重难点01 动态几何与函数建模综合题（3大题型）（重难专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

重难点01 动态几何与函数建模综合题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 一次函数 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2025年新题型 2023年和2024年考查二次函数但并未考查几何动点。 2025年 函数图像判断。根据几何图形（含圆弧）运动，选择对应的函数图像，侧重“以图析图”能力。 · 重点关注：双动点与函数图像判断。2025年刚考过图像判断，2026年可能会升级为双动点或动点+动线组合，考查更复杂的逻辑。 · 核心考点：重叠面积与最值。虽年年考法不同，但“求面积表达式及最值”始终是核心。2026年可能以旋转为背景，结合隐圆求最值，提升抽象难度。 · 冷门预警：轨迹问题。若选择题难度上调，可能会涉及“动点轨迹长度”或“路径长最值”（如将军饮马、胡不归模型）。 重●难●要●点●剖●析 题型1 动点几何相关综合题 · 单动点：通常利用面积、勾股或相似列方程。若动点在特殊图形（如直角梯形）上，注意分段。 · 双动点：分别用 t 表示两个动点的位置，常涉及两点间距离公式，或利用相对运动简化（但需谨慎）。 · 等腰三角形存在性：分别以三边相等分类，建立方程。优先处理“腰相等”且能快速利用几何性质（如三线合一）的情况。 · 相似三角形存在性：明确对应角（往往有固定角相等），再分两种情况按边比例列方程。 · 面积最值：将面积表示为 t 的二次函数，注意定义域（端点），利用顶点或端点求最值。 1．（2024·天津七中·三模）一块三角形材料如图所示：，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，下列结论中正确的个数是（   ） ①当时，矩形的面积是 ②矩形 面积最大时，点 E为 中点： ③当，矩形 面积为y时， ④当矩形 面积为时，． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·天津建华中学·模拟）如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26九上·天津五十五中·期末）如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·天津河北区·三模）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点B运动；点从点C同时出发，以的速度向点D运动，规定当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，的长度为，y与x的对应关系如图所示，最低点为．对于下列说法：①，②，③， 当时，．正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·天津河东·二模）如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 动点几何与函数图像 1. 审题与画图：明确动点起点、终点、速度、路径（直线/折线/圆弧）。在草稿纸上画出起始图、中间图、临界位置图。 2. 设参数：常用动点运动时间为 t，利用路程 = 速度 × 时间，表示出动点在不同路径上对应的线段长度。 3. 表示变量：将涉及的所有几何量（边长、高、面积等）用含 t 的代数式表示。关键在于寻找相似三角形或利用勾股定理建立等量关系。 4. 建立方程：根据问题（如“面积相等”“三角形相似”“等腰”），列出关于 t 的方程。 5. 求解与检验：解方程后，必须代入原运动范围检验。若 t 超出此时段，舍去；若结果符合，保留。 6．（2024·天津和平区·二模）如图，等边的边长为，点从点出发在，边上运动，当点运动到点后停止运动．过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，的面积是线段长度的函数，则与的函数图象正确的是(    ) A． B． C． D． 7．（2024·天津西青·二模）如图，点是以点为圆心，为直径的半圆上的动点（点不与点，重合），．设弦的长为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（     ） A．B．C．D． 8．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是(    ) A．B．C．D． 9．（2023·天津红桥·三模）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·天津和平区·一模）正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 题型3 动点几何相关最值问题 1. 识别模型：观察动点轨迹是直线还是圆，所求是“和最小”“差最大”还是“面积最值”。 2. 转化目标：利用对称、相似等几何变换，将“折线段”拉直，或将“带系数线段”转化为无系数线段。 3. 确定位置：根据几何定理（三点共线、垂足位置）找出取最值时的临界点。 4. 计算最值：利用勾股定理、相似比例或二次函数顶点求出具体数值。 11．（24-25九下·天津滨海新区·结课考）如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·天津红桥九中·二模）如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（    ）． A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 13．（2025·天津红桥·三模）在矩形中，动点从出发，沿运动，速度为，同时动点从点出发，以相同的速度沿路线运动，设点的运动时间为，的面积为，与的函数关系的图象如图所示，则面积的最大值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 14．（2024·天津武清·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 15．（2024·天津河西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作，垂足为Q，连接AP．若AC＝3，BC＝4，则△AQP的面积的最大值是(　　) A． B． C． D． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．如图，矩形中，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动：动点Q以相同的速度，从点B出发沿边、边向终点D运动．两点同时开始运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积逐渐增大： ③动点运动过程中，的面积最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 3．已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 动态几何与函数建模综合题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 一次函数 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 2025年新题型 2023年和2024年考查二次函数但并未考查几何动点。 2025年 函数图像判断。根据几何图形（含圆弧）运动，选择对应的函数图像，侧重“以图析图”能力。 · 重点关注：双动点与函数图像判断。2025年刚考过图像判断，2026年可能会升级为双动点或动点+动线组合，考查更复杂的逻辑。 · 核心考点：重叠面积与最值。虽年年考法不同，但“求面积表达式及最值”始终是核心。2026年可能以旋转为背景，结合隐圆求最值，提升抽象难度。 · 冷门预警：轨迹问题。若选择题难度上调，可能会涉及“动点轨迹长度”或“路径长最值”（如将军饮马、胡不归模型）。 重●难●要●点●剖●析 题型1 动点几何相关综合题 · 单动点：通常利用面积、勾股或相似列方程。若动点在特殊图形（如直角梯形）上，注意分段。 · 双动点：分别用 t 表示两个动点的位置，常涉及两点间距离公式，或利用相对运动简化（但需谨慎）。 · 等腰三角形存在性：分别以三边相等分类，建立方程。优先处理“腰相等”且能快速利用几何性质（如三线合一）的情况。 · 相似三角形存在性：明确对应角（往往有固定角相等），再分两种情况按边比例列方程。 · 面积最值：将面积表示为 t 的二次函数，注意定义域（端点），利用顶点或端点求最值。 1．（2024·天津七中·三模）一块三角形材料如图所示：，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，下列结论中正确的个数是（   ） ①当时，矩形的面积是 ②矩形 面积最大时，点 E为 中点： ③当，矩形 面积为y时， ④当矩形 面积为时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】2024年天津市第七中学中考三模数学试题 【分析】先由直角三角形的性质和勾肌定理求得，，再证明，得，即，即可求得，，，从而求得矩形的面积，即可判定①；当，矩形 面积为y时，根据，求得，，，则矩形 面积，即可判定③；再根据，由，则当时，即时，矩形 面积最大，即可判定②；令，则 解得：，，即或8，则或4，可判定④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形的面积，故①正确； 当时，则， ∴，， ∴ ∴矩形 面积故③错误； ∵矩形 面积 ∵ ∴当时，即时，矩形 面积最大， ∵， ∴点 E为 中点， ∴矩形 面积最大时，点 E为 中点，故②正确； 令，则 解得：，， 即或8， ∴或4， ∴当矩形 面积为时，或4，故④错误； 综上，正确的有①②，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾肌定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2025·天津建华中学·模拟）如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①∵动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）， ∴，， ∵，， ∴，动点Q从点B到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得：， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（25-26九上·天津五十五中·期末）如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【来源】天津市第五十五中学2025—2026学年第一学期九年级数学期末试卷 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形的性质可得，列方程求解，当为直角三角形时，的值；证得，根据全等三角形的性质得到、，再列式计算；根据，结合面积关系列出方程求解即可． 【详解】解：是等边三角形 ，为直角三角形 ， 故①正确； 过点Q作于点H，如图： 、、 ， 、、 、 即， 故②③正确； 解得或（舍去） 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：D． 4．（2025·天津河北区·三模）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点B运动；点从点C同时出发，以的速度向点D运动，规定当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，的长度为，y与x的对应关系如图所示，最低点为．对于下列说法：①，②，③， 当时，．正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由图象经过可知当时，， ∴， 由图象最低点是可知当时，， 此时， ∵，， ∴此时四边形为矩形， ∴， ∴根据勾股定理得，故正确， 点最多运动， 由最后一个点可知运动时， 此时与重合，， ∴的长是求不出来的， ∴①③④不能判断对错， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了勾股定理，关键是对图象上三个点的坐标的理解． 5．（2025·天津河东·二模）如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：矩形纸片， ，，， 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ，此时点在上， ， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形，①结论正确； 当时，如图，过点作于点， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 的面积，②结论错误； 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ， 、、三点共线， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即，③结论正确； 当点运动到与重合时，如图，过点作于点，与交于点， 由折叠的性质可知，，， ，， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， 的面积，④结论正确， 结论正确的有个， 故选：C． 题型2 动点几何与函数图像 1. 审题与画图：明确动点起点、终点、速度、路径（直线/折线/圆弧）。在草稿纸上画出起始图、中间图、临界位置图。 2. 设参数：常用动点运动时间为 t，利用路程 = 速度 × 时间，表示出动点在不同路径上对应的线段长度。 3. 表示变量：将涉及的所有几何量（边长、高、面积等）用含 t 的代数式表示。关键在于寻找相似三角形或利用勾股定理建立等量关系。 4. 建立方程：根据问题（如“面积相等”“三角形相似”“等腰”），列出关于 t 的方程。 5. 求解与检验：解方程后，必须代入原运动范围检验。若 t 超出此时段，舍去；若结果符合，保留。 6．（2024·天津和平区·二模）如图，等边的边长为，点从点出发在，边上运动，当点运动到点后停止运动．过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，的面积是线段长度的函数，则与的函数图象正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 当时，，， ， 综上所述，函数图象在时，是开口向上的抛物线的一部分，当时是开口向下的抛物线的一部分， 故选：C． 【点睛】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的相关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化． 7．（2024·天津西青·二模）如图，点是以点为圆心，为直径的半圆上的动点（点不与点，重合），．设弦的长为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：∵AB为圆的直径， ∴∠C=90°， ，，由勾股定理可知： ∴， ∴ 此函数不是二次函数，也不是一次函数， 排除选项A和选项C， 为定值，当时，面积最大， 此时， 即时，最大，故排除，选． 故选：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键． 8．（2025·天津市和平区益中学校·一模）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是(    ) A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：（1）当0＜x≤1时，如图， 在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD； ∵MN⊥AC， ∴MN∥BD； ∴△AMN∽△ABD， ∴即， ∴MN=x； ∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1）， ∵＞0， ∴函数图象开口向上； （2）当1＜x＜2，如图， 同理证得，△CDB∽△CNM， ∴即 ∴MN=2-x； ∴y=AP×MN=x×（2-x）， y=-x2+x； ∵＜0， ∴函数图象开口向下； 综上答案C的图象大致符合． 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，函数图像的识别，二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想． 9．（2023·天津红桥·三模）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点P作PF⊥BC于F， ∵PE=PB， ∴BF=EF， ∵正方形ABCD的边长是1， ∴AC=， ∵AP=x，∴PC=-x， ∴PF=FC=， ∴BF=FE=1-FC=， ∴S△PBE=BE•PF=， 即（0＜x＜）， 故选D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象． 10．（2024·天津和平区·一模）正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正△ABC的边长为3cm， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm． ①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）； 根据余弦定理知cosA， 即 解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）； 该函数图像是开口向上的抛物线； ②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）； 则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6）， ∴该函数的图像是在3＜x≤6上的抛物线； 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像．解题的关键是需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选． 题型3 动点几何相关最值问题 1. 识别模型：观察动点轨迹是直线还是圆，所求是“和最小”“差最大”还是“面积最值”。 2. 转化目标：利用对称、相似等几何变换，将“折线段”拉直，或将“带系数线段”转化为无系数线段。 3. 确定位置：根据几何定理（三点共线、垂足位置）找出取最值时的临界点。 4. 计算最值：利用勾股定理、相似比例或二次函数顶点求出具体数值。 11．（24-25九下·天津滨海新区·结课考）如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题图2可知，当时，点停止运动 ， 根据题意得，， 当在上时，即，此时 过点作于点，如图1， 四边形是平行四边形 又 在中， 当时，取最大值，最大值为 当点Q在上时，即时，如图2， 四边形是平行四边形 越小，越大 ， 取最大值，最大值为 综上所述，， 取最大值，最大值为 的值为，即的面积的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、二次函数的最值、一次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．（2025·天津红桥九中·二模）如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（    ）． A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【详解】解：如图：连接，过P作交于G，过Q作于K， ∵四边形为正方形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，即时，面积有最大值． 故选C． 13．（2025·天津红桥·三模）在矩形中，动点从出发，沿运动，速度为，同时动点从点出发，以相同的速度沿路线运动，设点的运动时间为，的面积为，与的函数关系的图象如图所示，则面积的最大值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【详解】解：由与的函数关系的图象可知，在矩形ABCD中，AB=CD=3，AD=BC=6． 当0<t≤3时，点P在AD边上，点Q在AB边上，如图所示， 由题意得：AP=AQ=t，PD=AD－AP=6－t，BQ=AB－AQ=3－1， ∵0<t≤3， ∴当时，的值最大，最大为：， ∴面积的最大值是． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点的函数图象问题、二次函数的性质，解题的关键是能从图象和题目条件中挖掘到有用的信息和数形结合思想的应用． 14．（2024·天津武清·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 【答案】B 【详解】解：过点H作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，最大值为， 所以，四边形面积的最大值为 故选：B 【点睛】本题考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，解题的关键在于寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题． 15．（2024·天津河西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作，垂足为Q，连接AP．若AC＝3，BC＝4，则△AQP的面积的最大值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ，， ∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，△APQ的面积最大，最大值是，故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：30分钟） 1．如图，矩形中，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动：动点Q以相同的速度，从点B出发沿边、边向终点D运动．两点同时开始运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积逐渐增大： ③动点运动过程中，的面积最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次函数的性质，当时，分别求出的值，判断①即可；当时，点P在上，点Q在上，表示出三角形面积为，分情况当时，的面积逐渐增大，当时，的面积逐渐减小，判断结论②即可；当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，分别求出表示面积的函数进行判断即可 【详解】解：①当时，， ， ，故①正确； ②当时，点P在上，点Q在上，为直角三角形， ， 当时，的面积逐渐增大， 当时，的面积逐渐减小，故②错误； ③当时，点P在上，点Q在上， ，的面积最大值为； 当时，点P在上，点Q在上，，， ， ， 随t的增大而减小， 时， 综上所述，的面积最大值为，故③正确， 故选：C 2．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2）， 当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4）， 图象为： 故选A． 3．已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，一元二次方程根的判别，二次函数最值等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质进行角的等量代换即可证出为矩形，判断①；过点作于点，设，则，用含的式子表达出和的长后，利用矩形的面积公式列式判断②和③即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 同理可证：， ∴四边形是矩形，故①正确； 过点作于点，如图所示：    设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时 整理得： ∵ ∴长有两个不同的值，故②正确； ∵ ∴当时，面积最大值为，故③正确； 综上①②③正确； 故选：D． 4．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为 ∴ 则种花的面积的最大值为；故②正确 当时，即 即 ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，即 ∴ 解得：，故③正确， 故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $