第9章 图形的变换（专题2：轴对称） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 第9章图形的变换 （专题2：轴对称） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2.下列三角形中，不是轴对称图形的是(    ) A．有两个角相等的三角形 B．有两个角分别是120°和30°的三角形 C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是60°的直角三角形 3.如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 4.要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（    ）种画法 A．  B．  C．   D．   5.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 6.如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 7.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 8.如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有_______个． 10.若通过改变如图所示的两个三角形的位置，可以使它们关于某条直线成轴对称，则 ． 11.如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 12.如图，直线是线段的垂直平分线，垂足为O，若，则 ． 13.如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 14.如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    15.如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点，连接交OA于M，交OB于N，，则△PMN的周长是 ． 16.如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴； 18.请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 19.如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 20.（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    21.如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 22.如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 23.利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 24.小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 2.下列三角形中，不是轴对称图形的是(    ) A．有两个角相等的三角形 B．有两个角分别是120°和30°的三角形 C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是60°的直角三角形 【答案】D 3.如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 【答案】A 4.要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（    ）种画法 A．  B．  C．   D．   【答案】B 5.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 6.如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 7.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 【答案】C 8.如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有_______个． 【答案】5 10.若通过改变如图所示的两个三角形的位置，可以使它们关于某条直线成轴对称，则 ． 【答案】 11.如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 【答案】3 12.如图，直线是线段的垂直平分线，垂足为O，若，则 ． 【答案】10 13.如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 【答案】20 14.如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 15.如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点，连接交OA于M，交OB于N，，则△PMN的周长是 ． 【答案】24 16.如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴； 【答案】如图所示： 18.请按下列要求画图：在图中，直线m是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半． 【答案】如图，即为所求． 19.如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． 20.（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； 故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）如图：    21.如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 【答案】（1）解：如图所示，直线即为直线l； （2）解：∵点B、C关于直线l对称， ∴， ∴的周长 22.如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】（1）解：∵和关于对称， ∴， ∴. （2）∵和关于对称， ∴， ∴的周长. 23.利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】（1）解：如图， （2）解：如图， 24.小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $