重难点02 二次函数与几何综合压轴题（6大题型）（重难专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

重难点02 二次函数与几何综合压轴题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 二次函数 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 【2023年】代数几何初步融合——平行四边形与菱形背景，以菱形和矩形平移为背景，求重叠面积S与平移距离t的函数关系。 【2024年】最值模型深化——胡不归问题强势回归，抛物线顶点为D，点Q在抛物线上，求AM+2QM的最小值。 【2025年】综合能力顶峰——相似三角形+最值+含参计算。 预测1：最值模型继续轮换——阿氏圆或加权线段和。 预测2：存在性问题回归——等腰/直角三角形+最值双核。 预测3：含参计算难度维持，但情境更新。 预测4：前两问分值分布稳定。 重●难●要●点●剖●析 题型1 最值问题 1. 建立二次函数模型（确定自变量与因变量）2. 确定自变量实际取值范围3. 在取值范围内求最值。根据题目建立适当的几何模型：胡不归，将军饮马。费马点等。 1．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【来源】专题07 二次函数图象及其性质与函数和几何图形的综合（3题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴, 当时，， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 解得或， ∴或； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 则， ∴， 解得，， ∴， 过点作，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·天津河西·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，顶点为． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，点，若，求的值； (3)当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为．当为何值时，的最小值为，并求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，的最小值为，此时点的坐标为，点的坐标为 【来源】天津市河西区2024年九年级下学期结课考试数学试题（一模） 【分析】（1）根据抛物线，为常数，经过点，可得：，由，可得抛物线的表达式为，故抛物线的顶点坐标为； （2）由得：，如图1，过点作轴于点，运用勾股定理可得：，，建立方程求解即可得出答案； （3）当满足条件的点落在上时，最小，此时，．过点作轴于点，利用勾股定理求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为，进而求解． 【详解】（1）抛物线，为常数，经过点， ， 当时，抛物线的表达式为， 故抛物线的顶点坐标为； （2）当时， 抛物线，为常数，经过点， ， ， 抛物线顶点，对称轴为直线， 由得：， 如图1，过点作轴于点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：； （3）当时，由题意的中点， 如图2，作点关于直线的对称点， 当满足条件的点落在线段上时，最小， 此时，． 过点作轴于点， 在中，，， ， 又， ， 解得：，（舍去）， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ，， 当时，的最小值为，此时点的坐标为，点的坐标为． 3．（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为；②点P的坐标为 (2)的最小值为，点的坐标为 【来源】2025年天津市中考数学一模模拟练习冲刺试卷01 【分析】（1）①将点代入求解即可； ②先求出点坐标，再求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点F的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，得出，作点E关于x轴的对称点，取得最小值时，即为点C，，三点共线时，求出此时的最小值和坐标即可． 【详解】（1）解：①由题意，抛物线过， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②如图所示， 由与y轴相交于点C，可知， 设经过B，C两点的直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， 此时，点P的坐标为； （2）解：如图所示， 由和，得中点， 由题意与平行且相等，可知与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作点E关于x轴的对称点， 取得最小值时，即为点C，，三点共线时， 此时， 设经过，C两点的直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，线段最值问题，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，一次函数的求法，平行四边形的性质与判定是解题的关键． 4．（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【来源】2024年天津市武清区多校联考中考三模数学试题 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）表示出点，令，则或，即点，即可求解； （3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：， ∴抛物线的表达式为：， 把代入，得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 抛物线的对称轴为：， 当时，； 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点， 令，则或，即点， ∵， 则， 解得：； （3）解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， 作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度， 则点， 连接，则四边形为平行四边形， 则， 连接交抛物线对称轴于点、连接， 则， 当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：， 即， 解得：（舍去）或， 即． 5．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 【答案】(1)①；；② (2)4 【来源】2025年天津市红桥区中考三模数学试题 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，再求出函数值为0时自变量的值即可求出点B的坐标；②由题意得点的坐标为，其中．求出点的坐标为，得到，则垂直平分，可得点M在第一、三象限的角平分线上，则，解方程即可得到答案； （2）把点B坐标代入解析式可得，则抛物线解析式为，即可得到抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，求出点的坐标为，则直线的解析式为，过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．可证明，则．求出，．则．即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式． 顶点的坐标为． 令，得．解得或． 点在点的左侧， 点的坐标为． ②根据题意，点的坐标为，其中． 当时， ∴点的坐标为， ∴ ， ∴垂直平分 ∴，即点M在第一、三象限的角平分线上， ． 解得（舍去），． （2）解：点的坐标为， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作轴，与相交于点，则点的坐标为． ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴． ． 轴， ． ． ． 当时，取得最大值． ．即． 解得（舍去），． 的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，解（1）的关键在于证明点M在第一、三象限的角平分线上，解（2）的关键在于证明． 题型2 角度问题 忽略斜率不存在的情况 先讨论直线垂直 x 轴的情形（k 无意义） 用夹角公式时符号错误 公式带绝对值；若已知角度大小，需根据位置确定正负 多解未取舍 代入原题验证，排除与已知点重合或不在抛物线上的解 混淆倾斜角与夹角 倾斜角是直线与 x 轴正向的夹角；夹角是两直线所成锐角。 6．（2025·天津红桥九中·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【来源】2025年天津市红桥区九中考数学二模试卷 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形的性质、正切的定义、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将、代入解析式，然后运用配方法化成顶点式即可解答； （2）将代入解析式可得，再求得对称轴为，即顶点P的横坐标为，然后代入解析式求得横坐标即可解答； （3）由（2）可得、，则，即；如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且．易得；如图：过点M作垂足为Q．可得，易得，即当点P，M，Q共线时，取得最小值；再说明，由正切函数可得，即，再求出b的值即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为：， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线解析式为：， ∴． ∴点P的坐标为． （2）解：将代入抛物线可得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 当时，，即， ∵， ∴或， ∴， ∴该抛物线的对称轴为，即顶点P的横坐标为， ∴顶点P的纵坐标坐标为， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为． 当时，，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． （3）解：∵，， ∴，即 如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且． ∴． 如图：过点M作垂足为Q．可得．， ∴， ∴当点P，M，Q共线时，取得最小值， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中，，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或或；②或 【来源】2025年天津市红桥区中考一模数学试题 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①分三种情况分别进行解答即可；②画出图形利用数形结合进行解答即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）①∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为，， ， ， ， 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则，解得， 综上可知，点P的坐标为或或； ②如图，以为邻边作正方形，分别以点为圆心，以的长为半径画圆分别交直线于点、，连接，根据圆周角定理可知，得到，即为所求的角， 如图，连接 由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上可知，点P的坐标为或 8．（2024·天津红桥·二模）已知抛物线（，为常数，）经过点和点，与轴相交于点，为抛物线上横坐标为的点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，过点作轴的垂线与相交于点，若，求点的坐标； (3)为线段的中点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或或或 【来源】2024年天津市红桥区中考二模数学试题 【分析】本题考查了二次函数综合问题，线段周长问题，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，得出直线的解析式为，，点，，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论；① 当点 在 上方时，②当点在下方时，设与轴交于点，分别求解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 解得. 该抛物线的解析式为：； （2）当时，， 点；可得 设直线的解析式为，将点，代入， 解得： 直线的解析式为， 设，点， ， 解得 点的坐标为 （3）为的中点，， ① 当点 在 上方时， 由，解得 点的坐标为或 ②当点在下方时，设与轴交于点， ， 设，则， 在中， 解得 设直线的解析式为 可得直线 的解析式为 解得：或， 当时，，当时， 的坐标为或 综上所述：点的坐标为或或或 9．（2024·天津红桥·一模）已知抛物线 (a，b为常数， 经过两点， 与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若P是直线上方该抛物线上一点，且 ，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2024年天津市红桥区中考一模数学试题 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）求出，根据即可求出答案； （3）设，求出由得到，则． 得到．求出的解析式为联立得到解得 (舍去) 或 即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解∶ ∵ 点在抛物线上， ， 解得 ， ∴ 该抛物线的解析式为； （2）由得顶点 ， 如图， 过点D作轴， 垂足为E． 当时，， 可得点C的坐标为． ∴，    ； （3）如图， 过点C作， 交于点F， 过点 F作轴， 垂足为G， 设， ∵， ∴． ∴， 由 ， ， 又， ∴． ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴ 直线，    即 ， 解得 (舍去) 或 ， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键． 10．（24-25九下·天津滨海新区·结课考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为抛物线上的一动点，且位于直线下方， ①当的面积最大时，求点M的坐标； ②当时，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【来源】2024年天津市滨海新区九年级下学期结课考数学试题 【分析】（1）分别把点和点的坐标代入建立关于、的方程组，解方程组求出、的值即可求出抛物线解析式； （2）①先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式；设点则有，过点M作轴，交于点Q，，交直线于点，然后根据三角形面积公式列出二次函数关系式，即可求出的面积最大时点M的坐标； （3）②先求出点D的坐标为，延长交x轴于点G，延长交y轴于点H，证明，再求出直线关系式为为最后联立方程组求解即可． 【详解】（1）∵抛物线过点， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）①∵抛物线的解析式为 ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入， 得解得 ∴直线的解析式为． 如图①，过点M作轴，交于点Q， 设点则有， ∴当时，的面积最大，最大值为． ②∵抛物线的解析式为 ∴点D的坐标为． 如图②，延长交x轴于点G，延长交y轴于点H， ∵直线为， ∴当时，． ∴． ∵， ∴． 即：． 在△与中， ∴． ∴． ∴点G的坐标为． 设直线的关系式为 由于直线经过点， 得解得 ∴直线关系式为为 将与联立方程，得 解得：（不符合题意，舍去） 当时， ∴点M的坐标为 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数关系式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形面积公式，深入理解题意是解决问题的关键． 题型3 定值问题 1. 设参数：将动点坐标用参数 t、m 等表示。 2. 表示目标量：用含参数的代数式表达题目所求的量（长度、面积、比值等）。 3. 化简消参： 展开、合并同类项。 利用韦达定理（若涉及两根之和、积）。 利用点在抛物线上满足的关系。 4. 得出结论：化简后若参数全部消去，即得定值。 11．（2024·天津和平区·一模）已知抛物线：（是常数，）的顶点为，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为． (1)求点和点坐标； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴，轴，分别与直线相交于点和点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)抛物线：（是常数，）经过点，若点在轴下方的抛物线上运动，过点作于点，与抛物线相交于点，在点运动过程中的比值是否为一个定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、 (2) (3)是一个定值，此定值为，理由见解析 【来源】2024年天津市和平区中考一模数学试题 【分析】（1）由题意，设抛物线解析式为，利用待定系数法确定函数关系式，令求出点坐标，令求出点坐标； （2）先利用待定系数法确定直线：，设，求出坐标，根据两点之间距离公式，结合二次函数图象与性质求解即可得到答案； （3）由待定系数法确定抛物线：，设，且，得出坐标，再由两点之间距离公式求出，代值求即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线：的顶点为， 设抛物线解析式为， 抛物线：与x轴相交于点， ，解得， 抛物线：， 令，则，解得，即或， ， 令，则，即； （2）解：如图所示： 由（1）知、，设直线：，则 ，解得， 直线：， 设，则， 、， ， ∵ ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：是一个定值，此定值为，理由如下： 抛物线：（是常数，）经过点， ，解得，即抛物线：， 由（1）知抛物线：， 设，且，则， ， ，， ，即在点运动过程中的比值是一个定值，此定值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线图象与性质、待定系数法确定函数关系式、两点之间距离公式等知识，根据题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． 12．（2023·天津红桥·三模）已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，调求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)是， 【来源】2023年天津市红桥区中考三模数学试题 【分析】（1）用待定系数法，将点代入即可进行解答； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在上方时，易证，则点P和点C纵坐标相等，即可求解；②当点在下方时，设与轴相交于点，有．根据列出方程求出m的值，即可求出直线的解析式，即可进行解答； （3）根据题意可得．设， 用待定系数法求解直线的解析式为．即可得出点．同理可得直线的解析式为．则点．得出．即可进行解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴解得． ∴该拋物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下． 根据题意，可得点．设． ①如图，当点在上方时，    ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）或． ∴点的坐标为． ②如图，当点在下方时，    设与轴相交于点，有． ∵， ∴． 在中，． 有， 解得． ∴． 设直线的解析式为， 由解得 ∴直线的解析式为． 由， 解得（舍去）或． 又， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由，得对称轴为直线． ∴．    设，其中． 设直线的解析式为， 则解得 ∴直线的解析式为． 当时，． ∴点． 同理可得直线的解析式为． 当时，． ∴点． ∴． ∴． ∴的值为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出图形，根据图形进行分类讨论． 13．（2024·天津河西·二模）已知抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为，与y轴交于点C，且对称轴在y轴的左侧，抛物线的顶点为P. （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求b的值； （3）在（1）的条件下，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）.（2）.（3），为定值 【来源】2024年天津市河西区中考数学二模试题 【分析】（1）将，A坐标代入抛物线解析式即可； （2）设B点坐标为，可证明是等腰直角三角形，通过勾股定理即可求得长度，即的长，从而求得b的值. （3）设，求得直线，直线，用含t的代数式表示即可求解. 【详解】（1）∵，∴抛物线为， ∴将点代入，得，∴， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为. （2）由已知将点代入，得，∴， ∵对称轴在y轴的左侧，∴， ∴，∴； 设B点坐标为，则∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， 又∵， ∴， 解得. （3）为定值，如图所示: ∵抛物线的对称轴为：直线 ∴， 设 设直线解析式为 ∴，解得： ∴直线 当时， ∴ 设直线解析式为 ∴解得： ∴直线 当时， ∴ ∴，为定值. 【点睛】本题考查了二次函数的综合知识；解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质和特征，能够准确的进行字母运算. 14．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； (3)请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于，两点， ，解得， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，过点M作轴交于点H，如图所示： 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则点， 则四边形的面积 ， 解得：， 故点； （3）解：依题意作图如图所示： 设点M、N的坐标分别为、， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 的表达式为：， 将代入得：， 整理得：， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，可得， 解得：， 可得：， ， 则 ． 15．（2024·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，都是定值，， 【详解】（1）解：将点，代入抛物线得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将代入抛物线得：，即， 将代入一次函数得：， 一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方， 由函数图象可知，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点， ∴点，，的横坐标均大于0， ∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，， ∴，，，，，， 联立，得， ∴，， ∴， 联立，得， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， 由轴对称的性质得：垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上，，都是定值，，． 题型4 面积相关问题 当三角形顶点不在抛物线上，或图形不规则时，采用割补法： 竖切：过动点作 y 轴平行线，将图形分成左右两部分。 横切：过动点作 x 轴平行线。补形：用矩形或直角梯形面积减去周边直角三角形面积。 转换：当底边与坐标轴平行时，优先用常规底乘高；若面积含参且出现高次，检查是否可提取公因式分解。 16．（2025年天津市天津市河东区天津市第七中学模拟）抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①， ② (2) 【来源】2025年天津市天津市河东区天津市第七中学模拟预测数学试题 【详解】（1）①解：将带入中，得到， 将点带入解析式，得到方程，解得， 所以抛物线解析式为， 根据公式求得二次函数顶点坐标． ②根据题意画出图像： 由图可知：轴，轴， ， ， ， ， 点为第二象限的抛物线上一点， 设坐标为， 令，解得， 设所在直线的函数表达式为 将，带入表达式得 ，解得 所在直线的函数表达式为 设 解得：， （2） 已知经过点，代入得： 设，即的另一个解为 则 即 该二次函数的对称轴为 顶点的坐标为 则直线的斜率为 又 直线的函数表达式为 因此垂直于的直线斜率为1， 设， 直线的函数表达式为 联立，解得 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点： 最大面积为： 当时： 解得： 当时，的最大值位置为 【点睛】本题综合考察了二次函数的图像和性质，用图像明确几何图形中的角度与坐标的关系，通过二次函数模型解决三角形面积最值问题． 17．（2024·天津西青区·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2) 【来源】2024年天津市西青区中考一模数学试题 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 18.（2025·天津河北区·三模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且轴，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，的取值范围是______； (3)、两点之间的距离为，当时，求的值； (4)已知点的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或4或 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵该抛物线的函数表达式， ∴该抛物线的对称轴为，其顶点坐标为， ∵， ∴当时，的最小值为， ∵该抛物线有， ∴该抛物线开口向上， 又∵， ∴当时，可有，此时在范围内取最大值， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：； （3）∵点的坐标为， ∴点为直线上一点， 如下图，    根据题意，可得点， ∵、两点之间的距离为， ∴当时，可有， 整理可得或， ∴解得或或； （4）对于直线， 当时，可有， ∴点在直线上， 设该直线与轴交于点， 当时，可有， ∴， 联立直线解析式与抛物线解析式， 可得，解得或， ∴直线与抛物线的交点为，； 当点在抛物线对称轴右侧，即时， 若点在点下方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点上方，即有， 如下图，设交轴于点，交于点，过点作，，垂足分别为，，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， 又∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∵点为抛物线对称轴上一点，轴且，， ∴， ∴，， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），； 当点在抛物线对称轴左侧，即时， 若点在点上方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点下方，即有，如下图，    同理可得或， 此时，， 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 综上所述，或4或． 19．（2024·天津红桥·二模）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，已知，． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点E是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDBF面积的最大值及此时点E的坐标． 【答案】(1) (2)或或； (3)四边形CDBF的面积最大值为，此时E点坐标为（2，1）． 【来源】2024年天津市红桥区九年级中考二模数学试卷 【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用四边形CDBF的面积等于两个三角形的面积和列二次函数关系式，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标． 【详解】（1）解： ∵A（-1，0），C（0，2）在抛物线上， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，且C（0，2）， ∴， ∵点P在对称轴上， ∴可设， ∴PD=|t|，， 当PD=CD时，则有，解得， 此时P点坐标为或； 当PC=CD时，则有， 解得t=0（与D重合，舍去）或t=4， 此时P点坐标为； 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或； （3）当y=0时，即， 解得x=-1或x=4， ∴A（-1，0），B（4，0）， 如图，过作轴交BC于E， 设直线BC解析式为y=kx+s， 由题意可得 ，解得， ∴直线BC解析式为， ∵点E是线段BC上的一个动点， ∴可设，则 ∴， ∴， ∵-1＜0， ∴当m=2时，四边形CDBF有最大值，最大值为， 此时， ∴E（2，1）， ∴四边形CDBF的面积最大值为，此时E点坐标为（2，1）． 20．（2025·天津部分区县·一模）已知抛物线（b，c为常数）交x轴于点和点B，交y轴于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由． （Ⅲ）有一点M从点A出发，以1单位长/秒的速度在上向点B运动，另一点N从点D的位置与点M同时出发，以2单位长/秒的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，的面积最大，试求出最大面积． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，符合条件的点P有四个，分别为，，，；（Ⅲ）当，或时，面积最大，最大面积为4 【来源】2025年天津市部分区县九年级下学期中考一模数学试卷 【分析】（Ⅰ）运用待定系数法求解即可； （Ⅱ）求出点B的坐标，再根据勾股定理得出BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC； （Ⅲ）设，则，由得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为．           （Ⅱ）存在            如图，在抛物线中，令，则． 解得，． ∴A(1，0)，B． ∵C（0，5） ∴OC=5， 由勾股定理得， 点P在y轴上，当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当CP=CB时， ∴OP=OC+CP=或OP=PC-OC= ∴ ②当PB=BC时，OP=OC=5 ∴ ③当PB=PC时， ∵OC=OB=5 ∴此时点P与点O重合， ∴ 综上所述，符合条件的点P有四个，分别为，，，． （Ⅲ）由可得抛物线的对称轴为．设点M的运动时间为t秒， ∵点，点， ∴，． ∴ ∴． ∵点N的速度是点M的2倍， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值为4． ∴， ∵抛物线的对称轴与x轴交于点D， ∴点D（3，0） ∴或 即当，或时，面积最大，最大面积为4． 【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键． 题型5 三角形相关存在性问题 二次函数中的三角形存在性问题，核心是将几何条件转化为代数方程。这类问题通常围绕等腰三角形、直角三角形、相似三角形、全等三角形或特殊位置（如重心）展开，需要系统化的分类讨论。 21．（2023·天津红桥·二模）抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②或或 【来源】2023年天津红桥区九年级中考二模数学试卷 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①当时，；则，进而求得直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则点，根据建立方程，解方程即可求解； ②设， ，分类讨论，，当时，则，当时，则，当时，过点作，垂足为，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 为常数，经过点和点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； （2）①由，当时，； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得： ∴直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点，    设，则点， ∴ ∵， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； ②由 ∴对称轴为直线， 直线的解析式为，当时，， ∴ 设， ， 1）如图所示，当时，则    又∵ ∴，即 ∴ 解得：（舍去） ∴， ∴， 2）如图所示，当时，    ∴ 解得：（舍去） 又∵ ∴，即 ∴ ∴； 3)如图所示，当时，过点作，垂足为，    ∵ ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴ ∴， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（2025·天津七中·模拟）在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标; （3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由. 【答案】y=；（，）；，． 【详解】 试题解析：(1)、∵抛物线过点，， ∴∴∴抛物线的函数关系式为. (2)、∵，∴抛物线的对称轴为直线. 设点为点关于直线的对称点，则点的坐标为. 连接交直线于点，此时的周长最小. 设直线的函数表达式为，代入的坐标， 则解得所以，直线的函数表达式为. 当时，.∴ 点的坐标为. (3)、存在. ①当点为直角顶点时，过点作的垂线交轴于点，交对称轴于点. ∵，， ∴. ∵，，∴. ∴. ∴.∴. ∴点的坐标为. 设直线对应的一次函数的表达式为，代入的坐标， 则解得 所以，直线的函数表达式为.令，则.∴点的坐标为. ②当点为直角顶点时，过点作的垂线交对称轴于点，交轴于点. 与①同理可得是等腰直角三角形，∴. ∴点的坐标为.∵，， ∴. ∴直线的函数表达式为. 令，则.∴点的坐标为. 综上，在对称轴上存在点，，使成为以为直角边的直角三角形． 考点：(1)、二次函数的综合应用；(2)、分类讨论思想；(3)、直角三角形的性质. 23．（2025·天津南开·三模）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或或 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ，， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，， 四边形为平行四边形； （3）是的中点，点， 点， 由（2）知，当时，的最大值为， 当时，， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， 点， 设点， ，， ，，， 当时，， 解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得； 综上所述，点的坐标为或或． 24．（2024·天津滨海新区·二模）如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限抛物线上找一点，的面积最大，求出此点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)面积最大时点的坐标为； (3)点的坐标为或或或． 【详解】（1）由题意得：解得： 抛物线的解析为：； （2）设点的坐标为，连接 因为对称轴为， 所以，故 因为，故 ∴当时，的面积最大，此时点的坐标为； （3）设点的坐标为 ，， ①当点为直角顶点时， ，解得： ②当点为直角顶点时， ，解得： ③当点为直角顶点时， 解得：或 或 综上所述，点的坐标为或或或． 25．（2025·天津四十二中·模拟）如图所示，在等腰△ABC中，，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A，B两点．    (1)写出点A，B的坐标． (2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段，和抛物线于点E，点M和点P，连接，．设直线移动的时间为t（）秒，求四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形的最大面积． (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【来源】2025年天津市河西区四十二中九年级中考模拟数学试卷 【分析】（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）分别求出和的面积，得出四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，再转化为顶点式即可求出最大值； （3）由可得，点在线段上，要使是直角三角形，则，利用得到对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则，∴； 令，则， 解答：， ∴； 点A，B的坐标是：，； （2）解：∵，垂直平分， ∴，， 设的解析式为， 把代入，得，， ∴的解析式为， 由题意，得， 即 ∴， 四边形PBCA的面积， 四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式是， ∵， ∴时，的最大值是； 即四边形的最大面积是 （3）解：存在， 是直角三角形，则， 则， ∴， 即， ∵，，， ∴ 解得：（舍去），， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的面积问题，二次函数与特殊三角形的问题，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，确定动线上关键点的坐标是解题的关键． 题型6 四边形相关存在性问题 二次函数中的四边形存在性问题，核心是将几何条件转化为代数方程。这类题比三角形更复杂，因为涉及的点更多、图形更灵活。关键在于抓住对角线这一核心要素。 分类讨论： 平行四边形：按对角线分三类。 特殊四边形：先按平行四边形求出候选点，再附加条件筛选。 26．（2024·天津滨海新区·二模）已知抛物线的对称轴为直线，且过点．直线与抛物线交于、两点，且点在点的左侧． (1)求此抛物线的解析式； (2)求线段的长； (3)点是抛物线上一点，其横坐标为，且．抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．当图象上的最高点与最低点到直线的距离相等时，求的值； (4)点在抛物线上，点在其对称轴上．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点． ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵直线与抛物线交于、两点，且点在点的左侧， ， 解得：或， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴到的距离为， ∵图象上的最高点与最低点到直线的距离相等， 当在下方时，即的纵坐标为，且横坐标大于 ∴， 解得：或（舍去） ∴； 当顶点是最低点，E为最高点， 解得（舍去）， 故t值为或 （4）解：∵，，设，， ①当为边时， 的中点重合， ∴， 解得， ∴， ②当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得， ∴， ③当为对角线时， ， 解得， ∴， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，线段问题，特殊四边形问题，根据题意画出图象是解题的关键． 27．（2022·天津河北区·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），C两点，与y轴相交于点B，点M为线段AB上一点． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若点N（－b－2，）是抛物线在第三象限内的点，有一点P（－5，0），当时，求b的值； (3)在（1）的条件下，，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（1，-4） (2) (3)（2，-3）或（-2，5）或（4，5） 【来源】2022年天津市河北区九年级中考一模数学试卷 【分析】（1）根据点A（3，0），可得9+3b+c=0，再由，即可求解； （2）过点N作NQ⊥x轴于点Q，先求出点N（－b－2，-b-5），可得AQ=b+5，NQ=b+5，再由，结合勾股定理，即可求解； （3）过点M作MD∥x轴于点D，可得到点M（1，-2），然后分三种情况讨论：若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，即可求解． 【详解】（1）解∶∵抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0）， ∴9+3b+c=0， ∵， ∴c=-3， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为（1，-4）； （2）解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q， ∵抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0）， ∴9+3b+c=0， ∴c=-3b-9， ∴抛物线解析式为， ∵点N（－b－2，）是抛物线在第三象限内的点， ∴， ∴点N（－b－2，-b-5）， ∴AQ=b+5，NQ=b+5， ∵点P（－5，0），， ∴AN=8， ∴，解得：或， ∵点N（－b－2，）在第三象限， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点M作MD∥x轴于点D， 由（1）得抛物线的解析式为， 当x=0时，y=0， ∴点B（0，3）， ∴OB=3， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∴， ∵， ∴， ∵MD∥x轴， ∴△BDM∽△BOA， ∴， ∴BD=1，DM=1， ∴OD=2， ∴点M（1，-2）， 设点E（0，m）， 若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE，则EF∥AM， ∴点F（-2，-2+m）， ∴，解得：m=7， ∴此时点F的坐标为（-2，5）； 若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF，则EF∥AM， ∵点A（3，0），点E（0，m），点M（1，-2）， ∴点F（2，-2-m）， ∴，解得：m=1， ∴此时点F的坐标为（2，-3）； 若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合， 设点， ∴，解得：， ∴，解得：m=-7， ∴此时点P的坐标为（4，5）， 综上所述，点P的坐标为（2，-3）或（-2，5）或（4，5）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 28．（2023·天津红桥·二模）顶点为B的抛物线经过点和点，连接． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）D是x轴下方抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，与交于点E． ①若，求点D的坐标； ②在①的条件下，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，与的重叠部分为．是否存在一点H，使四边形为矩形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②存在，点H的坐标为． 【来源】2023年天津市红桥区九年级下学期二模数学试卷 【分析】（Ⅰ）把点和点代入抛物线解析式，用待定系数法求解即可； （Ⅱ）①过点D作轴，垂足为M，设，代入解析式即可； ②过点F作，垂足为I．根据①求出、和，再用平移得到点H的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）∵点，点在抛物线上， ∴解得 ∴该抛物线的解析式为． （Ⅱ）①由， 得，抛物线的对称轴为直线． ∴．∴，． 在中，． ∴． ∵， ∴． 如图，过点D作轴，垂足为M， 则． 设， ∴． 解得（舍去），或． ∴． ②如图，过点F作，垂足为I． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 根据题意，得， ∴． ∴． ∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∴． ∴．得． 由平移的性质，可得． ∴满足条件的点H的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上点的坐标、矩形的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练综合运用相关知识，设出点的坐标或求出点的坐标，通过方程或平移解决问题． 29．（2025·天津西青区·二模）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，点的坐标为或或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 30．（2025·天津河北区·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在， (3)或 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴设抛物线表达式为， 将代入得， ∴抛物线表达式为； （2）存在点，使的面积最大． 过点作轴于，交直线于点， 设，则，由题意得：， 故， ∴当时，最大．此时，， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， 设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时， ∵ ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴且， ∴或， ∴或． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：40分钟） 1．