热点04 圆的性质与综合计算 （5大题型）（热点专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点04 圆的性质与综合计算 召热点聚集 召方法精讲 包能力突破 第一部分热点聚焦。析考情 第二部分题型引领。讲方法 题型01垂径定理 题型02切线的性质和判定 题型03圆的内接四边形 题型04圆与三角函数综合 题型05圆与相似三角形综合 第三部分能力突破。限时练 热点聚 析考情碧 近三年： 2025第21题解答题10分切线的性质、垂径定理、相似三角形 2024第21题解答题10分切线的判定与性质、勾股定理、三角函数 2023第21题解答题10分垂径定理、切线的性质、相似三角形、勾股定理 2026年预测：核心考点预测切线必考：切线的性质（遇切点连半径得垂直）几乎是必考内容，可能在已 知条件中直接给出切线，也可能需要先证明切线。垂径定理高频：涉及弦长计算时，垂径定理是构造直角 三角形的首选工具。相似三角形是解题关键：第(2)问的线段计算大概率需要通过相似三角形建立比例方程。 特殊角三角函数值：30°、45°、60°的三角函数值仍会频繁出现。可能出现的变化圆内接四边形：目前 近三年纯圆内接四边形的考查较少，但作为圆的重要性质，可能以“结合”形式出现（如圆内接四边形+切 线)。动点问题：天津中考圆大题尚未出现“动点+最值”的考查形式，但作为压轴题的常见方向，需保 持关注。 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型引领 讲方法碧 题型01垂径定理 解题策略 1.分类讨论：防漏解 垂径定理的题目往往不止一个答案，需注意两种情况： 位置不确定：两条平行弦在圆心的同侧还是异侧？结果通常需要相加或相减弦心距。 弦的条数：己知弦长和圆心到弦的距离，这样的弦通常有两条（关于直径对称），但若题目只问“弦长” 则唯一；若问“位置”则需考虑对称性。 2.巧用“中点”与“垂直” 垂径定理的逆定理也是解题利器：如果一条直线过圆心，且平分弦（非直径），那么它一定垂直于该弦。 在证明题中，已知中点想连圆心，往往能直接得到垂直关系。 3.与圆心角、圆周角联动 垂径定理常与圆周角定理结合。如果题目给出弧的中点，立即连接圆心，这条连线就是角平分线和垂直 平分线。 例1(2025·天津河北区三模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，连接AC,BC,0C. 图① 图② (1)如图①，己知CD⊥AB,当∠CAB=20°时，求L0CB和∠CAD的度数. (2)如图②，PC为⊙0切线，AE∥0C交O0于点G,已知CE=4,AB=10,求EG的长. 【变式1】(2025·天津.一模)在⊙0中，直径BD垂直于弦AC,垂足为E,连接AB,BC,CD,DA. E D D E 0 图① 图② 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图①，若ABC=110°，求∠BAE和∠CAD的大小； (2)如图②，过点C作O0的切线交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长. 【变式2】(2025·天津红桥三模)已知CD,BE为⊙O的直径，弦AB⊥CD,连接AC,BC,∠ACD=30 E D D 图① 图② (1)如图①，求∠BCD和∠ABE的度数； (2)如图②，过点D作⊙O的切线，与CB的延长线交于点G,⊙0的半径为4，求线段BG的长. 【变式3】(2025天津南开三模)在等腰ABC中，AB=AC,以AB为直径的00分别与边AC，BC交 于D,E两点，EF⊥AB,垂足为点M,EF与OO相交于点F,连接DF, B B 图① 图② (1)如图①，若LBAC=70°，求∠BEF和∠FDA大小： (2)如图②，若点O恰在线段DF上，过点E作OO的切线EN,切点为E,EN与AC相交于点N.若 AC=6.求弦EF和线段CN的长. 【变式4】(2025天津.中考)已知AB是00的直径，CD是⊙0的一条弦，AB⊥CD,连接AC,0D. C B D 图① 图② (1)如图①，若LA=32°，求∠B0D的大小； (2)如图②，过点C作O0的切线CF,连接DB并延长交CF于点E,若DB⊥CE,⊙0的半径为2，求CE的 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 长 题型02切线的性质和判定 解题策略 1.判定技巧：两种模型 要证明一条直线是切线，根据题目条件有两种思路： 有交点，连半径，证垂直：直线与圆有明确交点时，直接连接圆心与交点，证明这条半径垂直于直线。 常用等角代换、平行线性质或勾股逆定理来证直角。 无交点，作垂直，证半径：只知直线到圆心的距离，未给交点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长 度等于半径。 2.性质技巧：双垂直与全等 已知直线是切线，立即连接圆心和切点，得到垂直关系。 双垂直模型：若图中还有另一条垂线，往往会形成矩形或平行线，可利用线段相等进行转化。 全等三角形：若从圆外一点引两条切线，连接圆心与这点，必然得到一组全等三角形(HL),且该点与 圆心的连线平分两条切线的夹角。 例1(2024天津滨海新区·一模)如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，AD与过C点的直线互相垂直， 垂足为D,AC平分∠DAB. (1)求证：DC为⊙0的切线： (2)若AD=3,DC=√5，求劣弧AC的长. 【变式1】(2023天津西青二模)已知AB是00的直径，点C是00上一点，点D是00外一点，DC是 OO的切线，C为切点，连接DA,CB. D B B 图① 图② (1)如图①，若DA与O0相切，A为切点，LADC=70°，求∠ABC的大小； 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，若DA与⊙0相交于点E,恰有AD⊥CD,且CD=4,AB=10,求ED的长. 【变式2】(2022天津滨海新区.二模)如图，在O0中，AB为直径，弦CD与AB交于P点，∠ADC=25 D D Q A B P/O B C 图① 图② (1)如图①，若∠DPB=55°，求∠ACD的度数： (2)如图②，过点C作O0的切线与BA的延长线交于点Q,若PQ=CQ,求∠CAD的度数， 【变式3】(2024天津北辰实验中学.二模)已知AB是⊙0的直径，AT是⊙0的切线，∠ABT=50°，BT交 ⊙O于点C,E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. B B D E E A T 1 图① 图② (1)如图(1)，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图(2)，当BE=BC时，求∠CD0的大小. 【变式4】(2025·天津南开区.二模)已知PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,PO交⊙O于点F,且其延长 线交⊙O于点C,∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交oO于点D. 5/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F y 的 B E D C C 图(1) 图(2) (1)如图(1)，求∠CDB与∠APB的大小： (2)如图(2)，当BC=CE时，求∠PBE的大小. 题型03圆的内接四边形 解题策略 1.核心模型：对角互补 2.桥梁模型：外角等于内对角 技巧：将四边形的一边延长，外角一定等于不相邻的内对角。 3构造思想：补全图形与连直径 遇垂直或直径：若四边形中有直角，立即连接直径。直角所对的弦是直径，这能将角的条件转化为边的 中点或圆心的位置。遇平行：若四边形中有平行弦，所夹的弧相等，可用于证明等腰梯形或等角关系。 例](2025天津红桥九中.二模)已知四边形ABCD内接于⊙0，D为AC的中点，过点B作00的切线，与 AC的延长线相交于点E. D B E B 图① 图② (1)如图①，若AB经过点0，∠E=52°，求∠DAC的大小： (2)如图②，若AC经过点O,AB=BE=√3，求AD的长 【变式1】(2025天津和平.一模)已知AB是⊙0的直径；AB=2,点C和点D为圆上的点，∠CBA=70° ,∠DAB=50°，连接BD. 6/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 D B B 图① 图② (1)如图①，求∠DBC和∠BCD的大小： (2)如图②，过点C和点D分别作⊙0的切线相交于点P,连接OP,求OP的长 【变式2】(2025天津河北区一模)在ABC中，LCAB=60°，LABC=90°，AB=√5，点A在O0上， 线段AC,BC分别交OO于点E,点D,连接DE. B B 图① 图② (1)如图①，若点B在O0上，BD=2,求∠EDC的大小与线段DE的长： (2)如图②，若点B在⊙0内，点O在线段AB上，直线1切⊙0于点D,交AC于点H,连接0D,若 OD∥AC,求CH的长 【变式3】(2023天津五区.一模)已知四边形ABCD内接于00，AB为O0的直径，∠BCD=148°， P E B B D 图① 图② (1)如图①，若E为AB上一点，延长DE交⊙0于点P,连接AP,求∠APD的大小： (2)如图②，过点A作⊙0的切线，与D0的延长线交于点P,求∠APD的大小 【变式5】(2024天津和平区三模)圆内接四边形ABCD,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. 7/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B D 图① 图② (1)如图①，求∠BAD的大小： (2)如图②，过点C作圆的切线与AB的延长线相交于点F,若CF∥AD,AF=3,求圆半径的长. 题型04圆与三角函数综合 解题策略 1.核心转换：构造直角三角形 三角函数只能在直角三角形中直接使用主要有三种方式： 遇直径，连弦：直径所对的圆周角是直角。连接圆上一点与直径两端点，即得直角三角形。 遇切线，连切点：切线过切点的半径，直接得到直角。 遇弦长，作弦心距：垂径定理构造的直角三角形（半径、半弦、弦心距）是计算核心。 2.等角转换：转移三角函数 当所求角不在直角三角形中时，利用圆的性质转移角： 同弧所对的圆周角相等：将所求角转换为另一个易得直角三角形的圆周角。 圆内接四边形外角：外角等于内对角。 弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。 例1(2024天津河西模拟)如图，ABCD的边AB与经过A,C,D三点的⊙O相切. (1)求证：AC=AD; (2)如图2，延长BC交oO于点E,连接DE,若sin∠ADE= 24 25 ,求tan∠DCE的值. A B C■ E 【变式1】(2023天津和平区.二模)如图，AB是o0的直径，弦CDLAB与点E,点P在⊙0上，∠1=∠C, 8/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 E D (1)求证：CBPD; (2)若BC=3,sin∠p=3,求oo的直径. 【变式2】(2025·天津河东.二模)如图，在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E, 点F在AC的延长线上，且∠CBF=)∠CAB. (1)求证：直线BF是⊙O的切线： (2)若AB=5,sin∠CBF=5,求BC和BF的长。 A D 0 B 【变式3】(2025天津.一模)如图，AB为00的直径，点C在直径AB上（点C与A,B两点不重合)， OC=3,点D在OO上满足AC=AD,连接DC并延长到E点，使BE=BD. E A D (1)求证：BE是⊙0的切线； (2)若BE=6,求c0 SLCDA的值. 【变式4】(2025天津红桥·三模)如图，D为⊙0上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：CD是00的切线： 2过点B作O0的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,m∠CD1=子求E的长。 题型05圆与相似以三角形综合 解题策略 相似需要两角相等。在圆中寻找等角，优先级如下： 1.同弧所对的圆周角相等：这是最常用的等角来源。 2.圆内接四边形外角等于内对角：用于转移角。 3.弦切角等于所夹弧对的圆周角：涉及切线时的关键。 4.直径所对的圆周角是直角：用于配合互余关系转换角。 例1(2024天津武清三模)已知AB是⊙0的直径，CD是00的弦，连接C0并延长交⊙0于点E, LDCE=30°，CE⊥BD,连接CB B G D E D E 图① 图② (1)如图①，求∠BCE和∠ABC的大小： (2)如图②，过点E作⊙0的切线，与CB的延长线相交于点G.若OC=4,求BG的长， 【变式1】(2024天津滨海新区.二模)在⊙0中，AB是⊙0的直径，弦CD垂直于AB,垂足为点E,过 点C作OO的切线交BA的延长线于点F. 图① 图② (1)如图①，若∠B=25°，求∠F; 10/13 热点04 圆的性质与综合计算 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 垂径定理 题型02 切线的性质和判定 题型03 圆的内接四边形 题型04 圆与三角函数综合 题型05 圆与相似三角形综合 第三部分 能力突破·限时练 近三年: 2025 第21题 解答题 10分 切线的性质、垂径定理、相似三角形 2024 第21题 解答题 10分 切线的判定与性质、勾股定理、三角函数 2023 第21题 解答题 10分 垂径定理、切线的性质、相似三角形、勾股定理 2026年预测： 核心考点预测切线必考：切线的性质（遇切点连半径得垂直）几乎是必考内容，可能在已知条件中直接给出切线，也可能需要先证明切线。垂径定理高频：涉及弦长计算时，垂径定理是构造直角三角形的首选工具。相似三角形是解题关键：第(2)问的线段计算大概率需要通过相似三角形建立比例方程。 特殊角三角函数值：30°、45°、60°的三角函数值仍会频繁出现。可能出现的变化圆内接四边形：目前近三年纯圆内接四边形的考查较少，但作为圆的重要性质，可能以“结合”形式出现（如圆内接四边形+切线）。 动点问题：天津中考圆大题尚未出现“动点+最值”的考查形式，但作为压轴题的常见方向，需保持关注。 题型01 垂径定理 解题策略 1. 分类讨论：防漏解 垂径定理的题目往往不止一个答案，需注意两种情况： 位置不确定：两条平行弦在圆心的同侧还是异侧？结果通常需要相加或相减弦心距。 弦的条数：已知弦长和圆心到弦的距离，这样的弦通常有两条（关于直径对称），但若题目只问“弦长”则唯一；若问“位置”则需考虑对称性。 2. 巧用“中点”与“垂直” 垂径定理的逆定理也是解题利器：如果一条直线过圆心，且平分弦（非直径），那么它一定垂直于该弦。在证明题中，已知中点想连圆心，往往能直接得到垂直关系。 3. 与圆心角、圆周角联动 垂径定理常与圆周角定理结合。如果题目给出弧的中点，立即连接圆心，这条连线就是角平分线和垂直平分线。 例1（2025·天津河北区·三模）如图，是的直径，点是上一点，连接，，． (1)如图①，已知，当时，求和的度数． (2)如图②，为切线，交于点G，已知，求的长． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过圆心作，交于点， ∴， ∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式1】（2025·天津·一模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)， (2)半径为4 【详解】（1）解：∵直径于E点， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； （2）解：连接，如图②， ∵， ∴， 即垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， 即半径为4． 【变式2】（2025·天津红桥·三模）已知为的直径，弦，连接． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点的半径为4，求线段的长． 【答案】(1)， (2)的长是 【详解】（1）解：∵为的直径，弦 ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和的度数都是． （2）∵为的直径，的半径为4， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 【变式3】（2025·天津南开·三模）在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，，垂足为点，与相交于点．连接． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若点恰在线段上，过点作的切线，切点为，与相交于点．若．求弦和线段的长． 【答案】(1)， (2)， 【来源】2025年天津市南开区九年级中考三模数学试卷 【详解】（1）解：如图①， ， ， ，即， ， ，且为直径， ，且， ； （2）解：如图②， ， ， 而由（1）可知，且， ， 为等边三角形， ，且圆的半径， 如图③，连接半径， 切于点，且为半径， 于点，即， ，且， 为等边三角形， ，且， ，， ， ， 在中，，，如图④所示， ， 由（1）， 在中，，， ． 【变式4】（2025·天津·中考）已知是的直径，是的一条弦，，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线，连接并延长交于点，若，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年天津市初中学业水平考试数学试卷（核心卷一） 【分析】本题主要查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识： （1）连接，根据圆周角定理可得，再由垂径定理可得，即可求解； （2）过作交于点，结合切线的性质可证明四边形是矩形，可得到，再证明是等边三角形，可得到，然后在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ． 是的直径，， ． ． （2）解：如图，过作交于点， ． 直线为的切线， ，即． ， ． 四边形是矩形． ． ． ． ． ， ． ． 是等边三角形． ． ． 在中， ， ． 题型02 切线的性质和判定 解题策略 1. 判定技巧：两种模型 要证明一条直线是切线，根据题目条件有两种思路： 有交点，连半径，证垂直：直线与圆有明确交点时，直接连接圆心与交点，证明这条半径垂直于直线。常用等角代换、平行线性质或勾股逆定理来证直角。 无交点，作垂直，证半径：只知直线到圆心的距离，未给交点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 2. 性质技巧：双垂直与全等 已知直线是切线，立即连接圆心和切点，得到垂直关系。 双垂直模型：若图中还有另一条垂线，往往会形成矩形或平行线，可利用线段相等进行转化。 全等三角形：若从圆外一点引两条切线，连接圆心与这点，必然得到一组全等三角形（HL），且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 例1（2024·天津滨海新区·一模）如图，为O的直径，C为上一点，与过C点的直线互相垂直，垂足为D，平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求劣弧的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 过， ∴为的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 连接． ∵是的直径， ， ， ， ， ， 解得：， 即， ∴劣弧的长是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质和判定，弧长公式等知识点，能熟记切线的判定和弧长公式是解此题的关键． 【变式1】（2023·天津西青·二模）已知是的直径，点是上一点，点是外一点，是的切线，为切点，连接，．    (1)如图①，若与相切，为切点，，求的大小； (2)如图②，若与相交于点，恰有，且，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【来源】2023年天津市西青区中考二模数学试题 【分析】（1）连接，求得，再求得，即可解答； （2）作于点H，连接，由垂径定理得到，再证明四边形为矩形，求出的长，得到的长，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，      是的切线，为切点， ， 与相切，为切点， ， ， ， ， ； （2）解：如图，作于点H，连接，      是的切线，为切点， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定及性质，垂径定理，勾股定理，综合应用以上知识是解题的关键． 【变式2】（2022·天津滨海新区·二模）如图，在中，为直径，弦与交于P点，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，过点C作的切线与BA的延长线交于点Q，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【来源】2022年天津市滨海新区九年级学业质量调查（二）数学试题 【分析】（1）连接，先求得，得，最后求得； （2）连接，由切线的性质得，由，，得，，最后求得的度数 【详解】（1） 如图①，连接，    ∵ 是的一个外角，，， ∴ ， ∴ ， ∵ 为⊙的直径， ∴ ， ∴ ． （2）如图②，连接． ∵ ， ∴ ． ∵是⊙切线， ∴ ． ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式3】（2024·天津北辰实验中学·二模）已知是的直径，是的切线，，交于点，是上一点，延长交于点． (1)如图（1），求和的大小； (2)如图（2），当时，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）如图，连接． ∵是的切线，是的直径， ∴，即． ∵， ∴． 由是的直径，得． ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：，． （2）如图，连接． 在中， ， ， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等． 【变式4】（2025·天津南开区·二模）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D． （1）如图（1），求与的大小； （2）如图（2），当时，求的大小． 【答案】（1），；（2） 【来源】2025年天津市南开区九年级第二次模拟（二模）数学试卷 【分析】(1)连接OB，根据PA、PB与圆O相切于点A，B，得到PO平分且，进而进行求解； 连接OB，因为，求出， 根据PA与圆O相切于点A，即可得出答案． 【详解】（1）解：连接OB，如图所示：    ∵PA、PB与圆O相切于点A，B， ∴PO平分且， ， ， ， ， 又， ， ， （2）连接OB，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ∵PA与圆O相切于点A， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，正确作出辅助线，读懂题意是解题的关键． 题型03 圆的内接四边形 解题策略 1. 核心模型：对角互补 2. 桥梁模型：外角等于内对角 技巧：将四边形的一边延长，外角一定等于不相邻的内对角。 3.构造思想：补全图形与连直径 遇垂直或直径：若四边形中有直角，立即连接直径。直角所对的弦是直径，这能将角的条件转化为边的中点或圆心的位置。遇平行：若四边形中有平行弦，所夹的弧相等，可用于证明等腰梯形或等角关系。 例1（2025·天津红桥九中·二模）已知四边形内接于，为的中点，过点作的切线，与的延长线相交于点．      (1)如图①，若经过点，，求的大小； (2)如图②，若经过点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年天津市红桥区九中考数学二模试卷 【分析】（）利用圆周角定理可得，进而由切线的性质得，再根据圆内接四边形的性质可得，最后根据弧、圆心角、弦的关系和等腰三角形的性质即可求解； （）连接，利用等腰三角形的性质和余角性质可得，进而可得，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，弧圆心角弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1】（2025·天津和平·一模）已知是的直径；，点C和点D为圆上的点，，，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点C和点D分别作的切线相交于点P，连接，求的长． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年天津市和平区九年级中考一模数学试卷 【分析】本题主要考查圆周角的性质、三角函数、切线长定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角的性质、三角函数、切线长定理及圆内接四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据圆内接四边形的性质可进行求解； （2）连接，由题意易得，，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴ （2）解：连接，如图所示： ∵过点C和点D分别作的切线相交于点P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2025·天津河北区·一模）在中，，，点A在上，线段分别交于点E，点D，连接． (1)如图①，若点B在上，，求的大小与线段的长； (2)如图②，若点B在内，点O在线段上，直线l切于点D，交于点H，连接，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【来源】天津市河北区2024—2025学年下学期九年级第一次模拟考试数学试题（1） 【分析】本题考查了园内接四边形，解直角三角形，切线的性质，熟练用上述性质解题是关键． （1）利用圆内接四边形可得，再解直角三角形即可解答； （2）设半径为，根据，可得，则，解方程即可得到的值，则可计算，再利用切线的性质，得到，即可求得． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 设半径为，即， ， 则可得， 解得， ， ， ， 直线l切于点D， ， ， ， ． 【变式3】（2023·天津五区·一模）已知四边形内接于，为的直径，， (1)如图①，若E为上一点，延长交于点P，连接，求的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线交于点P，求的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接， 四边形内接于， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ； （2）解：连接， 由（1）知， ， ， 切于， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形求度数，圆的切线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式5】（2024·天津和平区·三模）圆内接四边形，平分，． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，过点作圆的切线与的延长线相交于点，若，，求圆半径的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2024年天津市和平区中考三模数学试题 【分析】（1）证明得出，根据四边形是圆内接四边形，可得，即可得出； （2）由（1）可得是圆的直径 设的中点为，点即为圆心连接并延长与相交于点根据垂径定理可得，结合已知条件可得 是等边三角形，进而得出四边形 是矩形，得出，根据含度角的直角三角形的性质，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解:∵平分， ， 、 ， 又， 四边形是圆内接四边形， （2）， 是圆的直径 设的中点为，点即为圆心 连接并延长与相交于点 是的切线， ， 由 () 得， 可得 是等边三角形 在中， ， 四边形 是矩形 即圆的半径长为    【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型04 圆与三角函数综合 解题策略 1. 核心转换：构造直角三角形 三角函数只能在直角三角形中直接使用主要有三种方式： 遇直径，连弦：直径所对的圆周角是直角。连接圆上一点与直径两端点，即得直角三角形。 遇切线，连切点：切线过切点的半径，直接得到直角。 遇弦长，作弦心距：垂径定理构造的直角三角形（半径、半弦、弦心距）是计算核心。 2. 等角转换：转移三角函数 当所求角不在直角三角形中时，利用圆的性质转移角： 同弧所对的圆周角相等：将所求角转换为另一个易得直角三角形的圆周角。 圆内接四边形外角：外角等于内对角。 弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。 例1（2024·天津河西·模拟）如图，▱ABCD的边AB与经过A，C，D三点的⊙O相切． （1）求证：AC＝AD； （2）如图2，延长BC交⊙O于点E，连接DE，若sin∠ADE＝，求tan∠DCE的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【来源】2024年天津市河西区中考数学模拟试题 【分析】（1）连接并延长交于，如图，根据切线的性质得到，再利用平行四边形的性质得到，所以，根据垂径定理可判断垂直平分，从而得到结论； （2）过点作，如图，先根据圆内接四边形的性质得到，在中利用正弦的定义得到，则可设，，所以，所以，，接着根据正切定义得到，然后证明，从而得到的值． 【详解】解：（1）证明：连接并延长交于，如图， 为切线， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即垂直平分， ； （2）过点作，如图， ，， ， ， 在中，， 设，， ， 四边形为平行四边形， ，， 而， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形． 【变式1】（2023·天津和平区·二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 【答案】（1）见解析; （2）5 【详解】解：（1）证明：∵∠C=∠P，∠1=∠C， ∴∠1=∠P.∴CB∥PD. （2）连接AC， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. 又∵CD⊥AB，∴.∴∠P=∠CAB. ∴sin∠CAB=sin∠P =，即. 又∵BC=3，∴AB=5. ∴⊙O的直径为5. 【变式2】（2025·天津河东·二模）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BF=，BC=2． 【详解】解：（1）证明：连接AE，在⊙O中， ∵∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴∠1=∠CAB． ∵∠CBF= ∠CAB， ∴∠1=∠CBF， ∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°， ∴直线BF是⊙O的切线． （2）解：过点C作CG⊥AB于G． ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=， 在Rt△AEB中，∠AEB=90°， ∴BE=AB•sin∠1=， ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=， ∴sin∠2=== ， cos∠2=== ， 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2， ∴AG=3， ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF， ∴， ∴BF=． 考点：1切线的判定与性质；2勾股定理；3圆周角定理；4解直角三角形. 【变式3】（2025·天津·一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年中考数学一模猜题卷（天津专用）—2025年全国各地市最新中考数学模拟考试 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，由等边对等角结合对顶角相等可得，，求出，即可得证； （2）设，由题意可得，，则， ∴，，由勾股定理计算可得，从而求出，由（1）可得，再由余弦的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设， ∴， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴． 【变式4】（2025·天津红桥·三模）如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．    (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)5 【详解】（1）证明：如图，连接．   是的直径， ， ． ， ， ． 又，即， ，即， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接．   、均为的切线， ， 又 垂直平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 解得． 即的长为5． 题型05 圆与相似三角形综合 解题策略 相似需要两角相等。在圆中寻找等角，优先级如下： 1. 同弧所对的圆周角相等：这是最常用的等角来源。 2. 圆内接四边形外角等于内对角：用于转移角。 3. 弦切角等于所夹弧对的圆周角：涉及切线时的关键。 4. 直径所对的圆周角是直角：用于配合互余关系转换角。 例1（2024·天津武清·三模）已知是的直径，是的弦，连接并延长交于点E，，，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点G．若，求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【来源】2024年天津市武清区多校联考中考三模数学试题 【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据垂径定理可得，从而得出，再证明是等边三角形，得到，根据圆周角定理，得到，即可求解； （2）根据勾股定理求出，的长，再证明，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于点，如图： ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∵是的切线， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴． 【变式1】（2024·天津滨海新区·二模）在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2024年天津市滨海新区中考二模数学试题 【分析】（1）先根据垂径定理推论得到，再根据圆周角定理可求，由切线的性质得到，即可求解； （2）连接，过点M作，垂足为点H，解得出，，然后通过以及对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：连接，过点M作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式2】（2025·天津和平·三模）如图，内接于，是的直径，的角平分线交于点，交于点，连接，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证： (3)请求出、、之间的数量关系． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）∵是的直径， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． （2）∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴ 又∵，， ∴把逆时针旋转可与重合，此时，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2025·天津河北区·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：在中 是直角三角形 是的直径 是的切线； （2）证明：是直径， （公共角） 即； （3）由（2）得 即 解这个方程，得或（舍去） 连结 与都是的直径， 与互相平分 四边形为平行四边形， 在中 ． 【变式4】（2023·天津和平·一模）已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过作交于点，连接，若，，求和半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)；半径为5 【来源】2023年天津市和平区中考一模数学试卷 【分析】（1）连接根据切线的性质和已知求出，求出，即可得出答案； （2）连接，由勾股定理求出证明，求出，由勾股定理求出，由平分可得，由勾股定理得，从而可求出圆的半径，再证明即可解决问题 【详解】（1）解：连接 ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）在中，， 连接，如图， 则 是的直径， 又为的切线， ， ∵四边形内接于， ， 又， ，     ， ， 的半径为5， 延长交于点， 是的切线，   ， 在中， 由勾股定理得，， 又 ，   又 ， ， 又 ，即 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，相似三角形的判定与性质等知识，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． （30分钟限时练） 1．已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据，得出为直径，根据等边对顶角得出，圆周角定理即可得出． （2）连接，，设半径为，根据切线的性质得出．结合，得出，是等腰直角三角形，勾股定理求出，即可得，求出．根据，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：连接， 过点，， 为直径， ， ， ． （2）解：连接，，设半径为， 与切于点， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ． ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，是的直径，点C是上一点，连接，，是的切线，点D是上一点，过点D作于点D，交于点F，交于点E． (1)如图1，当点D与点O重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，与交于点G，已知，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． （1）连接，由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即． （2）过点O作于点H，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点O作于点H， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 3．是的外接圆，是的直径，点D为上一点，过点D作，与的延长线交于点E，连接与交于点F． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若恰好切于点D，且，，求的半径和的长． 【答案】(1)， (2)半径为； 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）连接并延长交于H，由（1）知，根据切线的性质得到，根据矩形的性质得到，根据等腰三角形的性质的得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于H， 由（1）知， ∵恰好切于点D， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．已知是的直径，为的中点，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线，交的延长线于点P，弦与交于点N，若，求的直径． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用圆周角定理求得，利用直角三角形的性质解答即可得出的大小；再利用角平分线的定义和圆周角定理解答即可； （2）利用圆的切线的性质定理得到，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理得到，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用含角的直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为的直径， ∴． ∴； （2）解：∵切于点C， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 则． 由（1）知， ∴， ∵， ∴． 又， ∴． 即的直径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $