专题02 二次函数最值问题（13大题型专项突破）2026年中考数学二轮专题复习

专题02 二次函数最值问题 （13大题型专项突破） 【题型1 利用二次函数解竖直线段（或水平线段）的最值问题】...................................................................1 【题型2 利用二次函数解斜线段的最值问题】...................................................................................................2 【题型3 利用二次函数解线段和的最值问题】...................................................................................................4 【题型4 利用二次函数解线段差的最值问题】...................................................................................................5 【题型5 利用二次函数解周长的最值问题】.......................................................................................................7 【题型6 利用二次函数解面积的最值问题】.......................................................................................................8 【题型7 利用二次函数解比值的最值问题】.......................................................................................................9 【题型8 二次函数与将军饮马类最值问题1（两条线段和的最小值）】........................................................11 【题型9 二次函数与将军饮马类最值问题2（两条线段差的最大值）】........................................................12 【题型10 二次函数与将军饮马类最值问题3（三条线段和的最小值）】........................................................13 【题型11 二次函数与胡不归结合的最值问题】.................................................................................................14 【题型12 二次函数与阿氏圆结合的最值问题】.................................................................................................16 【题型13 双最值问题】.........................................................................................................................................18 题型一 利用二次函数解竖直线段（或水平线段）最值问题 【例1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 【变式1-1】如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值． 【变式1-2】二次函数图像交x轴于两点，与y轴相交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点H，与交于点M，连接．求线段的最大值； 【变式1-3】如图，二次函数的图象经过点，，点P是第一象限函数图象上的一个动点，过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q． (1)求二次函数的解析式； (2)求的最大值． 题型二 利用二次函数解斜线段的最值问题 【例2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【变式2-1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标； 【变式2-2】如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【变式2-3】如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； 题型三 利用二次函数解线段和的最值问题 【例3】如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； 【变式3-1】如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． 【变式3-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； 题型四 利用二次函数解线段差的最值问题 【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【变式4-1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点的坐标为，直线的解析式为：． (1)求抛物线的解析式； (2)点位于抛物线在直线上方的部分，于点，平行于轴且与轴交于点，求的最小值； 【变式4-2】如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点的坐标； 题型五 利用二次函数解周长的最值问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； 【变式5-1】如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； 【变式5-2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值； 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标． 题型六 利用二次函数解面积的最值问题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 轴交于点，，与 轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接 ，，求面积的最大值； 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交，B两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为点E． (1)求抛物线的解析式； (2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标； 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标． 题型七 利用二次函数解比值的最值问题 【例7】已知：抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【变式7-2】已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； 【变式7-3】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且点坐标为，抛物线的对称轴为直线，连接直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交直线于点，连接，如图2所示，记的面积为，的面积为，求的最大值． 题型八 二次函数与将军饮马类最值问题1（两条线段和的最小值） 【例8】已知，抛物线，过、、，M为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，并求出P的坐标； 【变式8-1】如图，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴L上找一点M，使的值最小，求出点M的坐标； 【变式8-2】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)求C点的坐标； (3)抛物线对称轴上有一动点P，是否存点P，使得最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 题型九 二次函数与将军饮马类最值问题2（两条线段差的最大值） 【例9】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【变式9-1】如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点T为对称轴直线上一点，则的最大值为多少？ 题型十 二次函数与将军饮马类最值问题3（三条线段和的最小值） 【例10】如图，抛物线．与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线的对称轴上运动，求的最小值． 【变式10-1】在平面直角坐标系，抛物线与x轴分别交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，已知顶点M的坐标为． (1)求抛物线的解析式并求出点A，B的坐标； (2)如图1，P，Q是抛物线对称轴上两点（点P在点Q上方），且，当取最小值时，求点P的坐标； 【变式10-2】如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； 题型十一 二次函数与胡不归结合的最值问题 【例11】如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值． 【变式11-1】如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），交轴于点，将直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交抛物线于另一点.直线的解析式为： 点是第一象限内抛物线上一点，当的面积最大时，在线段上找一点（不与重合），使的值最小，求出点的坐标，并直接写出的最小值； 【变式11-2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接，直线解析式为．    (1)a= ；b= ；k= ；m= ． (2)如图2．点P为线段上方的抛物线上一动点，点F为x轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时P点的坐标． 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．      （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【变式11-4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作交AC于点D，过P作轴交x轴于点G、交于点E，点M为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标； 题型十二 二次函数与阿氏圆结合的最值问题 【例12】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接．当面积最大时，求P的坐标； (3)如图2，以B为圆心，3为半径作，Q为上一动点，求的最小值． 【变式12-1】已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点． （1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值； （2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值； 【变式12-2】如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当时，求m的值； (3)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值 题型十三 双最值问题 【例13】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线上方抛物线上运动，过点作轴，交直线于点，过点作交轴于点．点、是直线上的两动点，点在点的左侧，，连接、．当的值最大时，求此时的最小值． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点B和D，与坐标系交于A、B、C三点，已知，点B在x轴上，点E为直线与y轴交点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点F．点M为线段上的一动点，轴，垂足为N，连接、．当取得最大值时，求的最小值； 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数最值问题 （13大题型专项突破） 【题型1 利用二次函数解竖直线段（或水平线段）的最值问题】...................................................................1 【题型2 利用二次函数解斜线段的最值问题】...................................................................................................6 【题型3 利用二次函数解线段和的最值问题】.................................................................................................14 【题型4 利用二次函数解线段差的最值问题】.................................................................................................21 【题型5 利用二次函数解周长的最值问题】.....................................................................................................28 【题型6 利用二次函数解面积的最值问题】.....................................................................................................34 【题型7 利用二次函数解比值的最值问题】.....................................................................................................41 【题型8 二次函数与将军饮马类最值问题1（两条线段和的最小值）】........................................................50 【题型9 二次函数与将军饮马类最值问题2（两条线段差的最大值）】........................................................56 【题型10 二次函数与将军饮马类最值问题3（三条线段和的最小值）】........................................................59 【题型11 二次函数与胡不归结合的最值问题】.................................................................................................66 【题型12 二次函数与阿氏圆结合的最值问题】.................................................................................................78 【题型13 双最值问题】.........................................................................................................................................88 题型一 利用二次函数解竖直线段（或水平线段）最值问题 【例1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）求出A点的坐标为，B点的坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， ∵，A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 将A、B两点的坐标代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）对于， 令，则，故点， 设直线的表达式为： 由点A、C的坐标得， 解得 直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m，则点，则点， 则， ∵，， 故有最大值，最大时， ∴点； 【变式1-1】如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象交轴于点，，可以求得该函数的函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点的坐标，从而可以求得直线的解析式，再根据点的坐标，即可写出点和点的坐标，然后即可表示出线段，再根据二次函数的性质，即可得到线段长度的最大值． 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点，， ， 解得， 即这个二次函数的表达式是； （2）解：， 当时，， 即点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ， 解得， 即直线的函数表达式为， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，取得最大值，此时， 即线段长度的最大值是． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式1-2】二次函数图像交x轴于两点，与y轴相交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点H，与交于点M，连接．求线段的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）将A，B，C代入函数的解析式，得， ， 解 ， ∴这个二次函数的表达式． （2）设BC的解析式为， 将的坐标代入函数解析式得， 解得 ∴BC的解析式为． 设， 则 当 时，PM的最大值 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式，解（2）的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数． 【变式1-3】如图，二次函数的图象经过点，，点P是第一象限函数图象上的一个动点，过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q． (1)求二次函数的解析式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，则有，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点，代入二次函数得： ，解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意可设， 由过点P作x轴的平行线与直线l：交于点Q，可知， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 题型二 利用二次函数解斜线段的最值问题 【例2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标； 【答案】(1) (2)线段的最大值是，此时点的坐标为 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线对应的函数表达式为； （2）求出，直线解析式为，设，可得，而，可推得是等腰直角三角形，，故，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：在中，令得， ， 由，，设直线解析式为， 则直线解析式为， 设，则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时的坐标为； 线段的最大值是，此时点的坐标为． 【变式2-2】如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式2-3】如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案； 【详解】（1）由题意，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为， 则 解得， 直线的解析式为， 设，， 过点D作轴交于M点，如图1， 则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值是； 综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数综合题，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质． 题型三 利用二次函数解线段和的最值问题 【例3】如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，通过对称轴确定系数a和b的关系，并通过设坐标表示出的值是解题关键． （1）通过对称轴确定系数a和b的关系，再代入点A的坐标，即可求出解析式； （2）根据解析式求出点B，C的坐标，从而得到直线的解析式，设出点P的坐标，从而用所设字母表示出点M，N的坐标和和，构造函数关系求最值即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为， ∴ 解得 ∴直线表达式为， 设， 则由题意得，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 此时， ∴． 【变式3-1】如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，， (2)存在一点D使得取得最大值，此时 【分析】（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标. （2）由直线和抛物线可知，当为，时，点坐标为点坐标为，即可求出，，从而得到关于的二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令，解得，， 点坐标为，点坐标为 令，解得， 点的坐标为 （2）解：存在一点D使得取得最大值，此时 ， 点坐标为点坐标为， 由， ， ， 当时，有最大值为． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数的最值，勾股定理等知识，利用割补法表示出的面积是解题的关键． （1）把代入，得，根据对称轴公式得出，然后联立方程组求解即可； （2）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论极值即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）当时，，当时，， 解得， ∴， 根据勾股定理，得. 连接，设点， 由，得 ， ， ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 【变式3-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)有最大值为，此时点，； 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，用待定系数法即可求解； （2）证明，即可求解； 【详解】（1）抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的表达式为：， 将代入得： 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）过点作轴于点，如图1， 由点、的坐标得，， ，则， 则， 设直线的表达式为：， 将、代入得， ，解得：， 所以直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 则有最大值为，此时点，； 题型四 利用二次函数解线段差的最值问题 【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 【变式4-1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点的坐标为，直线的解析式为：． (1)求抛物线的解析式； (2)点位于抛物线在直线上方的部分，于点，平行于轴且与轴交于点，求的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先利用一次函数解析式求出B、C的坐标，再把A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可； （2）如图所示，过点D作轴于T，交直线于G，延长交于H，设，则，得到，再由，得到，求出，则，即可得到，，，解， 求得，解，求得，则，再证明，得到解，得到，则，由此即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，令，则；令，则； ∴， 把，代入到抛物线中得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于T，交直线于G，延长交于H， 设，则， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值； 【变式4-2】如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 【分析】（1）先根据对称轴计算公式求出，再把代入抛物线解析式中进行求解即可； （2）先求出，得到，则；如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F，由平行线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得；求出顶点D的坐标为；设，则，，，进而得到，则，据此利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； 设， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为；    题型五 利用二次函数解周长的最值问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； 【答案】（1）；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 点P的坐标为（2，﹣4）； 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0<t<4，则E，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可； 【详解】解（1）∵抛物线经过点A（0，﹣1），点B（4，1）， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵A（0，-1），B（4，1）， ∴直线AB的函数表达式为， ∴C（2，0）， 设P，其中0<t<4， ∵点E在直线上，PE∥x轴， ∴E，∠OCA=∠DEP， ∴PE=， ∵PD⊥AB， ∴∠EDP=∠COA， ∴△PDE∽△AOC， ∵AO=1，OC=2， ∴AC=， ∴△AOC的周长为3+， 令△PDE的周长为l，则， ∴， ∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，﹣4）， 【变式5-1】如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据点A和点B的坐标，设，再将点C的坐标代入求解即可； （2）延长交x轴于点F，证明，通过相似三角形周长比等于相似比，即可得出周长的表达式，再将其改写为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）设， 把代入得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，延长交x轴于点F， 设点，的周长是l， ∵， ∴， ∵， ∴的周长是12， 设直线BC的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式是：， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，l有最大值，最大值为，即周长的最大值为， 当时，， ∴． 综上：周长的最大值为，此时点P的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的表达式． 【变式5-2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值； 【答案】y=x+1；； 【详解】试题分析：根据题意得出点A和点D的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，得出△FGH≌△FGM，即然后设点F的坐标，求出FM的长度，从而根据周长=FM+2×得出与m的函数关系式，将函数化成顶点式，求出最大值；本题分AP为对角线和AQ为对角线两种情况分别进行计算，若AP为对角线，画出图形，由△PMS∽△MAR得出点P的坐标，根据图形的平移得出点Q的坐标，从而得出点Q关于直线AM的对称点T的坐标，若AQ为对角线，根据题意画出图形，得到点P的坐标，根据平移得到点Q的坐标，然后求出点Q关于直线AM的对称点T的坐标． 试题解析：（1）、AD：y=x+1 （2）、过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM 故 设 则FM= 则 C= 故最大周长为 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质． （1）把代入求解即可； （2）求出，进而求出直线解析式，设，则，则，根据矩形的性质得到，求出矩形的周长的解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大值为，此时点P的坐标是． 题型六 利用二次函数解面积的最值问题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 轴交于点，，与 轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接 ，，求面积的最大值； 【答案】（1）；（2）8； 【分析】（1）直接代入点，坐标即可； （2）作轴交直线于，于，通过点，点的坐标可求得直线的函数关系式，，可得直线与轴正方向夹角为，可得，设，则，根据可求解； 【详解】解：（1）将，代入 得 ， ， ， （2）如图示， 作轴交直线于，于 ， 当时，， 点的坐标是， 点与点关于直线对称， ∴， ∴ ∴（取非零值） ∴点的坐标是， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴直线的函数关系式为：，且 ∴， ∴直线与轴正方向夹角为， ∴， 则有：， ∴， 设， ， ， ， ∴当时，最大为8， 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值． 【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；（2） 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由（1）可得△PAB面积SPH×（xB﹣xA）（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）x2x，根据二次函数的性质可以解出△PAB面积的最大值． 【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1； （2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t， 则， 解得， 故直线AB的表达式为：y＝x﹣1， 过点P作y轴的平行线交AB于点H， 设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1）， △PAB面积SPH×（xB﹣xA） （x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3） x2x =， ∵0，故S有最大值，且当x时，S的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据已知条件把所求问题表示成二次函数是解题关键． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交，B两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为点E． (1)求抛物线的解析式； (2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，利用配方法可求出顶点E的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标；设，直线解析式为,得出直线解析式为，依据，利用二次函数的性质解答即可得解； 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为． ， ∴点E的坐标为． 设过两点的直线解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． ∴D点纵坐标为， ． 如图，与交于点M， 设，直线解析式为，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∴点M的纵坐标为：， ， ， ∴当时，最大， 的纵坐标为：， ∴此时点P的坐标为； 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）当x＝时，S的最大值为，此时点E（，）． 【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax2+bx+2＝a（x+）（x﹣3）＝ax2﹣2a﹣6a，即可求解； （2）由四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD，即可求解． 【详解】解：（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+2，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝2， 故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，2）； ∵A点坐标为（﹣，0）， 则y＝ax2+bx+2＝a（x+）（x﹣3），把（0，2）代入得，﹣6a＝2， 解得：a＝﹣， 故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+）（x﹣3）=﹣x2+x+2①； （2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F， ∵AD∥BC，直线AD可以看做由直线BC向下平移2个单位，向左平移个单位， ∴直线AD的表达式为：y＝﹣（x+）②， 联立①②并解得：，，故点D（4，﹣）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣x+2， 当x＝3时，yCD＝﹣x+2＝﹣2，即点H（3，﹣2）， 设点E（x，﹣x2+x+2），则点F（x，﹣x+2）， 则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD＝×EF×OB+×（xD﹣xC）×BH＝×（﹣x2+x+2+x﹣2）×3+×4×2＝﹣x2+3x+4，即， ∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝时，S的最大值为，此时点E（，）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的面积的计算等，有一定的综合性，计算量较大，解题关键是熟练运用二次函数和一次函数的相关知识准确计算求解． 题型七 利用二次函数解比值的最值问题 【例7】已知：抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解； （2）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，则△PEH∽△OEC，所以，可得kPH，在求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），则k（﹣t2+3t）（t）2，当t时，k取得最大值，此时P（，）； （3）①过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，分别求出Q（1，0），D（0，﹣3），再由勾股定理求出DQ，BD＝3，则△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝23； ②先证明△BQT是等腰直角三角形，则QT，DT＝BD﹣BT＝2，tan∠BDQ． 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H， ∴△PEH∽△OEC， ∴， ∵k，OC＝3， ∴kPH， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3）， ∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∴k（﹣t2+3t）（t）2， ∵0， ∴当t时，k取得最大值，此时P（，）； 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， 则设抛物线的解析式为． ∵将代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为，即． （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，最大值是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-2】已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； 【答案】(1) (2)证明见解析；，的最大值为 【分析】（1）将、、代入即可求解析式； （2）由，可得 ，，则求的最大值即可； 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得， ； （2）如图， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； 【变式7-3】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且点坐标为，抛物线的对称轴为直线，连接直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交直线于点，连接，如图2所示，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A点坐标为，抛物线的对称轴为直线，可得B（3，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由图可知，与面积之间的关系为：同高，故面积之比等于底之比，即，作轴，交直线于点G，作轴，交直线于点H，可知，得，结合二次函数与直线的解析式，即可求解； 【详解】（1）解： ∵，抛物线的对称轴， ∴， 将 ，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，，即， 设直线的解析式为：， 将 ，代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 作轴，交直线于点G， 设D点的横坐标为， 则，， ∴ ， 作轴，交直线BC于点H，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 的最大值为． 题型八 二次函数与将军饮马类最值问题1（两条线段和的最小值） 【例8】已知，抛物线，过、、，M为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，并求出P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线解析式为，把点C的坐标代入解析式，即可求解； （2）首先根据抛物线的对称性，可得点P的位置，可求得直线的解析式，再把代入解析式，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称， 连接交直线于P点，则， ， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 则满足条件的P点坐标为． 【点睛】本题考查了求一次函数及二次函数的解析，二次函数的性质，准确求得一次函数及二次函数的解析是解决本题的关键． 【变式8-1】如图，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴L上找一点M，使的值最小，求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，分别代入，求出a、b值即可． （2）求出点A关于抛物线的对称点的坐标，再用待定系数法求出直线解析式，然后求出直线与抛物线对称轴的交点M坐标即可； 【详解】（1）解；把，分别代入，得 ， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴， ∴点A关于直线的对称点， 设直线的解析式为， 把，分别代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【变式8-2】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)求C点的坐标； (3)抛物线对称轴上有一动点P，是否存点P，使得最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可求解； （3）先判断点P的位置，然后求出直线的解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴； （3）连接交对称轴于点P，连接． ∵，两点关于对称轴直线对称， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，轴对称最短的性质，数形结合是解答本题的关键． 【变式8-3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)存在， 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质， 根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则，，利用三角形面积公式求解即可； 联立方程求得点，利用勾股定理即可求得．连接、，结合对称性可知，则、、三点共线时，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为：，利用对称轴即可求得点P． 【详解】（1）解：令，即， 解得或 ∴，， 则， 当时，， ∴，， ∴． （2）存在这样的点，理由如下， 联立， 解得或， ∴， ∵， ∴． 连接、，如图， 则 ∵ ∴． ∴当、、三点共线时，有最小值， 设直线的解析式为：， 则， 解得， 则直线的解析式为：， ∵时，， ∴． 题型九 二次函数与将军饮马类最值问题2（两条线段差的最大值） 【例9】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 【变式9-1】如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点T为对称轴直线上一点，则的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出两点式，求出的值，即可得出结论； （2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则：，即当三点共线时，取得最大值为的长， 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， 设抛物线的表达式为， 即：， ∴， 故抛物线的表达式为； （2）解：点B关于函数对称轴的对称点为点A，则：，即当三点共线时，取得最大值为的长， 连接交函数对称轴于点T，则点T为所求点， ∵，当时，， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 题型十 二次函数与将军饮马类最值问题3（三条线段和的最小值） 【例10】如图，抛物线．与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线的对称轴上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）把，两点代入抛物线．解方程组求出b，c即可； （2）将向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形是平行四边形，及得，而B，Q，共线，故此时最小，最小值为的值，由勾股定理可得，即得最小值为6． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， ∴解得 ∴抛物线的表达式为； （2）在中，当时，， ∴点C坐标为， 将点C向下平移至，使，连接，交抛物线对称轴l与点Q，如图所示： ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∵B、Q、三点共线， ∴此时，最小，最小值为， ，， ， ， ， ， 的最小值为6． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，轴对称−最短线路问题，求出抛物线解析式是解题关键． 【变式10-1】在平面直角坐标系，抛物线与x轴分别交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，已知顶点M的坐标为． (1)求抛物线的解析式并求出点A，B的坐标； (2)如图1，P，Q是抛物线对称轴上两点（点P在点Q上方），且，当取最小值时，求点P的坐标； 【答案】(1)该抛物线解析式为，． (2) 【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出其与x轴的交点坐标； （2）如图1，将点沿轴向下平移1个单位得，连接交抛物线对称轴于点，过点作，交对称轴于点，连接，此时，、、三点共线，的值最小，据此求解即可； 【详解】（1）抛物线与y轴交于点，已知顶点M的坐标为（1，4）． 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得：， ， 令，得，解得：， ， 该抛物线解析式为，． （2）如图1，将点沿轴向下平移1个单位得，连接交抛物线对称轴于点， 过点作，交对称轴于点，连接， 、关于直线对称， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 此时，、、三点共线，的值最小， 由于，即此时的值最小， 设直线的函数关系式为，将两点坐标代入得： ，解得：， 直线的函数关系式为， 二次函数对称轴为，点在对称轴上， ， ， ； 【变式10-2】如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， (2)存在，最小值为， 【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案； （2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． 题型十一 二次函数与胡不归结合的最值问题 【例11】如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，得出，得当时，取得最大值，此时点的坐标为，过点作，过点作于点， 则，得出，证明，则，则当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长，求出直线的解析式为，则可得直线的解析式为，得点的坐标为，分别计算 和即可； 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时点的坐标为， 如图，过点作，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为， 把点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 【变式11-1】如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），交轴于点，将直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交抛物线于另一点.直线的解析式为： 点是第一象限内抛物线上一点，当的面积最大时，在线段上找一点（不与重合），使的值最小，求出点的坐标，并直接写出的最小值； 【答案】（1）点的坐标为.的最小值为. 【分析】过点作轴于点，交直线于点，过点作于点. 设点的坐标为，则点的坐标为，表示出FK,,根据二次函数的性质即可求解. 【详解】解：过点作轴于点，交直线于点（如答图1）， 过点作于点. 设点的坐标为， 则点的坐标为， , , , , 当时，有最大值. 此时点的坐标为. 点是线段上一点，作轴于点，于点， 则，，. 过点作的垂线，交于点，此时的值最小， 此时点的坐标为. 的最小值为. 【变式11-2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接，直线解析式为．    (1)a= ；b= ；k= ；m= ． (2)如图2．点P为线段上方的抛物线上一动点，点F为x轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时P点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）过点P作轴交于点G，设，则，则，当时，的面积有最大值为4，此时，过点B作的平行线，过点P作与该平行线垂直，垂足为点H，与x轴的点即为所求的F点，此时， 设直线向下平移n个单位得到直线，则直线的解析式为，过点C作交于点K，设P点到的距离为h，由勾股定理求出，再由，求出， 则的最小值为． 【详解】（1）将、代入， ∴， 解得， ∴； 令，则， ∴， ∵直线的解析式为， ， 解得， ∴；. （2）过点P作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值为4， 此时，                                                    ∵， ∴， 过点B作的平行线，过点P作与该平行线垂直，垂足为点H，与x轴的点即为所求的F点，    ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线向下平移n个单位得到直线，则直线的解析式为， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 过点C作交于点K，设P点到的距离为h，直线与x轴的交点为Q， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 【变式11-3】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．      （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）＋ 【分析】（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式； （2）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，），则点F（m，m−2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝−（m−2）2＋4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN＋ON＝MN＋KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）由题意，令，即 ∴A的坐标为（4,0） 令，即 ∴B的坐标为（0，-2） 将A、B、C三点坐标代入抛物线，得 解得 ∴抛物线解析式为：； （2）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，      设点M（m，），则点F（m，m−2）， ∴MF＝m−2−（）＝−（m−2）2＋2， ∴△MAB的面积＝×4×[−（m−2）2＋2]＝−（m−2）2＋4， ∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值， ∴点M（2，−3）， 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，    ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK， ∴KN＝ON， ∴MN＋ON＝MN＋KN， ∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP， ∵∠KOB＝30°， ∴直线OK解析式为y＝x， 当x＝2时，点Q（2，2）， ∴QM＝2＋3， ∵OB∥QM， ∴∠PQM＝∠PON＝30°， ∴PM＝QM＝＋， ∴MN＋ON的最小值为＋． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键． 【变式11-4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作交AC于点D，过P作轴交x轴于点G、交于点E，点M为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，，得，代入，解方程组得即得； （2）证明是等腰直角三角形，设，求出直线表达式，得，当时，最大时，周长最大，此时, ，得，，过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点，证明出为等腰直角三角形，则，那么，当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为，此时，； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点，，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴轴, ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，直线表达式为， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大时，周长最大， 此时, ， ∴， ∴， 过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为， 此时 ∴； 题型十二 二次函数与阿氏圆结合的最值问题 【例12】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接．当面积最大时，求P的坐标； (3)如图2，以B为圆心，3为半径作，Q为上一动点，求的最小值． 【答案】(1) 2)当点的坐标为时，的面积最大 (3) 【分析】（1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接，作轴于点轴于点，如图，设点的坐标为，根据抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线，得出，结合，再利用二次函数的性质求得最大值即可． （3）取点，连接，证明，得出，则，即可得当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度，再根据勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：连接，作轴于点轴于点，如图， 设点的坐标为， ∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， ， ∴当时，最大， 此时， 此时点的坐标为， 即当点的坐标为时，的面积最大． （3）解：∵以为圆心，3为半径作，Q为上一动点，抛物线的对称轴是直线， ∴点在上， 如图，取点，连接， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， ∴当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度， ． 最小值是． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形． 【变式12-1】已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点． （1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值； （2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先求出，，，将拋物线解析式化为顶点式为，得出，先证明，推出，当、、三点共线时，，即取得最小值，最小值为的长，根据，求出点坐标为，根据，，求出，即可得出的最小值； （2）先求出由直线的解析式为，然后求出点坐标为（1，2），连接，与交于点，在上截取，过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点，先证明，得出，从而得出，要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长，易得直线的解析式为，设点横坐标为，则其纵坐标为，根据，求出，根据轴，轴，得出，求出，可得点坐标为，根据点的坐标为（3，0），即可求出AN，可得出答案； 【详解】解：（1）令，则， 解得，， ∴，， ∴， 将拋物线解析式化为顶点式为， ∴， 如图，在轴上截取，则， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，， 即取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （2）由抛物线， 可得拋物线对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入， 易得直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线对称轴的交点， ∴点坐标为（1，2）， 如图，连接，与交于点，在上截取， 过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长， 易得直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴设点横坐标为，则其纵坐标为， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∵点的坐标为（3，0）， ∴， ∴的最小值为； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键。 【变式12-2】如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当时，求m的值； (3)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出、、的坐标，利用两根式求出抛物线的解析式即可； （2）求出直线的解析式，根据方程即可解决问题； （3）首先求出的半径，在上取一点，使得，此时，由，可得，推出，可得，推出，可得当、、共线时，的值最小，由此求出点坐标，点坐标即可解决问题； 【详解】（1）解：由题意，，， 设抛物线的解析式为， 把代入 ∴ 得到． ∴ 则 故抛物线的解析式为． （2）解：在中，， ， 平分， ， ， ， 设直线的解析式为 把和代入 得 直线的解析式为， 由题意，，， ， 解得或（舍弃）， 当时，的值为． （3）解：如图，是对称轴，， ∴ 依题意点在轴上 ， 依题意 ∵点在直线的解析式为 把代入 得 ∴， ∵过点且垂直于的直线交轴于点， ， 由（2）得 ， ， ， ， ，， ， 在上取一点，使得， 设 ∵ 则 解得（点K在第三象限，正值舍去） 把代入，得出 此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型十三 双最值问题 【例13】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线上方抛物线上运动，过点作轴，交直线于点，过点作交轴于点．点、是直线上的两动点，点在点的左侧，，连接、．当的值最大时，求此时的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的对称轴为，且过点，得和，求解即可； （2）延长交轴于点，先求出，，则可求出，通过证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，，可得，利用二次函数的图象与性质得出当时，取得最大值，此时，将沿方向平移个单位长度得到点，即水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度，求出，由平移得，由两点之间线段最短，得，且当、、依次共线时，取得最小值，求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，延长交轴于点， 令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时，， 则， ∵， ∴， 如图，过点作轴，过点作轴交于， ∴， ∴， 将沿方向平移个单位长度得到点，即水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度， ∴，即， 由平移得， ∴， 由两点之间线段最短，得，且当、、依次共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值为； 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点B和D，与坐标系交于A、B、C三点，已知，点B在x轴上，点E为直线与y轴交点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点F．点M为线段上的一动点，轴，垂足为N，连接、．当取得最大值时，求的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再将、代入抛物线求解即可． （2）联立抛物线与直线解析式求出，再求出，设，则，则，，从而得，根据二次函数的性质得出当时取得最大值，从而得M在直线​上，设，则，，将向右平移个单位得，则，得出，求出​​，即可得的最小值为，从而求解​​． 【详解】（1）解：∵点在轴和直线上， 令，得，解得：，即， 将、代入抛物线得 ， 解得：， ∴抛物线表达式为： ． （2）解：联立抛物线与直线解析式得， 解得：，则， ∴， 在直线中，令，得， ∴， 设，则， 则， ， ∴， 则， 该二次函数开口向下，故当时取得最大值， 此时， ∴M在直线​上， 设， ∴，， 将向右平移个单位得，则，连接， ∴， ∵​​， ∴的最小值为， ∴的最小值为​​． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，设抛物线的解析式为，代入，求解即可． （2）先求出点的坐标为，直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴交于点，交轴于点，则点的坐标为，，证明，则，得出当时，取得最大值为，此时点的坐标为，把点向下平移2个单位长度得到点，点的坐标为，连接，证出四边形是平行四边形，则，即，得出的最小值为的长，的最小值，勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得， ． （2）解：在中，令，则， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ， 设点的坐标为， 过点作轴交于点，交轴于点，如图， 则点的坐标为， ， ∵轴， ， ， ∴当时，取得最大值为， ∴点的坐标为， 把点向下平移2个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ， 即， 由关于对称性可得点的坐标为， 连接，则， 故的最小值为的长，的最小值， ∵， 故的最小值为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $