第六章 圆周运动（单元复习讲义）物理人教版必修第二册

第产章 圆周运动（复习讲义） 一、基础目标： 1.认识圆周运动，知道什么是匀速圆周运动，知道匀速圆周运动是变速运动；.理解线速度、角速度、周期、转速等概念，会对它们进行定量计算；理解并掌握v＝ωr等描述圆周运动的各物理量之间的关系。 2.理解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的，会分析向心力的来源；体验向心力的存在，实验探究向心力大小的表达式。 3.理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向；掌握向心加速度大小的表达式，并能运用它们求解有关问题。 4.巩固向心力和向心加速度的知识；会在具体问题中分析向心力的来源；会利用牛顿第二定律和圆周运动知识解决生活中比较简单的圆周运动问题。 二、进阶目标： 1.掌握圆周运动的传动问题（同轴转动、皮带传动、齿轮传动、摩擦传动）； 2.掌握圆周运动的周期性和多解问题； 3.掌握轻绳模型和轻杆模型。 三、拓展目标： 1.掌握圆锥摆模型及其临界问题； 2.掌握水平面内圆周运动的临界问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 (2)性质：加速度大小不变、方向总是指向圆心的变加速曲线运动。 (3)条件：有初速度，受到一个大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心的合力。 ①误认为匀速圆周运动的速度不变； ②误认为匀速圆周运动的加速度（合力）不变； ③误认为圆周运动为匀变速曲线运动。 描述圆周运动的物理量及其关系 线速度：v＝＝ωr 角速度：ω＝＝ 周期：T＝＝，频率：f＝， 向心加速度：an＝＝ω2r 向心力：Fn＝mω2r＝m 相互关系： v＝rω＝＝2πrf an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r ①识认为向心加速度与速度的平方成正（或与角速度的平方成正比）； ②区不了周期、频率和转速三者之间的物理意义； ③误认为向心加速度即为速度大小的变化快慢； ④误认为向心力是性质力，受力分析时分析出向心力 常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等 (2)摩擦(齿轮)传动：接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等 (3)同轴转动：两轮转动的角速度大小相等 ①误认为两轮边缘线速度相等（只是速度大小相等，方向不同）； ②不区分主动轮和从动轮； 圆锥摆模型 (1)圆锥摆模型的受力特点 受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。 (2)运动实例 飞机转弯 火车转弯 圆锥摆 物体在光滑碗做匀速圆周运动 (3)规律总结 ①圆锥摆的周期：T＝2π ②结论 a．摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 b．摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 c．摆球的加速度a＝gtanθ。 ①误认为圆锥摆模型只有绳子挂着小球在水平面内做圆周运动一种； ②误认为火车转弯时的圆周平面在斜面上； ③不能正确找出向心力的来源； 竖直面内的圆周运动 轻绳模型： （1）弹力特征：在最高点弹力可能向下，也可能等于零； （2）临界特征：F＝0，即mg＝m，得v＝，是小球能否通过最高点的临界速度 轻杆模型：（1）弹力特征：在最高点弹力可能向下，可能向上，也可能等于零； （2）临界特征：v＝0，即F向＝0，此时F＝mg （3）v＝的意义：F表现为方向向上的支持力还是方向向下的拉力(或压力)的临界点。 （1）轻绳模型过最高点的最小拉力为0； （2）不能理解轻杆模型最高点的最小弹力为0 （3）误认为物体不脱离轨道的条件只要分析最高点临界（还应分析与圆心等高的两个端点） 题型一 描述圆周运动的物理量的分析及其计算 【例1】圆周运动是生活中常见的一种运动，如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上一个小物块随圆盘一起做匀速圆周运动。关于匀速圆周运动，下列说法不正确的是（　　） A．在相等的时间内，小物块的位移相同 B．匀速圆周运动是角速度不变的运动 C．匀速圆周运动的匀速是指速率不变 D．匀速圆周运动一定是变速运动 【答案】A 【详解】A．小物块做匀速圆周运动，线速度大小不变，方向时刻改变，在相等的时间内，小物块通过的路程一定相等，但位移不一定相同，A说法错误，符合题意； BC．匀速圆周运动的线速度大小不变，即速率不变，角速度恒定不变，故BC说法正确，不符合题意； D．匀速圆周运动的线速度方向时刻在变化，即速度时刻在变化，一定是变速运动，故D说法正确，不符合题意。 故选A。 【变式1-1】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是2：3，则它们（    ） A．线速度大小之比为3：4 B．向心加速度大小之比为9：8 C．运动半径之比为1：2 D．周期之比为3：2 【答案】D 【详解】A．相同时间内，它们通过的路程之比是4：3，根据，可知线速度大小之比为4：3，故A错误； D．相同时间内运动方向改变的角度之比是2：3，可知转过的角度之比为2：3，根据，可知，角速度之比为2：3，根据可知，周期大小之比为3：2，故D正确； B．根据可知，向心加速度大小之比为8：9，故B错误； C．根据可知，运动半径之比为2：1，故C错误。 故选D。 【变式1-2】如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3s，自动识别系统的反应时间为0.3s；汽车可看成高1.6m的长方体，其左侧面底边在直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，横杆转动的时间为 在3s的时间内，横杆的距离O点0.6m的点（即点的正上方）至少要抬高的高度为 则在此时间内横杆至少转过的角度为 直杆转动的角速度至少为 故选D。 题型二 传动分析 【例2】如图所示，一台机器由电动机通过传送皮带传动。已知机器轮的半径是电动机轮的半径的3倍，且皮带与两轮之间不打滑，皮带的厚度不计，下列说法正确的是（　　） A．机器轮上边缘某点的线速度与电动机轮边缘某点的线速度大小之比为 B．机器轮上边缘某点的角速度与电动机轮边缘某点的角速度之比为 C．机器轮上边缘某点的向心加速度与电动机轮边缘某点的向心加速度大小之比 D．机器轮上边缘某点的向心加速度与电动机轮边缘某点的向心加速度大小之比 【答案】C 【详解】A．皮带与两轮之间不打滑，可知机器轮上边缘某点的线速度与电动机轮边缘某点的线速度之比为 故A错误； B．根据 ， 机器轮上边缘某点的角速度与电动机轮边缘某点的角速度之比为 故B错误； CD．根据 ， 可知机器轮上边缘某点的向心加速度与电动机轮边缘某点的向心加速度之比 故D错误，C正确。 故选C。 【变式2-1】变速自行车通过曲柄、链轮、飞轮将力传递到后轮上，带动自行车前进。变速系统如图所示，此时链条连接着链轮上半径最大的齿轮和飞轮上半径最小的齿轮。自行车在平直的路面上沿直线行驶，链条与齿轮、后轮与地面均不打滑，链条处于张紧状态。下列说法错误的是（   ）    A．齿轮边缘上的a点和b点在任意相等时间内通过的圆弧长相等 B．齿轮边缘上的a点和后轮边缘上的c点在任意相等时间内转动的圈数相同 C．若已知b点的线速度大小及a点所在齿轮的半径大小，则可求得c点的角速度 D．在曲柄转速不变的情况下，图中的连接方式可使自行车行驶得最慢 【答案】D 【详解】A．两齿轮为链传动，线速度大小相等，根据 可知，齿轮边缘上的a点和b点在任意相等时间内通过的圆弧长相等，故A正确，不符合题意； B．a点所在齿轮与后轮属于同轴传动，角速度相同，因此齿轮边缘上的a点和后轮边缘上的c点在任意相等时间内转动的圈数相同，故B正确，不符合题意； C．因a点和b点的线速度大小相同，知道了b点的线速度就等于知道了a点的线速度，而根据 若知道a点所在齿轮的半径大小，就可知道a点的角速度，而a点的角速度与c点的角速度相等，因此就可知道c点的角速度，故C正确，不符合题意； D．在曲柄转速不变的情况下，a、b两点线速度大小相同，而b点所在齿轮的半径大于a点所在齿轮的半径，根据 可知，a点所在齿轮的角速度大于b点所在齿轮的角速度，而a点的角速度等于c点的角速度，c点所在后轮的半径大于a点所在齿轮的半径，因此，c点的线速度最大，即图中的连接方式可使自行车行驶的最快，故D错误，符合题意。 故选D。 【变式2-2】脚踏车上的飞轮传动系统如图所示，设各轮的转轴均固定且相互平行，甲、乙两轮同轴且无相对转动，已知甲、乙、丙、丁四轮的半径比为，A、B分别是甲、乙两轮边缘上的点，两传送带在四轮转动时均不打滑，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两轮的角速度相等 B．A点向心加速度比B点的小 C．两传送带的线速度大小相等 D．当丙轮转1圈时，丁轮已转10圈 【答案】A 【详解】A．甲、乙两轮同轴且无相对转动，所以角速度相同，A正确； B．由于A、B角速度相同，，根据 可知，A点向心加速度比B点的大，B错误； C．由于，且甲、乙两轮角速度相同，根据 可得，两传送带的线速度大小不同，C错误； D．由C选项可知，且丁轮与甲轮线速度大小相同，丙轮与乙轮线速大小相同，所以有 由于 根据 可得 可知丙转1圈，丁转了圈，D错误。 故选A。 题型三 生活中的圆周运动实例 【例3】如图所示，一辆汽车在前进（向左转弯）过程中路过一段圆弧形弯道，若图中小汽车此时所受合力F如图所示，且汽车正在做圆周运动，则下面选项中正确的是（　　） A．汽车正在匀速率通过弯道 B．汽车正在加速通过弯道 C．汽车正在减速通过弯道 D．汽车所受合力F应为恒力 【答案】C 【详解】ABC．汽车所受合力向左后方，与汽车的运动方向的夹角大于90°，汽车做减速运动，汽车正在减速通过弯道，C正确，AB错误； D．汽车合力F的切向分力改变速度的大小，法向分力提供向心力，速度方向在变，两分力的大小、方向也时刻变化，合力F可能是变力，D错误。 故选C。 【变式3-1】已知模型飞机的升力的方向与飞行方向垂直，大小与速率成正比，即；调节，飞机以速度在空中距地面高度为的水平面内做匀速圆周运动，升力和竖直方向的夹角为，如图。取。求： (1)飞机的质量； (2)飞机做匀速圆周运动的半径； (3)若飞机上掉落一小螺帽，求小螺帽着地时速度方向与竖直方向的夹角正切值。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）向上的升力为，与竖直方向夹角为，由竖直方向上合力为0，则有 解得 （2）设飞机圆周运动的半径为，水平方向上合力提供向心力为 解得 （3）小螺帽做平抛运动，根据速度-位移公式可得落地时竖直速度大小 小螺帽着地时速度方向与竖直方向的夹角正切值 【变式3-2】如图是前往百色某景区交通要道上一段半径为r=30m的水平圆弧形弯道。汽车通过弯道做匀速圆周运动。设晴天和雨天路面对轮胎的最大静摩擦力分别为正压力的0.8倍和0.4倍。一辆汽车（视为质点）在该公路的弯道上行驶。g取10m/s2，tan15°=0.27，。求： (1)雨天时，若汽车的行驶速度为13m/s，能否安全通过该水平圆弧； (2)若弯道处路面为外高内低，与水平面的夹角为θ=15°，晴天时，若要使轮胎与路面间的侧向摩擦力为零，则车速应为多少； (3)在第（2）问情况下，该路段设计的最高速度为多大。 【答案】(1)不能安全通过；(2)9m/s；(3) 【详解】（1）雨天时，汽车在水平圆弧弯道做匀速圆周运动，向心力由静摩擦力提供，则有 得最大安全速度 则不能安全通过。 （2）路面外高内低，侧向摩擦力为零时，向心力由重力与支持力的合力提供，由受力分析可得 解得 （3）如图所示 当车速最大时，由受力分析可得 水平方向 竖直方向 且晴天时，此时 联立解得 题型四 圆锥摆模型及临界 【例4】智能呼啦圈可以提供全面的数据记录，让人合理管理自己的身材。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重随短杆在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可视为静止，下列说法正确的是（　　） A．转速越大，轻绳弹力越小 B．转速越大，绳子与竖直方向夹角θ越小 C．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角θ将变小 D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角θ将不变 【答案】D 【详解】AB．根据题意，对配重受力分析，设轻绳弹力为，竖直方向上有 水平方向上有 转速越大，角速度越大，绳子与竖直方向夹角θ越大，越小，轻绳弹力越大，故AB错误； CD．由上述分析可得 若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角θ将不变，故C错误，D正确。 故选D。 【变式4-1】如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列关于悬点到轨迹圆心高度h、细绳拉力F、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】B．设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，根据牛顿第二定律，有 可得，故B正确； A．设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，根据牛顿第二定律，有 可得 即h与ω2成反比，故A错误； C．设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，根据牛顿第二定律，有 可得小球的向心加速度 小球运动的角速度不同时，sinθ不同，所以a−ω2不是一次函数，故C错误； D．小球的线速度 所以v−ω2不是一次函数，故D错误。 故选B。 【变式4-2】如图，用一根长的细线，一端系一质量的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，点距地面高度。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（，，）求： (1)若细线与竖直方向的夹角为，则小球的角速度为多大； (2)若（1）中小球在转动中绳子突然断裂，求小球落点到在水平面投影的距离； (3)若小球角速度，求细绳对小球的拉力大小。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）对小球，由牛顿第二定律得 代入数据解得 （2）绳子断裂后小球做平抛运动，竖直方向 水平方向 由几何知识得 代入数据解得 （3）小球恰好开始离开圆锥体时，由牛顿第二定律得 代入数据解得 小球靠在圆锥体上做匀速圆周运动，在竖直方向，由平衡条件得 在水平方向，由牛顿第二定律得 代入数据解得 题型五 轻绳模型 【例5】如图所示，细绳的一端固定于点，另一端系一个小球，在点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度摆下，若细绳与钉子碰撞前后绳子的拉力大小分别为、，小球做圆周运动的线速度大小分别为和，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】细绳与钉子碰撞前后瞬间，由于绳子拉力与重力均与速度方向垂直，所以细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，则有 根据牛顿第二定律可得 可得 由于小球碰钉子之后，半径变小，绳上拉力增大，则有 故选B。 【变式5-1】如图所示，球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中，能控制手掌使球在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，忽略球运动过程中受到的空气阻力。a为圆周的最高点，c为最低点，在a、c两处手掌面水平，b、d两点与圆心O等高。已知球的质量为m，重力加速度大小为g，球在c点对手掌的压力大小为2mg，则球（　　） A．做圆周运动的线速度大小为 B．在a处受到手的作用力为mg C．在b处受重力、手的支持力和向心力 D．从a点到c点的过程中先处于超重状态后处于失重状态 【答案】A 【详解】A．球做匀速圆周运动，在c点对手的压力大小为2mg，根据牛顿第二定律可得 解得 做圆周运动的线速度大小为，故A正确； B．球做匀速圆周运动，则在a处有 解得，故B错误； C．向心力是效果力，不是物体受的力，在b处受重力、手的支持力，还可能受摩擦力作用，故C错误； D．从a点到c点的过程中先处于失重状态后处于超重状态，故D错误。 故选A。 【变式5-2】（多选）如图（a）所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，速度大小为v，绳对小球的拉力为T，其T-v2图像如图（b）所示。不计一切阻力，小球可视为质点，则（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度大小为a C．当v2=c时，轻质绳的拉力大小为 D．当v2=b时，小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动 【答案】AD 【详解】AB．在最高点，根据牛顿第二定律有 整理得 结合图像有-a=-mg， 联立解得绳长为 当地的重力加速度大小为，故A正确，B错误； C．结合上述，当v2=c时，轻质绳的拉力大小为，故C错误； D．结合上述，当v2=b时，绳子上的拉力为零，小球仅受重力作用，则此时小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动，故D正确。 故选AD。 题型六 轻杆模型 【例6】（多选）360°空中旋转自行车，是一种极具趣味性的无动力游乐设施，如图1所示，其简化结构如图2所示。竖直平面内固定一光滑圆轨道，圆心处固定一轻杆，轻杆一端装有质量为的配重，另一端是总质量为的人与自行车，自行车车轮与圆轨道相接触，轻杆总长，配重离圆心处距离。人坐在自行车上蹬车，停止蹬车后，人与自行车在竖直平面内继续做圆周运动。当人与自行车运动到最低点时，杆对配重恰好没有作用。若人与自行车、配重均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．配重与人的角速度相同 B．人与自行车运动到最低点时，配重的线速度为0 C．人与自行车运动到最低点时，所受的弹力大小为 D．人与自行车运动到最低点时，所受的弹力大小为 【答案】AD 【详解】A．配重与人在相同时间内转过的角度相等，所以配重与人的角速度相同，故A正确； B．当人与自行车运动到最低点时，杆对配重恰好没有作用，以配重为对象，根据牛顿第二定律可得 可得角速度为 则配重的线速度为，故B错误； CD．人与自行车运动到最低点时，以人与自行车为对象，根据牛顿第二定律可得 又，解得，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式6-1】如图，一内壁光滑的细圆管处于竖直平面内，管道半径为。现有一光滑小球（可视为质点）在细圆管内运动，重力加速度为，小球通过最高点时速率为，（　　） A．若，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管外壁无压力 C．若，则小球对管外壁有压力 D．不论多大，则小球对管内壁都有压力 【答案】C 【详解】A．若，则小球处于平衡状态，由平衡条件可知，管内壁对小球有向上的支持力，大小等于小球重力的大小，由牛顿第三定律可知，小球对管内壁有压力，大小等于小球重力的大小，故A错误； BCD．小球到达管道的最高点时，假设恰好与管壁间无作用力，由重力提供向心力，则有 解得 可知，当时，小球对管外壁有压力；当时，小球对管内壁有压力，故BD错误，C正确。 故选C。 【变式6-2】如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其关系图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．小球的质量为20kg B．固定圆环的半径R为0.5m C．小球在最高点的速度为3m/s时受圆环的弹力向上 D．当弹力F与小球重力大小相等时小球的速度可能是4m/s 【答案】D 【详解】A．根据图乙可知，当速度为0时有 解得m=2kg，故A错误； B．根据图乙可知，当速度的平方等于8m2s-2时，弹力为0，此时由重力提供向心力，则有 解得，故B错误； C．小球在最高点的速度为3m/s时，速度的平方值为9m2s-2，大于8m2s-2，结合上述可知， 重力比所需向心力小，则小球受圆环的弹力向下，故C错误； D．当弹力F与小球重力大小相等，方向相同时有 结合上述解得，故D正确。 故选D。 题型七 水平转盘模型 【例7】如图所示，水平放置的圆盘以角速度匀速转动，圆盘上有两个质量均为的物块P和Q（两物块均可视为质点），它们随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块距圆心的距离分别为和，。物块与转盘间的动摩擦因数为，重力加速度为。下列说法不正确的是（　　） A．它们受到的静摩擦力方向都指向圆心 B．它们所受静摩擦力大小之比为 C．若圆盘突然停止转动，两物块将沿半径反方向飞出 D．若不断提高圆盘转速，物块将先被甩出 【答案】C 【详解】A．两个物块随圆盘一起做匀速圆周运动，合力提供向心力，它们水平方向只受到摩擦力，因此它们受到的静摩擦力方向都指向圆心，故A不符合题意； B．摩擦力提供向心力，角速度均为，因此有， 它们所受静摩擦力大小之比为，故B不符合题意； C．若圆盘突然停止转动，由于惯性作用，两物块将保持原来运动的方向飞出，即垂直于半径飞出，故C符合题意； D．假设有可知半径越大，做匀速圆周运动需要的摩擦力越大，因此若不断提高圆盘转速，物块将先达到最大静摩擦力，先被甩出，故D不符合题意。 故选C。 【变式7-1】如图所示，两个质量均为、可视为质点的物块、放在粗糙的水平转盘上，两物块之间用不可伸长的细线相连，细线过盘心，距离盘心较近。现让圆盘从静止开始绕过盘心的竖直轴转动，缓慢增大角速度直到两物块开始滑动。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．物块先达到最大静摩擦力 B．物块所受的摩擦力一直指向圆心 C．若绳突然断了，可能相对圆盘滑动，相对圆盘静止 D．物块所受摩擦力先增大后不变 【答案】D 【详解】AC．转盘从静止转动，初始时由摩擦力提供向心力，由，且，可知物块最先达到最大静摩擦力，当绳断后，可能出现滑离而仍相对静止在转盘上，故AC错误； BD．当物块达到最大静摩擦力后，对分析有 对分析有 分析两式可知，物块所受的摩擦力先指向圆心后背离圆心，且摩擦力大小先增大，再减小，最后反向增大直到滑离，物块所受的摩擦力先增大到最大静摩擦力，后保持不变直到滑离，故B错误，D正确。 故选D。 【变式7-2】（多选）如图所示（俯视图），两个质量均为m的小木块c和d（可视为质点）放在水平圆盘上，c与转轴、d与转轴的距离均为l，c与d之间用长度也为l的水平轻质细线相连，开始时细线刚好伸直且无张力。已知木块与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，下列说法正确的是（　　） A．图中，当角速度为时细线开始有拉力 B．图中，当角速度为时细线开始有拉力 C．图中，c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为 D．图中，c、d与圆盘相对静止时，c、d所需的向心力都是由圆盘的静摩擦力提供的 【答案】AC 【详解】AB．当两个木块恰好滑动时，细线开始有拉力 解得 当角速度为时细线开始有拉力，A正确，B错误； CD．因为两个木块同时滑动，滑动方向一定垂直于细线向外，所以两个木块所受静摩擦力的方向与细线垂直向里，与半径的夹角为30°，静摩擦力和细线拉力的合力提供向心力。 根据牛顿第二定律得 解得，C正确，D错误。 故选AC。 题型八 圆周运动周期性问题 【例8】如图所示，半径为R的水平圆盘绕中心O点做匀速圆周运动，在圆盘中心O点正上方H处沿半径方向水平抛出一个小球，小球初速度沿直径方向，从上向下看圆盘沿顺时针方向转动，小球恰好击中B点，重力加速度大小为g不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球从抛出到击中B点所用的时间为 B．小球击中B点时的速度为 C．圆盘转动的周期可能为 D．圆盘转动的角速度大小可能为 【答案】C 【详解】A．小球竖直方向做自由落体运动，由 可得 故A错误； B．小球击中B点时竖直方向的速度为 因为，故B错误； C．小球平抛过程中，圆盘运动的时间为 （n=0，1，2，3…） 解得 可知，当时 故C正确； D．由可知角速度为 （n=0，1，2，3…） 故D错误。 故选C。 【变式8-1】我国物理学家葛正权于1930-1934年参与研究共同设计了如图所示的装置，半径为R的圆筒B可绕O轴以角速度顺时针匀速转动。银原子以一定速率从d点沿虚线经狭缝c射入圆筒内壁。某次实验有一个银原子从d点发出，经过c点时aocd恰好在一直线上，圆筒内壁上有一个点b，oa与ob的夹角，如图所示。该银原子入射后恰好打到圆筒内壁的b点，重力和阻力忽略不计，则这个银原子的速率可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】银原子从c点射入圆筒到穿出所需要的时间为 根据匀速圆周运动的规律可知b点在该段时间内转过的角度满足的关系为 （k＝0，1，2，3……） 联立解得这个银原子的速率为 （k＝0，1，2，3……） 把k＝0，1，2，3……代入，解得 故选B。 【变式8-2】（多选）如图甲所示，在水平圆盘上之间有圆心角为120°的开槽，圆盘以角速度顺时针匀速转动，在的端点点正上方1m处有一直径略小于槽宽的小球，小球以4m/s的初速度竖直上抛，若要令小球落入槽中，不计空气阻力，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．圆盘上各点运动的线速度大小相等 B．小球在空中运动的时间为1s C．圆盘转动的角速度可能是2.5rad/s D．圆盘转动的角速度可能是3.5rad/s 【答案】BC 【详解】A．圆盘上各点运动的角速度大小相等，根据 可知各点到圆心的距离r不同，各点的线速度大小也不相等，故A错误； B．以竖直向下为正方向，根据匀变速直线运动规律可得 解得小球在空中运动的时间为 故B正确； CD．小球能落在槽内，则时间满足（n=0、1、2、3……） 故角速度范围为 当时，有 当时，有 故C正确，D错误。 故选BC。 题型九 实验：探究向心力大小的表达式 【例9】在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图a所示，图b是演示器部分原理示意图：其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等。A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，图a中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为2m的甲球和乙球、质量为m的丙球。 (1)下列实验与本实验方法相同的是（　　） A．探究平抛运动的特点 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．探究加速度与力和质量的关系 (2)为探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，实验时应选择甲球和 球作为实验球； (3)在某次实验中，一组同学把甲球和乙球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上，匀速转动手柄时，左边标尺露出1个分格，右边标尺露出4个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为 ，A、C两个挡板角速度之比为 。 【答案】(1)C；(2)乙；(3) 1:4 1:2 【详解】（1）探究向心力大小的表达式与探究加速度与力和质量的关系采用的都是控制变量法；故选C。 （2）探究向心力与圆周运动轨道半径的关系应使两球质量相等，故应选择甲球和乙球作为实验球 （3）[1]左右标尺露出的格数表示向心力的大小，故向心力之比为； [2]皮带处于塔轮的某一层上，转动半径相同，两个小球质量相同，由向心力公式 可知A、C两个挡板角速度之比为。 【变式9-1】某学习小组利用传感器探究匀速圆周运动的向心力和哪些因素有关。实验装置如图甲所示，电机的转动轴与水平圆盘的中心相连，圆盘边缘安装一竖直的遮光片，一根细绳跨过圆盘中心的定滑轮连接小滑块和力传感器。实验时电机带动水平圆盘匀速转动，滑块与圆盘保持相对静止。已知遮光片的宽度为，圆盘半径为，滑块至圆盘中心距离为。 (1)实验中，遮光片通过光电门的挡光时间为，据此可计算得出圆盘运动的角速度为 ，滑块的向心加速度为 ；（用、、、表示） (2)保持滑块质量及相对圆盘位置不变，适当改变圆盘转速，多次实验并记录力传感器示数和遮光片通过光电门的挡光时间，作出图线如图乙所示。重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，据此可得出滑块与圆盘间的动摩擦因数为 ，滑块的质量为 。（用、、、、、表示） 【答案】(1) ；(2) 【详解】（1）[1]圆盘的边缘线速度 根据 解得 [2]滑块与遮光片为同轴转动，所以两者角速度相同，根据 解得 （2）[1][2]圆盘表面粗糙，当圆盘转速较小时，静摩擦力提供向心力，随着转速增大，当摩擦力达到最大静摩擦力后，绳子才开始提供拉力，拉力传感器才有示数，对滑块受力分析可得 整理得 可得图像的斜率 解得 解得 【变式9-2】如图（a）所示是某兴趣小组设计的验证向心力大小表达式的实验装置原理图。用一刚性细绳悬挂一质量为的小球，小球的下方连接一轻质的遮光片，细绳上方的悬挂点处安装有一个力传感器，悬挂点的正下方固定一个光电门，两装置连接到同一数据采集器上，可以采集小球经过光电门的遮光时间和此时细绳拉力的大小，重力加速度为。实验过程如下： ①用刻度尺测量出悬挂点到球心的距离； ②将小球拉升到一定高度（细绳始终伸直）后释放，记录小球第一次经过最低点时遮光片的遮光时间和力传感器示数； ③改变小球拉升的高度，重复步骤②，测6~10组数据； ④根据测量得到的数据在坐标纸上绘制图像； ⑤改变悬挂点到球心的距离，重复上述步骤，绘制得到的图像如图（b）、、所示。 (1)图（b）中图像横坐标表示的物理量为 （选填“”、“”或“”）。 (2)理想情况下，图（b）中各图像的延长线是否交于纵轴上的同一点： （选填“是”或“否”）。 (3)图（b）中组实验所用细绳的长度与组实验所用细绳长度之比为 。 (4)将图（b）的纵坐标改为_____则可以得到结论：向心力的大小与线速度的平方成正比。 A． B． C． D． 【答案】(1)；(2)是；(3)；(4)D 【详解】（1）小球经过光电门时，遮光片的宽度设为，可认为通过光电门的平均速度等于瞬时速度，则小球通过光电门的速度 根据向心力公式，小球在最低点时，由牛顿第二定律 将 代入可得 整理得 可见与成线性关系，所以图像横坐标表示的物理量为。 （2）判断图像延长线是否交于纵轴同一点由 当 即速度， 理想情况下，无论如何变化，当横坐标为时，纵坐标都为，所以各图像的延长线是交于纵轴上的同一点 （3）由 图像的斜率 设组斜率为，对应细绳长度；组斜率为，对应细绳长度。因为小球质量、遮光片宽度相同，所以 即 从图像看，在横坐标相同时，即相同，组的变化量与组的变化量之比等于斜率之比，且由图像可知 通过图像斜率对比，假设单位刻度对应的斜率关系，则 即组实验所用细绳的长度与组实验所用细绳长度之比为。 （4）小球在最低点的向心力 若要得到“向心力的大小与线速度的平方成正比”，需让纵坐标表示向心力，即把纵坐标改为，此时 当、一定时，与成正比。 基础巩固通关测 1．对匀速圆周运动的描述，下列说法正确的是（　　） A．匀速圆周运动是匀速运动 B．匀速圆周运动的加速度不变 C．匀速圆周运动的角速度不变 D．匀速圆周运动的合力是恒力 【答案】C 【详解】ABD．匀速圆周运动中，速度大小不变但方向变化，加速度和合力方向始终指向圆心（方向变化），均为变量，ABD错误； C．角速度的大小和方向均恒定，C正确。 故选C。 2．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为 B．加速度的大小为 C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为 【答案】D 【详解】A．座舱运动周期为，故A错误； B．座舱的加速度的大小为，故B错误； CD．座舱做匀速圆周运动，由向心力公式可得所受合力的大小始终为 座舱所受合力提供向心力，即重力与摩天轮对座舱的作用力的合力提供向心力，因此座舱受摩天轮作用力的大小不是mg，故C错误，D正确。 故选D。 3．如图所示，甲、乙两同学握住绳子A、B两端摇动（A、B近似不动且等高），绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则有关绳上P、Q两质点运动情况，说法正确的是（　　） A．P的线速度大于Q的线速度 B．P的角速度小于Q的角速度 C．P的转动周期小于Q的转动周期 D．P的向心加速度小于Q的向心加速度 【答案】D 【详解】A．根据线速度和角速度的关系，Q点半径大，故P的线速度小于Q的线速度，故A错误； BC．P的角速度和Q的角速度相等，周期相等，故BC错误； D．根据向心力公式，P的向心加速度小于Q的向心加速度，故D正确。 故选D。 4．下列四幅图中物体的运动均视为匀速圆周运动，图1为汽车在水平路面转弯（未打滑），图2为飞机在水平面内转弯，图3为小球沿光滑漏斗壁在水平面内运动，图4为火车水平转弯。则下列有关说法正确的是（　　） A．图1中若小车速度增加，小车一定会打滑 B．图2中飞机的升力完全提供飞机所需的向心力 C．图3中小球若在更高的水平面上运动，速率更大，支持力也更大 D．图4中火车轨道的转弯处设计成内低外高可以减小轮缘对外轨的挤压 【答案】D 【详解】A．图1中汽车在水平路面转弯时，则 若小车速度增加，小车所需的向心力增加，小车与地面间的静摩擦力变大，若不超出最大静摩擦力，小车不会打滑，选项A错误； B．图2中飞机的升力与重力的合力提供飞机所需的向心力，选项B错误； C．图3中小球若在更高的水平面上运动，转动半径更大，根据， 可知，则速率更大，支持力不变，选项C错误； D．图4中火车轨道的转弯处设计成内低外高，满足一定速度时会使轨道对火车的支持力和重力的合力提供向心力，可以减小轮缘对外轨的挤压，选项D正确。 故选D。 5．如图所示，质量相等的A、B两个小球悬于同一悬点O，且在O点下方垂直距离h=1m处的同一水平面内做匀速圆周运动，悬线长L1＝3m，L2＝2m，则A、B两小球（　　） A．周期之比T1：T2＝2：3 B．角速度之比ω1：ω2＝1：1 C．线速度之比v1：v2＝8：3 D．向心加速度之比a1：a2＝8：3 【答案】B 【详解】AB．设细线与竖直方向的夹角为，则 根据牛顿第二定律有 联立得 所以两球的周期之比为 角速度之比为 故A错误，B正确； C．两球做匀速圆周运动的半径分别为， 两球的线速度之比为 故C错误； D．两球的向心加速度之比为 故D错误。 故选B。 6．如图，一物块（看作质点）放置在水平圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数为0.3，细线两端分别系在物块、圆盘的中心竖直转轴上，细线伸直且无拉力，与转轴的夹角为。物块随圆盘一起绕转轴匀速转动，当角速度为时，细线开始出现拉力；当角速度为时，物块对圆盘的压力恰好为0。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，则（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【详解】当最大静摩擦力不能满足所需要向心力时，细线上开始有拉力，则 当物块对圆盘的压力为0时，重力和细线拉力的合力提供向心力，有 解得，故A正确。 故选A。 7．如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构简化图如图乙所示。半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转，陀螺的磁芯质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为7mg，不计摩擦力和空气阻力，重力加速度为g。则（    ） A．若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，则此时轨道对陀螺的弹力恰好为0 B．若陀螺在轨道外侧运动到最高点时的速度为，则此时轨道对陀螺的弹力恰好为0 C．若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，则陀螺所受合力大小为 D．要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，则陀螺通过最低点时的临界速度为 【答案】C 【详解】A．根据牛顿第二定律得 解得 若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，则此时轨道对陀螺的弹力为7mg，A错误； B．根据牛顿第二定律得 解得 若陀螺在轨道外侧运动到最高点时的速度为，则此时轨道对陀螺的弹力为7mg，B错误； C．陀螺所受合力大小为 若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，则陀螺所受合力大小为，C正确； D．根据牛顿第二定律得 解得 要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，则陀螺通过最低点时的临界速度为，D错误。 故选C。 8．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则下列说法不正确的是（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳最高点拉力大小为 D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为mg 【答案】D 【详解】AB．根据题图乙，可得小球运动到最高点时绳对小球的拉力与小球的速度关系为 当小球经过最高点时，根据牛顿第二定律 整理得 结合小球拉力的函数可知 ， 解得 ， 故AB正确； C．把代入绳对小球拉力的函数可得 故C正确； D．若小球在最低点时的速度，根据牛顿第二定律，小球运动到最低点时 解得绳的拉力 故D错误。 本题选错误的，故选D。 9．2022年的“天宫课堂”上，航天员用绳子一端系住装有水油混合液体的瓶子，做如图所示的圆周运动，一段时间后水和油成功分层，水油分离后的圆周运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．瓶子整体不受重力 B．总体来看，油的线速度大于水的线速度 C．水对油有指向圆心的作用力 D．总体来看，油的向心加速度比水的向心加速度大 【答案】C 【详解】A．因为空间站所受重力全部用来提供向心力而处于完全失重状态，故瓶子整体受重力，故A错误； B．水的密度大于油的密度，在混合液体中取半径相同处体积相等的水和油的液体小球，水球的质量大，根据F向=mω2r可知，水需要的向心力更大，故当向心力不足时，将会做离心运动，水会向瓶底移动，圆周运动让试管里的水和油产生了离心现象，密度较大的水将集中于试管的底部，且油和水绕圆心转动的角速度相等，根据 可知，因水在外层，转动半径较大，可知油的线速度小于水的线速度，故B错误； C．油做圆周运动的向心力由水提供，故水对油有指向圆心的作用力，故C正确； D．根据 可知，水的向心加速度大于油的向心加速度，故D错误。 故选C。 10．（多选）一骑手驾驶摩托车通过一座圆弧形拱桥顶部时速度为，此时骑手与摩托车整体对桥面的压力是总重力的。已知骑手与摩托车总质量为，重力加速度大小取。则（　　） A．此时骑手处于失重状态 B．此时骑手处于超重状态 C．拱桥半径约为 D．拱桥半径约为 【答案】AD 【详解】AB．一骑手驾驶摩托车通过一座圆弧形拱桥顶部时，加速度方向向下，此时骑手与摩托车整体对桥面的压力小于总重力，所以处于失重状态，故A正确，B错误； CD．根据牛顿第二定律可得 其中 代入数据解得拱桥半径为，故C错误，D正确。 故选AD。 11．（多选）滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直面内做匀速圆周运动。在运行脱水程序时，有一质量为的硬币被甩到滚筒壁上，随滚筒壁一起做匀速圆周运动。已知滚筒直径为400mm，脱水时转速为600r/min，g取、，下列说法正确的是（　　） A．湿衣服上的水在最低点比在最高点更容易甩出 B．湿衣服要做完整的圆周运动，通过最高点的速度至少为2m/s C．脱水时硬币所受合力大小为4.8N D．硬币在最低点的速度为2m/s时，硬币对滚筒的压力为0.12N 【答案】AC 【详解】A．对衣物上的某一水滴分析，最高点 最低点 联立可得 则水在最低点时更容易被甩出，选项A正确； B．竖直面内最高点衣物速度临界值需要满足 解得，选项B错误； C．脱水时，硬币做匀速圆周运动，其向心力等于所受合外力为，选项C正确； D．竖直面内最低点 根据牛顿第三定律 联立解得，选项D错误。 故选AC。 12．某同学利用如图甲所示装置测量重力加速度g。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另端连接一小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的图像是一条直线，如图乙所示： (1)拉力传感器示数的最大值、最小值、小球质量m以及重力加速度g的关系为 。 (2)若小球质量，由图乙可得重力加速度g的数值为 （结果保留三位有效数字）。 (3)由图乙可得图像直线的斜率与理论值之差的绝对值为 （结果保留一位小数），导致该差值的主要因素为 。 【答案】(1)；(2)9.83；(3) 0.1 小钢球摆动过程中有空气阻力 【详解】（1）小钢球由静止释放时，细线与竖直方向夹角为，细线拉力最小，此时 小球由静止运动到最低点的过程，根据动能定理有 小球运动到最低点时细线拉力最大，则 联立可得 （2）由图乙得直线的纵截距为 解得重力加速度 （3）[1]由图乙得直线的斜率为 该斜率的理论值为，两者的差值为，绝对值为。 [2]导致该差值的主要因素为小钢球摆动过程中有空气阻力。 13．如图1所示，由两根互相平行且等距的金属棍构成的光滑轨道由两部分构成，斜轨道部分（两根金属棍与水平面夹角相等）和水平面内的圆轨道部分（轨道中点到圆心的距离为r），斜轨道与水平轨道间平滑连接。一半径为R、质量为m的小球从高为H处无初速度沿轨道下滑，并沿轨道在水平面内做半径为r的圆周运动。小球及金属棍的截面图如图2所示，轨道间距为d（d<2R）。不计空气阻力，重力加速度用表示。 (1)将小球视为质点，求小球在水平面内的圆轨道运动时所受向心力的大小。 (2)考虑到在水平圆轨道运动时小球与轨道的接触方式，就像火车拐弯中的问题一样，不能一开始就把物体视为一个点。请在考虑小球的大小和形状的情况下，完成以下问题： a.在图2中画出小球所受力的示意图。 b.为使小球在运动过程中不会脱离轨道，需要满足的条件是什么？ 【答案】(1)；(2)a.；b. 【详解】（1）对小球沿斜轨道下滑到最低点的过程应用机械能守恒定律 在水平圆轨道运动时向心力 解得 （2）a.小球受重力，以及支持力，受力分析如图所示 b.当时，小球刚好要脱离轨道，此时有 其中， 解得 则若要小球不会脱离轨道需要满足 14．如图所示，半径R=0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，与水平地面相切于圆环的端点A，一质量为m=1kg的小球从A点冲上竖直半圆环轨道，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g=10m/s2。 (1)小球到达最高点B的最小速度多大； (2)若小球沿轨道运动到最高点B并以vB=4m/s飞出，求： ①小球在B点对轨道的压力； ②小球落到C点的速度（结果保留2位有效数字）。 【答案】(1)2m/s；(2)①30N，方向竖直向上；②5.7m/s，方向与水平方向夹角为45° 【详解】（1）当小球到达最高点时只受重力，速度最小，则 所以 （2）①根据牛顿第二定律可得 所以 根据牛顿第三定律可得，小球在B点对轨道的压力大小为30N，方向竖直向上； ②设小球落到C点的速度大小为vC，速度方向与水平方向的夹角为θ，则，， 解得， 即小球的速度大小为5.7m/s，方向与水平方向夹角为45°。 15．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在a位置开始甩竿，鱼饵被甩至最高点b时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b水平距离s=32m的水面上。已知开始甩竿时鱼竿与竖直方向成53°角，鱼饵的质量为m=0.04kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕O点转动，且O离水面高度到鱼竿末端鱼饵的距离L=1.6m。鱼饵从b点抛出后，忽略鱼线对其作用力和空气阻力，重力加速度g取10m/s2，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)鱼饵在b点抛出时的速度大小； (2)释放鱼线前，鱼饵在b点受鱼竿作用力的大小和方向。 【答案】(1)40m/s；(2)39.6N，方向竖直向下 【详解】（1）鱼饵被甩至最高点b时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，根据平抛运动的规律可得 联立解得 ， （2）释放鱼线前，鱼饵在b点，由于 所以鱼饵受鱼竿作用力的方向竖直向下，根据牛顿第二定律可得 解得 16．某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有一质量为的小球，甩动手腕可以使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，如图1所示，也可以使球在水平面内做匀速圆周运动，如图2所示．已知握绳的手离地高度为，手与球之间的绳长为，绳能承受的最大拉力为，重力加速度为，忽略空气阻力和手的摆动，问： （1）当某次在竖直平面内运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，球从绳断飞出到落地的水平距离多大？ （2）如果小球在水平面内做匀速圆周运动，球的速度增大，绳子拉力增大，绳恰好受到所能承受的最大拉力时对应的速度多大？落地点到手的竖直投影点的距离多大？ 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）在最低点由牛顿第二定律可得 其中 ， 解得 由平抛运动规律可得 解得 则球从绳断飞出到落地的水平距离为 （2）设绳与竖直方向的夹角为，对小球，水平方向有 ， 竖直方向有 联立解得 ， 由平抛运动规律可得 解得 则 则落点与O点的距离为 17．运动员趴在雪橇上从山坡沿截面为圆弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圆轨道上。雪橇和运动员（可视为质点）的总质量为m，以速度v在大圆轨道上做匀速圆周运动。圆弧型冰道截面半径为R，雪橇离圆弧型冰道最低点的竖直高度为h=0.4R。忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为g。其中R未知，求： （1）圆弧型冰道对雪橇的支持力； （2）雪橇的向心加速度； （3）大圆轨道的半径r。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）雪车和圆弧圆心O连线与竖直方向的夹角为α 圆弧型冰道对雪橇的支持力 （2）由牛顿第二定律 得 （2）由向心加速度公式 得 18．现有一根长的刚性轻绳，其一端固定于点，另一端系着一质量的小球（可视为质点），将小球提至点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无拉力，如图所示。不计空气阻力，取。 （1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点小球至少需要获得多大的水平速度； （2）在小球以的速度水平抛出的瞬间，绳中的拉力为多大； （3）小球以的速度水平抛出，求绳再次伸直时所经历的时间。 【答案】（1）   （2）   （3） 【详解】（1）要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时重力恰好提供向心力，则有 解得 （2）因为，所以绳中有拉力，根据牛顿第二定律得 解得 即绳中的拉力大小为     （3）小球以的速度水平抛出，小球将做平抛运动，设经过时间绳拉直，如图所示 在竖直方向有 在水平方向有 由几何关系得 解得 能力提升进阶练 1．（2025·湖南郴州·一模）鲁迅先生的《从百草园到三味书屋》中有一段描写：扫开一块雪，露出地面，用一枝短棒支起一面大的竹筛来，下面撒些秕谷，棒上系一条长绳，人远远地牵着，看鸟雀下来啄食，走到竹筛底下的时候，将绳子一拉，便罩住了。如下甲图为情景画，乙图为模型简图，竹筛视为一个半径为的半球壳，初始用短棒在左侧支撑住，竹筛底面与地面夹角为30°，小鸟视为质点，在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，此时绳子拉动，短棒拉走，竹筛开始落下，绕着右端支点转动，其角速度随时间变化的图像如丙图所示，小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜，小鸟运动可视为匀速直线运动，下列说法正确的是（　　） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的向心加速度大小不变 C．短棒拉走，竹筛从开始运动到落地需要2s D．小鸟能够成功逃离竹筛的最小速度为0.5m/s 【答案】D 【详解】A．根据图丙可知，角速度在变大，不是匀速圆周运动，故A错误； B．向心加速度公式a=ω2R，而角速度在变大，所以向心加速度大小加速度在变大，故B错误； C．筛子转动后落地，根据ω-t图像与时间轴围成的面积表示转动的圆心角，可知竹筛从开始运动到落地需要的时间为t=1s，故C错误； D．小鸟成功逃离的最小速度，故D正确。 故选D。 2．（2025·贵州六盘水·一模）如图所示，某娱乐设施由一个大转盘底座和其上的五个小转盘构成，每个小转盘上有四个座位，大、小转盘绕各自中心轴转动的角速度分别为和，则坐在A位置的小水同学再次回到同一位置的时间至少为（　　） A．2s B．4s C．8s D．16s 【答案】C 【详解】由公式可知，大小圆盘绕各自中心转动的周期分别为， 要让小水同学再次回到相同位置，运动时间需要满足且， 则为8的倍数，当时，最小是8s。 故选C。 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图所示，竖直平面内的一光滑细杆连接在O点处，细杆与竖直方向的夹角为，杆上套有可视为质点的小球。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴以大小为的角速度匀速转动，小球相对于杆静止在某位置，重力加速度大小为g，小球到O点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设小球到点的距离为，对小球受力分析，竖直方向上有 水平方向上有 解得 故选A。 4．（2026·贵州毕节·一模）如图，某游乐场的旋转飞椅由水平圆形支架、轻绳和吊椅组成，圆形支架的半径为2m，绳长为5m。一游客坐在吊椅上随圆形支架匀速转动时，轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知游客和吊椅的总质量为60kg，，取重力加速度g为10，若游客和吊椅可视为质点，则圆形支架的角速度和吊椅对轻绳的作用力大小F分别为（　　） A．　　F=750N B．　　F=750N C．　　F=1000N D．　　F=1000N 【答案】A 【详解】对游客和吊椅，由合力提供向心力得 解得 绳对游客和吊椅的拉力 由牛顿第三定律得，吊椅对轻绳的作用力大小 故选A。 5．（2025·江苏·模拟预测）如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当M、N接触时，LED灯就会发光。下列说法正确的是（　　） A．安装时A端比B端更远离车轮圆心 B．只要车轮转动起来，气嘴灯就能发光 C．增大重物质量可使气嘴灯在较低车速下也能发光 D．自行车匀速行驶时，若气嘴灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光 【答案】C 【详解】A．当M、N接触时，LED灯就会发光，应使重物做离心运动，则A端应靠近车轮圆心，安装时A端比B端更靠近车轮圆心，故A错误； B．车轮转动时，重物随车轮做圆周运动，所需要的向心力由弹簧弹力与重力的合力提供，车轮转速越大，弹簧长度越长，重物上的触点M与固定在B端的触点N越近，当车轮达到一定转速时，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后，气嘴灯就会被点亮，故B错误； C．灯在最低点时，对重物有 解得 故增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，故C正确； D．灯在最低点时，有 即 灯在最高点时，有 即 故，即匀速行驶时，在最低点时弹簧比在最高点时长，因此匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时不一定能发光，故D错误。 故选C。 6．（2023·全国甲卷·高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】质点做匀速圆周运动，根据题意设周期 合外力等于向心力，根据 联立可得 其中为常数，的指数为3，故题中 故选C。 7．（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 【答案】B 【详解】AB．对汽车，根据速度位移关系 可得匀减速运动的加速度大小 汽车做减速运动的时间 这段时间列车行驶距离为 B正确，A错误； CD．根据 可得汽车在OP段向心加速度大小为 CD错误。 故选B。 8．（多选）（2025·四川泸州·一模）东汉时期出现的记里鼓车”通过齿轮传动的方式来记录车辆行驶的距离。某人根据其原理制作了如图所示的装置，车轮与齿轮，齿轮与齿轮同轴转动，齿轮与齿轮齿轮与齿轮相互咬合。已知齿轮的齿数之比为，咬合处齿的宽度均相等，齿轮边缘的半径为。当车轮在时间内匀速转动圈时，下列说法中正确的是（　　） A．齿轮与的角速度大小之比为 B．齿轮与边缘处线速度大小之比为 C．齿轮边缘处的线速度大小为 D．齿轮边缘处的向心加速度大小为 【答案】AC 【详解】A．由题意可知，c、d的线速度大小相等，c、d的齿数之比为1:6，根据可知，c、d的角速度之比为6:1，故A正确； B．齿轮a与b的边缘处线速度大小相等，故B错误； C．由题意可知，齿轮的角速度为 a、b的齿数之比为2:4，且线速度大小相等，根据可知，a、b的角速度之比为2:1，即齿轮的角速度为 b、c同轴传动，角速度相等，即齿轮的角速度为 c、d的齿数之比为1:6，且线速度大小相等，根据可知，c、d的角速度之比为6:1，即齿轮的角速度为 则齿轮d边缘处的线速度大小为，故C正确； D．齿轮d边缘处的向心加速度大小为，故D错误。 故选AC。 9．（2023·江苏·高考真题）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小和受到的静摩擦力大小f。    【答案】； 【详解】发光体的速度 发光体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为 10．（2025·河南·模拟预测）如图甲，为从筒中倒出最底部的羽毛球，将球筒竖直并筒口朝下，从筒口离地面的高度松手，让球筒自由落体，撞击地面，碰撞后球筒不反弹。已知球筒质量，球筒长度，羽毛球质量为，羽毛球和球筒间最大静摩擦力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为简化问题把羽毛球视为质点，空气阻力忽略不计，g取，，求： (1)碰撞后羽毛球是否到达球筒口； (2)如图乙所示，某人伸展手臂握住球筒底部，使球筒与手臂均沿水平方向且筒口朝外，筒身离地高度仍为，他以身体躯干为中心轴逐渐加速转动直至羽毛球刚好飞出，筒口离中心轴距离为，则球落地后距离中心轴有多远？ 【答案】(1)碰撞后羽毛球能到达球筒口；(2) 【详解】（1）自由下落过程，根据速度与位移的关系有 解得落地时速度 碰撞后，球向下做匀减速运动，根据牛顿第二定律有 解得 碰撞后羽毛球下滑过程，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有 解得 可知，羽毛球能到达筒口。 （2）设羽毛球刚好从筒口水平飞出时速度为，根据牛顿第二定律有 解得 羽毛球飞出后做平抛运动，则有 解得 水平方向 羽毛球落地点离中心轴的距离为 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第产章 圆周运动（复习讲义） 一、基础目标： 1.认识圆周运动，知道什么是匀速圆周运动，知道匀速圆周运动是变速运动；.理解线速度、角速度、周期、转速等概念，会对它们进行定量计算；理解并掌握v＝ωr等描述圆周运动的各物理量之间的关系。 2.理解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的，会分析向心力的来源；体验向心力的存在，实验探究向心力大小的表达式。 3.理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向；掌握向心加速度大小的表达式，并能运用它们求解有关问题。 4.巩固向心力和向心加速度的知识；会在具体问题中分析向心力的来源；会利用牛顿第二定律和圆周运动知识解决生活中比较简单的圆周运动问题。 二、进阶目标： 1.掌握圆周运动的传动问题（同轴转动、皮带传动、齿轮传动、摩擦传动）； 2.掌握圆周运动的周期性和多解问题； 3.掌握轻绳模型和轻杆模型。 三、拓展目标： 1.掌握圆锥摆模型及其临界问题； 2.掌握水平面内圆周运动的临界问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 (2)性质：加速度大小不变、方向总是指向圆心的变加速曲线运动。 (3)条件：有初速度，受到一个大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心的合力。 ①误认为匀速圆周运动的速度不变； ②误认为匀速圆周运动的加速度（合力）不变； ③误认为圆周运动为匀变速曲线运动。 描述圆周运动的物理量及其关系 线速度：v＝＝ωr 角速度：ω＝＝ 周期：T＝＝，频率：f＝， 向心加速度：an＝＝ω2r 向心力：Fn＝mω2r＝m 相互关系： v＝rω＝＝2πrf an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r ①识认为向心加速度与速度的平方成正（或与角速度的平方成正比）； ②区不了周期、频率和转速三者之间的物理意义； ③误认为向心加速度即为速度大小的变化快慢； ④误认为向心力是性质力，受力分析时分析出向心力 常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等 (2)摩擦(齿轮)传动：接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等 (3)同轴转动：两轮转动的角速度大小相等 ①误认为两轮边缘线速度相等（只是速度大小相等，方向不同）； ②不区分主动轮和从动轮； 圆锥摆模型 (1)圆锥摆模型的受力特点 受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。 (2)运动实例 飞机转弯 火车转弯 圆锥摆 物体在光滑碗做匀速圆周运动 (3)规律总结 ①圆锥摆的周期：T＝2π ②结论 a．摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 b．摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 c．摆球的加速度a＝gtanθ。 ①误认为圆锥摆模型只有绳子挂着小球在水平面内做圆周运动一种； ②误认为火车转弯时的圆周平面在斜面上； ③不能正确找出向心力的来源； 竖直面内的圆周运动 轻绳模型： （1）弹力特征：在最高点弹力可能向下，也可能等于零； （2）临界特征：F＝0，即mg＝m，得v＝，是小球能否通过最高点的临界速度 轻杆模型：（1）弹力特征：在最高点弹力可能向下，可能向上，也可能等于零； （2）临界特征：v＝0，即F向＝0，此时F＝mg （3）v＝的意义：F表现为方向向上的支持力还是方向向下的拉力(或压力)的临界点。 （1）轻绳模型过最高点的最小拉力为0； （2）不能理解轻杆模型最高点的最小弹力为0 （3）误认为物体不脱离轨道的条件只要分析最高点临界（还应分析与圆心等高的两个端点） 题型一 描述圆周运动的物理量的分析及其计算 【例1】圆周运动是生活中常见的一种运动，如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上一个小物块随圆盘一起做匀速圆周运动。关于匀速圆周运动，下列说法不正确的是（　　） A．在相等的时间内，小物块的位移相同 B．匀速圆周运动是角速度不变的运动 C．匀速圆周运动的匀速是指速率不变 D．匀速圆周运动一定是变速运动 【变式1-1】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是2：3，则它们（    ） A．线速度大小之比为3：4 B．向心加速度大小之比为9：8 C．运动半径之比为1：2 D．周期之比为3：2 【变式1-2】如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3s，自动识别系统的反应时间为0.3s；汽车可看成高1.6m的长方体，其左侧面底边在直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为（　　） A． B． C． D． 题型二 传动分析 【例2】如图所示，一台机器由电动机通过传送皮带传动。已知机器轮的半径是电动机轮的半径的3倍，且皮带与两轮之间不打滑，皮带的厚度不计，下列说法正确的是（　　） A．机器轮上边缘某点的线速度与电动机轮边缘某点的线速度大小之比为 B．机器轮上边缘某点的角速度与电动机轮边缘某点的角速度之比为 C．机器轮上边缘某点的向心加速度与电动机轮边缘某点的向心加速度大小之比 D．机器轮上边缘某点的向心加速度与电动机轮边缘某点的向心加速度大小之比 【变式2-1】变速自行车通过曲柄、链轮、飞轮将力传递到后轮上，带动自行车前进。变速系统如图所示，此时链条连接着链轮上半径最大的齿轮和飞轮上半径最小的齿轮。自行车在平直的路面上沿直线行驶，链条与齿轮、后轮与地面均不打滑，链条处于张紧状态。下列说法错误的是（   ）    A．齿轮边缘上的a点和b点在任意相等时间内通过的圆弧长相等 B．齿轮边缘上的a点和后轮边缘上的c点在任意相等时间内转动的圈数相同 C．若已知b点的线速度大小及a点所在齿轮的半径大小，则可求得c点的角速度 D．在曲柄转速不变的情况下，图中的连接方式可使自行车行驶得最慢 【变式2-2】脚踏车上的飞轮传动系统如图所示，设各轮的转轴均固定且相互平行，甲、乙两轮同轴且无相对转动，已知甲、乙、丙、丁四轮的半径比为，A、B分别是甲、乙两轮边缘上的点，两传送带在四轮转动时均不打滑，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两轮的角速度相等 B．A点向心加速度比B点的小 C．两传送带的线速度大小相等 D．当丙轮转1圈时，丁轮已转10圈 题型三 生活中的圆周运动实例 【例3】如图所示，一辆汽车在前进（向左转弯）过程中路过一段圆弧形弯道，若图中小汽车此时所受合力F如图所示，且汽车正在做圆周运动，则下面选项中正确的是（　　） A．汽车正在匀速率通过弯道 B．汽车正在加速通过弯道 C．汽车正在减速通过弯道 D．汽车所受合力F应为恒力 【变式3-1】已知模型飞机的升力的方向与飞行方向垂直，大小与速率成正比，即；调节，飞机以速度在空中距地面高度为的水平面内做匀速圆周运动，升力和竖直方向的夹角为，如图。取。求： (1)飞机的质量； (2)飞机做匀速圆周运动的半径； (3)若飞机上掉落一小螺帽，求小螺帽着地时速度方向与竖直方向的夹角正切值。 【变式3-2】如图是前往百色某景区交通要道上一段半径为r=30m的水平圆弧形弯道。汽车通过弯道做匀速圆周运动。设晴天和雨天路面对轮胎的最大静摩擦力分别为正压力的0.8倍和0.4倍。一辆汽车（视为质点）在该公路的弯道上行驶。g取10m/s2，tan15°=0.27，。求： (1)雨天时，若汽车的行驶速度为13m/s，能否安全通过该水平圆弧； (2)若弯道处路面为外高内低，与水平面的夹角为θ=15°，晴天时，若要使轮胎与路面间的侧向摩擦力为零，则车速应为多少； (3)在第（2）问情况下，该路段设计的最高速度为多大。 题型四 圆锥摆模型及临界 【例4】智能呼啦圈可以提供全面的数据记录，让人合理管理自己的身材。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重随短杆在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可视为静止，下列说法正确的是（　　） A．转速越大，轻绳弹力越小 B．转速越大，绳子与竖直方向夹角θ越小 C．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角θ将变小 D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角θ将不变 【变式4-1】如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列关于悬点到轨迹圆心高度h、细绳拉力F、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，用一根长的细线，一端系一质量的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角，点距地面高度。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（，，）求： (1)若细线与竖直方向的夹角为，则小球的角速度为多大； (2)若（1）中小球在转动中绳子突然断裂，求小球落点到在水平面投影的距离； (3)若小球角速度，求细绳对小球的拉力大小。 题型五 轻绳模型 【例5】如图所示，细绳的一端固定于点，另一端系一个小球，在点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度摆下，若细绳与钉子碰撞前后绳子的拉力大小分别为、，小球做圆周运动的线速度大小分别为和，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】如图所示，球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中，能控制手掌使球在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，忽略球运动过程中受到的空气阻力。a为圆周的最高点，c为最低点，在a、c两处手掌面水平，b、d两点与圆心O等高。已知球的质量为m，重力加速度大小为g，球在c点对手掌的压力大小为2mg，则球（　　） A．做圆周运动的线速度大小为 B．在a处受到手的作用力为mg C．在b处受重力、手的支持力和向心力 D．从a点到c点的过程中先处于超重状态后处于失重状态 【变式5-2】（多选）如图（a）所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，速度大小为v，绳对小球的拉力为T，其T-v2图像如图（b）所示。不计一切阻力，小球可视为质点，则（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度大小为a C．当v2=c时，轻质绳的拉力大小为 D．当v2=b时，小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动 题型六 轻杆模型 【例6】（多选）360°空中旋转自行车，是一种极具趣味性的无动力游乐设施，如图1所示，其简化结构如图2所示。竖直平面内固定一光滑圆轨道，圆心处固定一轻杆，轻杆一端装有质量为的配重，另一端是总质量为的人与自行车，自行车车轮与圆轨道相接触，轻杆总长，配重离圆心处距离。人坐在自行车上蹬车，停止蹬车后，人与自行车在竖直平面内继续做圆周运动。当人与自行车运动到最低点时，杆对配重恰好没有作用。若人与自行车、配重均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．配重与人的角速度相同 B．人与自行车运动到最低点时，配重的线速度为0 C．人与自行车运动到最低点时，所受的弹力大小为 D．人与自行车运动到最低点时，所受的弹力大小为 【变式6-1】如图，一内壁光滑的细圆管处于竖直平面内，管道半径为。现有一光滑小球（可视为质点）在细圆管内运动，重力加速度为，小球通过最高点时速率为，（　　） A．若，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管外壁无压力 C．若，则小球对管外壁有压力 D．不论多大，则小球对管内壁都有压力 【变式6-2】如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其关系图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．小球的质量为20kg B．固定圆环的半径R为0.5m C．小球在最高点的速度为3m/s时受圆环的弹力向上 D．当弹力F与小球重力大小相等时小球的速度可能是4m/s 题型七 水平转盘模型 【例7】如图所示，水平放置的圆盘以角速度匀速转动，圆盘上有两个质量均为的物块P和Q（两物块均可视为质点），它们随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块距圆心的距离分别为和，。物块与转盘间的动摩擦因数为，重力加速度为。下列说法不正确的是（　　） A．它们受到的静摩擦力方向都指向圆心 B．它们所受静摩擦力大小之比为 C．若圆盘突然停止转动，两物块将沿半径反方向飞出 D．若不断提高圆盘转速，物块将先被甩出 【变式7-1】如图所示，两个质量均为、可视为质点的物块、放在粗糙的水平转盘上，两物块之间用不可伸长的细线相连，细线过盘心，距离盘心较近。现让圆盘从静止开始绕过盘心的竖直轴转动，缓慢增大角速度直到两物块开始滑动。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．物块先达到最大静摩擦力 B．物块所受的摩擦力一直指向圆心 C．若绳突然断了，可能相对圆盘滑动，相对圆盘静止 D．物块所受摩擦力先增大后不变 【变式7-2】（多选）如图所示（俯视图），两个质量均为m的小木块c和d（可视为质点）放在水平圆盘上，c与转轴、d与转轴的距离均为l，c与d之间用长度也为l的水平轻质细线相连，开始时细线刚好伸直且无张力。已知木块与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，下列说法正确的是（　　） A．图中，当角速度为时细线开始有拉力 B．图中，当角速度为时细线开始有拉力 C．图中，c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为 D．图中，c、d与圆盘相对静止时，c、d所需的向心力都是由圆盘的静摩擦力提供的 题型八 圆周运动周期性问题 【例8】如图所示，半径为R的水平圆盘绕中心O点做匀速圆周运动，在圆盘中心O点正上方H处沿半径方向水平抛出一个小球，小球初速度沿直径方向，从上向下看圆盘沿顺时针方向转动，小球恰好击中B点，重力加速度大小为g不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球从抛出到击中B点所用的时间为 B．小球击中B点时的速度为 C．圆盘转动的周期可能为 D．圆盘转动的角速度大小可能为 【变式8-1】我国物理学家葛正权于1930-1934年参与研究共同设计了如图所示的装置，半径为R的圆筒B可绕O轴以角速度顺时针匀速转动。银原子以一定速率从d点沿虚线经狭缝c射入圆筒内壁。某次实验有一个银原子从d点发出，经过c点时aocd恰好在一直线上，圆筒内壁上有一个点b，oa与ob的夹角，如图所示。该银原子入射后恰好打到圆筒内壁的b点，重力和阻力忽略不计，则这个银原子的速率可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）如图甲所示，在水平圆盘上之间有圆心角为120°的开槽，圆盘以角速度顺时针匀速转动，在的端点点正上方1m处有一直径略小于槽宽的小球，小球以4m/s的初速度竖直上抛，若要令小球落入槽中，不计空气阻力，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．圆盘上各点运动的线速度大小相等 B．小球在空中运动的时间为1s C．圆盘转动的角速度可能是2.5rad/s D．圆盘转动的角速度可能是3.5rad/s 题型九 实验：探究向心力大小的表达式 【例9】在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图a所示，图b是演示器部分原理示意图：其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等。A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，图a中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为2m的甲球和乙球、质量为m的丙球。 (1)下列实验与本实验方法相同的是（　　） A．探究平抛运动的特点 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．探究加速度与力和质量的关系 (2)为探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，实验时应选择甲球和 球作为实验球； (3)在某次实验中，一组同学把甲球和乙球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上，匀速转动手柄时，左边标尺露出1个分格，右边标尺露出4个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为 ，A、C两个挡板角速度之比为 。 【变式9-1】某学习小组利用传感器探究匀速圆周运动的向心力和哪些因素有关。实验装置如图甲所示，电机的转动轴与水平圆盘的中心相连，圆盘边缘安装一竖直的遮光片，一根细绳跨过圆盘中心的定滑轮连接小滑块和力传感器。实验时电机带动水平圆盘匀速转动，滑块与圆盘保持相对静止。已知遮光片的宽度为，圆盘半径为，滑块至圆盘中心距离为。 (1)实验中，遮光片通过光电门的挡光时间为，据此可计算得出圆盘运动的角速度为 ，滑块的向心加速度为 ；（用、、、表示） (2)保持滑块质量及相对圆盘位置不变，适当改变圆盘转速，多次实验并记录力传感器示数和遮光片通过光电门的挡光时间，作出图线如图乙所示。重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，据此可得出滑块与圆盘间的动摩擦因数为 ，滑块的质量为 。（用、、、、、表示） 【变式9-2】如图（a）所示是某兴趣小组设计的验证向心力大小表达式的实验装置原理图。用一刚性细绳悬挂一质量为的小球，小球的下方连接一轻质的遮光片，细绳上方的悬挂点处安装有一个力传感器，悬挂点的正下方固定一个光电门，两装置连接到同一数据采集器上，可以采集小球经过光电门的遮光时间和此时细绳拉力的大小，重力加速度为。实验过程如下： ①用刻度尺测量出悬挂点到球心的距离； ②将小球拉升到一定高度（细绳始终伸直）后释放，记录小球第一次经过最低点时遮光片的遮光时间和力传感器示数； ③改变小球拉升的高度，重复步骤②，测6~10组数据； ④根据测量得到的数据在坐标纸上绘制图像； ⑤改变悬挂点到球心的距离，重复上述步骤，绘制得到的图像如图（b）、、所示。 (1)图（b）中图像横坐标表示的物理量为 （选填“”、“”或“”）。 (2)理想情况下，图（b）中各图像的延长线是否交于纵轴上的同一点： （选填“是”或“否”）。 (3)图（b）中组实验所用细绳的长度与组实验所用细绳长度之比为 。 (4)将图（b）的纵坐标改为_____则可以得到结论：向心力的大小与线速度的平方成正比。 A． B． C． D． 基础巩固通关测 1．对匀速圆周运动的描述，下列说法正确的是（　　） A．匀速圆周运动是匀速运动 B．匀速圆周运动的加速度不变 C．匀速圆周运动的角速度不变 D．匀速圆周运动的合力是恒力 2．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为 B．加速度的大小为 C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为 3．如图所示，甲、乙两同学握住绳子A、B两端摇动（A、B近似不动且等高），绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则有关绳上P、Q两质点运动情况，说法正确的是（　　） A．P的线速度大于Q的线速度 B．P的角速度小于Q的角速度 C．P的转动周期小于Q的转动周期 D．P的向心加速度小于Q的向心加速度 4．下列四幅图中物体的运动均视为匀速圆周运动，图1为汽车在水平路面转弯（未打滑），图2为飞机在水平面内转弯，图3为小球沿光滑漏斗壁在水平面内运动，图4为火车水平转弯。则下列有关说法正确的是（　　） A．图1中若小车速度增加，小车一定会打滑 B．图2中飞机的升力完全提供飞机所需的向心力 C．图3中小球若在更高的水平面上运动，速率更大，支持力也更大 D．图4中火车轨道的转弯处设计成内低外高可以减小轮缘对外轨的挤压 5．如图所示，质量相等的A、B两个小球悬于同一悬点O，且在O点下方垂直距离h=1m处的同一水平面内做匀速圆周运动，悬线长L1＝3m，L2＝2m，则A、B两小球（　　） A．周期之比T1：T2＝2：3 B．角速度之比ω1：ω2＝1：1 C．线速度之比v1：v2＝8：3 D．向心加速度之比a1：a2＝8：3 6．如图，一物块（看作质点）放置在水平圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数为0.3，细线两端分别系在物块、圆盘的中心竖直转轴上，细线伸直且无拉力，与转轴的夹角为。物块随圆盘一起绕转轴匀速转动，当角速度为时，细线开始出现拉力；当角速度为时，物块对圆盘的压力恰好为0。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，则（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 7．如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构简化图如图乙所示。半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转，陀螺的磁芯质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为7mg，不计摩擦力和空气阻力，重力加速度为g。则（    ） A．若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，则此时轨道对陀螺的弹力恰好为0 B．若陀螺在轨道外侧运动到最高点时的速度为，则此时轨道对陀螺的弹力恰好为0 C．若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，则陀螺所受合力大小为 D．要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，则陀螺通过最低点时的临界速度为 8．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则下列说法不正确的是（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳最高点拉力大小为 D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为mg 9．2022年的“天宫课堂”上，航天员用绳子一端系住装有水油混合液体的瓶子，做如图所示的圆周运动，一段时间后水和油成功分层，水油分离后的圆周运动过程中，下列说法正确的是（    ） A．瓶子整体不受重力 B．总体来看，油的线速度大于水的线速度 C．水对油有指向圆心的作用力 D．总体来看，油的向心加速度比水的向心加速度大 10．（多选）一骑手驾驶摩托车通过一座圆弧形拱桥顶部时速度为，此时骑手与摩托车整体对桥面的压力是总重力的。已知骑手与摩托车总质量为，重力加速度大小取。则（　　） A．此时骑手处于失重状态 B．此时骑手处于超重状态 C．拱桥半径约为 D．拱桥半径约为 11．（多选）滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直面内做匀速圆周运动。在运行脱水程序时，有一质量为的硬币被甩到滚筒壁上，随滚筒壁一起做匀速圆周运动。已知滚筒直径为400mm，脱水时转速为600r/min，g取、，下列说法正确的是（　　） A．湿衣服上的水在最低点比在最高点更容易甩出 B．湿衣服要做完整的圆周运动，通过最高点的速度至少为2m/s C．脱水时硬币所受合力大小为4.8N D．硬币在最低点的速度为2m/s时，硬币对滚筒的压力为0.12N 12．某同学利用如图甲所示装置测量重力加速度g。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另端连接一小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的图像是一条直线，如图乙所示： (1)拉力传感器示数的最大值、最小值、小球质量m以及重力加速度g的关系为 。 (2)若小球质量，由图乙可得重力加速度g的数值为 （结果保留三位有效数字）。 (3)由图乙可得图像直线的斜率与理论值之差的绝对值为 （结果保留一位小数），导致该差值的主要因素为 。 13．如图1所示，由两根互相平行且等距的金属棍构成的光滑轨道由两部分构成，斜轨道部分（两根金属棍与水平面夹角相等）和水平面内的圆轨道部分（轨道中点到圆心的距离为r），斜轨道与水平轨道间平滑连接。一半径为R、质量为m的小球从高为H处无初速度沿轨道下滑，并沿轨道在水平面内做半径为r的圆周运动。小球及金属棍的截面图如图2所示，轨道间距为d（d<2R）。不计空气阻力，重力加速度用表示。 (1)将小球视为质点，求小球在水平面内的圆轨道运动时所受向心力的大小。 (2)考虑到在水平圆轨道运动时小球与轨道的接触方式，就像火车拐弯中的问题一样，不能一开始就把物体视为一个点。请在考虑小球的大小和形状的情况下，完成以下问题： a.在图2中画出小球所受力的示意图。 b.为使小球在运动过程中不会脱离轨道，需要满足的条件是什么？ 14．如图所示，半径R=0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，与水平地面相切于圆环的端点A，一质量为m=1kg的小球从A点冲上竖直半圆环轨道，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g=10m/s2。 (1)小球到达最高点B的最小速度多大； (2)若小球沿轨道运动到最高点B并以vB=4m/s飞出，求： ①小球在B点对轨道的压力； ②小球落到C点的速度（结果保留2位有效数字）。 15．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在a位置开始甩竿，鱼饵被甩至最高点b时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b水平距离s=32m的水面上。已知开始甩竿时鱼竿与竖直方向成53°角，鱼饵的质量为m=0.04kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕O点转动，且O离水面高度到鱼竿末端鱼饵的距离L=1.6m。鱼饵从b点抛出后，忽略鱼线对其作用力和空气阻力，重力加速度g取10m/s2，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)鱼饵在b点抛出时的速度大小； (2)释放鱼线前，鱼饵在b点受鱼竿作用力的大小和方向。 16．某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有一质量为的小球，甩动手腕可以使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，如图1所示，也可以使球在水平面内做匀速圆周运动，如图2所示．已知握绳的手离地高度为，手与球之间的绳长为，绳能承受的最大拉力为，重力加速度为，忽略空气阻力和手的摆动，问： （1）当某次在竖直平面内运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，球从绳断飞出到落地的水平距离多大？ （2）如果小球在水平面内做匀速圆周运动，球的速度增大，绳子拉力增大，绳恰好受到所能承受的最大拉力时对应的速度多大？落地点到手的竖直投影点的距离多大？ 17．运动员趴在雪橇上从山坡沿截面为圆弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圆轨道上。雪橇和运动员（可视为质点）的总质量为m，以速度v在大圆轨道上做匀速圆周运动。圆弧型冰道截面半径为R，雪橇离圆弧型冰道最低点的竖直高度为h=0.4R。忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为g。其中R未知，求： （1）圆弧型冰道对雪橇的支持力； （2）雪橇的向心加速度； （3）大圆轨道的半径r。 18．现有一根长的刚性轻绳，其一端固定于点，另一端系着一质量的小球（可视为质点），将小球提至点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无拉力，如图所示。不计空气阻力，取。 （1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点小球至少需要获得多大的水平速度； （2）在小球以的速度水平抛出的瞬间，绳中的拉力为多大； （3）小球以的速度水平抛出，求绳再次伸直时所经历的时间。 能力提升进阶练 1．（2025·湖南郴州·一模）鲁迅先生的《从百草园到三味书屋》中有一段描写：扫开一块雪，露出地面，用一枝短棒支起一面大的竹筛来，下面撒些秕谷，棒上系一条长绳，人远远地牵着，看鸟雀下来啄食，走到竹筛底下的时候，将绳子一拉，便罩住了。如下甲图为情景画，乙图为模型简图，竹筛视为一个半径为的半球壳，初始用短棒在左侧支撑住，竹筛底面与地面夹角为30°，小鸟视为质点，在竹筛落地时的底面圆心处偷吃谷子，此时绳子拉动，短棒拉走，竹筛开始落下，绕着右端支点转动，其角速度随时间变化的图像如丙图所示，小鸟被惊动，立刻开始沿着半径向外逃窜，小鸟运动可视为匀速直线运动，下列说法正确的是（　　） A．竹筛开始转动后，竹筛上面各点做匀速圆周运动 B．竹筛开始运动后，竹筛上面各点的向心加速度大小不变 C．短棒拉走，竹筛从开始运动到落地需要2s D．小鸟能够成功逃离竹筛的最小速度为0.5m/s 2．（2025·贵州六盘水·一模）如图所示，某娱乐设施由一个大转盘底座和其上的五个小转盘构成，每个小转盘上有四个座位，大、小转盘绕各自中心轴转动的角速度分别为和，则坐在A位置的小水同学再次回到同一位置的时间至少为（　　） A．2s B．4s C．8s D．16s 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图所示，竖直平面内的一光滑细杆连接在O点处，细杆与竖直方向的夹角为，杆上套有可视为质点的小球。现让杆绕过底部O点所在的竖直轴以大小为的角速度匀速转动，小球相对于杆静止在某位置，重力加速度大小为g，小球到O点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州毕节·一模）如图，某游乐场的旋转飞椅由水平圆形支架、轻绳和吊椅组成，圆形支架的半径为2m，绳长为5m。一游客坐在吊椅上随圆形支架匀速转动时，轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知游客和吊椅的总质量为60kg，，取重力加速度g为10，若游客和吊椅可视为质点，则圆形支架的角速度和吊椅对轻绳的作用力大小F分别为（　　） A．　　F=750N B．　　F=750N C．　　F=1000N D．　　F=1000N 5．（2025·江苏·模拟预测）如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当M、N接触时，LED灯就会发光。下列说法正确的是（　　） A．安装时A端比B端更远离车轮圆心 B．只要车轮转动起来，气嘴灯就能发光 C．增大重物质量可使气嘴灯在较低车速下也能发光 D．自行车匀速行驶时，若气嘴灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光 6．（2023·全国甲卷·高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 8．（多选）（2025·四川泸州·一模）东汉时期出现的记里鼓车”通过齿轮传动的方式来记录车辆行驶的距离。某人根据其原理制作了如图所示的装置，车轮与齿轮，齿轮与齿轮同轴转动，齿轮与齿轮齿轮与齿轮相互咬合。已知齿轮的齿数之比为，咬合处齿的宽度均相等，齿轮边缘的半径为。当车轮在时间内匀速转动圈时，下列说法中正确的是（　　） A．齿轮与的角速度大小之比为 B．齿轮与边缘处线速度大小之比为 C．齿轮边缘处的线速度大小为 D．齿轮边缘处的向心加速度大小为 9．（2023·江苏·高考真题）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小和受到的静摩擦力大小f。    10．（2025·河南·模拟预测）如图甲，为从筒中倒出最底部的羽毛球，将球筒竖直并筒口朝下，从筒口离地面的高度松手，让球筒自由落体，撞击地面，碰撞后球筒不反弹。已知球筒质量，球筒长度，羽毛球质量为，羽毛球和球筒间最大静摩擦力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为简化问题把羽毛球视为质点，空气阻力忽略不计，g取，，求： (1)碰撞后羽毛球是否到达球筒口； (2)如图乙所示，某人伸展手臂握住球筒底部，使球筒与手臂均沿水平方向且筒口朝外，筒身离地高度仍为，他以身体躯干为中心轴逐渐加速转动直至羽毛球刚好飞出，筒口离中心轴距离为，则球落地后距离中心轴有多远？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $