热点02 统计与概率综合应用 （6大题型）（热点专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点02 统计与概率综合应用 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 放回问题 题型02 不放回问题 题型03 几何概率 题型04 条形统计图和扇形统计图综合 题型05 频数分布直方图 题型06 统计与概率综合 第三部分 能力突破·限时练 近三年:该板块通常由两道题构成：一道概率填空（第15题），一道统计解答（第20题）。 第15题：简单随机事件的概率考查形式：填空 2024年：不透明袋子中有8个球（红、绿），求摸出特定颜色球的概率。2023年：不透明袋子中有5个球（红、蓝），求摸出红球的概率。第20题：统计图表与数据特征，考查形式：解答。2024年：以“学生参加科学教育”为背景，求平均数、众数、中位数。2023年：以“学生参加活动年龄”为背景，同上。特点：题干通常涉及科学教育、传统文化、校园生活等现实情境，注重考查数据观念。 2026年预测：位置结构不变：依然是第15题（概率）+ 第20题（统计）的格局。情境更鲜活：统计题的背景很可能结合人工智能、环境保护、社会实践等热点，体现应用价值。难度保持稳定：整体难度较低，核心在于计算的准确率和统计概念的清晰度。 备考策略：概率公式：重点练习“不透明袋子摸球”模型，审题时看清“放回”还是“不放回”。三数计算：务必落实加权平均数、中位数（注意偶数个数据）、众数（可能不止一个）的规范步骤。图表互译：熟练从扇形图读百分比，从条形图算总数，不要在这类基础题上丢步骤分。 题型01 放回问题 解题策略 这类问题的核心特征是：每次抽取后把样本放回，因此每次试验的条件完全相同，概率保持不变。有放回时，每次抽取地位平等，可利用对称性避免枚举。 例1（2025·天津建华中学·模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是______． 【答案】 【详解】解：列表如下： 红 绿 红 （红，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （绿，绿） 所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为， 故答案为：． 【变式1】（2025·天津九十五中·一模）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则结果两次摸出红球的概率为_____． 【答案】/ 【详解】解：画树状图如图： 共有16种等可能的情况，其中两次摸到的球都是红球的有9种情况， ∴两次摸到的球都是红球的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式2】（2024·天津和平·一模）现有三张正面分别标有数字-5，-2，6的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，卡片上的数字记为a，然后放回摇匀后再随机取出一张，卡片上的数字记为b．则满足a+b<0的概率是______． 【答案】 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有4种结果， 所以满足a+b<0的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式3】（2025·天津河东·二模）在不透明袋子中装有1个红色小球和2个绿色小球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是___________． 【答案】 【详解】解：列表如下： 红 绿 绿 红 红，红 红，绿 红，绿 绿 绿，红 绿，绿 绿，绿 绿 绿，红 绿，绿 绿，绿 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球颜色相同的结果数为5， 所以两次摸出的小球颜色相同的概率=． 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【变式4】（2024·天津七中·三模）一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是______． 【答案】 【来源】河南省新乡市原阳县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据题意列表求概率即可，求得所有可能性，再求得和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】列表如下， 1 2 3 1 偶数 奇数 偶数 2 奇数 偶数 奇数 3 偶数 奇数 偶数 共有9种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有5种， 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键． 题型02 不放回问题 解题策略 不放回问题（无放回抽样）的核心特征是：每次抽取后不将样本放回，因此总体数量递减，每次概率随之前结果变化，各次抽取不独立。忽略顺序 明确题目问的是“依次取出”还是“一次取两个”。组合数法自动处理无序；分步法求无序需乘顺序数概率计算错误 分步法每一步分母减1、分子根据之前结果变化，务必小心 例1（2025·天津河北区·一模）在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为的概率为__________． 【答案】 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况， ∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，利用树状图列出两次取出的小球标号和的所有可能情况是解答本题的关键． 【变式1】（2024·天津河西·模拟）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是__________． 【答案】 【详解】解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种， 两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 故答案为：． 【变式2】（2023·天津和平区·二模）有四张背面完全相同正面分别写有数字1，2，3，4的卡片．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率是________． 【答案】 【详解】解：由题意可得： 一共有种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和等于6的2种， ∴抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率为， 故答案为：． 【变式3】（2025·天津南开·三模）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________． 【答案】/0.4 【详解】解：设蛋黄粽为A，鲜肉粽为B，画树状图如下：      共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果， ∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率、概率公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式4】．（2025·天津河东·二模）现有四张正面分别标有数字-3，-2，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为m，n，则使得一次函数的图象不经过第二象限的概率为______． 【答案】 【详解】 解：根据题意，画出树状图，如上图： 得到12种等可能结果， 一次函数的图象不经过第二象限即为 其中满足的情况有10种， 所以使一次函数的图象不经过第二象限概率为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率及一次函数图像及性质，根据题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 题型03 几何概率 解题策略 几何概率是概率论中处理无限可能结果（连续型）的一类问题，核心是用长度、面积之比来计算概率。 1. 一维几何概率（长度/时间） 模型：在长度为 L 的线段上随机取点，事件对应长度为 l 的子区间。 2. 二维几何概率（面积） 模型：在面积为 S 的区域上随机取点，事件对应面积为 s 的子区域。 例1（2024·天津武清·三模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是________． 【答案】 【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为， 其中阴影部分的面积为， 则空白部分的面积为， ∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是； 故答案为：． 【变式1】（2025·天津河北区·二模）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_____． 【答案】 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 【变式2】（2025·天津红桥·三模）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 【答案】 【详解】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3， ∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，与几何有关的就是几何概率．计算方法是面积比或体积比等． 【变式3】（2025·天津滨海新区·三模）如图在圆形靶中，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，且∠BAC=30°，则射击到靶中阴影部分的概率是______． 【答案】 【详解】∵AC、BD是直径， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 则S△COD=S△AOD，S△AOB=S△BOC， ∴阴影部分面积=S扇形AOD+S扇形BOC， ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=∠AOD=60°， 设⊙O半径为r， 则射击到靶中阴影部分的概率是， 故答案为. 【点睛】本题考查了几何概率；本题将概率的求解设置于黑白两色的正三角形和弓形中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式4】（2023·天津河东·二模）一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在1号板上的概率是______． 【答案】0.25； 【详解】观察可知1号板的面积占七巧板总面积的比例为 ，因为蚂蚁停在这幅七巧板上的任何一点的可能性都相同,所以其停在1号板的概率为 . 点睛：本题主要考查了利用面积求解概率,利用面积求解概率的公式为:概率=目的面积/总面积.例如本题中目的面积为1号板的面积,总面积为七巧板的面积,由此即可得解. 题型04 条形统计图和扇形统计图综合 解题策略 从条形图找到某组的实际频数。 从扇形图找到同一组的百分比。 利用两者求出总量。 例1（2025·天津红桥·二模）某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的a名学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． (1)填空：a的值为_______，图①中的m的值为_______，统计的这组参加活动的次数数据的众数和中位数分别为_______和_______； (2)求统计的这组参加活动的次数数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 【答案】(1)50；34；4；3 (2) (3)参加活动的次数大于3的学生人数约为552 【详解】（1）解：根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数人， ； 参加活动的次数为4次的人数最多，因此众数是4； 因为总人数为50人，所以中位数为第25、26个的平均数， 将参加次数从少到多进行排序，排在第25、26个的两个数都是3次，因此中位数是3； 故答案为：50；34；4；3． （2）解：观察条形统计图，， 这组数据的平均数是． （3）解：在所抽取的样本中，参加活动的次数大于3的学生人数占， 估计全校参加活动的次数大于3的学生人数约占，有． 全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图数据的分析，用样本估计总体，平均数、中位数和众数的概念，利用数形结合的思想解答是解决本题的关键． 【变式1】（2025·天津南开·三模）为了解学生的课外阅读情况，某校随机调查了名学生阅读课外书册数的情况，并根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生阅读课外书册数的数据的众数是______，中位数是______； (2)补全图②； (3)求统计的这组学生阅读课外书册数的数据的平均数； (4)根据随机调查结果，请估计该校1200名学生中课外阅读4册书的学生人数． 【答案】(1)25，24，7，6； (2)见解析 (3) (4)144人 【来源】2025年天津市南开区九年级中考三模数学试卷 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据扇形统计图与条形统计图的信息联系及众数、中位数的定义求解即可； （2）先求出学生阅读课外书册数为5册的人数，再补全条形统计图； （3）根据平均数的定义求解即可； （4）该校1200名学生数课外阅读4册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论． 【详解】（1）解：， 这组学生阅读课外书册数的数据的众数是7，中位数是6， 故答案为：25，24，7，6； （2）解：学生阅读课外书册数为5册的人数有：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：， 这组学生阅读课外书册数的数据的平均数是6册； （4）解：样本中课外阅读4册书的学生有3（人）， （人）． 答：该校1200名学生中课外阅读4册书的学生的约有144人． 【变式2】（2025·天津红桥·三模）某社区为了解居民的用电情况，随机调查了该社区户家庭的日用电量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的的值为_____，统计的这组家庭的日用电量数据的众数和中位数分别是_____和_____； (2)求统计的这组家庭的日用电量数据的平均数； (3)根据样本数据，若该社区共有户家庭，估计该社区日用电量大于8度的户数． 【答案】(1)，，8，8 (2) (3)户 【来源】2025年天津市红桥区中考三模数学试题 【分析】（1）根据日用电量为6度的有4户，占，可求出本次随机调查了该社区的家庭有户数；根据日用电量为7度的有8户，可求出它所占的百分比，从而可求得；根据总共有户，可知中位数是日用电量为第、户，结合条形统计图可求解；利用条形统计图求出众数； （2）根据加权平均数的算法，利用条件统计图中数据计算； （3）用样本估计总体． 【详解】（1）解：∵日用电量为6度的有4户，占， ∴本次随机调查了该社区的家庭有户， ∵日用电量为7度的有8户， ∴， ∴， ∵总共有40户， ∴中位数是日用电量为第、户， 从条形统计图可知日用电量为第、户都是8度， ∴中位数是， 从条形统计图可知日用电量为8度的户数最多，有13户， ∴统计的这组家庭的日用电量数据的众数是8， 故答案为：40，20，8，8． （2）解：观察条形统计图，， 这组数据的平均数是． （3）解：在所抽取的样本中，日用电量大于8度的户数比例为， 根据样本数据，估计该社区户家庭中日用电量大于8度的户数比例为，于是，有． 估计该社区日用电量大于8度的家庭约为户． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，求一组数据的中位数，求众数，求加权平均数，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 【变式3】（2025·天津河西·二模）在某校开展“环保志愿者”活动中，为了解全校1500名学生参加活动的情况，随机调查了名学生每人参加活动的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为 ，图①中的值为 ； (2)求统计的这组参加活动次数数据的平均数、众数和中位数； (3)根据样本数据，估算该校1500名学生共参加了多少次“环保志愿者”活动． 【答案】(1)50，16； (2)平均数是，众数为8，中位数为7 (3)该校1500名学生约共参加了10350次“环保志愿者”活动 【来源】2025年天津市河西区中考二模数学试题 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图和求平均数，中位数，众数，在图形中正确的找到数据是解题的关键． （1）由统计图①和图②即可解答； （2）根据平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数； （3）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ， 故答案为：50，16． （2）解：观察条形统计图， ； 这组数据的平均数是， 在这组数据中，数据8出现的次数最多， 这组数据的众数为8， 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是7，有， 这组数据的中位数为7． （3）解：（次）， 该校1500名学生约共参加了10350次“环保志愿者”活动． 【变式4】（2025·天津部分区·二模）为了解某校七年级学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加体育锻炼时间数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生每周参加体育锻炼的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校七年级学生共有600人，估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的人数约为多少？ 【答案】(1)50，32，8，8 (2)这组数据的平均数是 (3)估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的学生人数约为168 【来源】2025年天津市部分区九年级中考二模数学试题 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例求出，用1减去其它的百分数，求出的值，利用中位数和众数的确定方法求出中位数和众数即可； （2）利用平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 由图可知，位于中间的两个数均为8，出现次数最多的也是8， ∴中位数和众数均为8； 故答案为：50，32，8，8； （2）， ∴这组数据的平均数为； （3）在所抽取的样本中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生占， ∴根据样本数据，估计该校七年级600名学生中，每周参加课外体育锻炼的时间是的学生人数为，． ∴估计该校七年级学生每周参加课外体育锻炼的时间是的人数约为168． 题型05 频数分布直方图 解题策略 1. 读取与补全数据 已知部分矩形高度，求未知组频数： 先利用已知组频数和频率/百分比求出总频数 或用各组频数之和 = 总频数列方程 2. 求总数（样本容量） 方法一：各组频数直接相加 方法二：用某组频数 ÷ 该组频率（若题目给出百分比） 3. 求频率与概率 某组频率 = 该组频数 ÷ 总频数 频率估计概率：落在某组的概率 ≈ 该组频率 例1（2024·天津武清·二模）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 4 第2组 8 第3组 16 第4组 a 第5组 10    请结合图表完成下列各题： (1)求表中a的值； (2)请把频数分布直方图补充完整； (3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）； （2）根据题意画图如下：   ； （3）本次测试的优秀率是， 答：本次测试的优秀率是． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 【变式1】（2025·天津河东·三模）某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了若干名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，绘制了频数分布直方图和扇形图．图表中的字母t表示学生参加家务劳动的时间，请根据题中已有信息，解答下列问题： (1)共抽取了________名学生，扇形图中________； (2)请将频数分布直方图补充完整；求扇形图中扇形对应的圆心角的度数________； (3)若该校学生有1600人，试估计劳动时间在范围的学生人数． 【答案】(1)80，45 (2)见解析， (3)人 【详解】（1）（名）； 组人数为：（名）； ∴，即：； （2）由（1）补全频数分布直方图如图： 扇形对应的圆心角的度数； （3）解：劳动时间在范围的学生有：（人）． 【变式2】（2024·天津河西·二模）为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图： (2)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)400，60，D， (2)估计该校成绩优秀的学生有1680人 (3) 【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∴E组的人数为：（人）， 补全学生成绩频数分布直方图如下： （2）解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有1680人； （3）解：画树状图如下：    共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种， ∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键． 【变式3】（2024·天津西青·二模）为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．A项指标成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：    b．A项指标成绩在这一组的是： 7.2  7.3  7.5  7.67  7.7  7.71  7.75  7.82  7.86  7.9  7.92  7.93  7.97 c．两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 A项指标成绩 7.37 m 8.2 B项指标成绩 7.21 7.3 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值 （2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是______________（填“A”或“B”），理由是_____________； （3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量． 【答案】（1）7.84；（2）B，见解析（3）290 【详解】解：（1）根据中位数的定义，把50名企业A项指标成绩排序， 可得第25，26两项数据分别是7.82 和 7.86， ∴中位数为（7.82+7.86）÷ 2 =7.84 故m = 7.84. （2）在此次调研评估中，该企业成绩排名更靠前的指标是B. 理由：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业A项指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名． （3）根据题意可知，在样本中，由（1）排序知，A项指标成绩在这一组，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是9，A项指标成绩在这一组的数量是17，A项指标成绩在这一组的数量是3 ∴9+17+3=29， ∴估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为． 【点睛】本题主要考查了用样本数据估算总体，中位数的计算等知识，难度不大；准确掌握中位数及用样本数据估算总体的方法，是解决本题的关键. 【变式4】（2023·天津红桥铃铛阁中学·一模）九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现.老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是____________； （2）补全频数分布直方图； （3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由． 【答案】（1）C组；（2）作图见解析；（3）符合，理由见解析 【详解】解：（1）C组的人数是：50×40%=20（人）， B组的人数是：50-3-20-10-2=15（人）， 把这组数据按从小到大排列为，由于共有50个数，第25、26位都落在1.5≤x＜2范围内，则中位数落在C组； 故答案为C组； （2）根据（1）得出的数据补图如下： （3）符合实际． 设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2， ∵小明帮父母做家务的时间大于中位数， ∴他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多． 题型06 统计与概率综合 解题策略 类型1：补全统计图 + 求概率 策略：1. 用一组已知频数和百分比 → 求总量2. 补全缺失频数3. 概率 = 目标频数 / 总量 类型2：比较两组数据 + 概率推断 策略：不能直接比百分比，必须结合总量或求出实际频数。若总量未知，需先通过其他条件求出总量。 类型3：分层抽样与加权概率 策略： 从扇形图得到各年级比例。 分层抽样概率 = 该层比例 × 该层内抽取概率（若等比例抽取，则等于该层占总体的比例）。 例1（2025·天津河东·二模）为落实国家“双减”政策，市区某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团，体育社团，文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 (1)参加问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中的度数为______； (2)根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； (3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择了甲和乙两名同学的概率． 【答案】(1)60； (2)100 (3) 【详解】（1）解：（人）， ， ∴参加问卷调查的学生共有60人，扇形统计图中的度数为， 故答案为：60；； （2）解：（人）， ∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人， 故答案为：100； （3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： 第2人第1人 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【变式1】（2025·天津九十五中·一模）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500，补全图形见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：本次调查共抽取了（名）． 选项B的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：A所在扇形的圆心角度数为； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 【变式2】（2025·天津滨海·二模）为提高学生的反诈意识，某学校组织学生参加了“反诈知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（不合格）、B（一般）、C（良好）、D（优秀），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取 人，其中成绩为一般的学生人数m的值是 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)若该学校共有3200名学生，请估计成绩为优秀的学生数量约为多少人； (4)学校要从答题成绩为D的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去参加市里组织的“反诈小达人”比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)50，12 (2)见解析 (3)反诈常识答题成绩为优秀的学生数量约为1280人 (4)抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为 【详解】（1）解：根据题意，得（人）， ， 解得：， 故答案为：50；12． （2）解：由（1）知，， 等级为D的有：（人）， 补充完整的条形统计图如图所示， （3）解：（人）， 反诈常识答题成绩为优秀的学生数量约为1280人． （4）解：树状图如下所示： 由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种， 抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为． 【变式3】（2025·天津西青区·二模）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全条形统计图； （2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？ （3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率． 【答案】(1)补图见解析；（2）560；（3）． 【详解】解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示： （2）根据题意得：2000××100%=560（人）， 则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人； （3）列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=． 【变式4】（2025·天津生态城一中·三模）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图： 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中的学生人数是多少人； （2 ）补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数； （4）现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社，但只能选两名学生，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到一男一女的概率． 【答案】（1）本次抽样调查中的学生人数为100人；（2）补全条形统计图见解析；（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为800人；（4）. 【详解】（1）30÷30%=100， 所以本次抽样调查中的学生人数为100人； （2）选”舞蹈”的人数为100×10%=10（人）， 选“打球”的人数为100﹣30﹣10﹣20=40（人）， 补全条形统计图为： （3）2000×=800， 所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为800人； （4）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选到一男一女的结果数为8， 所以选到一男一女的概率=． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，列表法与树状图法求概率，读懂统计图，从中找到有用的信息是解题的关键.本题中还用到了知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （30分钟限时练） 1．为了解某校学生本周参与家务劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数和中位数分别为 和 ； (2)求统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为多少？ 【答案】(1)50，16，2，2 (2)这组数据的平均数是1.98 (3)估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，样本估计总体，中位数、众数，平均数等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用本周参与家务劳动的次数为2的人数除以占比求出总人数，再结合中位数、众数的定义进行作答即可． （2）运用平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）根据样本估计总体的公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（名）， ， 则这组学生本周参与家务劳动的次数为次的人数最多， 故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数为2； ∵一共调查名学生， ∴中位数排在第位， 则， 故这组学生本周参与家务劳动的次数数据的中位数为2； 故答案为：50，16，2，2； （2）解：观察条形统计图：， 这组数据的平均数是1.98； （3）解：在所抽取的样本中，学生本周参与家务劳动2次的学生占， 根据样本数据，估计该校学生2400人中， 该校学生本周参与家务劳动2次的学生占，则， 估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为960人． 2．为了解某校八年级学生在乒乓球正手攻球体育项目的情况，随机抽取了该校八年级a名学生该项目的测试成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有八年级学生人，估计该校八年级学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩为27次的人数约是多少？ 【答案】(1) (2)26． (3)人 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据26次的人数和百分比可以求得a，再由总人数和25次的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）利用总人数乘以测试成绩为27次的人数的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， 故m的值为， 统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩数据的众数为27，中位数为第20和21个数据的平均数即为， 故答案为： （2） 这组数据的平均数是26． 即统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩的平均数是26； （3）（人） 即估计该校八年级学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩为27次的人数约是人 3．某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：），并绘制出统计图①和图②． 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：本次接受调查的家庭个数为__________，图①中的值为__________；统计的数据的众数和中位数分别为_________和_________； (2)求调查的这些家庭月均用水量的平均数； (3)根据样本数据，若该社区共有5000个家庭，估计该社区月均用水量是6t的家庭约为多少？ 【答案】(1) (2)5.9 (3)1600个 【分析】本题主要考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据每月用水的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水的户数除以总户数，即可得出的值，再根据众数和中位数的定义即可求解； （2）根据平均数的定义即可求解； （3）5000乘月平均用水量6吨的百分比即可求解． 【详解】（1）解：本次接受调查的家庭个数为：（个）， ， 即， 这组家庭月均用水量数据出现次数最多的是，出现了次， ∴这组数据的众数是， 将这组数据从小到大排列，其中处于第和的两个数都是，这组数据的中位数是， 故答案为：，，，； （2）解：观察条形统计图， ， 这组数据的平均数是． （3）解：在所抽取的样本中，月均用水量是的家庭个数占， 根据样本数据，估计该社区5000个家庭中，月均用水量是的家庭个数占，有（个）， 估计该社区月均用水量是的家庭个数约为1600个． 4．某学校开展了足球、篮球、排球、乒乓球和长跑等丰富多彩的课余体育锻炼活动，随机调查了一部分八年级学生喜爱的体育运动的项数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题； (1)本次调查的学生人数为______人，图②中m的值为_____； (2)求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数； (3)若该校有500名学生，试估计该校学生喜爱的体育运动的项数大于3项的人数约为多少？ 【答案】(1)20；15 (2)中位数为3项，众数为3项，平均数为项 (3)225人 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，平均数、众数、中位数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用喜爱2项的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，用1减去喜爱2项外的其他项目的百分百即可求出m的值； （2）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （3）用500乘以样本中喜爱的体育运动的项数大于3项的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：人， ∴本次调查的学生人数为20人， ，即； 故答案为：20；15 （2）解：平均数为项； ∵喜爱3项的人数为7人，人数最多， ∴众数为3项； 把这20名学生喜爱的项目数按照从低到高的顺序排列，处在第10名和第11名的项数分别为3项，3项， ∴中位数为3项； （3）解：人， ∴估计该校学生喜爱的体育运动的项数大于3项的人数约为225人． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点02 统计与概率综合应用 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 放回问题 题型02 不放回问题 题型03 几何概率 题型04 条形统计图和扇形统计图综合 题型05 频数分布直方图 题型06 统计与概率综合 第三部分 能力突破·限时练 近三年:该板块通常由两道题构成：一道概率填空（第15题），一道统计解答（第20题）。 第15题：简单随机事件的概率考查形式：填空 2024年：不透明袋子中有8个球（红、绿），求摸出特定颜色球的概率。2023年：不透明袋子中有5个球（红、蓝），求摸出红球的概率。第20题：统计图表与数据特征，考查形式：解答。2024年：以“学生参加科学教育”为背景，求平均数、众数、中位数。2023年：以“学生参加活动年龄”为背景，同上。特点：题干通常涉及科学教育、传统文化、校园生活等现实情境，注重考查数据观念。 2026年预测：位置结构不变：依然是第15题（概率）+ 第20题（统计）的格局。情境更鲜活：统计题的背景很可能结合人工智能、环境保护、社会实践等热点，体现应用价值。难度保持稳定：整体难度较低，核心在于计算的准确率和统计概念的清晰度。 备考策略：概率公式：重点练习“不透明袋子摸球”模型，审题时看清“放回”还是“不放回”。三数计算：务必落实加权平均数、中位数（注意偶数个数据）、众数（可能不止一个）的规范步骤。图表互译：熟练从扇形图读百分比，从条形图算总数，不要在这类基础题上丢步骤分。 题型01 放回问题 解题策略 这类问题的核心特征是：每次抽取后把样本放回，因此每次试验的条件完全相同，概率保持不变。有放回时，每次抽取地位平等，可利用对称性避免枚举。 例1（2025·天津建华中学·模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是______． 【变式1】（2025·天津九十五中·一模）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则结果两次摸出红球的概率为_____． 【变式2】（2024·天津和平·一模）现有三张正面分别标有数字-5，-2，6的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，卡片上的数字记为a，然后放回摇匀后再随机取出一张，卡片上的数字记为b．则满足a+b<0的概率是______． 【变式3】（2025·天津河东·二模）在不透明袋子中装有1个红色小球和2个绿色小球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是___________． 【变式4】（2024·天津七中·三模）一个不透明的布袋里装有除编号外都相同的3个球，编号分别为1、2、3.从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是______． 题型02 不放回问题 解题策略 不放回问题（无放回抽样）的核心特征是：每次抽取后不将样本放回，因此总体数量递减，每次概率随之前结果变化，各次抽取不独立。忽略顺序 明确题目问的是“依次取出”还是“一次取两个”。组合数法自动处理无序；分步法求无序需乘顺序数概率计算错误 分步法每一步分母减1、分子根据之前结果变化，务必小心 例1（2025·天津河北区·一模）在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4。随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为的概率为__________． 【变式1】（2024·天津河西·模拟）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是__________． 【变式2】（2023·天津和平区·二模）有四张背面完全相同正面分别写有数字1，2，3，4的卡片．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率是________． 【变式3】（2025·天津南开·三模）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________． 【变式4】．（2025·天津河东·二模）现有四张正面分别标有数字-3，-2，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为m，n，则使得一次函数的图象不经过第二象限的概率为______． 题型03 几何概率 解题策略 几何概率是概率论中处理无限可能结果（连续型）的一类问题，核心是用长度、面积之比来计算概率。 1. 一维几何概率（长度/时间） 模型：在长度为 L 的线段上随机取点，事件对应长度为 l 的子区间。 2. 二维几何概率（面积） 模型：在面积为 S 的区域上随机取点，事件对应面积为 s 的子区域。 例1（2024·天津武清·三模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是________． 【变式1】（2025·天津河北区·二模）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_____． 【变式2】（2025·天津红桥·三模）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______． 【变式3】（2025·天津滨海新区·三模）如图在圆形靶中，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，且∠BAC=30°，则射击到靶中阴影部分的概率是______． 【变式4】（2023·天津河东·二模）一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在1号板上的概率是______． 题型04 条形统计图和扇形统计图综合 解题策略 从条形图找到某组的实际频数。 从扇形图找到同一组的百分比。 利用两者求出总量。 例1（2025·天津红桥·二模）某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的a名学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． (1)填空：a的值为_______，图①中的m的值为_______，统计的这组参加活动的次数数据的众数和中位数分别为_______和_______； (2)求统计的这组参加活动的次数数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 【变式1】（2025·天津南开·三模）为了解学生的课外阅读情况，某校随机调查了名学生阅读课外书册数的情况，并根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生阅读课外书册数的数据的众数是______，中位数是______； (2)补全图②； (3)求统计的这组学生阅读课外书册数的数据的平均数； (4)根据随机调查结果，请估计该校1200名学生中课外阅读4册书的学生人数． 【变式2】（2025·天津红桥·三模）某社区为了解居民的用电情况，随机调查了该社区户家庭的日用电量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的的值为_____，统计的这组家庭的日用电量数据的众数和中位数分别是_____和_____； (2)求统计的这组家庭的日用电量数据的平均数； (3)根据样本数据，若该社区共有户家庭，估计该社区日用电量大于8度的户数． 【变式3】（2025·天津河西·二模）在某校开展“环保志愿者”活动中，为了解全校1500名学生参加活动的情况，随机调查了名学生每人参加活动的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为 ，图①中的值为 ； (2)求统计的这组参加活动次数数据的平均数、众数和中位数； (3)根据样本数据，估算该校1500名学生共参加了多少次“环保志愿者”活动． 【变式4】（2025·天津部分区·二模）为了解某校七年级学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），随机调查了该校七年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加体育锻炼时间数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生每周参加体育锻炼的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校七年级学生共有600人，估计该校七年级学生每周参加体育锻炼的时间是的人数约为多少？ 题型05 频数分布直方图 解题策略 1. 读取与补全数据 已知部分矩形高度，求未知组频数： 先利用已知组频数和频率/百分比求出总频数 或用各组频数之和 = 总频数列方程 2. 求总数（样本容量） 方法一：各组频数直接相加 方法二：用某组频数 ÷ 该组频率（若题目给出百分比） 3. 求频率与概率 某组频率 = 该组频数 ÷ 总频数 频率估计概率：落在某组的概率 ≈ 该组频率 例1（2024·天津武清·二模）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 4 第2组 8 第3组 16 第4组 a 第5组 10    请结合图表完成下列各题： (1)求表中a的值； (2)请把频数分布直方图补充完整； (3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ 【变式1】（2025·天津河东·三模）某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了若干名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，绘制了频数分布直方图和扇形图．图表中的字母t表示学生参加家务劳动的时间，请根据题中已有信息，解答下列问题： (1)共抽取了________名学生，扇形图中________； (2)请将频数分布直方图补充完整；求扇形图中扇形对应的圆心角的度数________； (3)若该校学生有1600人，试估计劳动时间在范围的学生人数． 【变式2】（2024·天津河西·二模）为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图： (2)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【变式3】（2024·天津西青·二模）为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．A项指标成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：    b．A项指标成绩在这一组的是： 7.2  7.3  7.5  7.67  7.7  7.71  7.75  7.82  7.86  7.9  7.92  7.93  7.97 c．两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 A项指标成绩 7.37 m 8.2 B项指标成绩 7.21 7.3 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值 （2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是______________（填“A”或“B”），理由是_____________； （3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量． 【变式4】（2023·天津红桥铃铛阁中学·一模）九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现.老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是____________； （2）补全频数分布直方图； （3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由． 题型06 统计与概率综合 解题策略 类型1：补全统计图 + 求概率 策略：1. 用一组已知频数和百分比 → 求总量2. 补全缺失频数3. 概率 = 目标频数 / 总量 类型2：比较两组数据 + 概率推断 策略：不能直接比百分比，必须结合总量或求出实际频数。若总量未知，需先通过其他条件求出总量。 类型3：分层抽样与加权概率 策略： 从扇形图得到各年级比例。 分层抽样概率 = 该层比例 × 该层内抽取概率（若等比例抽取，则等于该层占总体的比例）。 例1（2025·天津河东·二模）为落实国家“双减”政策，市区某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团，体育社团，文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 (1)参加问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中的度数为______； (2)根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； (3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择了甲和乙两名同学的概率． 【变式1】（2025·天津九十五中·一模）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【变式2】（2025·天津滨海·二模）为提高学生的反诈意识，某学校组织学生参加了“反诈知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（不合格）、B（一般）、C（良好）、D（优秀），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取 人，其中成绩为一般的学生人数m的值是 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)若该学校共有3200名学生，请估计成绩为优秀的学生数量约为多少人； (4)学校要从答题成绩为D的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去参加市里组织的“反诈小达人”比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【变式3】（2025·天津西青区·二模）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全条形统计图； （2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？ （3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率． 【变式4】（2025·天津生态城一中·三模）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图统计图： 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中的学生人数是多少人； （2 ）补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数； （4）现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社，但只能选两名学生，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到一男一女的概率． （30分钟限时练） 1．为了解某校学生本周参与家务劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的众数和中位数分别为 和 ； (2)求统计的这组学生本周参与家务劳动的次数数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有学生2400人，估计该校学生本周参与家务劳动2次的人数约为多少？ 2．为了解某校八年级学生在乒乓球正手攻球体育项目的情况，随机抽取了该校八年级a名学生该项目的测试成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩数据的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有八年级学生人，估计该校八年级学生乒乓球正手攻球体育项目的测试成绩为27次的人数约是多少？ 3．某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：），并绘制出统计图①和图②． 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：本次接受调查的家庭个数为__________，图①中的值为__________；统计的数据的众数和中位数分别为_________和_________； (2)求调查的这些家庭月均用水量的平均数； (3)根据样本数据，若该社区共有5000个家庭，估计该社区月均用水量是6t的家庭约为多少？ 4．某学校开展了足球、篮球、排球、乒乓球和长跑等丰富多彩的课余体育锻炼活动，随机调查了一部分八年级学生喜爱的体育运动的项数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题； (1)本次调查的学生人数为______人，图②中m的值为_____； (2)求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数； (3)若该校有500名学生，试估计该校学生喜爱的体育运动的项数大于3项的人数约为多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $