重难点04 一次函数图像分析与综合应用题（4大题型）（重难专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

重难点04 一次函数图像分析与综合应用题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 一次函数行程问题 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2023年 宿舍→体育场→文具店→宿舍 单人往返+两人追及 李明从体育场出发追及张强 2024年 家→画社→文化广场→家 单人往返+两人相遇 爸爸从家出发，在途中相遇 2025年 家→书店→公园→家 单人往返+妈妈散步 妈妈同时出发散步到公园。 1. 分段函数仍是核心2. 两人问题概率高3. 不等式结合4. 图象信息量增加 备考建议： 1. 强化分段函数训练2. 掌握相遇问题通法 3. 练好单位换算4. 积累典型情境 重●难●要●点●剖●析 题型1 两人同向而行 1. 明确“追及”条件。 2. 利用函数交点求相遇时间。 3. 距离差与速度差的关系，当速度差恒定，距离差随时间是线性变化的。 4. 分段函数与图象分析。 1．（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2； (2)； (3)或． 【来源】专题06 反比例函数与一次函数的性质与应用（3题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ； ∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为， ∴． 故答案为：40，5． ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5； ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； （2）解：当时，设函数解析式为， 将代入得：，求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 将代入得： ，解得， 当时， 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为； （3）解：设乙的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为． 根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 综上，或70． ∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或． 2．（2025·天津市和平区益中学校·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【来源】2025年天津市和平区益中学校中考一模数学试卷 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 3．（2025·天津·中考）甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． (1)填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； (2)若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①360；②120；③60；④80；⑤ (2)或 【来源】2025年天津市初中学业水平考试数学试卷（核心卷一） 【分析】此题考查了一次函数的应用和从函数图象获取信息，数形结合是关键． （1）①根据函数图形信息，即可求出相应结果； ②判断，结合函数图形信息，即可求出相应结果； ③利用速度=路程÷时间求解即可； ④利用速度=路程÷时间求解即可； ⑤分，，三种情况讨论即可； （2）设乙车离开城的距离为，分两种情况求解即可． 【详解】（1）①根据图象可得A，B两城相距为360； ②当甲车出发时，距离城； ③当时，甲车的速度为：； ④当时，甲车的速度为：； ⑤当时，； 当时，； 当时，设关于的函数解析式为， 代入，得： 解得 所以． 故答案为：①360；②120；③60；④80； （2）设乙车离开城的距离为， 乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶， ． 把代入，可得． ． 当时，． 时，，即 解得． ∴两车相遇时，甲车离开城的时间或． 4．（2025·天津河北区·三模）“龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快．它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发．兔子一个箭步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢．当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己．但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点．”图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)填空：折线表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，赛跑的全程是 米． (2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？ (3)乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？ (4)兔子醒来，以千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了.分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】(1)兔子，乌龟， (2)兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米 (3)乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子 (4)兔子中间停下睡觉用了分钟 【详解】（1）解：龟兔赛跑中兔子有睡觉停滞阶段，折线有水平部分， ∴代表兔子路程与时间关系； 乌龟持续爬行，线段代表其路程与时间关系；图象终点纵坐标为， ∴赛跑全程是米， 故答案为：兔子，乌龟， （2）解：结合图象得出：兔子在起初每分钟跑米． （米） 乌龟每分钟爬米． （3）解：（分钟） 乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子． （4）解：千米米 （米/分） （分钟） （分钟） 兔子中间停下睡觉用了.分钟． 5．（2025·天津红桥·三模）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 【答案】(1)25，10 (2)10；1.5 (3) (4)或 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； （2）解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； （3）解：当时，设， 代入得，， 解得 ∴； 甲乙第一次相遇时，， 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ． 综上，与的关系式为 （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 故答案为：或． 题型2 两人相向而行 注意区分不同类型： 1. 两地同时出发，相向而行 2. 一人先出发，另一人后出发 3. 涉及休息或变速 4. 图象信息题从图象读取起点纵坐标（即两地距离），交点坐标（相遇时间与位置），斜率计算速度。 6．（2025·天津南开·三模）、两辆汽车同时从相距千米的甲、乙两地相向而行，（千米）表示汽车与甲地的距离，（分）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与的关系． (1)表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？ (2)汽车的速度是多少？ (3)求，分别表示的两辆汽车的与的关系式． (4)小时后，两车相距多少千米？ (5)行驶多长时间后，、两车相遇？ 【答案】(1)表示汽车到甲地的距离与行驶时间的关系 (2)汽车的速度是千米/分； (3)， (4)小时后，两车相距千米 (5)行驶分钟，、两车相遇． 【详解】（1）函数图形可知汽车是由乙地开往甲地，故表示汽车到甲地的距离与行驶时间的关系； （2）（千米/分）； （3）设为 把点，代入得 所以 设为 把点代入得 所以 （4）当时， （千米）； 所以小时后，两车相距千米； （5）当时， 解得 7．（2024·天津滨海新区·一模）甲、乙两车分别从M，N两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系如图所示． (1)M，N两地之间的公路路程是____________，乙车的速度是____________，m的值为____________； (2)求线段的解析式． (3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距． 【答案】(1)300，60，5 (2) (3)小时或小时 【详解】（1）解：由图可知M，N两地之间的公路路程是300； 乙车的速度是：； 甲车的速度是：； ∴ （2）设EF的表达式为： 将（，210）、（3，0）代入表达式得 解得： ∴ （3）两车相遇前： 两车相遇后： 故甲车出发h或h，两车相距． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，正确解读题意，结合图象求出甲、乙的速度是解题的关键． 8．（2022·天津东丽区·二模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知，两地之间有一条长为180千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以40千米/时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．图中表示甲车行驶的时间，表示甲、乙两车的距离． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①乙车的速度为______千米/时； ②______；     ③______． (2)直接写出甲、乙两车相遇后关于的函数关系式． 【答案】(1)①50；②3.6；③4.5； (2)． 【来源】2022年天津市东丽区九年级二模数学试题 【分析】（1）①结合图象可知：甲乙两车2小时行驶的距离和是180千米，设乙车的速度为x千米/时，列方程求解即可；②因为乙车速度快，所以先到达终点，结合函数图象可知a为乙车到达终点的时间，利用即可求出a的值；③从图象可知b是甲车到达终点的时间，利用即可求出b值; （2）由图可知相遇后的函数包括两段：，，求出当时，，利用待定系数法求解析式即可． 【详解】（1）解：①设乙车的速度为x千米/时，则结合图象可知： ，解得：，即乙车的速度为50千米/时， ② 因为乙车速度快，所以先到达终点，结合图象可知a为乙车到达终点的时间， ∴ ③从函数图象上可知b为甲车到达终点的时间， ∴， 故答案为：①50；②3.6；③4.5； （2）解：由图象可知：当时，， ∴函数图象过，，， 设，将，，代入可得： ，解得：， ∴， 设，将，代入可得： ，解得：， ∴， 综上所述：甲、乙两车相遇后关于的函数关系式为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用：行程问题，解题的关键是理解题意，结合函数图象获取有用信息，理解每个点所表示的意义，会利用待定系数法求函数解析式． 9．（2023·天津西青·二模）一辆轿车从宁波开往杭州，一辆货车从杭州开往宁波，两车同时出发，分别以各自的速度在同一条高速路上匀速行驶．15分钟后，轿车司机发现有重要文件遗忘在宁波，便立即返回取得文件后再从宁波开往杭州（取文件时间忽略不计），结果轿车先到达杭州，货车继续行驶到宁波．设货车行驶时间为（），两车之间的距离为（），与的函数图象如下图所示，请回答下列问题： (1)求两车的速度． (2)说明点所表示的实际意义． (3)求直线的函数解析式． 【答案】(1)货车速度80/h，轿车速度120/h (2)货车出发1.1小时与轿车相遇 (3) 【详解】（1）解：由图象知，货车总行驶时间为2小时， 货车的速度为：/h， 轿车的速度为：/h， （2）设货车行驶时间为，两车相遇， 即80x+120（x-）=160， 解得x=1.1 即点所表示的实际意义：货车出发1.1小时与轿车相遇； （3）由（2）知，B（1.1，0） 相遇后，轿车继续行驶到达杭州的时间为： 此时，两车相距 即 设直线BC的解析式为：，代入B（1.1，0），得 解得 ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式、一元一次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 10．（2022·天津滨海新区·二模）甲、乙两车分别从相距的M、N两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达M地后停止行驶，甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距N地的路程y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：    (1)甲车的行驶速度是           ，乙车的行驶速度是        ，                ； (2)求线段的解析式并写出自变量的取值范围； (3)乙车出发多少小时后两车相距为？请直接写出答案． 【答案】(1)，，240； (2) (3)或或 【详解】（1）解：由题意得：乙车的行驶速度是， ∴， ∴甲车的行驶速度是， 故答案为：，，240； （2）解：∵甲车到达N地的时间为小时， ∴点B的坐标为， ∵甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴线段的解析式为； （3）解：设乙车出发t小时后两车相距， ①第一次相遇前， 由题意得：， 解得：， ②第一次相遇后，甲车到达N地前， 由题意得：， 解得：， ③甲车到达N地后，第二次相遇前， 由题意得：， 解得：， 综上所述：乙车出发或或后两车相距为． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，待定系数法求一次函数解析式以及一元一次方程的应用，读懂函数图象是解题的关键． 题型3 单人单向 1. 画图习惯：拿到题先画线段图标注两地距离、速度方向，再转化为函数图象。 2. 分段处理：遇到休息、变速、先后出发时，明确时间分段，分别写出解析式。 3. 单位统一：注意速度单位与时间单位一致。 11．（2026·天津北辰实验中学·一模）李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14 李磊离开家的距离（米） 800 600 1500 (2)填空： ①李磊家到学校的路程是______； ②李磊在文具店停留了______； ③李磊从文具店到学校的骑行速度是______米/分钟； (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (4)若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校．已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？（请直接写出答案） 【答案】(1)1200，600 (2)①1500；②4；③450． (3) (4)她在途中遇到李磊时是离开家分钟或分钟 【详解】（1）解：填表： 李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14 李磊离开家的距离（米） 800 1200 600 600 1500 （2）①由图像可知，李磊家到学校的路程是； ②李磊在文具店停留了； ③李磊从文具店到学校的骑行速度是（米/分钟）； 故答案为：①1500；②4；③450． （3）从图中可以看出，在时，图象分为三段． 当时，设函数解析式为， 由图得， 解得， ∴， 当时， 图象为平行于x轴的线段，所以． 当时，设函数解析式为， 由图得， 解得 ∴． 综上所述，． （4）设王淼在途中遇到李磊时是离开家x分钟，根据题意得： 或， 解得或， 即她在途中遇到李磊时是离开家分钟或分钟． 12．（2025·天津红桥·三模）已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1) ①2，1.2，0.4；②0.08；③当时，；当时，；当时，． (2) 【来源】2025年天津市红桥区中考三模数学试题 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据小明的运动过程，计算得出小明离开学校时，小明离家的距离，再结合函数图象信息填表即可； ②根据速度、时间、路程的关系求解，即可解题； ③结合函数图象，利用待定系数法分情况求解，即可解题； （2）设小亮离家的距离关于时间的函数解析式为，根据题意得到过点，，利用待定系数法求出解析式，再联立求解，即可解题． 【详解】（1）解：①由小明的运动过程可知，小明离开学校时，小明在书店到超市的路程中间，即小明离家的距离为， 根据图象填表如下： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 2 1.2 0.4 故答案为：2，1.2，0.4； ②小明从超市返回家的速度为； 故答案为：0.08； ③当时，设解析式为， 则，解得， 故； 当时，； 当时，设解析式为， 则，解得， 故． （2）解：小明的哥哥小亮离家的距离关于时间的函数解析式为， 当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，且小亮比小明早返回家； 过点，， 则，解得， ， 联立与，解得， 小亮在返回家的途中遇到小明时离家的距离是． 13．（2025·天津滨海新区·一模）已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 (2)填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； (3)当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 【答案】(1)100，86 (2)64，2 (3) 【来源】2025年天津市滨海新区中考一模数学试题 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键． （1）先求出小张前的速度，然后求出小张时，离B地的距离，最后根据图像得出时，离B地的距离，即可获得答案； （2）根据图像求出A地到汽修厂的距离即可；根据图像求出小张从汽修厂出发到B地的速度即可； （3）根据函数图像，分两种情况：当时，当时，分别求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，小张前的速度为： ， 则时，小张离B地的距离为： ； 由图像可知，当小张离开A地时，距离B地， 填表如下： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 100 86 86 （2）解：根据图像得：A地到汽修厂的距离为； 小张从汽修厂出发到B地的速度为： ； （3）解：根据函数图象可知：当时，小张离B地的距离为， 因此当时，； 当时， 设小张离B地的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入， 可得， 解得， ∴此时． 综上所述，小张离B地的距离关于时间的函数解析式为： ； 14．（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【来源】2025年天津市和平区九年级中考一模数学试卷 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 15．（24-25九下·天津河西·结课质量调查）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为，乙、丙码头之间的距离为．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离与时间之间的对应关系． (1)①根据题中所给信息，图中的值为 ，的值为 ； ②填表： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 (2)请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离关于时间的函数解析式； (3)在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；；②填表见解析 (2) (3)货轮在行驶途中能遇到游轮，相遇地距离甲码头的路程． 【来源】2025年天津市河西区2024-2025学年度九年级结课质量调查 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用； （1）①先求解甲，丙码头的距离之和可得的值，再求解游轮的速度，从乙码头到丙码头的时间，进一步可得的值；②结合①中速度再填表即可； （2）分，，求解函数解析式即可； （3）设货轮经过小时追上游轮，可得，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：①由图象可得：， ∴从乙码头到丙码头的时间为：， ∴，； ②填表如下： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 （2）解：当， 结合（1）得：， 当时， ∴， 当时， 设函数解析式为， ∴， 解得：， ∴； 综上：； （3）解：∵游轮的速度为， ∴货轮的速度为， 设货轮经过小时追上游轮， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴货轮在行驶途中能遇到游轮，相遇地距离甲码头的路程． 题型4 单人往返 注意区分不同类型： 1. 往返速度相同 2. 往返速度不同 3. 中途休息 4. 图象信息题从最高点纵坐标读 d，从左右段斜率读速度，水平段长度读休息时间。 16．（2024·天津红桥·三模）已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.4；2；1．②0.2．③． (2) 【来源】2024年天津市红桥区九年级中考三模数学试卷题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ②根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ③利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （2）根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【详解】（1）解：①小明从宿舍到文具店过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：, 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为, 小明从自习室返回宿舍过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：． ②由①可知小明从自习室到宿舍的骑行速度为． ③当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为0.8， ∴， 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴ 综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：． 故答案为：①0.4；2；1．②0.2．③． （2）设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴， ∵小杰在前往自习室的途中遇到了小明， ∴， 解得， 此时离宿舍的距离为：， 答：小杰在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 17．（2025·天津南开区·二模）已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家，图书馆离小王家．小王从家出发，先用了匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到图书馆读书，在图书馆读书后，用了匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小王离开家的时间/min 10 20 40 160 小王离家的距离/km 3.6 0 ②填空：小王从体育场到图书馆的速度为_____________； ③当时，请直接写出小王离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1.8，3.6；②0.09；③； (2)． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 小王离家的时间 10 20 40 160 小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0 故答案为：1.8，3.6； ②小王从体育场到图书馆的速度为， 故答案为：0.09； ③当时，设y与x的函数解析式为， 把，代入得，，解得：， ∴； 当时，， ∴小王离家的距离y关于时间x的函数解析式为：； （2）小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为， 设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王， 则，解得：， 此时离他们家的距离为． 18．（2025·天津河西·二模）已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； (2)小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，，；②；③当时，；当时，；当时， (2)米 【来源】2025年天津市河西区中考二模数学试题 【分析】（1）①分别求出“”、“”、“”的函数表达式，再根据自变量的值求出相应函数值即可； ②根据函数图象找出小桐在博物馆停留函数图象求解； ③分别求出“”、“”、“” 的函数表达式即可； （2）设小桐用了与小海在途中相遇，小桐行走的速度为，列出一元一次方程求解，再求出相遇时他们距离博物馆的路程． 【详解】（1）解：①当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 取，； 当时，， 所以当时，； 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，， 故答案为：，，； ②填空：小桐在博物馆停留的时间为（）， 故答案为：； ③当时，由①可知函数表达式为； 当时，函数表达式为； 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，小桐离家的路程关于时间的函数解析式为： ； （2）设小桐用了分钟与小海在途中相遇，小桐行走的速度为， 则， 解得：， 相遇时他们距离博物馆的路程是（） 答：相遇时他们距离博物馆的路程是． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，行程问题(一次函数的实际应用)，求一次函数解析式，一元一次方程的行程问题，解题关键是列出函数表示式． 19．（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①，，；②120；③；④当时，；当时， (2) 【来源】2025年天津市和平区九年级三模数学试题　 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据函数图象得出每个小明离开家的时间所对应的离家的距离，进行作答即可； ②运用时间相减即可作答； ③根据路程除以时间等于速度，即可作答． ④根据函数图象得当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为；设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为，运用待定系数法进行作答即可． （2）先由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为，得到当小明离开科技馆时，小明已经走了，再设小华和小明相遇时，小华走了分钟，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据函数图像， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为， 小明离家时，离家的距离为； 故答案为：，，； ② ∴小明在科技馆参观学习花费的时间为； 故答案为：120； ③ ∴小明从科技馆返回家的速度为； 故答案为：； ④依题意，当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； 设当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为， 依题意，把，代入得， ， 解得， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为； （2）解：由（1）可知，小明从科技馆返回家的速度为， 当小明离开科技馆时，小明已经走了， 设小华和小明相遇时，小华走了分钟，小华的速度为， ∴， 解得， 则， ∴当小华和小明相遇时，小明离家的距离是． 20．（2025·天津河东·二模）已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家．李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离家的距离/km 1.2 ________ ________ 20 ________ (2)填空： ①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； ②李华在书店学习的时间为________h； ③书店到公园的距离为________ ； ④当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (3)当李华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)6，14.4，20； (2)①28；②3；③8；④ (3) 【来源】2025年天津市河东区九年级二模数学试题 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）直接根据函数图象即可得出答案； （2）①直接根据函数图象即可得出答案； ②根据速度、路程、时间的关系求解即可； ③直接根据函数图象即可得出答案； ④分；；三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； （3）先求出爸爸的速度为，进而求出关系式，联立组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，， 李华从家到书店提速后的速度为， 当时，则； 当时，李华停留在书店，则； 故答案为：6，14.4，20； （2）解：①李华从家到书店提速后的速度为； 故答案为：28； ②李华在书店学习的时间为， 故答案为：3； ③书店到公园的距离为， 故答案为：8； ④当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 当时，； 当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 综上，； （3）解：当时爸爸到达公园， 当时爸爸离开公园返回， 当时爸爸返回家中， 则爸爸离家距离y与李华离开家的时间x之间的图象如下图所示： 当时，爸爸的速度为：， ， 途中两人相遇时，得 解得， ∴途中两人相遇时离家的距离是． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． (2)求当时，y关于x的函数解析式； (3)当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①5  ②  ③， (2)当时，y关于x的函数解析式为 (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①②③根据图象即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后，则设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合时，列方程即可解答． 【详解】（1）解：①根据图象可得从宾馆打车到网红墙所用时间为； ②李明从宾馆出发时距离宾馆； ③网红墙距离公园；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为， 故答案为：5；；，； （2）解：设当时，y关于x的函数解析式为， 根据图象，把，代入可得， ， 解得， 所以当时，y关于x的函数解析式为； （3）解：当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后， 由（2）中值可得当时，李明的速度为， 设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合，根据题意， 可得方程， 解得， 把代入， 可得， 答：当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆． 2．已知学校、文具店、图书馆依次在同一条直线上，学校离图书馆，文具店离图书馆．某天小华步行从学校出发去图书馆，当他匀速走了后，想起要去买彩笔，于是按原路匀速返回，走了到达刚经过的文具店，在文具店停留了，买彩笔后，匀速走了到达图书馆．下面图中表示时间，表示离图书馆的距离．图像反映了这个过程中小华离图书馆的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间/ 6 10 20 26 小华离图书馆的距离/ 1850 1800 ②填空：学校到文具店的距离为______；小华从文具店出发到图书馆的速度为______． ③当时，请直接写出小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式； (2)有同学小强与小华同时从学校出发去图书馆，小强匀速走了到达图书馆，那么小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1550，1800；②500，100；③ (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键． （1）①首先求得小华前12分钟的速度，然后计算10分钟时，小华离图书馆的距离即可；由图像可知，26分钟时小华位于文具店，即可获得答案；②利用学校与图书馆距离减去文具店到图书馆的距离，即可求得学校到文具店的距离；利用文具店到图书馆的距离除以行走时间，即可获得答案；③当时，由图像可知，出小华离图书馆的距离为1800，即有；当时，设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间，然后分别求得此阶段两人到图书馆的距离与时间的关系式，即可求得的答案． 【详解】（1）解：①根据题意，小华前12分钟的速度为， 则10分钟时，小华离图书馆的距离为； 由图像可知，26分钟时小华位于文具店，离图书馆的距离为1800． 故答案为：1550，1800； ②学校到文具店的距离为； 小华从文具店出发到图书馆的速度为． 故答案为：500，100； ③当时， 由图像可知，出小华离图书馆的距离为1800，即有； 当时， 设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入， 可得，解得， 所以，此阶段为． 综上所述，小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为； （2）根据题意，小强行走的速度为， 由（1）可知，小华前12分钟的速度为， 所以，前12分钟，小华行走速度小强行走速度， 到20分钟时，小强离图书馆的距离为， 故两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间， 设小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点，代入，可得 ，解得， 所以，小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 当时，设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点，代入，可得 ，解得， 所以，此阶段小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 两人途中相遇时，可有，即， 解得， 所以，两人途中相遇时离图书馆的距离为． 3．在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； (2)当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)①填表见解析②4，15； (2) (3)6秒或秒 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）①求出气球乙的速度，结合图象，填表即可；②根据图象计算即可求解； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【详解】（1）解：①由图象可知气球乙的速度为：（米/秒）， ∴当时，（米）； 结合函数图象填表如下： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100 ②由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； （2）解：当时，由（1）可知，气球乙的速度为米/秒， ∴； 由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， ∴当时，； 当时，设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 综上：； （3）解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得（舍去）或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 4．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由C站驶往A地，到达A地后立即原速驶往B地，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，B两地间的距离是　 　千米；客车速度为 （km/h) ； (2)请直接在图2中的括号内填上正确数字； (3)求货车由B地驶往A地过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出客、货两车出发多长时间，距各自出发地的距离相等。 【答案】(1)600，100 (2)见解析 (3)y (4)1.5小时或6小时，距各自出发地的距离相等． 【分析】（1）观察图2，可知AC＝120千米，BC＝480千米，AB＝AC+BC＝600千米； （2）分两种情形①设B→C的函数解析式为y＝kx+b，则有，②设C→A的函数解析式为y＝mx+n，则有解方程组即可； （3）设客、货两车出发x小时，距各自出发地的距离相等．分两种情形列出方程即可； （4）分三种情况考虑列出方程即可； 【详解】（1）解：由题意：AC＝120千米，BC＝480千米，AB＝AC+BC＝600千米， 客车的速度为：（120+120+210）÷4.5=100（km/h） 故答案为600，100． （2）解：货车的速度为：600÷10=60（km/h）； 货车到达C地的时间为：480÷60=8（h）， 故括号内填8，如图2； （3）解：①设货车从B到C的函数解析式为y＝kx+b，则有 解得， ∴y＝﹣60x+480， ②设货车从C到A的函数解析式为y＝mx+n，则有 解得， ∴y＝60x﹣480 综上所述，y． （4）解：设客、货两车出发x小时，距各自出发地的距离相等． 由题意客车速度为100千米/小时，货车速度为60千米/小时． 则有240﹣100x＝60x，解得x＝1.5，或100x﹣240＝60x，解得x＝6， ∴客、货两车出发1.5小时或6小时，距各自出发地的距离相等． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 一次函数图像分析与综合应用题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 一次函数行程问题 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2023年 宿舍→体育场→文具店→宿舍 单人往返+两人追及 李明从体育场出发追及张强 2024年 家→画社→文化广场→家 单人往返+两人相遇 爸爸从家出发，在途中相遇 2025年 家→书店→公园→家 单人往返+妈妈散步 妈妈同时出发散步到公园。 1. 分段函数仍是核心2. 两人问题概率高3. 不等式结合4. 图象信息量增加 备考建议： 1. 强化分段函数训练2. 掌握相遇问题通法 3. 练好单位换算4. 积累典型情境 重●难●要●点●剖●析 题型1 两人同向而行 1. 明确“追及”条件。 2. 利用函数交点求相遇时间。 3. 距离差与速度差的关系，当速度差恒定，距离差随时间是线性变化的。 4. 分段函数与图象分析。 1．（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 2．（2025·天津市和平区益中学校·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 3．（2025·天津·中考）甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． (1)填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； (2)若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 4．（2025·天津河北区·三模）“龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快．它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发．兔子一个箭步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢．当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己．但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点．”图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)填空：折线表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，赛跑的全程是 米． (2)兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？ (3)乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？ (4)兔子醒来，以千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了.分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 5．（2025·天津红桥·三模）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 题型2 两人相向而行 注意区分不同类型： 1. 两地同时出发，相向而行 2. 一人先出发，另一人后出发 3. 涉及休息或变速 4. 图象信息题从图象读取起点纵坐标（即两地距离），交点坐标（相遇时间与位置），斜率计算速度。 6．（2025·天津南开·三模）、两辆汽车同时从相距千米的甲、乙两地相向而行，（千米）表示汽车与甲地的距离，（分）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与的关系． (1)表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？ (2)汽车的速度是多少？ (3)求，分别表示的两辆汽车的与的关系式． (4)小时后，两车相距多少千米？ (5)行驶多长时间后，、两车相遇？ 7．（2024·天津滨海新区·一模）甲、乙两车分别从M，N两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系如图所示． (1)M，N两地之间的公路路程是____________，乙车的速度是____________，m的值为____________； (2)求线段的解析式． (3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距． 8．（2022·天津东丽区·二模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知，两地之间有一条长为180千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以40千米/时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．图中表示甲车行驶的时间，表示甲、乙两车的距离． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①乙车的速度为______千米/时； ②______；     ③______． (2)直接写出甲、乙两车相遇后关于的函数关系式． 9．（2023·天津西青·二模）一辆轿车从宁波开往杭州，一辆货车从杭州开往宁波，两车同时出发，分别以各自的速度在同一条高速路上匀速行驶．15分钟后，轿车司机发现有重要文件遗忘在宁波，便立即返回取得文件后再从宁波开往杭州（取文件时间忽略不计），结果轿车先到达杭州，货车继续行驶到宁波．设货车行驶时间为（），两车之间的距离为（），与的函数图象如下图所示，请回答下列问题： (1)求两车的速度． (2)说明点所表示的实际意义． (3)求直线的函数解析式． 10．（2022·天津滨海新区·二模）甲、乙两车分别从相距的M、N两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达M地后停止行驶，甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距N地的路程y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：    (1)甲车的行驶速度是           ，乙车的行驶速度是        ，                ； (2)求线段的解析式并写出自变量的取值范围； (3)乙车出发多少小时后两车相距为？请直接写出答案． 题型3 单人单向 1. 画图习惯：拿到题先画线段图标注两地距离、速度方向，再转化为函数图象。 2. 分段处理：遇到休息、变速、先后出发时，明确时间分段，分别写出解析式。 3. 单位统一：注意速度单位与时间单位一致。 11．（2026·天津北辰实验中学·一模）李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14 李磊离开家的距离（米） 800 600 1500 (2)填空： ①李磊家到学校的路程是______； ②李磊在文具店停留了______； ③李磊从文具店到学校的骑行速度是______米/分钟； (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (4)若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校．已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？（请直接写出答案） 12．（2025·天津红桥·三模）已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为．小明放学后从学校出发，先匀速步行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 ②填空：小明从超市返回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早返回家；那么他在返回家的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 小明离开学校的时间 5 15 24 30 小明离家的距离 2 2 1.2 0.4 13．（2025·天津滨海新区·一模）已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 (2)填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； (3)当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 14．（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 15．（24-25九下·天津河西·结课质量调查）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为，乙、丙码头之间的距离为．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离与时间之间的对应关系． (1)①根据题中所给信息，图中的值为 ，的值为 ； ②填表： 游轮离开甲码头的时间 1 10 15 20 游轮离开甲码头的距离 280 (2)请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离关于时间的函数解析式； (3)在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可） 题型4 单人往返 注意区分不同类型： 1. 往返速度相同 2. 往返速度不同 3. 中途休息 4. 图象信息题从最高点纵坐标读 d，从左右段斜率读速度，水平段长度读休息时间。 16．（2024·天津红桥·三模）已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 17．（2025·天津南开区·二模）已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家，图书馆离小王家．小王从家出发，先用了匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到图书馆读书，在图书馆读书后，用了匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小王离开家的时间/min 10 20 40 160 小王离家的距离/km 3.6 0 ②填空：小王从体育场到图书馆的速度为_____________； ③当时，请直接写出小王离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可） 小王离家的时间 10 20 40 160 小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0 18．（2025·天津河西·二模）已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； (2)小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 19．（2025·天津和平·三模）已知小明家、早餐店、科技馆依次在同一条直线上，早餐店离小明家，科技馆离小明家．小明从家出发，匀速慢跑到早餐店，用餐花费了后，匀速步行到科技馆，在科技馆参观学习后，用了匀速散步返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 6 25 36 158 小明离家的距离 ②填空：小明在科技馆参观学习花费的时间为 ； ③填空：小明从科技馆返回家的速度为 ； ④当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开科技馆时，和小明住在同小区的小华也从科技馆出发沿与小明相同的路匀速慢跑回家，已知小华的速度为，当小华和小明相遇时，小明离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 20．（2025·天津河东·二模）已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家．李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离家的距离/km 1.2 ________ ________ 20 ________ (2)填空： ①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； ②李华在书店学习的时间为________h； ③书店到公园的距离为________ ； ④当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (3)当李华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． (2)求当时，y关于x的函数解析式； (3)当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 2．已知学校、文具店、图书馆依次在同一条直线上，学校离图书馆，文具店离图书馆．某天小华步行从学校出发去图书馆，当他匀速走了后，想起要去买彩笔，于是按原路匀速返回，走了到达刚经过的文具店，在文具店停留了，买彩笔后，匀速走了到达图书馆．下面图中表示时间，表示离图书馆的距离．图像反映了这个过程中小华离图书馆的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间/ 6 10 20 26 小华离图书馆的距离/ 1850 1800 ②填空：学校到文具店的距离为______；小华从文具店出发到图书馆的速度为______． ③当时，请直接写出小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式； (2)有同学小强与小华同时从学校出发去图书馆，小强匀速走了到达图书馆，那么小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是多少？（直接写出结果即可） 3．在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)①填表： 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 100 ②______米/秒， ______秒； (2)当时，请直接写出乙智能探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 乙智能探空气球的飞行时间/s 1 9 25 30 所在的位置距离地面的高度/m 15 55 100 100 4．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由C站驶往A地，到达A地后立即原速驶往B地，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，B两地间的距离是　 　千米；客车速度为 （km/h) ； (2)请直接在图2中的括号内填上正确数字； (3)求货车由B地驶往A地过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出客、货两车出发多长时间，距各自出发地的距离相等。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $