河北区·二模）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为_____； （Ⅱ）若点是正方形对角线上一点，且，点是线段的中点，连接，线段的长为_____． 【答案】 18 【来源】2025年天津市河北区九年级二模数学试题　 【分析】（Ⅰ）根据正方形的性质，中位线的判定和性质可证四边形是正方形，由此即可求解； （Ⅱ）根据题意得到，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，连接，交于点， ∴，， ∵点是中点， ∴，， 同理，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴平行四边形是正方形， ∴四边形的面积为； （Ⅱ）∵点是线段中点， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴， 由正方形的对角线相互垂直得到，点共线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识的综合，掌握正方形的判定和性质，勾股定理的计算是关键． 题型4 圆相关网格作图（相似类） 圆中找等角常用以下方法： 同弧所对的圆周角相等（最常用） 直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形外角等于内对角 弦切角等于所夹弧对的圆周角 16．（2025·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，均为格点，为的外接圆． （1）的直径长为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使得点为的中点；使得点在线段上，且．简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 【来源】2025年天津市南开区中考二模考试数学试题 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理分别求出的长，根据勾股定理的逆定理可得，从而得到的直径为； （2）分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴的直径为， 即的直径长为． 故答案为：； （2）如图所示，分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求； 根据网格的特点可得分别是的中点，则点O是圆心，由垂径定理可得点为的中点； 如图所示，取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求； 可证明，则；则； 过点C作于T，由（1）可得， 则，则， 则，则有； 故答案为：分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 17．（2025·天津滨海新区·一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，O为格点，经过格点A． （1）半径的长为________； （2）在如图所示网格中，B，C为上两点，P为一格点，请利用无刻度直尺，确定点P，B，C的位置，使四边形为菱形，且满足，并简要说明点P，B，C的位置是如何确定的（不要求证明）________． 【答案】 取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足 【来源】2025年天津市滨海新区中考一模数学试题 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）如图：取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足． 【详解】解：（1）：如图：； （2）如图，取格点P，连接交格线于点D，取格点E和G，连接交格线于点F，作直线，交圆于点B和C，则四边形为菱形，且满足． 由作图可知：为的中点，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、 菱形的判定、圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 18．（2025·天津部分区·一模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，以的边为直径的圆交边于点，，为格点． （）线段的长为______； （）在线段上有一点，满足与以为直径的圆相切于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 6 取格点，，连接，分别与格线交于点，连接，与交于点，则为中点，即圆心；取格点，连接，与圆交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，则点即为所求 【来源】2025年天津市部分区九年级中考一模数学试题 【分析】（）根据直角三角形的性质即可求解； （）取格点，，连接，分别与格线交于点，连接，与交于点，则为中点，即圆心；取格点，连接，与圆交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（）∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）如图，点即为所求． 理由：根据题意可得点分别是中点，点是中点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 结合（1）可得， ∴点为中点，即圆心， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是切线． 【点睛】该题考查了直角三角形的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图象． 19．（2025·天津七中·模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、C、D均为格点，延长交格线于点B，连接， 以线段为直径作半圆． （Ⅰ）线段的长等于_________． （Ⅱ）在半圆上找一点 P，使得，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P 的位置是如何找到的_________．（不要求证明） 【答案】 见解析；找一点Q，使得，且两者是平移关系 【来源】2025年天津市第七中学中考模拟预测数学试题 【分析】本题主要考查三角形的相似、勾股定理，掌握三角形的相似性质并进行正确作图是解题的关键． （Ⅰ）根据勾股定理即可求解； （Ⅱ）根据相似的性质作图即可． 【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，， 故答案为： （Ⅱ）解：作法：取格点F，连接与圆交于点G，可知点G在的延长线上，取格点M、N，交格线I，连接，再延长，与网格线交于点H，取格点T，连接，与交于点Q，连接，与圆交于点P，则点P即为所求， 证明：由作法可得：，且两者是平移关系， ， ， ， ． 20．（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以的边为直径的圆交边于点M，，B、M为格点． （1）线段的长为 _____ ； （2）在线段上有一点N，满足与以为直径的圆相切于点M，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点N，并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明） ___________ ． 【答案】 6 见解析；见解析 【来源】专题08 圆的基本性质与切线（2题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【分析】该题考查了直角三角形的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形． （1）根据直径，再根据直角三角形30度角的性质求解即可； （2）取格点E、F、G、H、R、I、S、Z，连接、、、，分别与格线交于点P、Q、X、Y，连接、，与交于点O，则O为中点，即圆心；取格点D，连接，与圆交于点J，连接并延长，交于点K，连接交于点N，则点N即为所求． 【详解】解：（1）∵为直径 ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：6． （2）如图，点N即为所求． 取格点E、F、G、H、R、I、S、Z，连接、、、，分别与格线交于点P、Q、X、Y，连接、，与交于点O， 则，且，，且，P、Q、X、Y是、、、的中点，点是的中点， ，， ， ， ， 由（1）可知， ， O为中点，即圆心； 取格点D，连接，与圆交于点J，连接并延长，交于点K，连接交于点， ， ，， 、、、、是等边三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ，即是的切线， 与的交点即为所求作点． 题型5 圆相关网格作图（全等类） 1. 半径构成的等腰三角形 2. 垂径定理带来的全等 3. 同弧或等弧所对的弦、角相等 21．（2025·天津南开·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，，，均为格点，以为直径作半圆，半圆的圆心为点． （1）半圆的半径长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，在线段上画出点，使得．要求所作直线不多于5条，并简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【来源】2025年天津市南开区九年级中考三模数学试卷 【分析】本题主要考查了格点作图，圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据是的直径，且即可得到答案； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 【详解】解：（1）∵是的直径，且， ∴半圆的半径长为， 故答案为：； （2）取格点，，连接，与格线（横）相交于点，连接并延长，直线与相交于点；取格点，连接并延长，直线与相交于点，点，即为所求． 如图所示，连接， 可证明，则可证明，则有； 取格点W、S，可证明，则，则； 可证明，且点R为的中点，则， 则． 22．（2025·天津·中考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 见解析 【来源】2025年天津市初中学业水平考试数学试卷（核心卷一） 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直接求解； （Ⅱ）先取圆与网格线的交点和，再连接与网格线相交于点，然后延长与圆交于点，最后取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 【详解】（Ⅰ）解：， 故答案为：； （Ⅱ）取圆与网格线的交点和，连接与网格线相交于点；延长与圆交于点，连接并延长与圆相交于点；取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 理由：， 是圆的直径． 是圆的直径． ， 点是圆心． 是圆的直径， ． ， 又， ， ， ， ， ． ． ， ∵是直径， ∴， 又， ， ， 在与中， ， ． ． 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，解题关键是在于确定圆心，利用直径所对的圆周角是直角，得到圆周角是直角． 23．（2025·天津和平·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． ①线段的长为______； ②过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作圆的切线，与水平网格线相交于点，点在圆上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点（不与点重合），使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 见解析 【来源】2025年天津市和平区九年级三模数学试题　 【分析】①利用勾股定理求解即可； ②连接与网格线相交于点和点，点即为圆心：连接并延长与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接并延长与圆相交于点，则点即为所求，连接，由作图可知，易证四边形是平行四边形，推出，证明，得到是的切线，即可证明． 【详解】解：①； ②解：如图所示为所求： 连接与网格线相交于点和点，点即为圆心连接， ∵， ∴是圆的直径， 由网格知点的中点，即点O是圆心， 由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵是的切线， ， ∴是的切线， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-作切线，圆周角定理，切线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握切线的性质，垂径定理，是解题的关键． 24．（2025·天津和平·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上． （I）线段的长为_______； （II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 见解析 【来源】2025年天津市和平区九年级中考二模数学试题 【分析】（I）结合网格特点，利用勾股定理计算即可得； （II）取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 【详解】解：（I）由图可知，， 故答案为：． （II）如图，取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 证明：如图，取格点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线的交点为的中点，， ∵是等边三角形， ∴， ，的外接圆的圆心在上， 由网格可知，， 由圆周角定理得：是的外接圆的直径， ∴与的交点为的外接圆的圆心， ∴为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为， 由垂线段最短可知，此时的值最小， ∴所作的为等边三角形且的周长最小． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出的外接圆的圆心是解题关键． 25．（2025·天津西青·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于___________； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）___________． 【答案】 见解析 【来源】2025年天津市西青区中考数学一模试卷 【分析】本题考查考查了复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质画图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 【详解】（1）； （2）如图，取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 证明：如图，取格点，连接，设圆的圆心为，连接， ， 根据图形可得， ， ， ， ， 由作图可得且，点分别为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的垂直平分线， ， 所对的圆心角是， ， 为等边三角形； 由作图可得， ， ， , ， ， ， ， 即， 为圆的切线． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．如图，矩形中，E、F分别在边、上，以为折痕折叠，点A、B的对应点分别为H、G，且点H恰好落在边的中点上，若，， （1）则的长度是________； （2）则的长度是________． 【答案】 【分析】（1）证明，，，，求解，设，则，再进一步利用勾股定理计算即可； （2）如图，连接交于，过作于，交于，可得，求解，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形中，，，结合对折： ∴，，，， ∵为的中点， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： （2）如图，连接交于，过作于，交于， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 由对折可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于______； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）取点所在竖向格线与圆的交点，连接交于点，则，点为圆心，取与中间竖向格线的交点，取与竖向格线的交点，作直线交竖向格线的交点，连接交圆于点，过点作直径，连接交直径于点，点P即为所作． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图，点P即为所作， ． 由作图知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 由垂径定理知和关于直径对称， ∴， ∴， ∴点P即为所作． 3．已知一副三角板按如图方式摆放，得到和，其中，， （1）线段的长为___________ （2）点为边上一点，且，交于点，则线段的长为___________ 【答案】 【分析】（1）在中，利用的正切值求出的长，再在中，利用的余弦值求出的长； （2）先求出的度数，根据等腰三角形的性质求出的度数，过点作于点，设，利用三角函数表示出和，根据的长列出方程求出，进而求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）在中，，， ， 在中，， （2）， 过点作于点 设 在中， 在中， ， 解得 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在同一个圆上，且均在格点上，的边上的点F，G均在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点M，N分别在射线上，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）． ______ 【答案】 见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等，垂径定理知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格与勾股定理即可求解； （2）连接，与网格线相交于点O，取格点H，连接与射线相交于点M，连接与圆O交于点I，连接并延长，与圆O交于点J，连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求． 【详解】解：（1）由网格可得：， 故答案为：； （2）连接，与网格线相交于点O，取格点H，连接与射线相交于点M，连接与圆O交于点I，连接并延长，与圆O交于点J，连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求，如图： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点05几何综合求解题 ◆分父的◆ 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/考向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 考向几何综合 第三部分重甜提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆》父)◆- 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 几何计算填空题 2023年正方形背景下的线段求值利用全等、 预计延续几何综合考查，可能结合旋转或相似，需灵 勾股或设未知数求解 活选择解题方法。无刻度直尺网格作图题，大概率仍 2024年几何综合（中点相关）构造中位线、 是圆与三角形结合的背景，考查在圆中作切线、等弧 运用“8字型”全等 或确定圆心等。 2025年几何综合（全等+特殊角）全等三角 形、构造30°-60°直角三角形 题型1折叠相关几何求解 题型4圆相关网格作图（相似类） 几何综合求解题 题型2最值相关几何求解 题型5圆相关网格作图（全等类）】 题型3作垂直 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重●难●要●点●剖●析 。型1折叠相送几何求解 回棉豪妙什 考查一次函数的综合应用.熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关 键，常考折叠与中点、角平分线结合的计算。若出现“折叠后顶点落在边上”，可优先尝试建系法一一设 折痕解析式，利用垂直平分条件求交点，计算量有时比几何法更直接。 1.(2024天津南开.二模)在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,将其沿对角线BD折叠，顶点C的对应点C, BC'交AD于点E如图1，再折叠，使点D落在A处，折痕MN交CD于M,交BD于N,交AD于F,得 到图2，则折痕MN的长为 C C' D B 图1 图2 2.(2025·天津红桥.一模)如图，有一个矩形纸片ABCD,AB=12,AD=10,E是边AB上一点，沿着 DE折叠该纸片，得点A的对应点为F,延长DF与边BC相交于点G,且G为边BC的中点. B (I)线段FG的长为 (Ⅱ)线段AE的长为 3.(2025天津市和平区益中学校.一模)如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，点F为AB上一点， 将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落在CF上的点G处，过点F作FH∥AD交EG于点H,若AB=I6, AD=24,则GH=一： E D G B 2025大津河北区三模)加图，一张知形纸片ABCD中，m(m为常数).将矩形纸片A8C 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M,CD与HM交于点P. (1)当m-若an∠BEH-等，F=25,则BH的长为 C2)当点H落在BC的中点时，且CP=} CD3,则m= M H E B 5.(2022天津西青二模)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形 ABCD沿直线DG折叠，点C落在对角线BD的点E处，折痕DG交AC于点M,交EC于点F,则OM的 长为 。题型2最值相送几何求解 回棉豪妙计 1.识别模型：拿到题先判断动点轨迹是直线还是圆，再确定用哪类模型。 2.化折为直：几乎所有最值最终都回归到“两点之间线段最短”或“垂线段最短”。 3.计算落点：确定最值位置后，通常还需利用勾股定理或相似求值，列方程能力是关键。 6.(22-23九下·天津七中结课质量调查)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿 射线AC的方向平移得到△A'D'C',分别连接A'B,D'B,则A'B+D'B的最小值为 D 7.(2025·天津红桥三模)如图，在菱形ABCD中，M,N分别是边CD,BC上的动点，连接AM,MN, P,Q分别为AM,MN的中点，连接PQ.若LB=45°，AB=4,则PQ的最小值为 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N 8.(2025·天津建华中学.模拟)如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一动点，连接CE,将CE绕点C顺 时针旋转90得到CF,连接EF,DF,若正方形ABCD的边长为4，取EF的中点G,连接DG,求DG的 最小值· D G E B 9.(2025·天津南开二模)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P是直线AD上一动点（不与AD重合）， 连接BP,过C点作CE⊥BP,垂足为点E,点F为CE的中点. (1)当点P为AD中点时，CE= (2)线段DF的最小值是 10.(2024天津滨海新区二模)如图，四边形ABCD是正方形，边长为6，M是AD边上的动点，在正方 形ABCD的外侧以AM为边作正方形AMEF,连接BE,若N为BE的中点，连接MN,则线段MN的最小 值为 D M B 题型3几何求解与相心综合 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 回棉豪妙竹 第一步：圈目标。明确要求的是哪条边或哪个比例。 第二步：找三角。寻找包含目标线段且形状确定的三角形。 第三步：造或找相似。若直接相似不存在，通过作平行线、垂线或利用旋转构造相似 11.(2025·天津.一模)如图，在正方形ABCD的边AD上有一点E,连接BE,过点E作EF⊥BE(点F在 CD边右侧)，垂足为E点，EF与CD相交于点G,连接DF,若∠CDF=45°，点G为EF的中点，且 DG=1. E D G (I)线段DE的长为 (IⅡ)线段BE的长为 12.(2025·天津中新生态城一中.三模)如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于 点P,F是CD上一点，连接AF分别交BD,DE于点M,N,且AF⊥DE,连接PN, E 则(1)AE的长为 (2)PN的长为 13.(2025·天津南开.三模)如图，菱形ABCD的边长为4√5，∠A=60°，E为AB边中点，F为对角线BD 延长线上一点，连接CE,CF,EF,EF与AD相交于点H,且∠ECF=60°. F (1)线段FD的长为： (2)线段AH的长为 14.(2025·天津塘沽一中.三模)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE,DE,F是DE 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB于点G.正方形ABCD的边长为4 (1)若BF=√5，则线段FG的长为； (2)若G为AB的中点，则线段AF的长为 D B 15.(2025·天津河北区.二模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的 中点，连接AC. H (I)四边形EFGH的面积为； (Ⅱ)若点P是正方形对角线AC上一点，且AP=42,点M是线段FG的中点，连接PM,线段PM的长 为 ◆题型4圆相关网格作图（相心似类） 回棉豪妙社 圆中找等角常用以下方法： 同弧所对的圆周角相等（最常用） 直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形外角等于内对角 弦切角等于所夹弧对的圆周角 16.(2025·天津南开二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B,C均为格点，⊙0为ABC的 外接圆. (1)⊙0的直径长为： 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P和点Q,使得点P为AC的中点；使得点Q在线 段AB上，且∠CQB=45°.简要说明点P,点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 17.(2025天津滨海新区.一模)如图，在每个小正方形边长为1的网格中，0为格点，⊙0经过格点A. (1)⊙0半径0A的长为 (2)在如图所示网格中，B,C为⊙0上两点，P为一格点，请利用无刻度直尺，确定点P,B,C的位置， 使四边形ABPC为菱形，且满足∠BAC=60°，并简要说明点P,B,C的位置是如何确定的（不要求证明） 18.(2025天津部分区.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以ABC的边AB为直径的圆交 BC边于点M,∠ABC=60°，B,M为格点. B M (I)线段AB的长为 (Ⅱ)在线段AC上有一点N,满足MN与以AB为直径的圆相切于点M,请用无刻度的直尺，在如图所示 的网格中，画出点N,并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明） 19.(2025天津七中.模拟)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、C、D均为格点，延长DC交 格线于点B,连接AB,以线段AB为直径作半圆. (I)线段CD的长等于 (Ⅱ)在半圆上找一点P,使得∠PAB=∠DBA,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P,并简 要说明点P的位置是如何找到的 ·(不要求证明) 7/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.(2025天津.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以ABC的边AB为直径的圆交BC边 于点M,LABC=60°，B、M为格点. (1)线段AB的长为 (2)在线段AC上有一点N,满足MN与以AB为直径的圆相切于点M,请用无刻度的直尺，在如图所示的 网格中，画出点N,并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明） ◆题型5圆相送网格图（全等类） 回棉素妙竹 1.半径构成的等腰三角形 2.垂径定理带来的全等 3.同弧或等弧所对的弦、角相等 21.(2025天津南开三模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B,C,D,E均为格点， 以AB为直径作半圆，半圆的圆心为点O. B (1)半圆的半径长为 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心0，在线段DE上画出点P,使得 ∠ACP=3∠AC0,要求所作直线不多于5条，并简要说明点0，点P的位置是如何找到的（不要求证明） 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22.(2025天津.中考)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A,B,C及点D均在格点上. (I)线段AB的长等于 (IⅡ)P为CD上一点，连接BP,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q,使△PBQ为等腰 直角三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 23.(2025·天津和平.三模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上。 B ①线段AC的长为 ②过点A,B,C作圆，经过圆与水平网格线的交点D作圆的切线，与水平网格线相交于点P,点M在圆 上.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M(不与点D重合)，使PM=PD,并简要说明点 M的位置是如何找到的（不要求证明） 24.(2025·天津和平.二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶 点A,B均在格点上 B (I)线段AB的长为 ； 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (II)若点P在线段AB上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P和点Q,使△CPQ为等边三 角形且BPQ的周长最小，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 25.(2025·天津西青.一模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段AB的两个端点均落在格点上. (1)线段AB的长等于 (2)经过点A,B作圆，若AB所对的圆心角是120°，请在圆上找一点M,使△ABM是等边三角形：再过 点B作圆的切线BP.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M和切线BP,并简要说明它们的 位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条） 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：30分钟) 1.如图，矩形ABCD中，E、F分别在边AD、BC上，以EF为折痕折叠，点A、B的对应点分别为H、G, 且点H恰好落在边CD的中点上，若AB=2,BC=4, (1)则DE的长度是 (2)则EF的长度是 2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC内接于圆，点A,B均在格点上，且∠ABC=90°. D B (1)线段AB的长等于 10/11