第8章 机械能守恒定律（高效培优·单元讲义）物理人教版必修第二册

第八章 机械能守恒定律 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 功与功率 1 题型2 重力势能 8 题型3 动能和动能定理 12 题型4 机械能守恒定律 19 题型5 实验：验证机械能守恒定律 27 【能力培优练】 33 【链接高考】 47 【重难题型讲解】 题型1 一、功 1、功的定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 （1）功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向，表示物体是输入了能量还是输出了能量。 （2）在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J（1J=1N•m）。 （3）物理意义：功是能量转化的量度。 2、功的公式：W＝Flcosα。 （1）公式只适用于恒力做功。 （2）F和S是对应同一个物体的。 （3）恒力做功多少只与F、l及二者夹角余弦有关，而与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力做功也无关。 二、正功和负功 1、正功和负功的判断：由W＝Flcosα可知 (1)当α＝时，W＝0，力F对物体不做功。 (2)当0≤α＜时，W＞0，力F对物体做正功。 (3)当＜α≤π时，W＜0，力F对物体做负功。 （4）正功和负功判断总结 0≤α＜90° α=90° 90°＜α≤180° 功的正负 W＞0 W=0 W＜0 意义 力F对物体做正功 力F对物体不做功 力F对物体做负功 力F是动力还是阻力 动力 阻力 可以总结成如下规律：对于恒力做功，如果力与位移的夹角为锐角，则力对物体做正功；如果力与位移的夹角为钝角，则力对物体做负功；如果力与位移成直角，则力对物体不做功。 2、总功的计算：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于： (1)各个力分别对物体所做功的代数和。 (2)几个力的合力对物体所做的功。 3、变力做功：对于变力做功不能依定义式W=Fscosα直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。 （1）平均值法：当力F的大小发生变化且F、l呈线性关系时，且方向不变时，F的平均值为F＝，用计算F做的功；可将变力的平均值求出后用公式：W＝Flcosα＝lcosα计算 （2）图像法：变力做的功W可用F-l图线与l轴围成的面积表示。l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少。如图所示 （3）分段法（或微元法）当力的大小不变、力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，过程无限分小后，这样每一小段可以看成直线，可认为每小段是恒力做功，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W=Fs路或W=-Fs路。 （4）等效替换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力做的功来作为变力做的功；已知变力做功的平均功率P，则功W=Pt。 4、多个力做的总功 （1）总功的定义：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。 （2）总功的计算方法：①先求合力F合，再用W合=F合lcosα求功；②先求各个力做的功W1、W2、W3、•••，再应用W合=W1+W2+W3+•••求合力做的功。 三、功率 1、功率的意义：功率是表示做功的快慢的物理量； （1）单位：瓦特，简称瓦，符号是W。 （2）功率是标量。 2、功率的定义：功W与完成这些功所用时间t之比。 3、功率的定义式：P＝，P为时间t内的平均功率。 4、机械功的表达式：P=Fvcosα（α为F与v的夹角）。 ①v为平均速度，则P为平均功率。 ②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。 （1）推导：如果物体的受力F与运动方向的夹角为α，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移是l，则力在这段时间所做的功W=Flcosα； 因此有； 由于位移l是从开始计时到时刻t这段时间内发生的，所以是物体在这段时间内的平均速度v，于是上式就可以写成P=Fvcosα （2）应用：由功率与速度的关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 5、额定功率：机械正常工作时输出的最大功率。 6、实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率。 四、机车启动的两种模型 1、两种机车启动方式的规律 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和v­t图像 OA 段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动 2、机车启动a-1/v和F-1/v图像问题 恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像 由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①斜率k＝ ②纵截距b=－ ③横截距c== ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动； ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动； ③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1； ④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。 【探究归纳】功：力对物体做的功等于力、位移大小及二者夹角余弦的乘积，即 W=Flcosθ，是能量转化的量度。功率：单位时间内所做的功，反映做功的快慢，瞬时功率为 P=Fvcosθ。 【典例1-1】一辆电动汽车在水平路面匀速行驶时所需的牵引力与汽车的速率的平方成正比。当该汽车的牵引力增大为原来的3倍，汽车仍匀速行驶时，发动机功率是原来的（　　） A．倍 B．3倍 C．倍 D．9倍 【答案】C 【详解】根据， 可知如果汽车的牵引力增大为原来的3倍，则它发动机的输出功率变为原来的倍。 故选 C。 【典例1-2】（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v-t图像如图所示。已知该辆汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，取。则以下说法正确的是（　　） A．汽车在前5s内的加速度为 B．汽车在前5s内的牵引力为 C．汽车的额定功率为40kW D．汽车的最大速度为30m/s 【答案】AD 【详解】AB．由图像可知，前5s内，汽车的加速度 由牛顿第二定律 解得汽车在前5s内的牵引力为，故A正确，B错误； C．汽车在5s末达到额定功率，故C错误； D．当汽车达到最大速度时， 根据 可得汽车的最大速度为，故D正确。 故选AD。 【典例1-3】如图所示，质量的长木板停放在光滑水平面上，在长木板的左端放置一质量的小物块，小物块与长木板间的动摩擦因数，现对小物块施加一个大小的水平向右恒力，小物块将由静止开始向右运动，2s后小物块从长木板上滑落，从小物块开始运动到从长木板上滑落的过程中，重力加速度g取。求： (1)小物块和长木板的加速度大小； (2)通过计算说明：互为作用力与反作用力的摩擦力对长木板和小物块做功的代数和是否为零。 【详解】（1）长木板与小物块间摩擦力 小物块的加速度 长木板的加速度 （2）小木块对地位移 长木板对地位移 长木板的长度 摩擦力对小物块做功 摩擦力对长木板做功 故 跟踪训练1我国新能源汽车蓬勃发展，涌现出一大批优秀车企。小米su7ultra额定功率达1330kW，当它以额定功率在平直公路上匀速行驶时速度接近360km/h，则此时阻力的大小约为（　　） A．13.3N B． C． D． 【答案】C 【详解】当汽车以额定功率匀速行驶时，牵引力等于阻力，即 。 根据功率公式 ，可得阻力： 代入数据可知 故选C。 跟踪训练2 （多选）一起重机由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机刚好达到额定功率，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升。下列说法正确的是（ ） A．起重机的额定功率为mgv1 B．起重机的额定功率为mgv2 C．重物匀加速阶段的加速度为 D．重物匀加速阶段的加速度为 【答案】BC 【详解】AB．当重物匀速上升时，绳拉力等于重力，则，故A错误，B正确； CD．重物匀加速阶段的加速度为， 联立可得，故C正确，D错误。 故选BC。 跟踪训练3 如图所示，2024年10月1日8时36分，由我国自主研发、目前最先进的CR400AF-S型“复兴号”智能动车组G62次列车开始运行。假设额定功率为、质量为的G62次列车能在平直铁路上以的速度匀速行驶，列车受到的阻力大小f恒定。求： (1)列车以额定功率行驶，速度为时的加速度大小； (2)列车由静止开始以的加速度做匀加速直线运动，匀加速运动末速度大小。 【详解】（1）列车做匀速直线运动，列车受到的阻力等于牵引力，即 列车以额定功率行驶，速度为时的牵引力大小为 由牛顿第二定律 解得 （2）由牛顿第二定律 可得 由可得匀加速运动末速度大小为 题型2 一、重力做的功 1、重力所做的功公式：WG＝mgΔh，Δh指初位置与末位置的高度差。 （1）物体下降时重力做正功，WG＝mgh。 （2）物体上升时重力做负功，WG＝－mgh。 2、重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 3、重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。 4、重力做功与重力势能变化的关系 （1）关系式：WG=Ep1-Ep2；其中Ep1=mgh1表示物体的初位置的重力势能，Ep2=mgh2表示物体的末位置的重力势能。 （2）当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，也就是WG＞0，Ep1＞Ep2．重力势能减少的数量等于重力所做的功。 （3）当物体由低处运动到高处时，重力做负功，或者说物体克服重力做功，重力势能增大，也就是WG＜0，Ep1＜Ep2；重力势能增加的数量等于物体克服重力所做的功。 二、重力势能及其相对性 1、重力势能定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。 （1）大小：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep＝mgh。 （2）单位：焦耳（J），与功的单位相同。 2、重力做功和重力势能变化的关系：重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，关系式：WG＝Ep1－Ep2。 3、重力势能的相对性 （1）参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面，在参考平面上，物体的重力势能取作0。 （2）重力势能的相对性 ①选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。 ②对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。 4、标矢性：重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小，物体在参考平面上方时，重力势能为正值；在参考平面下方时，重力势能为负值。 5、系统性：重力势能是地球与物体所组成的系统共有的。 三、弹性势能 1、弹性势能的定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。 2、影响弹性势能的因素 (1)弹性势能跟形变大小有关：同一弹簧，在弹性限度内，形变越大，弹簧的弹性势能就越大。 (2)弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关：在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大。 3、弹簧弹性势能表达式：Ep＝kx2； 公式推导：根据功与能的转化可以知道，弹簧恢复原长时对外做的功就等于它具有的弹性势能。弹力是变力，做功不能通过W=Fx直接计算，可以借助F-x图像进行计算，如下图： 类比v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移可以知道F-x图像有有坐标轴围成的面积表示功。所以弹簧形变量为x时具有的弹性势能为。 4、弹力做功的计算：由于弹力是一个变力，计算其功不能用W=Fs设弹簧的伸长量为x，则F=kx，画出F-x图象。如图所示。则此图线与x轴所夹面积就为弹力所做的功。 由图象可得：W弹==-△EP。 4、弹力做功与弹性势能变化量的关系：W弹=-△EP．当弹力做负功，弹性势能增加；当弹力做正功，弹性势能减少。 【探究归纳】物体因被举高而具有的重力势能，等于重力与高度的乘积，其变化只与重力做功有关。 【典例2-1】下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能只与弹簧形变的大小有关 B．重力势能的变化量与零势能参考平面的选取有关 C．物体下落过程中重力势能减少 D．重力对物体做的功不仅与物体的初、末位置有关，还与物体运动的路径有关 【答案】C 【详解】A．弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和弹簧形变的大小均有关，故A错误； B．重力势能与与零势能参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与零势能参考平面的选取无关，故B错误； C．物体下落过程中，重力做正功，重力势能减少，故C正确； D．重力对物体做的功仅与物体的初、末位置有关，与物体运动的路径无关，故D错误。 故选C。 【典例2-2】（多选）如图所示，质量为0.5kg的小球（视为质点）从距桌面高度为1.2m处的A点下落到水平地面上的B点，与地面碰撞后恰好能上升到与桌面等高的C点，C点距地面的高度为0.8m。取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．在小球从B点运动到C点的过程中，重力对小球做的功为-4J B．以桌面为重力势能的参考平面，小球在A点时的重力势能为12J C．以桌面为重力势能的参考平面，小球在B点时的重力势能为-4J D．在小球从A点经B点运动到C点的过程中，重力对小球做的功为16J 【答案】AC 【详解】A．在小球从B点运动到C点的过程中，重力对小球做的功为，故A正确； BC．以桌面为重力势能的参考平面，小球在A点时的重力势能为 在B点时的重力势能为，故B错误，C正确； D．在小球从A点经B点运动到C点的过程中，重力对小球做的功为，故D错误。 故选AC。 跟踪训练1在第15届中国航展的现场，我国自主研制的“机器狼”首次在现场进行动态展示。如图所示为机器狼在进行负重爬斜坡测试，将斜坡简化为一倾角为θ，长为L的斜面，机器狼（可视为质点）从底端沿斜面向上爬至顶端共用时t，此时速度大小为v，已知机器狼及重物总质量为m，重力加速度为g。则机器狼在本次测试中（　　） A．斜面对其支持力做的功为mgLsinθ B．所受重力做的功为-mgL C．重力的平均功率大小为 D．到达顶端时重力的瞬时功率大小为mgvsinθ 【答案】D 【详解】A．此整个过程支持力与运动方向垂直，不做功，A错误； BCD．重力做功与路径无关，故整个过程重力做功为-mgLsinθ 则整个过程重力的平均功率大小为 此时的瞬时功率大小为，故BC错误， D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图所示，跳台滑雪运动员在一次训练中，从山坡上的点由静止滑下，经圆弧滑道到达倾角为的斜面跳台顶端后，以的速度水平飞出，最终落到斜面跳台上的点。已知点到点的竖直高度，运动员连同装备总质量，重力加速度的大小取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员从点运动到点的过程中，重力的瞬时功率逐渐增大 B．运动员从点运动到点所用的时间为1.5s C．运动员从点运动到点重力势能减少了5625J D．运动员从点运动到点，重力的平均功率为7500W 【答案】BC 【详解】A．重力的瞬时功率等于重力与速度的竖直方向上分速度的乘积，点由静止开始滑，重力的瞬时功率为0，滑到B点时速度水平，重力的瞬时功率也为零，故重力的瞬时功率先增加后减小，故A错误； B．运动员从点运动到点合位移的偏向角等于倾角，根据，， 解得，故B正确； C．运动员从点运动到点重力势能减少量等于重力做的功，故C正确； D．运动员从点运动到点，重力的平均功率为，故D错误。 故选 BC。 题型3 一、动能的表达式 1、动能的定义：物体由于运动而具有的能叫动能。 （1）表达式：Ek＝mv2；动能的影响因素有物体的质量和速度。 （2）单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J。 （3）标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向。 2、计算物体动能的一般步骤 （1）对质量和速度进行单位换算，需要换算成国际单位制表示的的单位。 （2）运用公式Ek=mv2计算物体的动能。 二、动能定理 1、动能定理的内容：合外力在一个过程中对物体所做的功等于物体在这个过程中动能的变化。 （1）表达式：W=mv22－mv12＝EK2-EK1；如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。 （2）物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即合力的功是物体动能变化的量度。 2、动能定理的适用条件 （1）动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。 （2）既适用于恒力做功，也适用于变力做功。 （3）力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 3、对动能定理的理解 （1）一个物体的动能变化△Ek与合外力对物体所做功W具有等量代换关系。 ①若△Ek＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功。 ②若△Ek＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值。 ③若△Ek=0，表示合外力对物体所做的功等于零。反之亦然。这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。 （2）动能定理公式中等号的意义：等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系： ①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。 ②单位相同：国际单位都是焦耳。 ③因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。 【归纳总结】物体因运动具有动能，合外力对物体做的功等于物体动能的变化量。 【典例3-1】光滑斜面体静止在水平面上，一个质量为m的小物块由静止开始从顶端沿斜面下滑至底端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小物块受到重力、支持力、下滑力三个力作用 B．小物块对斜面体的压力做的功就是斜面体获得的动能 C．小物块给斜面体的压力对斜面体做正功 D．若小物块运动至斜面体底端时瞬时速度大小为v，则重力的瞬时功率为mgv 【答案】C 【详解】A．小物块受到重力、支持力两个力作用，A错误； B．小物块对斜面体的压力做的功等于斜面体获得的动能，功不是动能，功是过程量，动能是状态量，B错误； C．小物块给斜面体的压力与斜面体的运动方向成锐角，对斜面体做正功，C正确； D．若小物块运动至斜面体底端时瞬时速度大小为v，设v的竖直分量为vy，则重力的瞬时功率为，D错误。 故选C。 【典例3-2】（多选）如图所示，半径为r的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC水平，一个质量为m的物块从圆弧轨道A点正上方P点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，到B点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍。重力加速度为g，不计空气阻力，不计物块的大小，则（　　） A．物块到达A点时速度大小为 B．P、A间的高度差为 C．物块从A运动到B所用时间为 D．物块从A运动到B克服摩擦力做的功为mgr 【答案】BD 【详解】A．物块从A到B做匀速圆周运动，因此在A点的速度大小与在B点的速度大小相等，设速度大小为v，在B点有向心力公式 可解得，故A错误； B．P、A间运动中，根据动能定理有 代入数据可解得，故B正确； C．物块从A运动到B所用时间为，故C错误； D．物块从A运动到B过程中动能不变，所以 所以，故D正确。 故选BD。 【典例3-3】如图所示，在竖直平面内，光滑斜面下端与水平面BC平滑连接于B点，水平面BC与光滑半圆弧轨道CDE相切于C点，E点在圆心O点正上方，D点与圆心等高。一物块（可看作质点）从斜面上A点由静止释放，物块通过半圆弧轨道E点且水平飞出，最后落到水平面BC上的F（图中未标出）点处。已知斜面上A点距离水平面BC的高度h = 2.0m，圆弧轨道半径R = 0.4m，B、C两点距离LBC=2.0m，F、C两点距离LFC = 1.6m。求： (1)物块通过E点时的速度大小； (2)物块与水平面BC间的动摩擦因数； (3)将物块从斜面上由静止释放，若物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则物块释放点距离水平面BC的高度h'应满足的条件。 【详解】（1）物块从E点飞出到落在F点，做平抛运动，则有， 联立解得物块通过E点时的速度大小为 （2）物块从A点到E点过程，根据动能定理可得 代入数据解得物块与水平面BC间的动摩擦因数为 （3）若物块刚好通过E点，则有 解得 根据动能定理可得 解得 若物块刚好可以运动到与圆心等高处，根据动能定理可得 解得 若物块刚好可以运动C点，根据动能定理可得 解得 综上分析可知，要物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则物块释放点距离水平面 BC的高度应满足或 跟踪训练12025年2月3日某媒体消息，小米汽车官方微博宣布，2025年1月，小米SU7交付量再次超过两万辆。假设t=0时刻，一辆小米汽车在一段试车专用的平直的公路上由静止启动，t=8s时功率达到360kW之后功率保持不变，其v−t图像如图所示。设汽车在运动过程中阻力不变，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为15000N B．匀加速运动阶段汽车牵引力做的功为8.64×106J C．汽车的质量为2000kg D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小约为640m 【答案】C 【详解】A．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有，故A错误； C．由图可知，汽车在0~8s内做匀加速直线运动，加速度大小为 当t=8s时，牵引力大小为 由牛顿第二定律，有 解得，故C正确； B．v−t图像与时间轴围成的面积表示位移，则0~8s内汽车的位移大小为 则在0~8s内牵引力做的功为，故B错误； D．8~28s内牵引力做的功为 由动能定理，有 解得汽车在做变加速运动过程中的位移大小，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）如图所示，半径为R的细圆管（管径可忽略）内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时对外管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（　　） A．小球在管顶部时速度大小为 B．小球运动到管底部时速度大小为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力为7mg 【答案】AD 【详解】A．依题意，小球在管顶部时受自身重力与外管壁竖直向下的弹力作用，由牛顿第二定律可得 解得，故A正确； B．设小球运动到管底部时速度大小为v，根据动能定理可得 解得，故B错误； CD．小球运动到管底部时受自身重力与外管壁竖直向上的弹力作用，由牛顿第二定律可得 解得，根据牛顿第三定律可知小球运动到管底部时对外管壁的压力为7mg，故C错误；D正确。 故选AD。 跟踪训练3 如图甲，装置由弧形轨道、竖直圆轨道（点位置轨道前后稍有错开）及水平直轨道平滑连接而成。水平轨道段与滑块间的动摩擦因数从左向右随距离均匀变化，如图乙所示。除段外，其余轨道均光滑。现将质量的滑块（视为质点）从高度的点静止释放，第一次通过圆轨道后与挡板碰撞反弹，恰好能第二次通过圆轨道最高点。已知圆轨道半径，段长，重力加速度取。求： (1)滑块第一次运动到点时的速度大小； (2)滑块第二次经过点时的动能并求出滑块与挡板碰撞损失的动能； (3)滑块最终停在何处。 【详解】（1）滑块从点运动到点，由动能定理，有 解得 （2）由题意，滑块反弹后恰好能从点通过圆轨道最高点，由动能定理，有 在圆轨道最高点，有 联立解得 利用面积法可得滑块经过段，滑动摩擦力做功为 与挡板碰前的动能为 滑块与挡板碰撞损失的动能 （3）由题意，而 则滑块不能回到点，设其还能向左运动位移为，如图所示 则由几何关系可知，在停止位置，接触面间的动摩擦因数 由动能定理，有 由面积法，有 联立，解得或-5.5m（舍去） 则 即滑块最终停止位置为点右侧处。 题型4 一、动能与势能的相互转化 1、追寻守恒量 （1）能量概念的特殊性：能量对科学与生活影响巨大，但难以被准确定义，这也是牛顿未明确提出该概念的原因之一。 （2）伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示。 将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。 （3）伽利略斜面实验的隐含规律：在忽略空气阻力和摩擦力的理想条件下，小球滚下斜面 A 后，会沿斜面 B 上升到与初始高度完全相同的位置，不会更高或更低；这一现象表明，小球运动过程中存在某种 “不变的东西”，它正是机械能守恒的早期萌芽。 （4）历史局限与突破：伽利略的实验已经触及机械能守恒的核心，但受限于当时 “能量” 概念尚未诞生，他未能直接提出机械能守恒的结论；能量概念的引入，是科学前辈们追寻 “守恒量” 的重要成果，也为后续能量守恒定律的建立奠定了基础。 2、重力势能与动能的转化 只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。 3、弹性势能与动能的转化 只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。 4、机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能，重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 5、天体运动中机械能的变化 （1）本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。 （2）卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。 （3）加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。 二、机械能守恒定律 1、机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 （1）表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 （2）应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算。 2、对机械能守恒条件的理解 (1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动（自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等）。 (2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。例如： ①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力对物体不做功； ②在光滑水平面上的小球运动中碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。 (3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。 (4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零；系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不属于真正的守恒，但也可以当作守恒来处理。 3、判断机械能是否守恒的方法有 （1）做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。分析各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能（如内能增加），则系统的机械能守恒。 （3）增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少；若系统的动能与势能只有一种形式的能发生了变化；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则可判定机械能不守恒。 （4）典型过程：对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。 4、机械能守恒的判断 （1）用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力）明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 （2）用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒。 5、机械能如何转化：如果“外力”对系统做正功，系统的机械能增大；如果外力对系统做负功，系统的机械能减小。 三、功能关系 1、内容：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化；做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。 2、高中物理中几种常见的功能关系 功 能量的变化 合外力做正功 动能增加 重力做正功 重力势能减少 弹簧弹力做正功 弹性势能减少 电场力做正功 电势能减少 其他力（除重力、弹力）做正功 机械能增加 一对滑动摩擦力做的总功为负功 系统的内能增加 四、机械能守恒定律的应用 1、运用机械能守恒定律的基本思路 2、机械能守恒定律和动能定理的比较 【归纳总结】只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变。 【典例4-1】如图，光滑轨道，为半径的圆弧，水平，质量均为的小球、固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为，开始时球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（　　） A．球下滑过程中机械能保持不变 B．、滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对球做正功 D．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程、两球的速度始终相等 【答案】C 【详解】B．对、构成的系统机械能守恒，则有 解得，故B错误； C．若没有杆，对a球分析有 解得 可知，有杆时a球最终速度大于没有杆时的最终速度，即有杆时a球最终动能大于没有杆时的最终动能，则整个过程中轻杆对球做正功，故C正确； A．结合上述可知，球下滑过程中，杆对a球做了功，a球机械能不守恒，其机械能发生变化，故A错误； D．根据速度分解可知，两小球沿杆方向的分速度相等，令、速度与杆夹角分别为、，则有 当杆全部处于圆弧中时，根据几何关系有 此时两球速度大小相等，当a在水平轨道，b在圆弧轨道上时，、不相等，此时两球速度大小不相等，故D错误。 故选C。 【典例4-2】（多选）如图，在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是（　　） A．他的动能减少了Fh B．他的重力势能减小了mgh C．他的机械能减少了Fh D．他的机械能减少了 【答案】BC 【详解】A．根据功能关系，动能的变化等于合外力做的功，所以他的动能减少了，故A错误； B．根据功能关系，重力势能的减少量等于重力做的功，所以他的重力势能减小了mgh，故B正确； CD．根据功能关系，非重力做的功等于机械能的变化，所以他的机械能减少了Fh，故C正确，D错误。 故选BC。 【典例4-3】密度均匀的某天体质量为M，半径为R，距离其球心r处质量为m的卫星围绕它做匀速圆周运动（忽略天体自转的影响）。已知引力常量为G。求： (1)该天体表面重力加速度g的大小； (2)卫星的动能大小； (3)若假设将该天体中心处挖掉半径为的小球体，放到距离球心L处，且，如图所示，小球体和天体剩余部分的万有引力大小。 【详解】（1）对于放在天体表面质量为的物体，万有引力提供重力 解得 （2）根据卫星万有引力充当向心力 解得 由 可得 （3）根据球体体积公式 可知小球体的质量为 剩余部分的质量为 根据万有引力定律 计算可得 跟踪训练1如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其倾角。板上一根长为的轻绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一平行于平板并与轻绳垂直向上的初速度v0。若小球恰好能保持在板面内做圆周运动，重力加速度，则v0为（　　） A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 【答案】A 【详解】最高点的速度为 解得 根据机械能守恒定律得 解得 故选A。 跟踪训练2（多选）质量为m的可视为质点的小球被一根长为L且不计形变的轻绳悬挂于O点，在O点下方点固定一个钉子（图中未标记，不计钉子的粗细），忽略一切摩擦和阻力，现给小球施加水平的瞬时冲量，小球获得的初速度大小是，在钉子的阻挡下，小球能围绕钉子在竖直面内做圆周运动，（假设小球运动过程中没有碰到轻绳，重力加速度为g）。以下描述正确的是（　　） A．小球获得速度时，绳上的拉力大小为mg B．小球运动到等高处时，绳上的拉力提供向心力 C．若小球能完成完整的圆周运动，和的最小距离 D．圆周运动过程中小球在最低点和最高点，绳上的拉力差大小为6mg 【答案】BD 【详解】A．小球刚获得速度时，在最低点绕O做圆周运动，根据牛顿第二定律，可得绳上的拉力，显然，故A错误； B．小球运动到等高处时，小球的速度方向沿竖直方向，向心力由绳子的拉力提供，故B正确； C．当小球刚好能完成完整的圆周运动时，在最高点处，小球的向心力由小球重力提供，设此时绕钉子做圆周运动的半径为，小球最高点的速度为，根据牛顿第二定律有 从最低点到最高点，根据机械能守恒定律 解得 又因为，所以此时 也即最小距离为，故C错误； D．设小球在圆周运动最低点的速度为，拉力为，在最高点的速度为，拉力为，圆周运动半径为，在最低点，根据牛顿第二定律 在最高点，根据牛顿第二定律 从最低点到最高点，根据机械能守恒定律 解得，即圆周运动过程中小球在最低点和最高点，绳上的拉力差大小为6mg，故D正确。 故选BD。 跟踪训练3 如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面下端有一长L=12m的水平传送带，以v=6m/s的速度顺时针运行。一质量m=2kg的物体（可视为质点）从h=3.2m高处的O点由静止沿斜面下滑，物体经过A点时不计其动能损失，物体与传送带间的动摩擦因数，μ=0.25，取重力加速度g=10m/s2。求： (1)物体经过A点时的速度大小； (2)物体与传送带因摩擦而产生的热量； (3)传送带因传送物体使电动机多做的功。 【详解】（1）设物体经过A点时的速度大小为，由动能定理可知 代入题中数据，解得 （2）物体刚滑上传送带向右减速运动时，由牛顿第二定律有 解得加速度大小 可知物体向右减速到0的时间 该过程物体位移 可知物体最终从B端滑动传送带，设物体在传送带运动时间为t，则有 代入数据，解得或（舍去） 故该过程物体与传送带的相对路程为 物体与传送带因摩擦而产生的热量 （3）滑块从B滑落时速度 根据能量守恒可知，传送带因传送物体使电动机多做的功 联立解得 题型5 1、实验思路：机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此研究过程一定要满足这一条件．本节实验我们以只有重力做功的过程进行研究。 2、物理量的测量及数据分析：只有重力做功时，只发生重力势能和动能的转化。 (1)要验证的表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或mv22－mv12＝mgh1－mgh2。 (2)所需测量的物理量：物体所处两位置之间的高度差、物体的运动速度。 3、实验目的：验证物体做自由落体运动时机械能守恒。巩固由纸带求瞬时速度的方法，体验误差分析。 4、实验原理：自由下落的物体只有重力做功，若减小的势能等于增加的动能，即：-△Ep=△Ek，则物体机械能守恒。 5、实验的方法：让连着纸带的重物由静止自由下落，重物下落的高度h，和下落高度h时重物的速度v，可根据纸带得出。看是否成立？ 6、实验器材：铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸(或墨粉纸盘)、导线、刻度尺、交流电源。 7、实验步骤 (1)安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好。 (2)打纸带：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近．先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落，重复几次，得到3～5条打好点的纸带。 (3)选纸带并测量：选择一条点迹清晰的纸带，确定要研究的开始和结束的位置，测量并计算出两位置之间的距离Δh及在两位置时纸带的速度，代入表达式进行验证。 8、数据处理 (1)计算各点对应的瞬时速度：如图乙所示，根据公式vn＝，计算出某一点的瞬时速度vn。 (2)验证方法 方法一：利用起始点和第n点。 选择开始的两点间距接近2 mm的一条纸带，打的第一个点为起始点，如果在实验误差允许范围内mghn＝mvn2，则机械能守恒定律得到验证。 方法二：任取两点A、B。 如果在实验误差允许范围内mghAB＝mvB2－mvA2，则机械能守恒定律得到验证。 方法三：图像法(如图所示)。 若在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则机械能守恒定律得到验证． 9、误差分析：本实验的误差主要是测量纸带产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差。 10、实验结论：重物自由下落时机械能守恒。 注意： （1）因为不需要知道物体在某点动能和势能的具体数值，所以不必测量物体的质量m，而只需验证就行了。 （2）打点计时器要竖直架稳，使板面在同一竖直平面内，其两限位孔中心要在同一竖直线上，以尽量减少纸带与打点计时器间的摩擦阻力作用。 （3）实验时，必须先接通电源，让打点计时器正常工作后才能松开纸带让重物下落。 （4）测量下落高度时，都必须从起始点算起，不能弄错。为了减小测量h值的相对误差，选取的各个计数点要离起始点适当远些。 （5）由于实验中不可避免地存在纸带与限位孔、振针间的摩擦及空气阻力作用，因此减小的重力势能值△Ep要大于增加的动能值△Ek。 【归纳总结】通过重物自由下落，测量下落高度与瞬时速度，验证重力势能的减少量等于动能的增加量。 【典例5-1】实验小组用“自由落体法”验证机械能守恒定律，实验装置如图所示，下列操作或分析中正确的是（　　）    A．必须要称出重锤的质量 B．打点计时器两限位孔必须在同一竖直线上 C．实验时，应先释放重锤，再打开电源 D．可以用或计算某点的速度 【答案】B 【详解】A．由于验证机械能守恒表达式中重锤的质量可以约去，所以不需要称出重锤的质量，故A错误； B．为了减小摩擦阻力的影响，打点计时器两限位孔必须在同一竖直线上，故B正确； C．为了充分利用纸带，实验时，应先打开电源，再释放重锤，故C错误； D．不可以用或计算某点的速度，因为这样就默认了机械能守恒，失去了验证的意义，故D错误。 故选B。 【典例5-2】某同学用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律，实验所用的电源为学生电源，输出电压为6V的直流电和50Hz交流电两种。重锤从高处由静止开始下落，重锤上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。 (1)他进行了下面几个操作步骤： A．按照图示的装置安装器件； B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上； C．用天平测出重锤的质量； D．先接通电源，后释放纸带，打出一条纸带； E.测量纸带上某些点间的距离； F.根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。 其中没有必要进行的步骤是________，操作不当的步骤是________。 (2)已知重锤质量为0.30kg，当地重力加速度g=9.79m/s2，经过正确操作后获得的一条纸带如图2所示，则O、B两点间对应运动过程的动能变化量为________J，重力势能变化量为________J。（结果都保留3位有效数字） (3)他进一步分析，发现本实验存在一定误差，为此设计出用如图3所示的实验装置来验证机械能守恒定律，通过电磁铁控制的小铁球从A点自由下落，下落过程中经过光电门B时，通过与之相连的毫秒计时器（图中未画出）记录挡光时间t，用毫米刻度尺测出AB之间的距离h，用游标卡尺测得小铁球的直径d，重力加速度为g，实验前应调整光电门位置使小球下落过程中球心通过光电门中的激光束，小铁球通过光电门时的瞬时速度可表示为v=________，如果d、t、h、g满足关系式________，也可验证机械能守恒定律。 【答案】(1) C B (2) 0.142 0.143 (3) 【详解】（1）[1]由于验证机械能守恒的表达式中，质量可以约去，所以不需要测出重锤的质量，故没有必要进行的步骤是C； [2]打点计时器应接到电源的“交流输出”上，故操作不当的步骤是B。 （2）[1]打下B点时的瞬时速度为 则O、B两点间对应运动过程的动能变化量为 [2]重力势能变化量为 （3）[1]小铁球通过光电门时的瞬时速度可表示为 [2]根据机械能守恒可得 联立可得满足关系式 也可验证机械能守恒定律。 跟踪训练1（多选）用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。实验所用的电源为学生电源，输出电压为8 V的交流电和直流电两种。重锤从高处由静止开始落下，重锤上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律，已知重力加速度为g。下面列举了该实验的几个操作步骤，其中没有必要或操作不恰当的步骤是（　　） A．按照图示的装置安装器件 B．将打点计时器接到电源的直流输出端上 C．用天平测量出重锤的质量 D．先释放悬挂纸带的夹子，然后接通电源开关打出一条纸带 【答案】BCD 【详解】A．实验时应按照图示的装置安装器件，故A正确，不符合题意； B．应该将打点计时器接到电源的交流输出端上，故B错误，符合题意； C．该实验中验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两端都有质量，可以约去，所以不必要测量重锤的质量，故C错误，符合题意； D．实验时应先接通电源，再释放纸带，故D错误，符合题意。 故选BCD。 跟踪训练2如图所示，托盘通过绕过光滑定滑轮的细线牵连静止放在气垫导轨上的滑块，气垫导轨与水平面夹角为θ（已知θ角，但图中未画出），将滑块移至光电门1左侧某处，从静止释放，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2，从数字计时器（图中未画出）上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间和；用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m；测出挡光条的宽度d；由导轨标尺读出两光电门中心间的距离s；重力加速度为g。 (1)滑块通过光电门1和光电门2时的速度分别为_______；_______ (2)滑块m和M构成的系统减少的重力势能为_______ (3)若满足关系式_______则可认为验证了机械能守恒定律。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）[1][2]由于光电门的宽度d很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度，可得滑块通过光电门1和光电门2时的速度分别为， （2）在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，m和M构成的系统减少的重力势能为 （3）若满足重力势能的减少等于系统动能的增加，则机械能守恒，即 【能力培优练】 1．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　） A．重力做功2mgR B．重力势能减少2mgR C．摩擦力做功mgR D．合外力做功mgR 【答案】D 【详解】AB．重力做功为，则重力势能减少，故AB均错误； C．小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，根据牛顿第二定律 小球从P到B的运动过程中，根据动能定理 解得摩擦力做功为 故C错误； D．小球从P到B的运动过程中，由动能定理，合外力做功为，故D正确。 故选D。 2．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　） A．滑雪运动员沿斜面匀速下滑的过程中，机械能守恒 B．小球从A点由静止摆动到右侧最高点C的过程，机械能守恒 C．足球在位置1被踢出后落到位置3的过程中，机械能守恒 D．小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的机械能不守恒 【答案】D 【详解】A．滑雪运动员沿斜面匀速下滑的过程中，动能不变，重力势能减小，则机械能减小，故A错误； B．小球从A点由静止摆动到右侧最高点C的过程，重力势能减小，动能不变，则机械能减小，故B错误； C．足球在位置1被踢出后落到位置3的过程中，有阻力做功，机械能不守恒，故C错误； D．小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，弹簧弹力对小球做功，小球的机械能不守恒，故D正确。 故选D。 3．质量为1kg的物块，初速度为2m/s，在与初速度方向相同的水平拉力F作用下运动了2m，F随位移x变化的关系如图所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数为0.1，g取。则物块运动2m时的速度为（　　） A． B． C．4m/s D． 【答案】C 【详解】根据图像围成的面积表示力F做的功，则有 对物块，根据动能定理有 代入数据解得 故选C。 4．避险车道是指在长下坡路段行车道外侧增设的供刹车失灵的车辆驶离正线安全减速的专用车道，如图甲是某高速公路旁建设的避险车道，简化为图乙所示。若质量为m的货车刹车失灵后以速度经A点冲上避险车道，运动到B点速度减为0，货车所受摩擦阻力恒定，不计空气阻力。已知A、B两点高度差为h，重力加速度为g，下列关于该货车从A运动到B的过程说法正确的是（　　） A．合外力做的功为 B．重力做的功为mgh C．摩擦阻力做的功为 D．摩擦阻力做的功为 【答案】D 【详解】A．货车从A运动到B的过程，根据动能定理可知合外力做的功为，故A错误； B．重力做的功为，故B错误； CD．根据动能定理可得 可得摩擦阻力做的功为，故C错误，D正确。 故选D。 5．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，一小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度（在弹性限度内）。不计空气阻力。则（　　） A．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的加速度先增大后减小 B．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球所受重力对它一直做正功，重力势能越来越大 C．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，弹簧对小球弹力一直做负功，弹性势能越来越大 D．小球在最低点时所受的弹力大小等于其所受的重力大小 【答案】C 【详解】A．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，弹力逐渐增大，开始阶段重力大于弹力，加速度向下；后来阶段弹力大于重力，加速度向上，当弹力等于重力时加速度为零，可知小球的加速度先减小至0，然后增大，故A错误； B．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球所受重力对它一直做正功，重力势能越来越小，故B错误； C．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，弹簧弹力对小球做负功，弹性势能越来越大，故C正确； D．小球在最低点时，加速度向上，根据牛顿第二定律可知小球所受的弹力大小大于其所受的重力大小，故D错误。 故选C。 6．如图所示，用轻绳将小球悬挂于点正下方的点。第一次小球在水平拉力作用下，从点缓慢地移动到点，水平拉力做功为；第二次小球在水平恒力的作用下，从点运动到点，恒力做功为，则（　　） A． B． C． D．由于角未知，无法比较与的大小 【答案】B 【详解】第一次由动能定理 解得 第二次由功的公式 由数学知识可知，则，故选B。 7．如图所示，商场的自动扶梯与水平面的夹角为，质量为m的一个人站立在扶梯的水平踏板上，随扶梯向上做加速度为a的匀加速直线运动，向上运动一段距离L后达到最大速度v，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．人只受重力和踏板的支持力的作用 B．人的重力势能增加了mgL C．踏板对人做的功等于 D．支持力对人做的功为 【答案】C 【详解】A．人在加速过程中，受重力、踏板的支持力和踏板对人的静摩擦力作用，故A错误； B．人的重力势能增加了，故B错误； C．由动能定理，有 则踏板对人做的功为，故C正确； D．在竖直方向，由动能定理，有 解得支持力的功为，故D错误。 故选C。 8．如图甲所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平面上。物块在与斜面成α＝37°、大小F＝10N的拉力作用下，从底端A点沿斜面向上做匀加速运动，经t＝10s物块运动到B点，物块运动的图像如图乙所示。已知物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法不正确的是（　　） A．物块的质量m＝1kg B．物块的加速度a＝1m/s2 C．A、B两点的距离x＝100m D．t＝10s时拉力的功率P＝80W 【答案】C 【详解】AB．图像的斜率表示物体运动的加速度，故物块沿斜面上滑的加速度为 对物块受力分析，根据牛顿第二定律可知在沿斜面方向上有Fcosα－mgsinθ－μ(mgcos θ－Fsinα)＝ma 联立解得m＝1kg，故AB正确，不符合题意； C．图像与坐标轴围成的面积表示位移，所以A、B两点间的距离为x＝(×10×10)m＝50m，故C错误，符合题意； D．在t＝10s时，速度为10m/s，故拉力的功率为，故D正确，不符合题意。 故选C。 9．（多选）如图所示，长为的轻绳一端固定于点，另一端系一个质量为的小球。现使小球在竖直平面内做圆周运动，是圆周轨道最高点，是轨道最低点。已知重力加速度为，若小球刚好能够通过最高点，忽略空气阻力，则以下判断正确的是（　　） A．小球在最高点时绳的拉力为零 B．小球通过最高点时的速度为零 C．小球在最低点时绳的拉力大小等于 D．小球在最低点时的速度大小为 【答案】AD 【详解】AB．球恰好经过最高点P，绳的拉力为零，只由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 故A正确，B错误； CD．球从最高点运动到最低点的过程中，根据机械能守恒有 解得 在最低点，根据牛顿第二定律有 解得，故C错误，D正确。 故选AD。 10．（多选）如下图所示的传送带始终以v0的恒定速度顺时针转动，AB的长度为L，传送带的摩擦系数为μ。某时刻把质量为m的小物块轻轻放在A点，然后小物块从A运动到B，最终与传送带共速。下列有关说法正确的是（　　） A．小物块从A运动到B的时间可能为 B．小物块从A运动到B的过程中，由于摩擦产生的热量可能为 C．假如小物块以向左的初速度v从B点滑上传送带，最后离开传送带；从小物块滑上传送带到离开传送带的整个过程中，传送带对小物块做的功可能为零 D．假如小物块以向左的初速度v从B点滑上传送带，最后离开传送带，为此，带动传送带匀速运动的电机需要多消耗的电能可能为 【答案】ACD 【详解】A．小物块加速阶段的加速度为 若小物块从A运动到B一直做加速运动，则有 解得所用时间为，故A正确； B．小物块从A运动到B的过程中，若小物块可以与传送带共速，小物块与传送带发生的相对位移最大，由于摩擦产生的热量最多，则有 发生的相对位移为 摩擦产生的热量最大值为 则由于摩擦产生的热量不可能为，故B错误； C．假如小物块以向左的初速度v从B点滑上传送带，最后离开传送带；若，且小物块先向左做匀减速到速度为0后，反向加速，则小物块从传送带B点以速度大小v离开传送带，则从小物块滑上传送带到离开传送带的整个过程中，小物块的动能变化量为0，根据动能定理可知传送带对小物块做的功为零，故C正确； D．假如小物块以向左的初速度v从B点滑上传送带，最后离开传送带；若，且小物块先向左做匀减速到速度为0后，反向加速，则小球从传送带B点以速度大小离开传送带，此过程所用时间内 此过程传送带克服摩擦力做功为 为了维持传送带匀速转动，牵引力对传送带多做的功为 则带动传送带匀速运动的电机需要多消耗的电能为，故D正确。 故选ACD。 11．（多选）如图所示，轻质弹簧左端固定在点，右端与质量为的圆环相连，圆环套在光滑竖直固定杆上，水平，，的距离等于弹簧原长。圆环由A处静止释放，运动到最低点处返回，重力加速度为，圆环下滑过程中说法正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能一直增大 B．圆环有三个位置加速度为 C．圆环的机械能是先减小后增大再减小 D．从到过程圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和一直增大 【答案】BC 【详解】A．弹簧的形变量越大，弹簧的弹性势能越大，过程形变量增大，弹性势能增大，过程形变量减小，弹性势能减小，BC过程形变量增大，弹性势能增大，故A错误； C．竖直杆光滑，弹簧与圆环系统机械能守恒。弹簧的弹性势能先增大后减小再增大，即圆环的机械能是先减小后增大再减小，故C正确； B．对圆环在四点的受力分析，可知有三个位置加速度为，分别是三点，故B正确； D．圆环的动能最大时，加速度为零，即在之间的某点圆环的动能最大，圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和最小，即从B到过程圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，故D错误。 故选BC。 12．（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，质量为的小球从距轻弹簧上端处的点自由下落，至点时开始压缩弹簧，小球下落的最低位置为点。以点为坐标原点，沿竖直向下建立轴，小球从到过程中的加速度—位移（）图像如图乙所示，重力加速度大小为，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．到的过程中小球先匀加速运动，后匀减速运动 B．小球运动过程中的最大速率为 C．图像与轴所包围的两部分面积大小不相等 D．小球在点的加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．小球从A到C过程先匀加速运动，再做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，故A错误； B．小球匀加速过程加速度为g，小球加速度为0时速度最大，根据 可知图像面积表示合力做功，结合图乙，对小球，由动能定理得 解得，故B正确； C．整个过程小球动能变化量为0，根据动能定理可知合力做功为0，故图像与轴所包围的两部分面积大小一定相等，故C错误； D．对整个过程，根据动能定理有 解得，故D正确。 故选BD。 13．某同学用如图所示的装置验证轻弹簧和小物块（带有遮光条）组成的系统机械能守恒。图中光电门安装在铁架台上且位置可调。物块释放前，细线与弹簧和物块的栓接点（A、B）在同一水平线上，且弹簧处于原长。滑轮质量不计且滑轮凹槽中涂有润滑油。以保证细线与滑轮之间的摩擦可以忽略不计，细线始终伸直。小物块连同遮光条的总质量为，弹簧的劲度系数为，弹性势能（为弹簧形变量），重力加速度为，遮光条的宽度为，小物块释放点与光电门之间的距离为（远远小于）。现将小物块由静止释放，记录物块通过光电门的时间。 (1)物块通过光电门时的速度为________； (2)改变光电门的位置，重复实验，每次滑块均从点静止释放，记录多组l和对应的时间，做出图像如图所示，若在误差允许的范围内，满足关系式________时，可验证轻弹簧和小物块组成的系统机械能守恒； (3)在（2）中条件下，和时，物块通过光电门时弹簧具有的两弹性势能分别为、，则________（用、、、表示）； (4)在（2）中条件下，取某个值时，可以使物块通过光电门时的速度最大，速度最大值为________（、、表示）。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）遮光条的宽度为，通过光电门的时间，则物块通过光电门时的速度为 （2）若系统机械能守恒，则有 变式为 所以图像若能在误差允许的范围内满足 即可验证弹簧和小物块组成的系统机械能守恒。 （3）由图像可知和时，时间相等，则物块的速度大小相等，动能相等，可得， 联立可得 （4）由图像可知时遮光条挡光时间最短，此时物块通过光电门时的速度最大，可得 又 联立可得 14．把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为L，重力加速度为g，摆球由A点静止释放，运动到最低点B点时速度大小为。忽略空气阻力。求： (1)摆球从A点运动到B点过程中细线拉力做的功W； (2)释放点A与最低点B间的高度差h； (3)摆球在最高点C受到细线拉力F的大小。 【详解】（1）细线拉力与速度垂直，做功为0。 （2）小球从释放点A与最低点B，根据动能定理有 解得 （3）设摆球在最高点C时摆长与竖直方向的夹角为，根据几何关系可知 此时速度为0，则 解得 15．某同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好达到所能承受的最大拉力F（未知）被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动、小球的半径和空气阻力，试分析求解： (1)绳断时球的速度大小； (2)球落地时的速度大小； (3)绳能承受的最大拉力F； (4)保持手的高度不变，只改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，则绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【详解】（1）绳断后，小球做平抛运动，竖直方向上 水平方向上 解得 （2）绳子断裂后小球做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得 解得 （3）球做圆周运动的半径 小球做圆周运动，由牛顿第二定律得 解得，绳子能承受的最大拉力 （4）设绳长为l，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大拉力不变，由牛顿第二定律得 解得 绳断后球做平抛运动，竖直位移为，水平位移为，竖直方向 水平方向 解得 当时，x有极大值，最大值 16．（24-25高一下·山东威海·期中）如图所示，在光滑水平地面上，右端有一竖直半圆轨道与地面平滑连接，半径；左端有一倾角的传送带，以的速度逆时针匀速转动，传送带与地面通过半径可忽略的光滑小圆弧平滑连接。可视为质点的A、B两滑块的质量均为，两滑块间夹着被压缩的轻质弹簧，弹簧的弹性势能。现同时释放滑块，两滑块与弹簧分离时速率相等，B恰好能通过轨道的最高点P。已知A与传送带间的动摩擦因数，重力加速度，，，传送带足够长。求： (1)两滑块与弹簧分离时的速率； (2)B在半圆轨道运动过程中克服阻力做的功； (3)A距离地面的最大高度； (4)A与传送带接触过程中产生的热量。 【详解】（1）由两物体质量相同，所受合力等大反向（合力均为弹簧弹力），即二者与弹簧作用过程运动规律相同，故两物体与弹簧分离时速度大小相同且速度大小设为v，由能量守恒有   解得 （2）题意知B恰好能通过轨道的最高点P，则在P点有 由动能定理有 解得 （3）A在传送带上有 A从滑上传送带到与传送带共速用时 该段时间A的位移    由于 则共速后A做减速运动，则有    则A减速到0的时间 该段时间A的位移 则A距离地面的最大高度    联立解得 （4）时间内传送带位移 时间内物块与传送带的相对位移 时间内传送带位移    时间内物块与传送带的相对位移 物块从减速到0反向加速到传送带低端时有 时间内传送带位移   时间内物块与传送带的相对位移 故整个过程产生的热量    联立以上解得 【链接高考】 1．（2025·贵州·高考真题）一质量为的人造卫星绕地球做轨道半径为的匀速圆周运动。由于存在稀薄空气，经过一段时间后，卫星做圆周运动的轨道半径变为。已知地球的质量为，引力常量为，则在该段时间内人造卫星所受力的合力做的功为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据动能定理，合外力做功等于物体动能的变化量，即 卫星绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由 可得卫星动能 初态轨道半径为，初动能 末态轨道半径为，末动能 代入动能定理计算得 故选B。 2．（2025·江西·高考真题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 【答案】D 【详解】根据题意可知，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，只有万有引力做负功，则机械能不变，动能减小，即速率减小。 故选D。 3．（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 【答案】CD 【详解】A．设的距离为，过程I，根据动能定理有 设的距离为，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件 P、M两点之间的距离 联立可得 故A错误； B．根据功能关系，可知过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中Q和弹簧组成的系统损失的机械能为 结合 可得 但在过程Ⅱ中单独对于Q而言机械能是增加的，故B错误； C．设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移，根据能量守恒定律 结合 解得 故C正确； D．无论Q从何处释放，Q在斜面上运动过程中，弹簧与Q初始时的势能变为摩擦热，当在点时，满足 当在点时，满足 所以在OM（含O、M点）之间速度为零时，Q将静止，故D正确。 故选CD。 4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理 代入数据解得雪块到A点速度大小为 （2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理 代入数据解得雪块到地面速度大小 速度与水平方向夹角，满足 解得 5．（2025·广东·高考真题）如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为，其中为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度为a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。（提示：可用图线下的“面积”表示f所做的功）求： (1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度。 (2)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。 (3)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。 【详解】（1）木塞的末速度等于齿轮线速度，对木塞，根据运动学公式 根据角速度和线速度的关系 联立可得 （2）根据题意画出木塞摩擦力与运动距离的关系图如图所示 可得摩擦力对木塞所做的功为 对木塞，根据动能定理 解得 （3）设开瓶器对木塞的作用力为，对木塞，根据牛顿第二定律 速度 位移 开瓶器的功率 联立可得 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 机械能守恒定律 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 功与功率 1 题型2 重力势能 6 题型3 动能和动能定理 10 题型4 机械能守恒定律 14 题型5 实验：验证机械能守恒定律 19 【能力培优练】 24 【链接高考】 31 【重难题型讲解】 题型1 一、功 1、功的定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 （1）功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向，表示物体是输入了能量还是输出了能量。 （2）在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J（1J=1N•m）。 （3）物理意义：功是能量转化的量度。 2、功的公式：W＝Flcosα。 （1）公式只适用于恒力做功。 （2）F和S是对应同一个物体的。 （3）恒力做功多少只与F、l及二者夹角余弦有关，而与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力做功也无关。 二、正功和负功 1、正功和负功的判断：由W＝Flcosα可知 (1)当α＝时，W＝0，力F对物体不做功。 (2)当0≤α＜时，W＞0，力F对物体做正功。 (3)当＜α≤π时，W＜0，力F对物体做负功。 （4）正功和负功判断总结 0≤α＜90° α=90° 90°＜α≤180° 功的正负 W＞0 W=0 W＜0 意义 力F对物体做正功 力F对物体不做功 力F对物体做负功 力F是动力还是阻力 动力 阻力 可以总结成如下规律：对于恒力做功，如果力与位移的夹角为锐角，则力对物体做正功；如果力与位移的夹角为钝角，则力对物体做负功；如果力与位移成直角，则力对物体不做功。 2、总功的计算：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于： (1)各个力分别对物体所做功的代数和。 (2)几个力的合力对物体所做的功。 3、变力做功：对于变力做功不能依定义式W=Fscosα直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。 （1）平均值法：当力F的大小发生变化且F、l呈线性关系时，且方向不变时，F的平均值为F＝，用计算F做的功；可将变力的平均值求出后用公式：W＝Flcosα＝lcosα计算 （2）图像法：变力做的功W可用F-l图线与l轴围成的面积表示。l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少。如图所示 （3）分段法（或微元法）当力的大小不变、力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，过程无限分小后，这样每一小段可以看成直线，可认为每小段是恒力做功，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W=Fs路或W=-Fs路。 （4）等效替换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力做的功来作为变力做的功；已知变力做功的平均功率P，则功W=Pt。 4、多个力做的总功 （1）总功的定义：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。 （2）总功的计算方法：①先求合力F合，再用W合=F合lcosα求功；②先求各个力做的功W1、W2、W3、•••，再应用W合=W1+W2+W3+•••求合力做的功。 三、功率 1、功率的意义：功率是表示做功的快慢的物理量； （1）单位：瓦特，简称瓦，符号是W。 （2）功率是标量。 2、功率的定义：功W与完成这些功所用时间t之比。 3、功率的定义式：P＝，P为时间t内的平均功率。 4、机械功的表达式：P=Fvcosα（α为F与v的夹角）。 ①v为平均速度，则P为平均功率。 ②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。 （1）推导：如果物体的受力F与运动方向的夹角为α，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移是l，则力在这段时间所做的功W=Flcosα； 因此有； 由于位移l是从开始计时到时刻t这段时间内发生的，所以是物体在这段时间内的平均速度v，于是上式就可以写成P=Fvcosα （2）应用：由功率与速度的关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 5、额定功率：机械正常工作时输出的最大功率。 6、实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率。 四、机车启动的两种模型 1、两种机车启动方式的规律 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和v­t图像 OA 段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动 2、机车启动a-1/v和F-1/v图像问题 恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像 由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①斜率k＝ ②纵截距b=－ ③横截距c== ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动； ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动； ③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1； ④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。 【探究归纳】功：力对物体做的功等于力、位移大小及二者夹角余弦的乘积，即 W=Flcosθ，是能量转化的量度。功率：单位时间内所做的功，反映做功的快慢，瞬时功率为 P=Fvcosθ。 【典例1-1】一辆电动汽车在水平路面匀速行驶时所需的牵引力与汽车的速率的平方成正比。当该汽车的牵引力增大为原来的3倍，汽车仍匀速行驶时，发动机功率是原来的（　　） A．倍 B．3倍 C．倍 D．9倍 【典例1-2】（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v-t图像如图所示。已知该辆汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，取。则以下说法正确的是（　　） A．汽车在前5s内的加速度为 B．汽车在前5s内的牵引力为 C．汽车的额定功率为40kW D．汽车的最大速度为30m/s 【典例1-3】如图所示，质量的长木板停放在光滑水平面上，在长木板的左端放置一质量的小物块，小物块与长木板间的动摩擦因数，现对小物块施加一个大小的水平向右恒力，小物块将由静止开始向右运动，2s后小物块从长木板上滑落，从小物块开始运动到从长木板上滑落的过程中，重力加速度g取。求： (1)小物块和长木板的加速度大小； (2)通过计算说明：互为作用力与反作用力的摩擦力对长木板和小物块做功的代数和是否为零。 跟踪训练1我国新能源汽车蓬勃发展，涌现出一大批优秀车企。小米su7ultra额定功率达1330kW，当它以额定功率在平直公路上匀速行驶时速度接近360km/h，则此时阻力的大小约为（　　） A．13.3N B． C． D． 跟踪训练2 （多选）一起重机由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机刚好达到额定功率，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升。下列说法正确的是（ ） A．起重机的额定功率为mgv1 B．起重机的额定功率为mgv2 C．重物匀加速阶段的加速度为 D．重物匀加速阶段的加速度为 跟踪训练3 如图所示，2024年10月1日8时36分，由我国自主研发、目前最先进的CR400AF-S型“复兴号”智能动车组G62次列车开始运行。假设额定功率为、质量为的G62次列车能在平直铁路上以的速度匀速行驶，列车受到的阻力大小f恒定。求： (1)列车以额定功率行驶，速度为时的加速度大小； (2)列车由静止开始以的加速度做匀加速直线运动，匀加速运动末速度大小。 题型2 一、重力做的功 1、重力所做的功公式：WG＝mgΔh，Δh指初位置与末位置的高度差。 （1）物体下降时重力做正功，WG＝mgh。 （2）物体上升时重力做负功，WG＝－mgh。 2、重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 3、重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。 4、重力做功与重力势能变化的关系 （1）关系式：WG=Ep1-Ep2；其中Ep1=mgh1表示物体的初位置的重力势能，Ep2=mgh2表示物体的末位置的重力势能。 （2）当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，也就是WG＞0，Ep1＞Ep2．重力势能减少的数量等于重力所做的功。 （3）当物体由低处运动到高处时，重力做负功，或者说物体克服重力做功，重力势能增大，也就是WG＜0，Ep1＜Ep2；重力势能增加的数量等于物体克服重力所做的功。 二、重力势能及其相对性 1、重力势能定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。 （1）大小：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep＝mgh。 （2）单位：焦耳（J），与功的单位相同。 2、重力做功和重力势能变化的关系：重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，关系式：WG＝Ep1－Ep2。 3、重力势能的相对性 （1）参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面，在参考平面上，物体的重力势能取作0。 （2）重力势能的相对性 ①选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。 ②对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。 4、标矢性：重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小，物体在参考平面上方时，重力势能为正值；在参考平面下方时，重力势能为负值。 5、系统性：重力势能是地球与物体所组成的系统共有的。 三、弹性势能 1、弹性势能的定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。 2、影响弹性势能的因素 (1)弹性势能跟形变大小有关：同一弹簧，在弹性限度内，形变越大，弹簧的弹性势能就越大。 (2)弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关：在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大。 3、弹簧弹性势能表达式：Ep＝kx2； 公式推导：根据功与能的转化可以知道，弹簧恢复原长时对外做的功就等于它具有的弹性势能。弹力是变力，做功不能通过W=Fx直接计算，可以借助F-x图像进行计算，如下图： 类比v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移可以知道F-x图像有有坐标轴围成的面积表示功。所以弹簧形变量为x时具有的弹性势能为。 4、弹力做功的计算：由于弹力是一个变力，计算其功不能用W=Fs设弹簧的伸长量为x，则F=kx，画出F-x图象。如图所示。则此图线与x轴所夹面积就为弹力所做的功。 由图象可得：W弹==-△EP。 4、弹力做功与弹性势能变化量的关系：W弹=-△EP．当弹力做负功，弹性势能增加；当弹力做正功，弹性势能减少。 【探究归纳】物体因被举高而具有的重力势能，等于重力与高度的乘积，其变化只与重力做功有关。 【典例2-1】下列说法正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能只与弹簧形变的大小有关 B．重力势能的变化量与零势能参考平面的选取有关 C．物体下落过程中重力势能减少 D．重力对物体做的功不仅与物体的初、末位置有关，还与物体运动的路径有关 【典例2-2】（多选）如图所示，质量为0.5kg的小球（视为质点）从距桌面高度为1.2m处的A点下落到水平地面上的B点，与地面碰撞后恰好能上升到与桌面等高的C点，C点距地面的高度为0.8m。取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．在小球从B点运动到C点的过程中，重力对小球做的功为-4J B．以桌面为重力势能的参考平面，小球在A点时的重力势能为12J C．以桌面为重力势能的参考平面，小球在B点时的重力势能为-4J D．在小球从A点经B点运动到C点的过程中，重力对小球做的功为16J 跟踪训练1在第15届中国航展的现场，我国自主研制的“机器狼”首次在现场进行动态展示。如图所示为机器狼在进行负重爬斜坡测试，将斜坡简化为一倾角为θ，长为L的斜面，机器狼（可视为质点）从底端沿斜面向上爬至顶端共用时t，此时速度大小为v，已知机器狼及重物总质量为m，重力加速度为g。则机器狼在本次测试中（　　） A．斜面对其支持力做的功为mgLsinθ B．所受重力做的功为-mgL C．重力的平均功率大小为 D．到达顶端时重力的瞬时功率大小为mgvsinθ 跟踪训练2（多选）如图所示，跳台滑雪运动员在一次训练中，从山坡上的点由静止滑下，经圆弧滑道到达倾角为的斜面跳台顶端后，以的速度水平飞出，最终落到斜面跳台上的点。已知点到点的竖直高度，运动员连同装备总质量，重力加速度的大小取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员从点运动到点的过程中，重力的瞬时功率逐渐增大 B．运动员从点运动到点所用的时间为1.5s C．运动员从点运动到点重力势能减少了5625J D．运动员从点运动到点，重力的平均功率为7500W 题型3 一、动能的表达式 1、动能的定义：物体由于运动而具有的能叫动能。 （1）表达式：Ek＝mv2；动能的影响因素有物体的质量和速度。 （2）单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J。 （3）标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向。 2、计算物体动能的一般步骤 （1）对质量和速度进行单位换算，需要换算成国际单位制表示的的单位。 （2）运用公式Ek=mv2计算物体的动能。 二、动能定理 1、动能定理的内容：合外力在一个过程中对物体所做的功等于物体在这个过程中动能的变化。 （1）表达式：W=mv22－mv12＝EK2-EK1；如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。 （2）物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即合力的功是物体动能变化的量度。 2、动能定理的适用条件 （1）动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。 （2）既适用于恒力做功，也适用于变力做功。 （3）力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 3、对动能定理的理解 （1）一个物体的动能变化△Ek与合外力对物体所做功W具有等量代换关系。 ①若△Ek＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功。 ②若△Ek＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值。 ③若△Ek=0，表示合外力对物体所做的功等于零。反之亦然。这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。 （2）动能定理公式中等号的意义：等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系： ①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。 ②单位相同：国际单位都是焦耳。 ③因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。 【归纳总结】物体因运动具有动能，合外力对物体做的功等于物体动能的变化量。 【典例3-1】光滑斜面体静止在水平面上，一个质量为m的小物块由静止开始从顶端沿斜面下滑至底端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小物块受到重力、支持力、下滑力三个力作用 B．小物块对斜面体的压力做的功就是斜面体获得的动能 C．小物块给斜面体的压力对斜面体做正功 D．若小物块运动至斜面体底端时瞬时速度大小为v，则重力的瞬时功率为mgv 【典例3-2】（多选）如图所示，半径为r的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC水平，一个质量为m的物块从圆弧轨道A点正上方P点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，到B点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍。重力加速度为g，不计空气阻力，不计物块的大小，则（　　） A．物块到达A点时速度大小为 B．P、A间的高度差为 C．物块从A运动到B所用时间为 D．物块从A运动到B克服摩擦力做的功为mgr 【典例3-3】如图所示，在竖直平面内，光滑斜面下端与水平面BC平滑连接于B点，水平面BC与光滑半圆弧轨道CDE相切于C点，E点在圆心O点正上方，D点与圆心等高。一物块（可看作质点）从斜面上A点由静止释放，物块通过半圆弧轨道E点且水平飞出，最后落到水平面BC上的F（图中未标出）点处。已知斜面上A点距离水平面BC的高度h = 2.0m，圆弧轨道半径R = 0.4m，B、C两点距离LBC=2.0m，F、C两点距离LFC = 1.6m。求： (1)物块通过E点时的速度大小； (2)物块与水平面BC间的动摩擦因数； (3)将物块从斜面上由静止释放，若物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则物块释放点距离水平面BC的高度h'应满足的条件。 跟踪训练12025年2月3日某媒体消息，小米汽车官方微博宣布，2025年1月，小米SU7交付量再次超过两万辆。假设t=0时刻，一辆小米汽车在一段试车专用的平直的公路上由静止启动，t=8s时功率达到360kW之后功率保持不变，其v−t图像如图所示。设汽车在运动过程中阻力不变，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为15000N B．匀加速运动阶段汽车牵引力做的功为8.64×106J C．汽车的质量为2000kg D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小约为640m 跟踪训练2（多选）如图所示，半径为R的细圆管（管径可忽略）内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时对外管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则（　　） A．小球在管顶部时速度大小为 B．小球运动到管底部时速度大小为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力为7mg 跟踪训练3 如图甲，装置由弧形轨道、竖直圆轨道（点位置轨道前后稍有错开）及水平直轨道平滑连接而成。水平轨道段与滑块间的动摩擦因数从左向右随距离均匀变化，如图乙所示。除段外，其余轨道均光滑。现将质量的滑块（视为质点）从高度的点静止释放，第一次通过圆轨道后与挡板碰撞反弹，恰好能第二次通过圆轨道最高点。已知圆轨道半径，段长，重力加速度取。求： (1)滑块第一次运动到点时的速度大小； (2)滑块第二次经过点时的动能并求出滑块与挡板碰撞损失的动能； (3)滑块最终停在何处。 题型4 一、动能与势能的相互转化 1、追寻守恒量 （1）能量概念的特殊性：能量对科学与生活影响巨大，但难以被准确定义，这也是牛顿未明确提出该概念的原因之一。 （2）伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示。 将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。 （3）伽利略斜面实验的隐含规律：在忽略空气阻力和摩擦力的理想条件下，小球滚下斜面 A 后，会沿斜面 B 上升到与初始高度完全相同的位置，不会更高或更低；这一现象表明，小球运动过程中存在某种 “不变的东西”，它正是机械能守恒的早期萌芽。 （4）历史局限与突破：伽利略的实验已经触及机械能守恒的核心，但受限于当时 “能量” 概念尚未诞生，他未能直接提出机械能守恒的结论；能量概念的引入，是科学前辈们追寻 “守恒量” 的重要成果，也为后续能量守恒定律的建立奠定了基础。 2、重力势能与动能的转化 只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。 3、弹性势能与动能的转化 只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。 4、机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能，重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 5、天体运动中机械能的变化 （1）本考点旨在针对卫星变轨过程中的机械能变化情况。 （2）卫星变轨有两种情况，一种是低轨加速进高轨；一种是高轨减速进低轨。 （3）加速过程需要发动机向后喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向前，对卫星做正功，卫星的机械能增加；反之，减速过程需要发动机向前喷气，根据牛顿第三定律，气体对卫星的作用力向后，对卫星做负功，卫星的机械能减小。 二、机械能守恒定律 1、机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 （1）表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 （2）应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算。 2、对机械能守恒条件的理解 (1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化：如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动（自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等）。 (2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。例如： ①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力对物体不做功； ②在光滑水平面上的小球运动中碰到弹簧，把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。 (3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。 (4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零；系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变，这不属于真正的守恒，但也可以当作守恒来处理。 3、判断机械能是否守恒的方法有 （1）做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。分析各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能（如内能增加），则系统的机械能守恒。 （3）增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少；若系统的动能与势能只有一种形式的能发生了变化；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则可判定机械能不守恒。 （4）典型过程：对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。 4、机械能守恒的判断 （1）用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力）明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 （2）用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒。 5、机械能如何转化：如果“外力”对系统做正功，系统的机械能增大；如果外力对系统做负功，系统的机械能减小。 三、功能关系 1、内容：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化；做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现。 2、高中物理中几种常见的功能关系 功 能量的变化 合外力做正功 动能增加 重力做正功 重力势能减少 弹簧弹力做正功 弹性势能减少 电场力做正功 电势能减少 其他力（除重力、弹力）做正功 机械能增加 一对滑动摩擦力做的总功为负功 系统的内能增加 四、机械能守恒定律的应用 1、运用机械能守恒定律的基本思路 2、机械能守恒定律和动能定理的比较 【归纳总结】只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变。 【典例4-1】如图，光滑轨道，为半径的圆弧，水平，质量均为的小球、固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为，开始时球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（　　） A．球下滑过程中机械能保持不变 B．、滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对球做正功 D．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程、两球的速度始终相等 【典例4-2】（多选）如图，在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是（　　） A．他的动能减少了Fh B．他的重力势能减小了mgh C．他的机械能减少了Fh D．他的机械能减少了 【典例4-3】密度均匀的某天体质量为M，半径为R，距离其球心r处质量为m的卫星围绕它做匀速圆周运动（忽略天体自转的影响）。已知引力常量为G。求： (1)该天体表面重力加速度g的大小； (2)卫星的动能大小； (3)若假设将该天体中心处挖掉半径为的小球体，放到距离球心L处，且，如图所示，小球体和天体剩余部分的万有引力大小。 跟踪训练1如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其倾角。板上一根长为的轻绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一平行于平板并与轻绳垂直向上的初速度v0。若小球恰好能保持在板面内做圆周运动，重力加速度，则v0为（　　） A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s 跟踪训练2（多选）质量为m的可视为质点的小球被一根长为L且不计形变的轻绳悬挂于O点，在O点下方点固定一个钉子（图中未标记，不计钉子的粗细），忽略一切摩擦和阻力，现给小球施加水平的瞬时冲量，小球获得的初速度大小是，在钉子的阻挡下，小球能围绕钉子在竖直面内做圆周运动，（假设小球运动过程中没有碰到轻绳，重力加速度为g）。以下描述正确的是（　　） A．小球获得速度时，绳上的拉力大小为mg B．小球运动到等高处时，绳上的拉力提供向心力 C．若小球能完成完整的圆周运动，和的最小距离 D．圆周运动过程中小球在最低点和最高点，绳上的拉力差大小为6mg 跟踪训练3 如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面下端有一长L=12m的水平传送带，以v=6m/s的速度顺时针运行。一质量m=2kg的物体（可视为质点）从h=3.2m高处的O点由静止沿斜面下滑，物体经过A点时不计其动能损失，物体与传送带间的动摩擦因数，μ=0.25，取重力加速度g=10m/s2。求： (1)物体经过A点时的速度大小； (2)物体与传送带因摩擦而产生的热量； (3)传送带因传送物体使电动机多做的功。 题型5 1、实验思路：机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此研究过程一定要满足这一条件．本节实验我们以只有重力做功的过程进行研究。 2、物理量的测量及数据分析：只有重力做功时，只发生重力势能和动能的转化。 (1)要验证的表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或mv22－mv12＝mgh1－mgh2。 (2)所需测量的物理量：物体所处两位置之间的高度差、物体的运动速度。 3、实验目的：验证物体做自由落体运动时机械能守恒。巩固由纸带求瞬时速度的方法，体验误差分析。 4、实验原理：自由下落的物体只有重力做功，若减小的势能等于增加的动能，即：-△Ep=△Ek，则物体机械能守恒。 5、实验的方法：让连着纸带的重物由静止自由下落，重物下落的高度h，和下落高度h时重物的速度v，可根据纸带得出。看是否成立？ 6、实验器材：铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸(或墨粉纸盘)、导线、刻度尺、交流电源。 7、实验步骤 (1)安装装置：按图甲所示把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与电源连接好。 (2)打纸带：在纸带的一端把重物用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近．先接通电源后释放纸带，让重物拉着纸带自由下落，重复几次，得到3～5条打好点的纸带。 (3)选纸带并测量：选择一条点迹清晰的纸带，确定要研究的开始和结束的位置，测量并计算出两位置之间的距离Δh及在两位置时纸带的速度，代入表达式进行验证。 8、数据处理 (1)计算各点对应的瞬时速度：如图乙所示，根据公式vn＝，计算出某一点的瞬时速度vn。 (2)验证方法 方法一：利用起始点和第n点。 选择开始的两点间距接近2 mm的一条纸带，打的第一个点为起始点，如果在实验误差允许范围内mghn＝mvn2，则机械能守恒定律得到验证。 方法二：任取两点A、B。 如果在实验误差允许范围内mghAB＝mvB2－mvA2，则机械能守恒定律得到验证。 方法三：图像法(如图所示)。 若在实验误差允许范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则机械能守恒定律得到验证． 9、误差分析：本实验的误差主要是测量纸带产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差。 10、实验结论：重物自由下落时机械能守恒。 注意： （1）因为不需要知道物体在某点动能和势能的具体数值，所以不必测量物体的质量m，而只需验证就行了。 （2）打点计时器要竖直架稳，使板面在同一竖直平面内，其两限位孔中心要在同一竖直线上，以尽量减少纸带与打点计时器间的摩擦阻力作用。 （3）实验时，必须先接通电源，让打点计时器正常工作后才能松开纸带让重物下落。 （4）测量下落高度时，都必须从起始点算起，不能弄错。为了减小测量h值的相对误差，选取的各个计数点要离起始点适当远些。 （5）由于实验中不可避免地存在纸带与限位孔、振针间的摩擦及空气阻力作用，因此减小的重力势能值△Ep要大于增加的动能值△Ek。 【归纳总结】通过重物自由下落，测量下落高度与瞬时速度，验证重力势能的减少量等于动能的增加量。 【典例5-1】实验小组用“自由落体法”验证机械能守恒定律，实验装置如图所示，下列操作或分析中正确的是（　　）    A．必须要称出重锤的质量 B．打点计时器两限位孔必须在同一竖直线上 C．实验时，应先释放重锤，再打开电源 D．可以用或计算某点的速度 【典例5-2】某同学用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律，实验所用的电源为学生电源，输出电压为6V的直流电和50Hz交流电两种。重锤从高处由静止开始下落，重锤上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。 (1)他进行了下面几个操作步骤： A．按照图示的装置安装器件； B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上； C．用天平测出重锤的质量； D．先接通电源，后释放纸带，打出一条纸带； E.测量纸带上某些点间的距离； F.根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。 其中没有必要进行的步骤是________，操作不当的步骤是________。 (2)已知重锤质量为0.30kg，当地重力加速度g=9.79m/s2，经过正确操作后获得的一条纸带如图2所示，则O、B两点间对应运动过程的动能变化量为________J，重力势能变化量为________J。（结果都保留3位有效数字） (3)他进一步分析，发现本实验存在一定误差，为此设计出用如图3所示的实验装置来验证机械能守恒定律，通过电磁铁控制的小铁球从A点自由下落，下落过程中经过光电门B时，通过与之相连的毫秒计时器（图中未画出）记录挡光时间t，用毫米刻度尺测出AB之间的距离h，用游标卡尺测得小铁球的直径d，重力加速度为g，实验前应调整光电门位置使小球下落过程中球心通过光电门中的激光束，小铁球通过光电门时的瞬时速度可表示为v=________，如果d、t、h、g满足关系式________，也可验证机械能守恒定律。 跟踪训练1（多选）用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。实验所用的电源为学生电源，输出电压为8 V的交流电和直流电两种。重锤从高处由静止开始落下，重锤上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律，已知重力加速度为g。下面列举了该实验的几个操作步骤，其中没有必要或操作不恰当的步骤是（　　） A．按照图示的装置安装器件 B．将打点计时器接到电源的直流输出端上 C．用天平测量出重锤的质量 D．先释放悬挂纸带的夹子，然后接通电源开关打出一条纸带 跟踪训练2如图所示，托盘通过绕过光滑定滑轮的细线牵连静止放在气垫导轨上的滑块，气垫导轨与水平面夹角为θ（已知θ角，但图中未画出），将滑块移至光电门1左侧某处，从静止释放，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2，从数字计时器（图中未画出）上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间和；用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m；测出挡光条的宽度d；由导轨标尺读出两光电门中心间的距离s；重力加速度为g。 (1)滑块通过光电门1和光电门2时的速度分别为_______；_______ (2)滑块m和M构成的系统减少的重力势能为_______ (3)若满足关系式_______则可认为验证了机械能守恒定律。 【能力培优练】 1．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　） A．重力做功2mgR B．重力势能减少2mgR C．摩擦力做功mgR D．合外力做功mgR 2．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　） A．滑雪运动员沿斜面匀速下滑的过程中，机械能守恒 B．小球从A点由静止摆动到右侧最高点C的过程，机械能守恒 C．足球在位置1被踢出后落到位置3的过程中，机械能守恒 D．小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的机械能不守恒 3．质量为1kg的物块，初速度为2m/s，在与初速度方向相同的水平拉力F作用下运动了2m，F随位移x变化的关系如图所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数为0.1，g取。则物块运动2m时的速度为（　　） A． B． C．4m/s D． 4．避险车道是指在长下坡路段行车道外侧增设的供刹车失灵的车辆驶离正线安全减速的专用车道，如图甲是某高速公路旁建设的避险车道，简化为图乙所示。若质量为m的货车刹车失灵后以速度经A点冲上避险车道，运动到B点速度减为0，货车所受摩擦阻力恒定，不计空气阻力。已知A、B两点高度差为h，重力加速度为g，下列关于该货车从A运动到B的过程说法正确的是（　　） A．合外力做的功为 B．重力做的功为mgh C．摩擦阻力做的功为 D．摩擦阻力做的功为 5．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，一小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度（在弹性限度内）。不计空气阻力。则（　　） A．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球的加速度先增大后减小 B．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，小球所受重力对它一直做正功，重力势能越来越大 C．从接触弹簧到运动至最低点的过程中，弹簧对小球弹力一直做负功，弹性势能越来越大 D．小球在最低点时所受的弹力大小等于其所受的重力大小 6．如图所示，用轻绳将小球悬挂于点正下方的点。第一次小球在水平拉力作用下，从点缓慢地移动到点，水平拉力做功为；第二次小球在水平恒力的作用下，从点运动到点，恒力做功为，则（　　） A． B． C． D．由于角未知，无法比较与的大小 7．如图所示，商场的自动扶梯与水平面的夹角为，质量为m的一个人站立在扶梯的水平踏板上，随扶梯向上做加速度为a的匀加速直线运动，向上运动一段距离L后达到最大速度v，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．人只受重力和踏板的支持力的作用 B．人的重力势能增加了mgL C．踏板对人做的功等于 D．支持力对人做的功为 8．如图甲所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平面上。物块在与斜面成α＝37°、大小F＝10N的拉力作用下，从底端A点沿斜面向上做匀加速运动，经t＝10s物块运动到B点，物块运动的图像如图乙所示。已知物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法不正确的是（　　） A．物块的质量m＝1kg B．物块的加速度a＝1m/s2 C．A、B两点的距离x＝100m D．t＝10s时拉力的功率P＝80W 9．（多选）如图所示，长为的轻绳一端固定于点，另一端系一个质量为的小球。现使小球在竖直平面内做圆周运动，是圆周轨道最高点，是轨道最低点。已知重力加速度为，若小球刚好能够通过最高点，忽略空气阻力，则以下判断正确的是（　　） A．小球在最高点时绳的拉力为零 B．小球通过最高点时的速度为零 C．小球在最低点时绳的拉力大小等于 D．小球在最低点时的速度大小为 10．（多选）如下图所示的传送带始终以v0的恒定速度顺时针转动，AB的长度为L，传送带的摩擦系数为μ。某时刻把质量为m的小物块轻轻放在A点，然后小物块从A运动到B，最终与传送带共速。下列有关说法正确的是（　　） A．小物块从A运动到B的时间可能为 B．小物块从A运动到B的过程中，由于摩擦产生的热量可能为 C．假如小物块以向左的初速度v从B点滑上传送带，最后离开传送带；从小物块滑上传送带到离开传送带的整个过程中，传送带对小物块做的功可能为零 D．假如小物块以向左的初速度v从B点滑上传送带，最后离开传送带，为此，带动传送带匀速运动的电机需要多消耗的电能可能为 11．（多选）如图所示，轻质弹簧左端固定在点，右端与质量为的圆环相连，圆环套在光滑竖直固定杆上，水平，，的距离等于弹簧原长。圆环由A处静止释放，运动到最低点处返回，重力加速度为，圆环下滑过程中说法正确的是（　　） A．弹簧的弹性势能一直增大 B．圆环有三个位置加速度为 C．圆环的机械能是先减小后增大再减小 D．从到过程圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和一直增大 12．（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上，质量为的小球从距轻弹簧上端处的点自由下落，至点时开始压缩弹簧，小球下落的最低位置为点。以点为坐标原点，沿竖直向下建立轴，小球从到过程中的加速度—位移（）图像如图乙所示，重力加速度大小为，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．到的过程中小球先匀加速运动，后匀减速运动 B．小球运动过程中的最大速率为 C．图像与轴所包围的两部分面积大小不相等 D．小球在点的加速度大小为 13．某同学用如图所示的装置验证轻弹簧和小物块（带有遮光条）组成的系统机械能守恒。图中光电门安装在铁架台上且位置可调。物块释放前，细线与弹簧和物块的栓接点（A、B）在同一水平线上，且弹簧处于原长。滑轮质量不计且滑轮凹槽中涂有润滑油。以保证细线与滑轮之间的摩擦可以忽略不计，细线始终伸直。小物块连同遮光条的总质量为，弹簧的劲度系数为，弹性势能（为弹簧形变量），重力加速度为，遮光条的宽度为，小物块释放点与光电门之间的距离为（远远小于）。现将小物块由静止释放，记录物块通过光电门的时间。 (1)物块通过光电门时的速度为________； (2)改变光电门的位置，重复实验，每次滑块均从点静止释放，记录多组l和对应的时间，做出图像如图所示，若在误差允许的范围内，满足关系式________时，可验证轻弹簧和小物块组成的系统机械能守恒； (3)在（2）中条件下，和时，物块通过光电门时弹簧具有的两弹性势能分别为、，则________（用、、、表示）； (4)在（2）中条件下，取某个值时，可以使物块通过光电门时的速度最大，速度最大值为________（、、表示）。 14．把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为L，重力加速度为g，摆球由A点静止释放，运动到最低点B点时速度大小为。忽略空气阻力。求： (1)摆球从A点运动到B点过程中细线拉力做的功W； (2)释放点A与最低点B间的高度差h； (3)摆球在最高点C受到细线拉力F的大小。 15．某同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好达到所能承受的最大拉力F（未知）被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g。忽略手的运动、小球的半径和空气阻力，试分析求解： (1)绳断时球的速度大小； (2)球落地时的速度大小； (3)绳能承受的最大拉力F； (4)保持手的高度不变，只改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，则绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 16．（24-25高一下·山东威海·期中）如图所示，在光滑水平地面上，右端有一竖直半圆轨道与地面平滑连接，半径；左端有一倾角的传送带，以的速度逆时针匀速转动，传送带与地面通过半径可忽略的光滑小圆弧平滑连接。可视为质点的A、B两滑块的质量均为，两滑块间夹着被压缩的轻质弹簧，弹簧的弹性势能。现同时释放滑块，两滑块与弹簧分离时速率相等，B恰好能通过轨道的最高点P。已知A与传送带间的动摩擦因数，重力加速度，，，传送带足够长。求： (1)两滑块与弹簧分离时的速率； (2)B在半圆轨道运动过程中克服阻力做的功； (3)A距离地面的最大高度； (4)A与传送带接触过程中产生的热量。 【链接高考】 1．（2025·贵州·高考真题）一质量为的人造卫星绕地球做轨道半径为的匀速圆周运动。由于存在稀薄空气，经过一段时间后，卫星做圆周运动的轨道半径变为。已知地球的质量为，引力常量为，则在该段时间内人造卫星所受力的合力做的功为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·高考真题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 3．（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 5．（2025·广东·高考真题）如图所示，用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时，先将拔塞钻旋入木塞内，随后下压把手，使齿轮绕固定支架上的转轴转动，通过齿轮啮合，带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始，顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动，木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为，其中为常量，h为圆柱形木塞的高，木塞质量为m，底面积为S，加速度为a，齿轮半径为r，重力加速度为g，瓶外气压减瓶内气压为且近似不变，瓶子始终静止在桌面上。（提示：可用图线下的“面积”表示f所做的功）求： (1)木塞离开瓶口的瞬间，齿轮的角速度。 (2)拔塞的全过程，拔塞钻对木塞做的功W。 (3)拔塞过程中，拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。 / 学科网（北京）股份有限公司 $