专题03 有理数的运算（含巧算、规律计算）专项训练13大题型（期中专项训练）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题03 有理数的运算（含巧算、规律计算） 题型1 有理数混合运算 题型8 数字规律 题型2 有理数简便运算 题型9 等式规律（难点） 题型3 拆项法（重点） 题型10 表格规律（重点） 题型4 倒数法 题型11 图形规律 题型5 绝对值方程 题型12 数阵规律 题型6 含乘方的有理数计算 题型13 新定义运算 题型7 裂项相消法（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数混合运算（共6小题） 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)96 (2)179 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可． （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． （3）先算乘方，再算乘除，最后再算加减法即可． （4）利用乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)41 (3)24 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）先去括号，然后算加减法即可； （2）先计算乘法和除法，再计算减法即可； （3）先去绝对值，再将除法转化为乘法，然后根据乘法的分配律计算即可； （4）先计算乘方、乘法和除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算律是关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （3）先计算乘方，再计算乘除法和加减法即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的四则运算，根据有理数的四则运算法则计算即可： （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的四则运算法则运算即可； （3）根据有理数的乘除法法则运算即可； （4）根据有理数的乘法法则运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 5．（25-26七年级上·江苏·期中）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)16 (3) (4) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘除运算法则求解即可； （3）先利用乘法分配律和有理数的乘法求解，再加减运算即可求解； （4）先计算括号内的乘方和乘法运算，再加减运算，最后再根据有理数的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（25-26六年级上·全国·期中）计算∶ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)15 (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的除法及加减法可进行求解； （3）先算乘方，后算乘除，再算加减即可求解； （4）先算乘方，然后再根据有理数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型二 有理数简便运算（共6小题） 7．（24-25七年级上·福建莆田·期中）简便运算： (1)； (2) 【答案】(1)50 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据乘法分配律计算； （2）将分母相同的两个数，和为0的两个数分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．简便运算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数的四则运算． （1）根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）将变形为，再运用乘法分配律进行计算即可； （3）将变形为，再运用乘法分配律逆运算进行计算即可； （4）将变形为，再运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律在计算中的简便计算，掌握以上知识是解题的关键； （1）观察算式可以利用乘法分配律的逆运算，然后即可求解； （2）观察算式可以利用乘法分配律，然后即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 10．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减法的简便计算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先将分数化成小数，再利用交换律与结合律计算即可得； （2）先利用交换律与结合律计算、带分数化成假分数，再计算加减法即可得； （3）先去括号，再将每一项拆成两项的差，然后计算加减法即可得； （4）将原式化成，再计算加减法与乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 11．用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律简便计算即可； （2）先利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数加减运算和加法运算律即可求解； （）先把除法转化为乘法，然后根据有理数乘法分配律即可求解； （）根据有理数乘法运算律即可求解； （）利用加法分配律逆运算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型三 拆项法（共4小题） 13．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握拆项法是解题的关键： （1）利用拆项法进行计算即可； （2）利用拆项法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 15．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 16．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题干给定的方法，利用拆项法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型四 倒数法（共4小题） 17．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法三最简便，所以利用解法三的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法一的计算结果与其它两种不同， ∴解法一不正确； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故原式． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)甲 (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握运算方法是解题的关键． （1）根据解题过程判断即可； （2）先求出代数式的倒数，再求原数解题即可． 【详解】（1）解：乙； （2）解：原式倒数为 ； 原式． 20．阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)解法一错误 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算与有理数的乘法运算律，解题关键是牢记运算法则． （1）根据运算律运用错误直接判定即可； （2）根据题干中的两种运算方法，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解：解法一：原式的倒数为： ， 所以原式； 解法二： ． 题型五 绝对值方程（共4小题） 21．解方程： 【答案】无解 【分析】本题主要考查绝对值方程，由绝对值的意义可知得到或，解方程即可； 【详解】解： 解得 由绝对值的意义可得， 或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解； 22．（24-25七年级上·四川攀枝花·期中）我们知道：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可以理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，表示5、之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数，那么A、B之间的距离可以表示为．试探索： （1）若，则=___________； （2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示的点与表示__________的点重合； （3）计算：． 【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5 【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解； （2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时， 即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， 解得：或-4； （2）∵A点对应的数为，B点对应的数为4，折叠数轴，使得A点与B点重合， ∴折叠处点对应的数为 ， ∴表示的点与表示6的点重合； （3）解：①当时，            ，解得：-2 ； ②当时， ，则，无解  ； ③当时， ，则5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 23．（2024七年级上·北京·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，先整理成，然后根据绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（2024七年级上·北京·期中）解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，根据正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：当时，， 不成立； 当时，， 解得； 当时，， 不成立； 综上，． 题型六 含乘方的有理数计算（共4小题） 25．（24-25七年级上·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算；先计算乘法，再计算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解：                                  ． 26．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算的法则是解题的关键．根据含乘方的有理数的混合运算，进行计算即可求解． 【详解】解： 27．（25-26七年级上·陕西·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，含乘方的有理数混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键；先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可，有括号的先计算括号里面． 【详解】 解：原式 题型七 裂项相消法（共4小题） 29．【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：∵， 归纳可得：第5个式子是；第n个式子是； 故答案为：； （2）解：① ； ② ， 故答案为：； （3）解： ） ． 31．阅读材料，回答下列问题，通过计算容易发现： ①，②，③； ④，⑤，⑥ (1)通过观察①②③，计算的值． (2)探究④⑤⑥运算规律，计算的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律探索，关键是观察一直算是得出规律． （1）根据规律，把每个分数转化成两个相邻自然数倒数之差，进行计算便可； （2）把每个分数，转化为两个相邻自然数倒数之差的一半，在进行计算便可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 32．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案； （3）根据（2）的方法，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ． （3）解： ． 题型八 进制规律计算（共4小题） 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法与加法的应用，理解十六进制与十进制之间的对应关系是解题关键．先根据有理数的乘法法则求出的值，再利用十六进制将结果表示出来即可得． 【详解】解：， ，十六进制中的C与十进制中的12对应， 数156用十六进制可表示为，即， 故选：C． 34．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　） A．D2 B．2D C．F5 D．E0 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．本题需先根据十进制求出E与F的乘积，再把结果转化成十六进制即可． 【详解】解：由于， 则， 所以用十六进制表示为， 故选：A． 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）将一个十进制数转化为二进制数的步骤：将给定的十进制数除以2，记录余数，然后继续将商除以2，再记录余数…重复上述步骤，直到商为0．最后，将所得余数逆序排列，得到的数就是该十进制数对应的二进制数． 例如，将10转换为二进制数： 余0；余1；余0；余1． 逆序排列余数得到10的二进制数表示为 如果需要将十进制数转化为其他进制数也可以用这个方法，例如转化为六进制就除以6直到商为0，逆序排列余数就得到一个六进制数，试用以上方法将十进制数120转化为六进制数( )6． 【答案】320 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，根据所给计算方式进行计算即可，理解题中所给计算方式是解题的关键． 【详解】解：由题知， 因为余0，余2，余3， 所以将十进制数120转化为六进制数为． 故答案为：320． 36．（24-25七年级上·四川自贡·期中）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【答案】(1)18 (2) (3)转换为四进制数为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 题型九 等式规律（共4小题） 37．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，乘方运算． 根据尾数的循环性得出结论即可. 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 38．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方，解题的关键是根据已知条件，找出规律； 根据已知得出2的n次幂的个位数字以2，4，8，6四个数字循环，据此求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴2的整数次幂的个位数字是2，4，6，8，每4个数字为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是， 故选：A． 39．若，则的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是计算前两项，得出是10的倍数． 由，可得是10的倍数，进而确定的个位数字，求解即可． 【详解】解：∵ ∴是10的倍数，的个位数字是0， ∴的个位数字为：． 故答案为：． 40．阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 本题考查了乘方计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即； （2）解：设， 将等式两边同时乘以3得： 将下式减去上式得 即． 题型十 表格规律（共4小题） 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 42．（24-25七年级上·福建厦门·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则 ， ． 【答案】 1 【分析】此题考查了有理数的加减运算的应用，解题的关键是正确列式求解． 首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴1和x中间的数为 ∴ ∴． 故答案为：，1． 43．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为 ． 【答案】370． 【详解】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n（2n﹣1）﹣n，即可得x=19×20﹣10=370． 考点：数字规律探究题. 44．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 题型十一 图形规律（共4小题） 45．（24-25七年级上·山东日照·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据数形结合的思想，得到的值等于面积为1的大正方形的面积减去阴影部分的面积，进行求解即可． 【详解】解：观察图形，可知，①的面积是大正方形面积的，②的面积为大正方形面积的，依次类推，得到⑤和阴影部分的面积均为大正方形面积的， ∴可以看作面积为1的大正方形的面积减去阴影部分的面积， 即：； 故选C． 46．（24-25七年级上·广东广州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 【答案】 【分析】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图象如何转化成常见运算的形式． 根据题意列式求解即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：2． 47．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 48．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新运算，规定：图表示，图形 表示，则 +的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查有理数加减混合运算，新定义，理解新定义是解题的关键． 根据新的定义列出算式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：7． 题型十二 数阵规律（共4小题） 49．（2024七年级上·全国·期中）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 50．（2024七年级上·江苏·期中）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 列． 【答案】四 【分析】根据所给的排列规律，利用列表法，重新排列发现规律，据此可解决问题． 本题考查实数的排列规律，能发现每8个数一循环且每行4个数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 51．观察下面三行数： 第一行数：； 第二行数：； 第三行数：． (1)第一行数按什么规律排列？ (2)第二行、第三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)第一行数是， (2)第二行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数减2得到的，第三行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数除以2得到的 (3) 【分析】（1）根据第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，即可解答； （2）根据两行数之间对比即可得到关系； （3）利用（1）（2）的规律列式计算即可． 【详解】（1）解：第一行数是，． （2）解：第二行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数减2得到的，第三行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数除以2得到的． （3）解：第一行的第8个数是，故每行数的第8个数的和为． 【点睛】此题考查了有理数的规律运算，有理数的混合运算，正确掌握各数之间的关系并利用关系解决问题是解题的关键． 52．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 题型十三 新定义运算（共4小题） 53．（24-25七年级上·全国·期中）类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记作，记作，一般地把n个a相除记做，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：= ；= ． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下： 除方乘方的形式 仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：=． (3)算一算： 【答案】(1)；． (2)； (3)． 【分析】（1）直接根据“除方”运算的定义，即个相除记作，计算与的值． （2）仿照所给例子，将除方运算转化为乘方形式，关键在于明确除方运算转化为乘法运算的规律． （3）先根据（2）中得出的规律将除方运算转化为乘方形式，再按照有理数的混合运算法则进行计算． 本题主要考查了新定义运算以及有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算法则，以及根据新定义运算的规则将除方运算转化为常见的乘方和乘法运算形式是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为；． （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 54．（25-26七年级上·北京·期中）对于有理数、两个数．若定义． 例如，，则．回答下面问题： (1)的运算结果为___________． (2)设，，，，则的值为___________． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“”运算，则所有运算结果中最大的值是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了定义新运算、有理数加减的混合运算、绝对值、有理数的大小比较，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义计算即可； （2）根据新定义可得，再比较有理数的大小即可得出答案； （3）由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且，根据新定义分析可得，当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“”运算的值一定小于，据此即可解答． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴的值为； 故答案为：； （3）解：由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且， 当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“”运算的值一定小于， ∴所有运算结果中最大的值是． $ 专题03 有理数的运算（含巧算、规律计算） 题型1 有理数混合运算 题型8 数字规律 题型2 有理数简便运算 题型9 等式规律 题型3 拆项法 题型10 表格规律 题型4 倒数法 题型11 图形规律 题型5 绝对值方程 题型12 数阵规律 题型6 含乘方的有理数计算 题型13 新定义运算 题型7 裂项相消法 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数混合运算（共6小题） 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级上·江苏·期中）计算下面各题： (1)； (2)； (3)； (4) 6．（25-26六年级上·全国·期中）计算∶ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 有理数简便运算（共6小题） 7．（24-25七年级上·福建莆田·期中）简便运算： (1)； (2) 8．简便运算 (1) (2) (3) (4) 9．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）简便运算： (1)； (2)． 10．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．用简便方法计算 (1) (2) 12．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 拆项法（共4小题） 13．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 14．（24-25七年级上·吉林长春·期中）阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 15．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 16．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 题型四 倒数法（共4小题） 17．（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 18．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 20．阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 题型五 绝对值方程（共4小题） 21．解方程： 22．（24-25七年级上·四川攀枝花·期中）我们知道：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可以理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，表示5、之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数，那么A、B之间的距离可以表示为．试探索： （1）若，则=___________； （2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示的点与表示__________的点重合； （3）计算：． 23．（2024七年级上·北京·期中）解方程：． 24．（2024七年级上·北京·期中）解方程：； 题型六 含乘方的有理数计算（共4小题） 25．（24-25七年级上·四川乐山·期中）计算：． 26．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）计算： 27．（25-26七年级上·陕西·期中）计算：． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）计算： 题型七 裂项相消法（共4小题） 29．【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 31．阅读材料，回答下列问题，通过计算容易发现： ①，②，③； ④，⑤，⑥ (1)通过观察①②③，计算的值． (2)探究④⑤⑥运算规律，计算的值 32．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 题型八 进制规律计算（共4小题） 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 34．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　） A．D2 B．2D C．F5 D．E0 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）将一个十进制数转化为二进制数的步骤：将给定的十进制数除以2，记录余数，然后继续将商除以2，再记录余数…重复上述步骤，直到商为0．最后，将所得余数逆序排列，得到的数就是该十进制数对应的二进制数． 例如，将10转换为二进制数： 余0；余1；余0；余1． 逆序排列余数得到10的二进制数表示为 如果需要将十进制数转化为其他进制数也可以用这个方法，例如转化为六进制就除以6直到商为0，逆序排列余数就得到一个六进制数，试用以上方法将十进制数120转化为六进制数( )6． 36．（24-25七年级上·四川自贡·期中）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 题型九 等式规律（共4小题） 37．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 38．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 39．若，则的个位数字是 ． 40．阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 题型十 表格规律（共4小题） 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 42．（24-25七年级上·福建厦门·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则 ， ． 43．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为 ． 44．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 题型十一 图形规律（共4小题） 45．（24-25七年级上·山东日照·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·广东广州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 47．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 48．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新运算，规定：图表示，图形 表示，则 +的值为 ． 题型十二 数阵规律（共4小题） 49．（2024七年级上·全国·期中）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 50．（2024七年级上·江苏·期中）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 列． 51．观察下面三行数： 第一行数：； 第二行数：； 第三行数：． (1)第一行数按什么规律排列？ (2)第二行、第三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 52．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 题型十三 新定义运算（共4小题） 53．（24-25七年级上·全国·期中）类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记作，记作，一般地把n个a相除记做，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：= ；= ． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下： 除方乘方的形式 仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：=． (3)算一算： 54．（25-26七年级上·北京·期中）对于有理数、两个数．若定义． 例如，，则．回答下面问题： (1)的运算结果为___________． (2)设，，，，则的值为___________． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“”运算，则所有运算结果中最大的值是___________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $