专项提升训练10：长方形和正方形解决问题（考点梳理+例题讲解+专项练习）2025-2026学年三年级下册数学苏教版·新教材

专项提升训练10：长方形和正方形解决问题 考点梳理 1 考点一、画平行线和垂线 1 考点二、点到直线的距离 2 考点三、画长方形和正方形（基本画法） 2 考点四、长方形和正方形中角度的计算 3 考点五、数长方形和正方形 3 例题讲解 4 题型一、画平行线和垂线 4 题型二、点到直线的距离 4 题型三、画长方形和正方形 4 题型四、长方形和正方形中角度的计算 5 题型五、数长方形和正方形 5 专项练习 6 练习一、画平行线和垂线 6 练习二、点到直线的距离 8 练习三、画长方形和正方形 9 练习四、长方形和正方形中角度的计算 11 练习五、数长方形和正方形 12 考点梳理 考点一、画平行线和垂线 1. 画平行线的方法 （1）工具准备：直尺、三角尺。 （2）步骤： ① 固定三角尺，将其一条直角边与已知直线重合； ② 用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺； ③ 平移三角尺，使与已知直线重合的直角边移动到指定位置； ④ 沿三角尺的直角边画出另一条直线，即为已知直线的平行线。 （3）注意事项：平移过程中直尺与三角尺需始终紧靠，避免偏移导致线条不平行。 2. 画垂线的方法 （1）过直线上一点画垂线： ① 将三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合； ③ 沿三角尺的另一条直角边画直线，即为已知直线的垂线（标出直角符号）。 （2）过直线外一点画垂线： ① 将三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； ③ 沿该直角边画直线，即为已知直线的垂线（标出直角符号）。 （3）注意事项：直角边与直线需完全重合，确保垂线与已知直线夹角为90°。 考点二、点到直线的距离 1. 定义 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 2. 核心性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短（可简述为“垂线段最短”）。 3. 距离测量方法 （1）过该点向直线画垂线，得到垂线段； （2）用直尺测量垂线段的长度，即为点到直线的距离。 4. 应用场景 判断最短路径（如从A点到河边取水，沿垂线段走距离最短）。 考点三、画长方形和正方形（基本画法） 1. 长方形的画法 （1）特征依据：对边相等，四个角都是直角。 （2）步骤： ① 画一条线段作为长方形的长； ② 分别过线段的两个端点，用三角尺画两条垂直于该线段的垂线，作为长方形的宽（确保两条宽长度相等）； ③ 连接两条宽的另一个端点，形成封闭图形。 2. 正方形的画法 （1）特征依据：四条边都相等，四个角都是直角。 （2）步骤： ① 画一条线段作为正方形的边长； ② 分别过线段的两个端点，画两条垂直于该线段的垂线，长度与原线段相等； ③ 连接两条垂线的另一个端点，形成封闭图形。 （3）注意事项：画完后需检查对边是否相等（长方形）或四边是否相等（正方形），四个角是否为直角。 考点四、长方形和正方形中角度的计算 1. 内角特征 长方形和正方形的四个内角均为直角，即每个角的度数为90°。 2. 内角和计算 （1）长方形内角和：90°×4=360°； （2）正方形内角和：90°×4=360°。 3. 角度关系与计算 （1）邻角关系：长方形和正方形中，相邻两个角的和为180°（互补）； （2）对角线分割后的角度：沿对角线将长方形或正方形分成两个直角三角形，每个三角形内角和为180°，直角被分割后形成的两个锐角和为90°； （3）折叠后角度：如将长方形的一个角折叠，重叠部分的角度等于原角的一半（如折叠一个直角，重叠角为45°）。 考点五、数长方形和正方形 1. 数图形（数长方形和正方形的个数） (1)数长方形： ①　方法：先数出图形中长边上线段的总条数（设为m）和宽边上线段的总条数（设为n），则长方形的总个数为m×n。 ②　示例：一个大长方形被纵向分成2份、横向分成3份，长边上线段数为1+2=3（单条线段2条，组合线段1条），宽边上线段数为1+2+3=6（单条3条，两条组合2条，三条组合1条），则长方形总个数为3×6=18个。 (2)数正方形： ①　方法：按正方形的边长分类数，设图形是m×n的方格（m≤n），则边长为1的正方形有m×n个，边长为2的有(m-1)×(n-1)个，……，边长为m的有1×(n-m+1)个，总和为各边长正方形个数相加。 ②　示例：3×3的方格中，边长1的有9个，边长2的有4个，边长3的有1个，总个数为9+4+1=14个。 例题讲解 题型一、画平行线和垂线 【例题1】过点A画已知直线的垂线和平行线。 【练习1】在下图中先过点C作OB的垂线，再过点C作OA的平行线。 题型二、点到直线的距离 【例题2】前进村要修一条直通公路的水泥路，怎样修才能保证最近？请画一画。 【练习2】画一画。 （1）为了方便居民的生活，诚信小区要修一条到超市的路，画出最短的路线。 （2）要在公路上设置一个离诚信小区最近的公交车站，设在哪儿最合适？画出来。 题型三、画长方形和正方形 【例题3】画一个长是7厘米、宽是4厘米的长方形。 【练习3】在下面的方格纸上按要求画图形（共4分）。 （1）画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。 （2）画一个边长为3厘米的正方形。 题型四、长方形和正方形中角度的计算 【例题4】下面是一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝30°，∠3＝( )°。 【练习4】下图中有2个长方形，∠1＝55°，求∠3的度数。 题型五、数长方形和正方形 【例题5】下图中，有( )个长方形。 【练习5】下图一共有( )个正方形。 专项练习 练习一、画平行线和垂线 1．过点P画直线L的垂线，过点Q画直线L的平行线。 2．过点a画直线P的垂线，再过点b画直线P的平行线。 3．过一点P作已知直线a的平行线，b的垂线。 4．下图是某城市的局部交通线路图。该城市将修一条人民大道，该大道在步行街左侧的部分经过点A且与工人路平行，在步行街右侧的部分与前进路平行。请在图上画出人民大道。 5．过点C画出直线a的垂线，过点C画出直线b的平行线。 6．操作。 （1）在方格纸上画出一条与线段AB平行的线段CD，并标出端点C、D。 （2）过A点画出线段AB的垂线。 7．城市设计师要为老年活动中心设计一条最短的路到达公路，还要在地铁入口处设计一条和公路平行的小路，怎样修这两条路？请你帮助设计一下，分别画在下图中。 8．点A是CB边上的一点。 （1）过点A画边BC的垂线。 （2）过点A画边CD的垂线（标注垂足E），测量点A到CD的距离是（    ）厘米。（保留整厘米数） （3）画AE所在直线的平行线。 练习二、点到直线的距离 1．下图是乐乐立定跳远时在沙坑里留下的脚印。怎样测量他的立定跳远成绩？请在图中画出待测量的线段。（以离起跳线更近的那只脚的脚后跟作为测算距离的点，这个点到起跳线的垂直距离就是该同学的成绩） 2．要在村庄和公路之间修一条水泥路，怎样修路最短？在下图中画出来。 3．王家村离公路还有一段距离，准备修一条水泥路连接公路。请你帮助王家村设计一条最短的路线，并在图上画出来。 4．先画出螃蟹去找青蛙的最短路线，再画出青蛙到小河边的最短路线。 5．如图，明明要走到人行道，怎样走最近？请你画出来。 6．要在两条街道A和B各设一个快递投寄点，M处是快递分发处。快递投递点设在哪里，快递员到两条街送快件的距离最短？请在图上画出投递路线，标出投递点。 7．小青蛙要从点A游到小河的对岸去，怎样游路线最短？请在图中画出来。 8．周末，小冬在人民广场玩足球，不小心滚到了长方形花坛里，他要把足球捡回来。 ①花坛外有一条直直的小路平行于长方形的长边，小冬此时站在小路的A点，请你画出这条小路。 ②画出小冬从A点出发去捡足球的最短路线。 ③画出小冬捡到足球后离开花坛的最短路线。 练习三、画长方形和正方形 1．画一个边长为1厘米的正方形。 2．画一个长5厘米，宽3厘米的长方形。 3．以给出的线段为长方形的宽，画一个长3厘米的长方形。 4．用下面直线上的一段作为正方形的一条边，画一个正方形。 5．请把下面的图形补成一个长方形。画出的这两条线段互相（    ）。 6．在下面的方格纸上画一个长5厘米、宽4厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形。 7．在下面方格中画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，再画一个边长为5厘米的正方形。（小方格边长表示1厘米） 8．在如图的格子图中画一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，和一个边长为4厘米的正方形。（假设小方格的边长是1厘米） 练习四、长方形和正方形中角度的计算 1．将一张长方形纸折成如下图所示的形状，已知∠2＝70°，∠1＝( )°。 2．如图是一张长方形纸折起一个角，已知∠1＝28°，并且∠2＝∠3，那么∠3＝( )°。 3．如图：一个长方形，把它的一个角折叠起来，已知，求的度数。 4．用两张同样的长方形纸按下图叠放，经测量∠3＝75°，请算出∠1和∠2的度数。 5．两个正方形叠放在一起，如图，求的度数。 练习五、数长方形和正方形 1．下图中有( )个正方形。 2．如图中一共有( )个长方形。 3．下图中有( )个长方形。 4．观察下图，图中一共有( )个正方形。 5．数一数，下图中有( )个长方形。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练10：长方形和正方形解决问题 考点梳理 1 考点一、画平行线和垂线 1 考点二、点到直线的距离 2 考点三、画长方形和正方形（基本画法） 2 考点四、长方形和正方形中角度的计算 3 考点五、数长方形和正方形 3 例题讲解 4 题型一、画平行线和垂线 4 题型二、点到直线的距离 5 题型三、画长方形和正方形 6 题型四、长方形和正方形中角度的计算 7 题型五、数长方形和正方形 8 专项练习 9 练习一、画平行线和垂线 9 练习二、点到直线的距离 14 练习三、画长方形和正方形 20 练习四、长方形和正方形中角度的计算 23 练习五、数长方形和正方形 26 考点梳理 考点一、画平行线和垂线 1. 画平行线的方法 （1）工具准备：直尺、三角尺。 （2）步骤： ① 固定三角尺，将其一条直角边与已知直线重合； ② 用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺； ③ 平移三角尺，使与已知直线重合的直角边移动到指定位置； ④ 沿三角尺的直角边画出另一条直线，即为已知直线的平行线。 （3）注意事项：平移过程中直尺与三角尺需始终紧靠，避免偏移导致线条不平行。 2. 画垂线的方法 （1）过直线上一点画垂线： ① 将三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 使三角尺的直角顶点与直线上的已知点重合； ③ 沿三角尺的另一条直角边画直线，即为已知直线的垂线（标出直角符号）。 （2）过直线外一点画垂线： ① 将三角尺的一条直角边与已知直线重合； ② 使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； ③ 沿该直角边画直线，即为已知直线的垂线（标出直角符号）。 （3）注意事项：直角边与直线需完全重合，确保垂线与已知直线夹角为90°。 考点二、点到直线的距离 1. 定义 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 2. 核心性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短（可简述为“垂线段最短”）。 3. 距离测量方法 （1）过该点向直线画垂线，得到垂线段； （2）用直尺测量垂线段的长度，即为点到直线的距离。 4. 应用场景 判断最短路径（如从A点到河边取水，沿垂线段走距离最短）。 考点三、画长方形和正方形（基本画法） 1. 长方形的画法 （1）特征依据：对边相等，四个角都是直角。 （2）步骤： ① 画一条线段作为长方形的长； ② 分别过线段的两个端点，用三角尺画两条垂直于该线段的垂线，作为长方形的宽（确保两条宽长度相等）； ③ 连接两条宽的另一个端点，形成封闭图形。 2. 正方形的画法 （1）特征依据：四条边都相等，四个角都是直角。 （2）步骤： ① 画一条线段作为正方形的边长； ② 分别过线段的两个端点，画两条垂直于该线段的垂线，长度与原线段相等； ③ 连接两条垂线的另一个端点，形成封闭图形。 （3）注意事项：画完后需检查对边是否相等（长方形）或四边是否相等（正方形），四个角是否为直角。 考点四、长方形和正方形中角度的计算 1. 内角特征 长方形和正方形的四个内角均为直角，即每个角的度数为90°。 2. 内角和计算 （1）长方形内角和：90°×4=360°； （2）正方形内角和：90°×4=360°。 3. 角度关系与计算 （1）邻角关系：长方形和正方形中，相邻两个角的和为180°（互补）； （2）对角线分割后的角度：沿对角线将长方形或正方形分成两个直角三角形，每个三角形内角和为180°，直角被分割后形成的两个锐角和为90°； （3）折叠后角度：如将长方形的一个角折叠，重叠部分的角度等于原角的一半（如折叠一个直角，重叠角为45°）。 考点五、数长方形和正方形 1. 数图形（数长方形和正方形的个数） (1)数长方形： ①　方法：先数出图形中长边上线段的总条数（设为m）和宽边上线段的总条数（设为n），则长方形的总个数为m×n。 ②　示例：一个大长方形被纵向分成2份、横向分成3份，长边上线段数为1+2=3（单条线段2条，组合线段1条），宽边上线段数为1+2+3=6（单条3条，两条组合2条，三条组合1条），则长方形总个数为3×6=18个。 (2)数正方形： ①　方法：按正方形的边长分类数，设图形是m×n的方格（m≤n），则边长为1的正方形有m×n个，边长为2的有(m-1)×(n-1)个，……，边长为m的有1×(n-m+1)个，总和为各边长正方形个数相加。 ②　示例：3×3的方格中，边长1的有9个，边长2的有4个，边长3的有1个，总个数为9+4+1=14个。 例题讲解 题型一、画平行线和垂线 【例题1】过点A画已知直线的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3．沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3．平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。这条直线就是已知直线的平行线。 【详解】画图如下： 【练习1】在下图中先过点C作OB的垂线，再过点C作OA的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。过点C作OB的垂线即可。 （2）画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角尺的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。过点C作OA的平行线即可。 【详解】根据分析可知： 题型二、点到直线的距离 【例题2】前进村要修一条直通公路的水泥路，怎样修才能保证最近？请画一画。 【答案】见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画出的所有线段中，垂线段最短。把公路看作一条直线，前进村看作一个点，由点向直线画垂线段即可。 【详解】 【练习2】画一画。 （1）为了方便居民的生活，诚信小区要修一条到超市的路，画出最短的路线。 （2）要在公路上设置一个离诚信小区最近的公交车站，设在哪儿最合适？画出来。 【答案】（1）（2）图见详解 【分析】（1）依据两点之间，线段最短，用线段将超市和诚信小区连接起来即可。 （2）依据直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，从诚信小区作公路的垂线，垂足位置设公交车站最合适。 【详解】（1）（2）画图如下： 题型三、画长方形和正方形 【例题3】画一个长是7厘米、宽是4厘米的长方形。 【答案】见解析 【分析】长方形由邻边和对边组成，邻边相互垂直，对边相互平行，根据长方形的特点，用直尺画一条长7厘米的线段AB，用三角板的一条直角边对齐线段AB，三角板的另一条直角边过A画一条4厘米的线段AC，同样方法画另一条4厘米线段BD，最后连接CD，就形成了长方形。 【详解】如图： 【练习3】在下面的方格纸上按要求画图形（共4分）。 （1）画一个长4厘米、宽2厘米的长方形。 （2）画一个边长为3厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】根据题意，首先明确两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。 （1）长方形的长画4个小方格，宽画2个方格即可。 （2）已知每个小方格为1厘米，边长为3厘米的正方形，则四边都画3个小方格即可。 【详解】根据分析画图如下： 题型四、长方形和正方形中角度的计算 【例题4】下面是一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝30°，∠3＝( )°。 【答案】60 【分析】根据题意，∠2是长方形的一个角折起来的，长方形四个角都是直角，则∠2＝90°，∠1、∠2和∠3组成平角，平角等于180°，用180°减去∠1和∠2的度数，即可求出∠3的度数。 【详解】∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－30°－90°＝150°－90°＝60° 一张长方形纸折起来后的图形，已知∠1＝30°，∠3＝60°。 【练习4】下图中有2个长方形，∠1＝55°，求∠3的度数。 【答案】∠3＝55° 【分析】观察上图可知，∠2等于90°减∠1，∠3等于90°减∠2，据此即可解答。 【详解】∠2＝90°－∠1＝90°－55°＝35° ∠3＝90°－∠2＝90°－35°＝55° 题型五、数长方形和正方形 【例题5】下图中，有( )个长方形。 【答案】9 【分析】数一数： 单个小长方形：4个。 两个小长方形拼在一起：横着拼2个，竖着拼2个，共4个。 四个小长方形拼在一起：1个。 将以上数量相加即可。 【详解】4＋4＋1＝9 所以有9个长方形。 【练习5】下图一共有( )个正方形。 【答案】11 【分析】正方形是由四条边首尾依次连接围成的封闭图形，四条边都相等。先数出由一个小正方形组成的正方形有8个，再数出由4个小正方形组成的大正方形有3个；最后把它们相加即可。 【详解】8＋3＝11（个） 所以一共有11个正方形。 专项练习 练习一、画平行线和垂线 1．过点P画直线L的垂线，过点Q画直线L的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过P点作已知直线的垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使P点在三角尺的另一条直角边上；再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 （2）过Q点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使Q点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】根据分析画图如下： 2．过点a画直线P的垂线，再过点b画直线P的平行线。 【答案】见详解 【分析】用直角三角尺的一条直角边和直线P重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点a重合，过a点沿直角边向直线P画直线，即可画出经过点a的直线P的垂线。 把三角尺的一条直角边和直线P重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和直线P重合的直角边和b点重合，过b点沿三角尺的直角边画直线，即可画出经过点b的直线P的平行线。 【详解】 3．过一点P作已知直线a的平行线，b的垂线。 【答案】见详解 【分析】垂线的画法：用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和已知点重合，过已知点沿直角边向已知直线画直线即可； 平行线的画法：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和已知直线重合的直角边和已知点重合，过已知点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】 4．下图是某城市的局部交通线路图。该城市将修一条人民大道，该大道在步行街左侧的部分经过点A且与工人路平行，在步行街右侧的部分与前进路平行。请在图上画出人民大道。 【答案】见详解 【分析】画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角尺的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。 先过点A作工人路的平行线，与步行街相交于一点；过左侧部分与步行街的交点再作前进路的平行线，据此作图。 【详解】根据分析，作图如下： 5．过点C画出直线a的垂线，过点C画出直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】 6．操作。 （1）在方格纸上画出一条与线段AB平行的线段CD，并标出端点C、D。 （2）过A点画出线段AB的垂线。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）画已知线段的平行线的步骤：固定三角尺，将一条直角边与已知线段重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺移动一定的距离，接着沿着这条直角边画出另一条线段。 （2）过线段上或线段外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知线段重合；沿着线段移动三角尺，使线段上或线段外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知线段的垂线。 【详解】（1）（2） （第一问答案不唯一） 7．城市设计师要为老年活动中心设计一条最短的路到达公路，还要在地铁入口处设计一条和公路平行的小路，怎样修这两条路？请你帮助设计一下，分别画在下图中。 【答案】见详解； 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫做点到直线的距离，所画的垂直线段最短。把老年活动中心看作一个点，公路看作已知直线，画垂线时，使得三角板的一条直角边与已知直线重合，将三角板沿着直线移动，使得三角板的另一条直角边与指定的点重合，过指定点，沿三角板的另一条直角边画垂线。 把三角尺的一条直角边紧紧贴在公路已知直线上，确保完全重合；把直尺靠在三角尺的另一条直角边上，然后固定住直尺，不要移动；按住直尺，沿着直尺的边缘平移三角尺，直到三角尺之前贴直线的那条直角边，正好经过直线外的地铁入口，沿着三角尺经过已知点的这条直角边，画一条直线，这条直线就是过该点且与已知直线平行的线。 【详解】 8．点A是CB边上的一点。 （1）过点A画边BC的垂线。 （2）过点A画边CD的垂线（标注垂足E），测量点A到CD的距离是（    ）厘米。（保留整厘米数） （3）画AE所在直线的平行线。 【答案】（1）见详解 （2）画图见详解；2 （3）见详解 【分析】（1）过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，据此过点A画边BC的垂线。 （2）根据（1）中画垂线的方法，过点A画边CD的垂线即可；AE是过点A到CD的垂线，则线段AE是点A到CD的距离，将直尺的0刻度线与点A重合，E点所在的刻度即为点A到CD的距离。 （3）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，即可画出AE所在直线的平行线。 【详解】（1）见下图； （2）点A到CD的距离是2厘米；画图如下； （3）见下图； （平行线画法不唯一） 练习二、点到直线的距离 1．下图是乐乐立定跳远时在沙坑里留下的脚印。怎样测量他的立定跳远成绩？请在图中画出待测量的线段。（以离起跳线更近的那只脚的脚后跟作为测算距离的点，这个点到起跳线的垂直距离就是该同学的成绩） 【答案】见详解 【分析】根据题意，以离起跳线更近的那只脚的脚后跟作为测算距离的点，这个点到起跳线的垂直距离就是该同学的成绩，点A和点B两个点中，点B更接近起跳线，则过点B作起跳线的垂线，过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，据此作图即可。 【详解】 如图： 2．要在村庄和公路之间修一条水泥路，怎样修路最短？在下图中画出来。 【答案】见详解 【分析】根据题意，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离；因此过村庄作公路的垂线段即可。过一点作已知直线的垂线，把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】作图如下： 3．王家村离公路还有一段距离，准备修一条水泥路连接公路。请你帮助王家村设计一条最短的路线，并在图上画出来。 【答案】见详解 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。把王家村看作一个点，公路看作一条线，过这个点作公路的垂线，那么这条垂线就是最短的水泥路。 画垂线时，使得三角板的一条直角边与已知直线重合，将三角板沿着直线移动，使得三角板顶点与指定的点重合，过指定点，沿三角板的另一条直角边画垂线。 【详解】如图： 4．先画出螃蟹去找青蛙的最短路线，再画出青蛙到小河边的最短路线。 【答案】见详解 【分析】两点之间线段最短；直接连接螃蟹和青蛙所在的两点，即为最近的路。 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。所以把小河看作一条直线，青蛙看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】 5．如图，明明要走到人行道，怎样走最近？请你画出来。 【答案】见详解 【分析】点到直线的最短距离是过该点所作的垂线，明明要想走得最近，就从明明的位置向人行道画一条垂直的直线，这条垂线就是明明到人行道的最短路线。 【详解】 6．要在两条街道A和B各设一个快递投寄点，M处是快递分发处。快递投递点设在哪里，快递员到两条街送快件的距离最短？请在图上画出投递路线，标出投递点。 【答案】见详解 【分析】点到直线的距离垂线段最短，所以过M点各自作街道A和B的垂线段为最短线路。 【详解】如图所示： 7．小青蛙要从点A游到小河的对岸去，怎样游路线最短？请在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】点到直线的距离垂线段最短，所以过A点作河对岸的垂线段为最短线路。 【详解】如图： 线段AB即为最短路线。 8．周末，小冬在人民广场玩足球，不小心滚到了长方形花坛里，他要把足球捡回来。 ①花坛外有一条直直的小路平行于长方形的长边，小冬此时站在小路的A点，请你画出这条小路。 ②画出小冬从A点出发去捡足球的最短路线。 ③画出小冬捡到足球后离开花坛的最短路线。 【答案】见详解 【分析】①画平行于长方形的长边的平行线：把三角尺的一条直角边和长方形的长边重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺的直角顶点和A点重合，过A点沿三角尺的直角边画直线即可。 ②两点之间的连线中，线段最短。画出A点和足球这两点间的线段即可。 ③直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。画出从足球位置到花坛最近的边界的垂线段即可。 画垂线时，使得三角尺的一条直角边与已知直线重合，将三角尺沿着直线移动，使得三角尺顶点与指定的点重合，过指定点，沿三角尺的另一条直角边画垂线。标上垂直标记。 【详解】①、②、③画法如下所示： 练习三、画长方形和正方形 1．画一个边长为1厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形，据此作图。 【详解】根据分析，作图如下： 2．画一个长5厘米，宽3厘米的长方形。 【答案】见详解 【分析】先画一条长5厘米的线段作为长方形的长，然后用三角板的直角，以这条线段的一个端点为垂足，画一条垂直于该线段的3厘米长的线段作为长方形的宽，接着用同样的方法在长的另一个端点画出另一条宽，最后连接两条宽边的另一个端点，得到长方形。 【详解】结合分析，如图所示： 3．以给出的线段为长方形的宽，画一个长3厘米的长方形。 【答案】见详解 【分析】根据题中给出的线段我们可以从图上量出是2厘米，所以长方形的宽为2厘米，长为3厘米，根据长方形的特征：长方形的对边相等，每个内角都是直角，进行作图即可。 【详解】根据分析作图如下： 4．用下面直线上的一段作为正方形的一条边，画一个正方形。 【答案】见详解 【分析】正方形的4条边都相等，4个角都是直角，将直角三角尺的直角边与已知线段重合，把这条线段的端点与直角顶点重合，沿着另一条直角边画线段，借助直尺测量已知线段的长度，使得所画线段与已知线段长度相等，按照此方法画出正方形的另外三条边即可。 【详解】如图所示： （画法不唯一） 5．请把下面的图形补成一个长方形。画出的这两条线段互相（    ）。 【答案】图见详解；垂直 【分析】根据长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，把图形补成一个长方形；因为长方形四个角都是直角，所以画出的这两条线段互相垂直。 【详解】根据分析画图如下： 画出的这两条线段互相垂直。 6．在下面的方格纸上画一个长5厘米、宽4厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】（1）长方形的特征为对边相等且四个角都是直角，已知长为5厘米、宽为4厘米，在方格纸上，每个方格边长代表1厘米，所以长方形的长应占5个方格的长度，宽应占4个方格的长度； （2）正方形的特征为四条边都相等且四个角都是直角，边长为3厘米，所以在方格纸上，正方形的每条边应占3个方格的长度。 【详解】 7．在下面方格中画一个长6厘米、宽4厘米的长方形，再画一个边长为5厘米的正方形。（小方格边长表示1厘米） 【答案】见详解 【分析】长方形的对边相等，四个角都是直角。通常把长方形长边的长叫作长，短边的长叫作宽，也就是长占6格，宽占4格； 正方形的四条边都相等，四个角都是直角。正方形的每条边的长，叫作边长，也就是边长占5格。 【详解】由分析作图如下： 8．在如图的格子图中画一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，和一个边长为4厘米的正方形。（假设小方格的边长是1厘米） 【答案】画图见详解 【分析】根据题意分析可知，因为每个小方格边长为1厘米，所以长方形长为4厘米即占4格，宽为3厘米即占3格，正方形的四条边长度都相等，边长为4厘米则占4格，由此画图。 【详解】根据分析画图如下： 练习四、长方形和正方形中角度的计算 1．将一张长方形纸折成如下图所示的形状，已知∠2＝70°，∠1＝( )°。 【答案】40 【分析】根据题意得到，将长方形折过去得到∠2，那么∠2的度数与∠2左边那个角的度数相等，观察发现∠2左边那个角＋∠2＋∠1＝平角，平角为180°，那么用180°减去∠2左边那个角减去∠2的度数，即可算出∠1的度数。据此解答。 【详解】根据分析得出： 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 所以∠1＝40°。 2．如图是一张长方形纸折起一个角，已知∠1＝28°，并且∠2＝∠3，那么∠3＝( )°。 【答案】62 【分析】根据题意，明确平角是180°，已知∠1＝28°，∠1是折叠形成的角，2个∠1、∠2、∠3组成一个平角，又知∠2＝∠3，180°减去2个∠1的度数，就是等于∠2与∠3的和，再除以2，即等于∠3的度数。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （180°－28°×2）÷2 ＝（180°－56°）÷2 ＝124°÷2 ＝62° 如图是一张长方形纸折起一个角，已知∠1＝28°，并且∠2＝∠3，那么∠3＝62°。 3．如图：一个长方形，把它的一个角折叠起来，已知，求的度数。 【答案】∠2＝20° 【分析】 如图，根据折叠特征和长方形内角关系，当长方形一角折叠时，∠1与∠3相等，且∠1＋∠2＋∠3＝90°，所以用90°减去2倍∠1的度数就是∠2的度数。 【详解】90°－2×35° ＝90°－70° ＝20° 所以的度数是20°。 4．用两张同样的长方形纸按下图叠放，经测量∠3＝75°，请算出∠1和∠2的度数。 【答案】∠1＝15°；∠2＝15° 【分析】长方形的四个角都是直角，都是90°，由图中可知∠3＋∠1是一个直角，∠3＋∠2也是一个直角，所以∠1＝∠2＝90°－∠3。 【详解】∠1＝∠2＝90°－∠3＝90°－75°＝15° 故∠1＝15°，∠2＝15°。 5．两个正方形叠放在一起，如图，求的度数。 【答案】15° 【分析】1直角＝90°，1平角＝180°，根据题意可知，∠1＋∠3＝90°，∠1＋∠3＋45°＋∠2＋30°＝180°，由此可知，∠2＝180°－30°－45°－（∠1＋∠3），依此计算。 【详解】∠2＝180°－30°－45°－90° ＝150°－45°－90° ＝105°－90° ＝15° ∠2是15°。 练习五、数长方形和正方形 1．下图中有( )个正方形。 【答案】3 【分析】正方形是方方正正的，有4条直直的边，由此数出图形的数量即可。 【详解】由分析得： 图中有3个正方形。 2．如图中一共有( )个长方形。 【答案】8 【分析】 长方形是长长方方的，有4条直直的边，对边相等，像这样的四边形是长方形。根据图示可知，单个的长方形有4个，由2个小长方形组成的大长方形有3个，由3个小长方形组成的大长方形有1个，依此计算即可。 【详解】4＋3＋1 ＝7＋1 ＝8（个） 图中一共有8个长方形。 3．下图中有( )个长方形。 【答案】30 【分析】由图可知，图中一共有2层，可以分层来数长方形的个数。在上面的一层中，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，直接把它们的数量相加即可算出上面一层长方形的个数；在下面的一层中，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，即下面一层长方形的个数与上面一层长方形的个数相同。如果把两层联合起来看（不看中间的横着的线段），具体如下图： 由图可知，单独的小长方形有4个，由2个长方形组成的大长方形有3个，由3个长方形组成的大长方形有2个，由4个长方形组成的大长方形只有1个，即数出来的长方形个数和上下两层每层的长方形的个数相同。所以直接用上面一层长方形的个数乘上3即可算出一共有多少个长方形。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 10×3＝30（个） 故图中有30个长方形。 4．观察下图，图中一共有( )个正方形。 【答案】30 【分析】观察图形，这是一个4×4的方格图（横向、纵向都有4个小方格）。1×1的小正方形有：4×4＝16个；2×2的正方形有：3×3＝9个；3×3的正方形有：2×2＝4个；4×4的正方形有：1×1＝1个；然后把数量相加即可得出一共有多少个正方形。 【详解】1×1的小正方形：4×4＝16（个） 2×2的正方形：3×3＝9（个） 3×3的正方形：2×2＝4（个） 4×4的正方形：1×1＝1（个） 16＋9＋4＋1＝30（个） 图中一共有30个正方形。 5．数一数，下图中有( )个长方形。 【答案】60 【分析】要数图中的长方形数量，需先分别数横向的线段数和纵向的线段数，再将两者相乘。我们先来数横向的线段数（长的方向），题干中长的方向被分成了4段，那么线段总数为： 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 10 ；接着我们再来看纵向的线段数（宽的方向） ，题干中宽的方向被分成了3段，那么线段总数为： 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6 ；  最后计算长方形总数 ，长方形总数 ＝ 横向线段数 × 纵向线段数 。 【详解】根据分析，横向线段数＝10，纵向线段数＝6； 所以长方形总个数＝10×6＝60 图中共有60个长方形。 【点睛】这题的解题关键是要数出横向线段数和纵向线段数，并且我们可以总结出数长方形个数的一个通用公式，即长方形个数 ＝（1＋2＋3＋…＋m）×（1＋2＋3＋…＋n），这里的m是指横列的长方形个数，这里的n是指竖列的长方形个数。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $