9.1 因式分解的概念教学设计2025-2026学年苏科版八年级数学下册

9.1 因式分解的概念教案 一、教学目标 1.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观； 2.掌握因式分解的概念，理解因式分解与整式乘法的互逆关系。 3.通过观察、比较、归纳等活动，体会因式分解与整式乘法的区别与联系，并能运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。 二、教学重难点 1.理解因式分解的概念，理解因式分解与整式乘法的互逆关系。 2.理解因式分解与整式乘法的互逆关系，能正确辨别因式分解变形。 三、教学准备 多媒体课件（PPT）、矩形纸片（或几何画板动态演示） 四、教学过程 （一）情境创设——从数到式，引入新知 教师活动： 出示生活化数学问题，引导学生思考整除问题： 1.7＋7²能被8整除吗？ 2.99＋99²能被100整除吗？ 追问：如何把7＋7²、99＋99²化成几个整数乘积的形式，从而快速判断能否整除？ 引导学生分步变形，展示规范过程： 进一步拓展：若a是正整数，a＋a²能被a＋1整除吗？引导学生模仿上述方法变形。 学生活动： 独立计算、尝试变形，发现将“和差形式”转化为“乘积形式”后，整除问题可直接判断；模仿变形得出a＋a²＝a(a＋1)，明确能被a＋1整除。 设计意图 从学生熟悉的数的整除问题入手，降低认知难度，引出“将和差形式化为乘积形式”的核心需求，为后续因式分解概念的引入做好铺垫，同时激发学生的探究兴趣。 引入概念：一般地，如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式. （二）知识建构——对比辨析，形成概念 活动一：观察思考，发现互逆关系 教师活动： 在课件中展示两组对比鲜明的等式，引导学生观察、讨论： ① m(a＋b)＝ma＋mb， (x＋1)(x+2)＝x²＋3x＋2 ② ma＋mb＝m(a＋b)， x²＋3x＋2＝(x＋1)(x+2) 提出针对性问题： 第①组等式表示的是什么运算？（引导学生回忆整式乘法的定义，明确是整式乘法） 第②组等式与第①组相比，变形方向有什么不同？（从多项式到几个整式的乘积） 这两组变形之间存在怎样的关系？（方向相反，互为逆变形） 学生活动： 分组观察、讨论两组等式的区别与联系，结合整式乘法的已有知识，发现两组变形的互逆性，初步感知“和差化积”与“积化和差”的对应关系。 活动二：归纳因式分解的概念 教师活动： 结合第②组等式的变形特点，引导学生自主归纳因式分解的定义，再进行规范总结： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解（也叫分解因式）。 重点强调因式分解的三个核心要点，结合反例帮助学生理解： 对象：必须是一个多项式（不能是单项式，如2a＝2×a，不是因式分解，因为2a是单项式）； 结果：必须是几个整式的积（不能出现分式、和差形式，如x²－1＝(x²－1)×1，不是因式分解，因为结果本质还是多项式本身）； 本质：一种恒等变形（只改变式子的形式，不改变式子的值，与整式乘法一样，左右两边相等）。 学生活动： 倾听教师讲解，结合实例理解因式分解的三个要点，尝试用自己的语言复述因式分解的概念，区分“多项式”“整式”“积的形式”等关键表述。 设计意图 通过对比整式乘法与因式分解的互逆变形，帮助学生建立两者的关联，再通过强调核心要点、结合反例，让学生准确理解因式分解的定义，突破教学重点。 （三）例题讲解——辨析判断，深化理解 例：判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解？ (1) m(a＋2b)＝ma＋2mb (2) 15xy＋25xy²＝5xy(3＋5y) (3) (y＋3)(y－3)＝y²－9 (4) a²＋4b²＋4ab＝(a＋2b)² 教师活动： 引导学生逐一分析每个变形，紧扣“变形方向”和“因式分解的三个要点”， 再次强调：因式分解的结果必须是“整式的积”，且目前阶段只需判断形式是否符合，无需考虑因式是否能进一步分解。 学生活动： 独立判断每个变形，结合教师的分析，说明自己的判断理由，进一步巩固因式分解与整式乘法的区别，提升辨别能力。 设计意图 通过具体实例的辨析，让学生在实践中区分因式分解与整式乘法，强化对因式分解概念的理解，突破“正确辨别因式分解变形”这一教学难点。 （四）拓展延伸——几何直观，互逆验证 活动一：图形剪拼解释因式分解 教师活动： 展示PPT“数学活动”中的图形剪拼过程（或用矩形纸片现场演示）： 左边是由一个边长为x的正方形、5个长为x、宽为1的长方形、6个边长为1的小正方形拼成的大矩形（总面积为x²＋5x＋6）；右边是一个长为(x＋3)、宽为(x＋2)的矩形（总面积为(x＋3)(x＋2)）。 提问：观察两个矩形的面积，你能写出相应的等式吗？反过来，这个等式又能表示什么变形？ 学生活动： 观察图形，结合面积相等的原理，写出等式：x²＋5x＋6＝(x＋3)(x＋2)；反过来，(x＋3)(x＋2)＝x²＋5x＋6，明确前者是因式分解，后者是整式乘法。 教师总结： 从几何直观来看，整式乘法是“由两个小矩形拼成一个大矩形”（积化和），因式分解是“把一个大矩形拆成两个小矩形”（和化积），两者是互逆的恒等变形，进一步验证了两者的关系。 活动二：探究思考——逆向构造 教师活动： 出示问题：写出两个整式A、B，使得A＝B(a＋3)。引导学生分析思路：先确定整式B，再利用整式乘法将B与(a＋3)相乘，得到左边的多项式A。 举例引导：若B＝a，则A＝a(a＋3)＝a²＋3a；若B＝2a，则A＝2a(a＋3)＝2a²＋6a；若B＝a＋1，则A＝(a＋1)(a＋3)＝a²＋4a＋3。 学生活动： 尝试写出不同的整式A、B，小组内交流分享，感受因式分解的逆向性（由整式乘法构造因式分解的形式），培养逆向思维。 活动二：检验因式分解是否正确 教师提问：如何检验因式分解是否正确？ 学生回答：利用整式乘法将因式分解的结果展开，看是否等于原多项式。 设计意图：通过几何直观和逆向构造，加深对因式分解与整式乘法互逆关系的理解，并掌握检验方法。 （五）新知巩固——应用练习，强化技能 练习1：判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是？ (1) ab＋ac＋d＝a(b＋c)＋d (2) a²－1＝(a＋1)(a－1) (3) (a＋1)(a－1)＝a²－1 (4) (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd （学生独立判断，教师巡视指导，重点讲解(1)：结果不是整式的积，而是和差形式，因此不是因式分解） 练习2：在下面式子的左边和右边的括号中各填入一个整式，使这个式子的左边与右边相等。 （）＝（）（2a＋1） （答案不唯一，引导学生逆向构造，如左边填2a²＋a，右边填a；左边填4a²＋2a，右边填2a） 练习3：已知多项式a²＋6a＋k可以分解为(a＋2)与(a＋4)的乘积，求k的值。 教师引导： 利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将(a＋2)(a＋4)展开，与原多项式对比，即可求出k的值。 （学生独立求解，展示过程：(a＋2)(a＋4)＝a²＋4a＋2a＋8＝a²＋6a＋8，因此k＝8） （六）小结思考——梳理知识，升华认识 教师引导： 本节课我们学习了什么是因式分解？请用自己的语言复述因式分解的定义。 因式分解与整式乘法之间具有怎样的关系？ 如何检验一个因式分解的结果是否正确？ 本节课你学到了哪些数学思想方法？ 学生总结： 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解。 与整式乘法的关系：两者是互逆的恒等变形，整式乘法是“积化和”，因式分解是“和化积”。 检验方法：用整式乘法将因式分解的结果展开，看是否等于原多项式。 数学思想方法：类比思想、逆向思维、数形结合思想。 五、板书设计 9.1 因式分解的概念 一、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解（分解因式）。 关键要点：1. 对象：多项式 2. 结果：整式的积 3. 恒等变形 二、与整式乘法的关系 整式乘法：积 → 和（如：m(a＋b)＝ma＋mb） 因式分解：和 → 积（如：ma＋mb＝m(a＋b)） 互逆的恒等变形 三、检验方法 用整式乘法展开因式分解的结果，看是否等于原多项式。 四、例题板书 判断变形类型： (1) m(a＋2b)＝ma＋2mb → 整式乘法 (2) 15xy＋25xy²＝5xy(3＋5y) → 因式分解 (3) (y＋3)(y－3)＝y²－9 → 整式乘法 (4) a²＋4b²＋4ab＝(a＋2b)² → 因式分解 学科网（北京）股份有限公司 $