专题03 多边形与平行四边形（期中复习讲义，4重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题03 多边形与平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 题型02 平行四边形性质的应用（中档重点） 题型03 平行四边形的判定（中档必考） 题型04 平行四边形综合题（难题突破） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 1. 熟记并灵活运用内角和公式：(n−2)×180° 2. 牢记任意多边形外角和恒为360° 3. 会求正多边形边数、内角度数 1. 多以选择、填空形式考查 2.常结合外角和求边数，属于基础必考题 3. 正多边形与镶嵌偶尔出现 平行四边形性质 1. 能利用性质求边长、角度、对角线长度 2. 会结合全等三角形进行简单证明 1. 期中必考核心内容，选择、填空、解答均有 2. 常与勾股定理、面积计算综合考查 平行四边形判定 1. 熟练掌握 5 种判定方法 2. 能根据条件选择合适判定定理证明四边形是平行四边形 1. 解答题证明题必考 2. 常与性质结合，先证平行四边形再用性质计算 综合应用 1. 会计算平行四边形面积及变式面积 2. 能解决简单动点、折叠类综合题 1. 中档题、压轴题常见载体 2. 侧重逻辑推理与计算结合 知识点01 四边形 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 四边形的内角和等于360° 四边形的外角和等于360° 四边形具有不稳定性 知识点02 多边形 1.概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形；连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线。 2.核心公式： n边形（n≥3，n为整数）内角和：； 任意多边形外角和：（与边数无关）； n边形过一个顶点的对角线数量：（）条； n边形总对角线数量： 条； 正n边形每个内角的度数：； 正n边形每个外角的度数：。 3.关键结论： n边形（n>3）具有不稳定性； 正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；边数为偶数的正n边形同时是中心对称图形； 多边形镶嵌（密铺）的条件：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为，常见的单独密铺图形 有正三角形、正方形、正六边形。 知识点03 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”），是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 2.性质（5点，核心）： 边：两组对边分别平行且相等； 角：两组对角分别相等，邻角互补； 对角线：互相平分； 面积：（a为任意一边，h为该边上的高）； 推论：过平行四边形对角线交点的任一直线，平分平行四边形的面积；一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。 3.判定方法（5种，必考）： 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 边判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 边判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4.易错提醒：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形）；平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。 知识点04 三角形中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线； 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 3.应用：常与平行四边形结合，用于证明线段平行或长度关系。 知识点05 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 题型一 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 解｜题｜技｜巧 牢记核心公式，灵活变形：由内角和公式，可变形为； 外角和恒为，是解题关键，尤其在求正多边形边数时，可直接用“边数=360°÷一个外角度数”； 注意“内角”与“外角”的关系：多边形一个内角与它的邻补角（外角）之和为，可用于转化条件。 【典例1-1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 【典例1-2】（24-25八年级下·云南红河·期中）一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形是正________边形． 【典例1-3】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是________． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 题型二 平行四边形性质的应用（中档重点） 解｜题｜技｜巧 “数形结合”：先根据题意画出平行四边形，标注已知条件，利用“对边相等、对角线互相平分”转化线段，利用“对角相等、邻角互补”转化角度； 求面积时，注意“底与高的对应性”，若题目未给出高，可结合勾股定理、三角形面积公式求出高； 遇到角平分线，可利用“平行线+角平分线=等腰三角形”的模型。 【典例2-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【典例2-2】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在 中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【典例2-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 【变式2-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【变式2-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中垂直平分对角线，若，，则______． 【变式2-4】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 【变式2-5】（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 题型三 平行四边形的判定（中档必考） 解｜题｜技｜巧 “选对判定方法”：根据已知条件选择最优判定方式（优先用定义法或一组对边平行且相等，简便快捷）； 已知两组边的关系→用“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”； 已知两组角的关系→用“两组对角分别相等”； 已知对角线关系→用“对角线互相平分”。 “衔接三角形全等”：证明平行四边形时，常需先证明三角形全等，得出边相等、角相等或对角线平分的条件，再套用判定定理； 规范书写步骤：先写已知、求证，再结合条件推导，最后得出“四边形是平行四边形”的结论，标注判定依据。 【典例3-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【典例3-2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，点D是的中点，，，求证：． 【典例3-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式3-3】（25-26八年级下·全国·期中）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【变式3-4】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知点E为对角线上一点，连接． (1)用直尺和圆规，在内部作，使得，射线交于点，连接，（只保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，______①______ ∴ 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（______③______）（填写推理依据） ∴______④______ ∴四边形为平行四边形． 题型四 平行四边形综合题（难题突破） 解｜题｜技｜巧 动点问题：设动点坐标或运动距离（用t表示），结合平行四边形性质，用含t的代数式表示线段长度，根据题意列方程（如“线段相等”“面积不变”），注意动点的取值范围； 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，结合平行四边形的对称性，找到相等的线段和角，利用勾股定理求解未知量； 多结论判断：逐一分析每个结论，结合平行四边形性质、判定及三角形相关知识，用“排除法”排除错误结论，注意“特殊情况”（如边长相等的平行四边形、对角线垂直的平行四边形）。 【典例4-1】（23-24八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【典例4-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【典例4-3】综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【变式4-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． (3)连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点落在轴上，点的坐标为，，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接、． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东肇庆·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)在（1）的基础上，如图②，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，设时间为秒； ①当时，t为何值时，． ②则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【变式4-4】【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为． 【理解】若点与点重合，则这个操作过程为； 【尝试】 （1）若点与的中点重合，则这个操作过程为[_____，_____]； （2）若点恰为的中点（如图2），求的值； 【应用】经过操作，点落在点处，若点在四边形的边上，直线与相交于点，试画出图形并求出的值； 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·广西贵港·期中）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）平行四边形中，、、、的度数之比有可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 5．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 7．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 8．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，在平行四边形中，，，于，则______度． 9．（24-25八年级下·福建三明·期中）在 中，若，则的度数为_______． 10．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形． 11．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，经过点O的直线交于E，交于F．求证：． 12．（24-25八年级下·西藏林芝·期中）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 10．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中， ，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)利用尺规分别作和的角平分线保留作图痕迹，并记两条角平分线的交点为．若点恰好落在边上，试判断和的数量关系，并证明． 11．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3) 【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，，连结交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结． ①证明：； ②直接写出的数量关系． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是边上的中线，点E是射线上一点（点E不与点A重合）．连接并延长至点F，使，连接．过点A作，交直线于点G． (1)当点E在线段上时，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，若，当为等腰三角形时，求的长． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，与均为等腰直角三角形，其中 ．连接，M为的中点，连接，求证：． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． (1)如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． (2)数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 多边形与平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 题型02 平行四边形性质的应用（中档重点） 题型03 平行四边形的判定（中档必考） 题型04 平行四边形综合题（难题突破） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形 1. 熟记并灵活运用内角和公式：(n−2)×180° 2. 牢记任意多边形外角和恒为360° 3. 会求正多边形边数、内角度数 1. 多以选择、填空形式考查 2.常结合外角和求边数，属于基础必考题 3. 正多边形与镶嵌偶尔出现 平行四边形性质 1. 能利用性质求边长、角度、对角线长度 2. 会结合全等三角形进行简单证明 1. 期中必考核心内容，选择、填空、解答均有 2. 常与勾股定理、面积计算综合考查 平行四边形判定 1. 熟练掌握 5 种判定方法 2. 能根据条件选择合适判定定理证明四边形是平行四边形 1. 解答题证明题必考 2. 常与性质结合，先证平行四边形再用性质计算 综合应用 1. 会计算平行四边形面积及变式面积 2. 能解决简单动点、折叠类综合题 1. 中档题、压轴题常见载体 2. 侧重逻辑推理与计算结合 知识点01 四边形 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 四边形的内角和等于360° 四边形的外角和等于360° 四边形具有不稳定性 知识点02 多边形 1.概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形；连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线。 2.核心公式： n边形（n≥3，n为整数）内角和：； 任意多边形外角和：（与边数无关）； n边形过一个顶点的对角线数量：（）条； n边形总对角线数量： 条； 正n边形每个内角的度数：； 正n边形每个外角的度数：。 3.关键结论： n边形（n>3）具有不稳定性； 正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；边数为偶数的正n边形同时是中心对称图形； 多边形镶嵌（密铺）的条件：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为，常见的单独密铺图形 有正三角形、正方形、正六边形。 知识点03 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”），是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 2.性质（5点，核心）： 边：两组对边分别平行且相等； 角：两组对角分别相等，邻角互补； 对角线：互相平分； 面积：（a为任意一边，h为该边上的高）； 推论：过平行四边形对角线交点的任一直线，平分平行四边形的面积；一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。 3.判定方法（5种，必考）： 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 边判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 边判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4.易错提醒：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形）；平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。 知识点04 三角形中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线； 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 3.应用：常与平行四边形结合，用于证明线段平行或长度关系。 知识点05 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 题型一 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 解｜题｜技｜巧 牢记核心公式，灵活变形：由内角和公式，可变形为； 外角和恒为，是解题关键，尤其在求正多边形边数时，可直接用“边数=360°÷一个外角度数”； 注意“内角”与“外角”的关系：多边形一个内角与它的邻补角（外角）之和为，可用于转化条件。 【典例1-1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于_________． 【答案】 【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线7条，则多边形的边数为10， 则内角和等于： 故答案为： 【典例1-2】（24-25八年级下·云南红河·期中）一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形是正________边形． 【答案】十 【详解】解：设正多边形的边数是， 根据题意得，， 解得， 这个多边形为十边形． 故答案为：十． 【典例1-3】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是________． 【答案】24 【详解】解：由图可知：， 设这块正多边形地砖的边数是， 由题意得：， 解得：， 正六边形地砖和正方形地砖边长均是， 这块正多边形地砖的周长是， 故答案为：24． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，要走12次才能回到出发点； ∴， ∴这个多边形是正十二边形，即走了12次， ∴， 故选：D ． 【变式1-3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 题型二 平行四边形性质的应用（中档重点） 解｜题｜技｜巧 “数形结合”：先根据题意画出平行四边形，标注已知条件，利用“对边相等、对角线互相平分”转化线段，利用“对角相等、邻角互补”转化角度； 求面积时，注意“底与高的对应性”，若题目未给出高，可结合勾股定理、三角形面积公式求出高； 遇到角平分线，可利用“平行线+角平分线=等腰三角形”的模型。 【典例2-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 【典例2-2】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在 中，，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且是边的中点，，垂足为．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵为的平分线， ∴， 在中，则，， ∴， ∴， ∴， 又F为的中点， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，则， ∴， 在中，． 故选：A． 【典例2-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴. 在和中， ∴. ∴． 【变式2-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 【变式2-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中垂直平分对角线，若，，则______． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∴； 在中，， 又∵在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，四边形是平行四边形，相交于点O，且．求的长及的面积． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴,, ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴的长为，的长为，平行四边形的面积为16． 【变式2-5】（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 题型三 平行四边形的判定（中档必考） 解｜题｜技｜巧 “选对判定方法”：根据已知条件选择最优判定方式（优先用定义法或一组对边平行且相等，简便快捷）； 已知两组边的关系→用“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”； 已知两组角的关系→用“两组对角分别相等”； 已知对角线关系→用“对角线互相平分”。 “衔接三角形全等”：证明平行四边形时，常需先证明三角形全等，得出边相等、角相等或对角线平分的条件，再套用判定定理； 规范书写步骤：先写已知、求证，再结合条件推导，最后得出“四边形是平行四边形”的结论，标注判定依据。 【典例3-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 【典例3-2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，点D是的中点，，，求证：． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【典例3-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 【变式3-3】（25-26八年级下·全国·期中）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【变式3-4】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知点E为对角线上一点，连接． (1)用直尺和圆规，在内部作，使得，射线交于点，连接，（只保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，______①______ ∴ 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（______③______）（填写推理依据） ∴______④______ ∴四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（ 等角的补角相等）， ∴， ∴四边形为平行四边形​． 故答案为：，；等角的补角相等，． 题型四 平行四边形综合题（难题突破） 解｜题｜技｜巧 动点问题：设动点坐标或运动距离（用t表示），结合平行四边形性质，用含t的代数式表示线段长度，根据题意列方程（如“线段相等”“面积不变”），注意动点的取值范围； 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，结合平行四边形的对称性，找到相等的线段和角，利用勾股定理求解未知量； 多结论判断：逐一分析每个结论，结合平行四边形性质、判定及三角形相关知识，用“排除法”排除错误结论，注意“特殊情况”（如边长相等的平行四边形、对角线垂直的平行四边形）。 【典例4-1】（23-24八年级下·广西河池·期中）材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【详解】（1）解： 为坐标原点，， 的长为， 矩形的对角线相交于点， 点M为的中点， 点M的坐标为，即， 故答案为：5，； （2）解：设点D的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； ③当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 综上可知，点的坐标为或或． 【典例4-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 【典例4-3】综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【变式4-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． (3)连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ，， 当时， 解得， 当时，， 四边形为平行四边形； 故当时，四边形为平行四边形； （2）解：过作交于， ，， ， 由（1）得，， ， ， ， 解得：， 故当时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三； ， ， 此时与重合，为的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； （3）解：存在； ①当时， ， 解得：； ②当时， 过作交于， ， ， ， ， ， 解得； ③当时， 过作交于， ， ， ， ， ； 综上所述：当的值为或或时，为等腰三角形． 【变式4-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点落在轴上，点的坐标为，，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接、． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴轴，， ∵点的坐标为， ∴，，则； ∵， ∴，则， ∴； （2）解：如图，过Q作轴于H，则，， ∵，， ∴，，， 若是以为腰的等腰三角形，则分两种情况： 当时，，又， ∴，解得； 当时，则，整理，得， 解得， 综上，满足条件的x值为或； （3）解：过Q作轴于H，过C作轴于T，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，则，解得， ∴， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东肇庆·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)在（1）的基础上，如图②，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，设时间为秒； ①当时，t为何值时，． ②则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：①当时，从向运动，速度为每秒，则， 从向运动，速度为每秒，则． 四边形是平行四边形，，要使，且， 四边形是平行四边形， 此时 即， 解得； t为时， ②如图： ∵， ∴当时，以四点组成的四边形是平行四边形． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； ∴或或或，以四点组成的四边形是平行四边形． 【变式4-4】【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为． 【理解】若点与点重合，则这个操作过程为； 【尝试】 （1）若点与的中点重合，则这个操作过程为[_____，_____]； （2）若点恰为的中点（如图2），求的值； 【应用】经过操作，点落在点处，若点在四边形的边上，直线与相交于点，试画出图形并求出的值； 【详解】解：（1）点D与的中点重合，如图1， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， 则这个操作过程为； 故答案为：，16； （2）延长，交于点N，如图2． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴根据线段垂直平分线的性质可得， ∴根据等腰三角形的性质可得． 由折叠可得， ∴， ∴； 应用 解：过点B作于点H，如图3． ∵， ∴． ∵点B与点E关于直线l对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴a的值为14． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·广西贵港·期中）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都等于， ∴此多边形的每个外角都等于； ∵多边形的外角和为， ∴此多边形的边数为：； 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）平行四边形中，、、、的度数之比有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由平行四边形的两组对角分别相等得到在平行四边形中，，，那么，的度数之比有可能是． 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：设多边形有个外角， 由题意得：， ∴， ∴多边形有8个外角，即多边形有八条边， 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【详解】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵， ∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 【答案】 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 7．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）中国古建筑中的亭台楼阁很多都采用八边形结构．如图，左边是株洲市的分袂亭，其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图右边所示，则这个正八边形的内角和的度数为______． 【答案】 【详解】解：这个正八边形的内角和的度数为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，在平行四边形中，，，于，则______度． 【答案】 【详解】解：，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建三明·期中）在 中，若，则的度数为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形． 【答案】十三 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得， 所以这个多边形是十三边形， 故答案为：十三． 11．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，经过点O的直线交于E，交于F．求证：． 【详解】证明：平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ． 12．（24-25八年级下·西藏林芝·期中）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是8，即， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中，， ∴． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：， ； 又， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形，， ； ， ； ， ，； ， ． 9．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 10．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中， ，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)利用尺规分别作和的角平分线保留作图痕迹，并记两条角平分线的交点为．若点恰好落在边上，试判断和的数量关系，并证明． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 四边形都是平行四边形； （2）解：图形如图所示： 结论：． 四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， 同理可得， ， ． 11．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【详解】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面． （2）解：①正三角形、正方形， ， 可以铺满； ②正三角形、正六边形， ， 可以铺满； ③正三角形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满； ④正方形、正六边形，不能构成的周角， 不能铺满； ⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为 ， 可以铺满； ⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满． 选择的方式有种． 故选：B； （3）解：设第三个正多边形的内角为， 正五边形的内角为， ， ， 正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，，连结交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结． ①证明：； ②直接写出的数量关系． 【详解】（1）解：∵，，，     ∴， ∵，     ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （2）解：①∵在中，， 又∵，     ∴，， ∴， ∵ ∴ ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ②连结、、， ∵在中，是的中点 ， ∴， ∵ ，    ∴，，， ∵ ，    ∴，，， ∴ ，    ∴， ∵在和中， ， ∴，     ∴，， ∴ ，    ∴是等腰直角三角形， ∴． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，是边上的中线，点E是射线上一点（点E不与点A重合）．连接并延长至点F，使，连接．过点A作，交直线于点G． (1)当点E在线段上时，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，若，当为等腰三角形时，求的长． 【详解】（1）证明：∵是边上中线， ∴E是中点，D是中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，； （3）解：由（1）方法可证四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ①，则， 是等腰直角三角形， ， ； ②； ③，则， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的长为或8或． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，与均为等腰直角三角形，其中 ．连接，M为的中点，连接，求证：． 【详解】（1）解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：如图所示，延长到N，使得，连接， ∵M为的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． (1)如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． (2)数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①取中点，连接， ∵点F是线段的中点，， ∴， ∵固定，绕点A在平面内自由旋转， ∴点固定，点在运动， ∴点的运动轨迹为以为圆心， 为半径的圆上运动， 由圆外一定点到圆上一点的最大距离可知，当、、依次共线时最大， 此时点为如图，最大值为， ∵为中点，， ∴， ∴， 即最大值为； ②∵，和是共顶点的两个等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿射线方向平移，得到， ∴，， ∵， 由为定点，沿方向平移，如图，作直线，作点关于直线的对称点，连接，， 则，当、、依次共线时，的最小值为， 此时设直线交于， 由对称性得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∴， 即的最小值是； ③∵, 当和为边时，只需，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 情况一：如图，当在左侧时，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点在上， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 情况二：如图，当在右侧时，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 当和为对角线时，如图，四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在上， ∴； 综上，或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $