20.1《勾股定理》（第1课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用 第一课时 1 　相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系． 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系． 2 我们也来观察一下地面的图案，看看能发现些什么数量关系？ 我们也来观察一下地面的图案，看看能发现些什么数量关系？ 3 观察思考： （1）三个正方形的面积有什么关系？ （2）等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ A B C 观察思考： （1）三个正方形的面积有什么关系？ （2）等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 4 （1）以等腰直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的大正方形的 面积．即SA+SB=SC． （2）等腰三角形的三边之间有一 种特殊的关系：斜边的平方等于两 直角边的平方和．即a2+b2=c2． A B C b a c （1）以等腰直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的大正方形的 面积．即SA+SB=SC． （2）等腰三角形的三边之间有一 种特殊的关系：斜边的平方等于两 直角边的平方和．即a2+b2=c2． 5 让我们再一起来探究一下等腰直角三角形的三边关系． 　　如右图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C 的面积，看看能得出什么结论．（提示：计算C正方形时，可以把它分割成四个直角边为整数的三角形．） 让我们再一起来探究一下等腰直角三角形的三边关系． 如右图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C 的面积，看看能得出什么结论．（提示：计算C正方形时，可以把它分割成四个直角边为整数的三角形．） 6 A B C A B C 图1 图2 将C正方形分割成四个直角边为整数的三角形． 图中每个小方格代表一个单位面积． 观察图形，计算面积 7 把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半． A B C A B C 图1 图2 图中每个小方格代表 一个单位面积． 8 A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积) 图1 图2 A、B、C面积关系 直角三角形三边关系 9 4 4 8 18 9 两直角边的平方和等于斜边的平方． 观察图形，计算面积 9 　　问题3 等腰三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足这种特点呢？ A B C 图1 A B C 图2 　　请分别计算出右图中正方形A、B、C的面积，看看能得出同样的结论． 观察图形，计算比较面积 10 由计算得： 图1中 图2中 所以得到： 由此可见，即便一般的直角三角形，也存在两直角边 的平方和等于斜边的平方这一数量关系． 归纳总结，思考规律 11 命题1 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 ． a b c c2 =a2 ＋b2 ． 结论变形 a2 =c2 －b2 ． b2 =c2 －a2 ． 由上面的几个例子，我们猜想： 猜想规律 12 图（1） 下图是我国古人赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下，如图． 图（2） 图（3） 证明命题： 证明命题： 下图是我国古人赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下，如图． 13 图（1） 图（2） 图（3） 　　把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2＋b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成． 把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2＋b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成． 14 图（1） 图（2） 图（3） 　　把图（1）中左、右两个三角形移到图（2）所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形图（3）． 　　因为图（1）与图（3）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．因此a2＋b2＝c2． 把图（1）中左、右两个三角形移到图（2）所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形图（3）． 因为图（1）与图（3）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．因此a2＋b2＝c2． 15 　　这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边 有关，我国把它称为勾股定理． 几何语言: ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴ a2+b2 =c2． 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为长c，那么a2+b2=c2． 　这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边 有关，我国把它称为勾股定理． 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为长c，那么a2+b2=c2． 几何语言: ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴ a2+b2 =c2． 16 下面我们通过一道例题来证明一下勾股定理． 　　如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形． 借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ 下面我们通过一道例题来证明一下勾股定理 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形． 借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ 17 此图可以这样理解，有三个直角三角形其面积分别为 和 还有一个梯形，其面积为 由图形可知： 整理得: a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2 ∴a2＋b2＝c2． 由此得到勾股定理． 根据图形，分析各三角形的面积，寻找规律 18 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的 长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 　　分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度．求出AC ，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过． 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的 长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度．求出AC ，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过． 19 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， 因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过． ． 例2 如图，一架2.6 m长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时为2.4 m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 解：可以看出，BD＝OD－OB． 在Rt△AOB中，根据勾股定理， 例2 如图，一架2.6 m长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时为2.4 m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 分析，思考，解答 21 在Rt△COD中，根据勾股定理， 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m． 分析，思考，解答 22 　　甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米每小时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米每小时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 23 解：如图， 　　甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA＝12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB＝5． 甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA＝12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB＝5． 24 　　在Rt△OAB中，AB2＝122＋52＝169， ∴AB＝13． 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系． 所以上午10：00时，甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 在Rt△OAB中，AB2＝122＋52＝169， ∴AB＝13．因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系． 所以上午10：00时，甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 25 1．如图所示，三个正方形中，其中两个的面积分别为 ， ，则第三个的面积为（ ）． A．50 B．30 C．25 D．100 解析：选C． 因为根据图形和勾股定理得 : 所以 学生独立完成 26 2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）． A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm 解析：选B．∵∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴ cm． ∵△AED≌△BED， ∴ cm． 学生独立完成 27 3．如图所示，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树在折断前的高度和AB的长分别为（ ）． A．10米， 米 B．15米， 米 C．10米， 米 D．15米， 米 D 学生独立完成 28 布置作业 1．下列说法正确的是（ ）． A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt △ ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt △ ABC的三边，∠A＝90°，则 a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt △ ABC的三边，∠C＝90°，则 a2＋b2＝c2 布置作业 29 2．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长 的平方为（ ）． A．25 B．14 C．7 D．7或25 3．在△ABC中，∠C＝90°． （1）若a＝8，b＝6，则c＝______； （2）若c＝20，b＝12，a＝______． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°， （1）如果∠A＝30°，a＝4，则c＝______； （2）如果∠A＝45°，a＝3，则c＝______； （3）如果b＝8，a:c＝3:5，则c＝______． 5．做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试说明．（70.712≈5 000） 本节课学了哪些知识？ 1．勾股定理的内容及证明方法． 2．勾股定理作用：它能把三角形的形的特性 （一角为90度）转化为数量关系． 3．会应用勾股定理解决关于直角三角形三边的应用问题． 谢谢观看 $