抛物线（b，c为常数，顶点为 P，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l过点C且平行于x轴，M为第一象限内直线l上一动点，N为线段上一动点． (1)若， ①求点P和点A，B的坐标； ②当点M为直线l与抛物线的交点时，求的最小值． (2)若，，且的最小值等于时，求b，c的值． 【答案】(1)①，；② (2)， 【分析】（1）①先求出抛物线的解析式为，求出时，的值可得点的坐标，再将抛物线的解析式化成顶点式即可得顶点的坐标；②先求出，，直线的解析式为，再过点作轴于点，交直线于点，求出点的坐标，从而可得和的长，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，根据等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，，再过点作，且使得，连接，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得的值，从而可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得的值． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于点（点在点左侧）， ∴， 将抛物线的解析式化成顶点式为， ∴这个抛物线的顶点坐标为． ②将代入抛物线得：，即， 将代入抛物线得：，解得或， ∵直线过点且平行于轴，点为直线与抛物线的交点， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， ∴，点的横坐标为2， 将代入直线得：， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为． （2）解：将代入抛物线得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴， ∴，， ∵， ∴， 如图，过点作，且使得，连接， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 又∵的最小值等于， ∴， 解得， ∴， 将，代入抛物线得：， 解得， ∴，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； (3)如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，． (3)的最小值为． 【分析】（1）根据抛物线过，，直接利用交点式写抛物线的解析式即可； （2）先求解直线为，证明，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形，求解，，可得，可得，如图，设，，，则，作关于轴的对称点，连接，则的最小值为的长，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线为：， 即抛物线为：； （2）把代入可得， ∴， 设直线为，把代入可得：， ∴直线为， ∵，， ∴，， ∵，则轴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴． （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，而， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 如图，设，，，    则， 作关于轴的对称点，连接， ∴的最小值为的长， ∴最小值为： ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的化简，熟练的利用轴对称的性质求解线段和的最小值是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 二次函数与几何综合压轴题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 二次函数 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 【2023年】代数几何初步融合——平行四边形与菱形背景，以菱形和矩形平移为背景，求重叠面积S与平移距离t的函数关系。 【2024年】最值模型深化——胡不归问题强势回归，抛物线顶点为D，点Q在抛物线上，求AM+2QM的最小值。 【2025年】综合能力顶峰——相似三角形+最值+含参计算。 预测1：最值模型继续轮换——阿氏圆或加权线段和。 预测2：存在性问题回归——等腰/直角三角形+最值双核。 预测3：含参计算难度维持，但情境更新。 预测4：前两问分值分布稳定。 重●难●要●点●剖●析 题型1 最值问题 1. 建立二次函数模型（确定自变量与因变量）2. 确定自变量实际取值范围3. 在取值范围内求最值。根据题目建立适当的几何模型：胡不归，将军饮马。费马点等。 1．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 2．（2024·天津河西·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，顶点为． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，点，若，求的值； (3)当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为．当为何值时，的最小值为，并求此时点的坐标． 3．（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标． 4．（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 5．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 题型2 角度问题 忽略斜率不存在的情况 先讨论直线垂直 x 轴的情形（k 无意义） 用夹角公式时符号错误 公式带绝对值；若已知角度大小，需根据位置确定正负 多解未取舍 代入原题验证，排除与已知点重合或不在抛物线上的解 混淆倾斜角与夹角 倾斜角是直线与 x 轴正向的夹角；夹角是两直线所成锐角。 6．（2025·天津红桥九中·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 7．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 8．（2024·天津红桥·二模）已知抛物线（，为常数，）经过点和点，与轴相交于点，为抛物线上横坐标为的点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，过点作轴的垂线与相交于点，若，求点的坐标； (3)为线段的中点，当时，求点的坐标． 9．（2024·天津红桥·一模）已知抛物线 (a，b为常数， 经过两点， 与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若P是直线上方该抛物线上一点，且 ，求点P的坐标． 10．（24-25九下·天津滨海新区·结课考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为抛物线上的一动点，且位于直线下方， ①当的面积最大时，求点M的坐标； ②当时，求点M的坐标． 题型3 定值问题 1. 设参数：将动点坐标用参数 t、m 等表示。 2. 表示目标量：用含参数的代数式表达题目所求的量（长度、面积、比值等）。 3. 化简消参： 展开、合并同类项。 利用韦达定理（若涉及两根之和、积）。 利用点在抛物线上满足的关系。 4. 得出结论：化简后若参数全部消去，即得定值。 11．（2024·天津和平区·一模）已知抛物线：（是常数，）的顶点为，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为． (1)求点和点坐标； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴，轴，分别与直线相交于点和点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)抛物线：（是常数，）经过点，若点在轴下方的抛物线上运动，过点作于点，与抛物线相交于点，在点运动过程中的比值是否为一个定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 12．（2023·天津红桥·三模）已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，调求出该定值；若不是，请说明理由． 13．（2024·天津河西·二模）已知抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为，与y轴交于点C，且对称轴在y轴的左侧，抛物线的顶点为P. （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求b的值； （3）在（1）的条件下，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 14．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； (3)请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 15．（2024·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 题型4 面积相关问题 当三角形顶点不在抛物线上，或图形不规则时，采用割补法： 竖切：过动点作 y 轴平行线，将图形分成左右两部分。 横切：过动点作 x 轴平行线。补形：用矩形或直角梯形面积减去周边直角三角形面积。 转换：当底边与坐标轴平行时，优先用常规底乘高；若面积含参且出现高次，检查是否可提取公因式分解。 16．（2025年天津市天津市河东区天津市第七中学模拟）抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 17．（2024·天津西青区·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 18.（2025·天津河北区·三模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且轴，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，的取值范围是______； (3)、两点之间的距离为，当时，求的值； (4)已知点的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出的值． 19．（2024·天津红桥·二模）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，已知，． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点E是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDBF面积的最大值及此时点E的坐标． 20．（2025·天津部分区县·一模）已知抛物线（b，c为常数）交x轴于点和点B，交y轴于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由． （Ⅲ）有一点M从点A出发，以1单位长/秒的速度在上向点B运动，另一点N从点D的位置与点M同时出发，以2单位长/秒的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，的面积最大，试求出最大面积． 题型5 三角形相关存在性问题 二次函数中的三角形存在性问题，核心是将几何条件转化为代数方程。这类问题通常围绕等腰三角形、直角三角形、相似三角形、全等三角形或特殊位置（如重心）展开，需要系统化的分类讨论。 21．（2023·天津红桥·二模）抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 22．（2025·天津七中·模拟）在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标; （3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由. 23．（2025·天津南开·三模）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2024·天津滨海新区·二模）如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限抛物线上找一点，的面积最大，求出此点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 25．（2025·天津四十二中·模拟）如图所示，在等腰△ABC中，，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A，B两点．    (1)写出点A，B的坐标． (2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段，和抛物线于点E，点M和点P，连接，．设直线移动的时间为t（）秒，求四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形的最大面积． (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6 四边形相关存在性问题 二次函数中的四边形存在性问题，核心是将几何条件转化为代数方程。这类题比三角形更复杂，因为涉及的点更多、图形更灵活。关键在于抓住对角线这一核心要素。 分类讨论： 平行四边形：按对角线分三类。 特殊四边形：先按平行四边形求出候选点，再附加条件筛选。 26．（2024·天津滨海新区·二模）已知抛物线的对称轴为直线，且过点．直线与抛物线交于、两点，且点在点的左侧． (1)求此抛物线的解析式； (2)求线段的长； (3)点是抛物线上一点，其横坐标为，且．抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．当图象上的最高点与最低点到直线的距离相等时，求的值； (4)点在抛物线上，点在其对称轴上．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 27．（2022·天津河北区·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），C两点，与y轴相交于点B，点M为线段AB上一点． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若点N（－b－2，）是抛物线在第三象限内的点，有一点P（－5，0），当时，求b的值； (3)在（1）的条件下，，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2023·天津红桥·二模）顶点为B的抛物线经过点和点，连接． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）D是x轴下方抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，与交于点E． ①若，求点D的坐标； ②在①的条件下，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，与的重叠部分为．是否存在一点H，使四边形为矩形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025·天津西青区·二模）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 30．（2025·天津河北区·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：40分钟） 1．抛物线（b，c为常数，顶点为 P，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l过点C且平行于x轴，M为第一象限内直线l上一动点，N为线段上一动点． (1)若， ①求点P和点A，B的坐标； ②当点M为直线l与抛物线的交点时，求的最小值． (2)若，，且的最小值等于时，求b，c的值． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； (3)如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $