专题02 有理数的运算（期中复习课件）六年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份初中数学六年级下学期期中复习课件，聚焦有理数运算，通过“研·期中学情、记·必备知识、破·重难点、过·分层验收”四模块，构建完整学习支架，涵盖法则梳理、题型突破与分层练习。 资料融合核心素养，以实际应用（如出租车计费、工厂加工问题）培养数学表达，规律计算（裂项相消）提升逻辑思维，典例与变式结合强化运算能力，助力学生巩固基础、提升应用意识，也为教师提供系统教学方案。六年级下学期学生需夯实有理数运算基础，培养运算能力与应用意识，为初中数学学习奠基。

专题02有理数的运算 六年级数学下学期 期中复习大串讲 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在选择题 近似数 掌握近似数的相关概念，确定近似数的有效数字 易错必考点，一般出现在小题中 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 有理数加法法则与运算律 知识点01 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0； 绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等时，两数之和为0； 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若a＞0，b＞0，则a + b= ＋（|a|+|b|）； 若a＜0，b＜0，则a + b= －（|a|+|b|）； 3.一个数与0相加，仍得这个数； 三种情况 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法法则 有理数加法法则与运算律 知识点01 1.有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 有理数加法运算律 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 2.有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 提示： 3.有理数加法中的一些计算技巧： （1）相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2）同号结合法：符号相同的数先相加； （3）同分母结合法：分母相同的数先相加； （4）凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 知识点02 1.较大的数－较小的数＝正数； 2.较小的数－较大的数＝负数； 3.相等的两个数相减等于0； 4.0减去任何数都等于这个数的相反数， 任何数减去0仍等于这个数. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 a-b=a+(-b) 常见现象 有理数加减混合运算 知识点03 1.利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2.去掉括号和括号前的加号 （有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3.利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则与运算律 知识点04 4.拓展： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3）一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2.0与任何数相乘都得0； 3.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 有理数乘法法则 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 有理数乘法法则与运算律 知识点04 有理数的乘法运算律 4.拓展： 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 倒 数 知识点05 （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 1.倒数： 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 单独的一个数不能称为倒数； 0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： 3.倒数得符号确定： 化为倒数的两个数的符号是相同的 正数的倒数是正数， 负数的倒数是负数， 0没有倒数. 有理数除法法则 知识点06 1.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3.0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4.一个非零的数除以它的本身等于1. 有理数除法法则 补充： （1）两个数相除，若商是1，则这两个数相等； 若商是-1，则这两个数互为相反数. （2）有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 一定符号： 两数相除要先确定商的符号， 二定绝对值：再确定绝对值， 运算步骤 商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同 有理数乘除混合运算 知识点07 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 1.有理数乘除混合运算顺序： 没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 方法提示 2.一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1）相反数结合； （2）凑整结合； （3）正、负分别结合； （4）同分母结合； （5）倒数结合 利用运算律简便计算 1.有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3.如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算； 如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 有理数乘除混合运算 知识点07 有理数的混合运算顺序 在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 有理数的乘方运算 知识点08 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 乘方定义 一般地， 记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数 当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1.乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2.一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4.当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 注 意 2.有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有理数的乘方运算 知识点08 有理数乘方的运算 1.有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶数次幂都是非负数. 3.拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 科学记数法 知识点09 1.科学计数法的定义： 一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2.如何确定科学记数法中的a和n （1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； ①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1； ②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. （2）确定n的两种方法： b)用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； 科学记数法 知识点09 要点提示 d)对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. a)用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； c)用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； 近似数 知识点10 相关概念 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】 对于带计数单位的数或用科学记数法表示的近似数a × ， a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念： 从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字 0.012有两个有效数字：1，2； 3.6万有两个有效数字：3，6； 4.360× 有四个有效数字： 4，3，6，0. 范例 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 有理数的加减法运算 题型一 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】计算： (1) ﹣20＋(－14)﹣(－18) －13； 原式 =﹣20 －14 ＋18 －13 =﹣20 －14 －13 ＋18 = ﹣47＋18 = ﹣29； 原式 = =( )() = －1 = ﹣． 有理数的加减法运算 题型一 (2) ＋(－) －(－) ＋(－) ﹣(﹢)． （1）解： （2）解： 【典例2】计算： (1) 27－18＋(﹣7)－32； (2) 2＋(﹣9)－(－3)＋5； (3) ﹣20＋(﹣14)－(﹣18) ． （1）解： 27－18＋(﹣7)－32 = 27－18－7－32 =﹣30； （2）解：2＋(﹣9)－(﹣3)＋5 ＝2－9＋3＋5 =1； （3）解： ﹣20＋(﹣14)－(﹣18) ＝﹣20－14＋18 ＝﹣16． 有理数的加减法运算 题型一 【变式1】计算： (1) (﹣4)－(﹢13)＋(﹣5)－(﹣9)； （2）解： 原式 ＝ ﹣1.5＋4.25＋3.75－8.5 ＝ ﹣(1.5＋8.5) ＋(4.25＋3.75) ＝ ﹣10 ＋8 ＝ ﹣2． 有理数的加减法运算 题型一 (2)﹣(﹢1.5)－(﹣4)＋3.75－8． （1）解： 原式＝﹣4－13－5＋9 ＝(－4－5＋9) －13 ＝0－13 ＝﹣13； 【变式2】阅读下面的解题过程并解决问题 计算： (﹣3.4)－(﹢1)－(﹢1.6)＋(﹢)； 解：原式＝ (﹣3.4) ＋(﹣1) ＋(﹣1.6)＋(﹢) （第一步） ＝ (﹣3.4) ＋1.6 ＋(﹣1) ＋(﹢) （第二步） ＝ [(﹣3.4) ＋1.6] ＋[(﹣1) ＋(﹢)] （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是 ，从第____步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________ （填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 有理数的加减法运算 题型一 二 有理数的减法法则 加法交换律 加法结合律 （3）解：原式 （第一步） （第二步） （第三步） ＝﹣5＋0 ＝﹣5． 【变式2】阅读下面的解题过程并解决问题 计算： (﹣3.4)－(﹢1)－(﹢1.6)＋(﹢)； (3)请将正确解答过程补充完整． 有理数的加减法运算 题型一 【变式3】计算： (1) ； (2) ； (3) ． （1）解：原式 ＝73； （2）解：原式 ＝2； （3）解∶原式 ＝7． 有理数的加减法运算 题型一 （1）相反数结合； （2）凑整结合； （3）正、负分别结合； （4）同分母结合； （5）倒数结合 有理数加减法的应用 题型二 解｜题｜技｜巧 加减法的应用，关键在于找到等量关系，然后进行求解计算； 【典例1】王大伯把收获的土豆装在同样大的袋子里，一共装了 25袋．他任意称了其中的 5袋，结果如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 21千克 20千克 18千克 22千克 19千克 解： =500（千克） ∴王大伯大约一共收获了 500千克土豆． 估一估，王大伯大约一共收获了 千克的土豆． 有理数加减法的应用 题型二 500 【典例2】某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，记标准搭载货物重量为 400kg，几架飞行器的搭载质量分别为：﹢20,﹣50,﹢30,﹣60 ,﹢25 ,﹢80 （正数表示超过标准搭载货物重量，负数表示低于标准搭载货物重量，单位： kg）．则无人驾驶飞行器上装载的货物的平均重量是 kg． 解：无人驾驶飞行器上装载的货物的平均重量为： ， 有理数加减法的应用 题型二 【变式1】甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻时间之差，如北京时间为 8:00，东京时间为 9:00，巴黎时间为 1:00，那么东京与北京的时差为 9-8=1(h)，巴黎与北京的时差为-7h ，李教授搭乘北京早上8:00 的飞机经过10h 到达巴黎，那么李教授到达巴黎时，巴黎时间为 ． 解：由题意得： 8＋10－7 =18－7 =11（时）， ∴李教授到达巴黎时，巴黎时间为11时， 有理数加减法的应用 题型二 11时 【变式2】下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化/米 ＋0.21 ＋0.81 ﹣0.35 ＋0.03 ＋0.28 －0.36 －0.01 有理数加减法的应用 题型二 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ (2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？ （1）解：（1）根据题意，设警戒水位为0，则： 星期一为：＋0.21米， 星期二为：米， 星期三为： 米， 星期四为： 米， 星期五为： 米， 星期六为： 米， 星期日为： 米． ∴本周星期二河流水位最高，位于警戒水位之上1.02 米，星期一河流的水位最低，位于警戒水位之上0.21 米． 【变式2】下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化/米 ＋0.21 ＋0.81 ﹣0.35 ＋0.03 ＋0.28 －0.36 －0.01 有理数加减法的应用 题型二 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ (2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？ （2）根据题意，得： ， ∵ 0.61＞0， ∴与上周相比，本周的水位上升了． 【变式3】2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） ＋3.1 ＋1.78 －0.58 －0.8 －1 －1.6 ﹣1.13 有理数加减法的应用 题型二 (1)10月3日的人数为__________万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． (3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ （1）解：根据题意列式： （万人）， ∴10月3日的人数为 万人． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） ＋3.1 ＋1.78 －0.58 －0.8 －1 －1.6 ﹣1.13 有理数加减法的应用 题型二 (1)10月3日的人数为______万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是10月____日，达到 万人．游客人数最少的是10月_____日，达到__________万人． (3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ （2）解： 10月1日人数： （万人）， 10月2日人数： （万人）， 10月3日人数： （万人）， 10月4日人数：（万人）， 10月5日人数： （万人）， 10月6日人数： （万人）， 10月7日人数： （万人）， 2 7 ∴游客人数最多的是10月2日，达到 万人，游客人数最少的是10月7日，达到 万人． 【变式3】2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） ＋3.1 ＋1.78 －0.58 －0.8 －1 －1.6 ﹣1.13 有理数加减法的应用 题型二 (1)10月3日的人数为__________万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． (3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ （3）解： （万人）， ∴黄山风景区在这八天内一共接待了 万人游客． 2 7 有理数加法运算律及符号问题 题型三 解｜题｜技｜巧 加法运算律包含交换律、结合律，注意加法运算律的作用是为了简化计算，提高计算效率和正确率，因此在使用运算律时要注意符号的问题； 【典例1】计算： 解：原式 有理数加法运算律及符号问题 题型三 加法交换律和结合律 ⑴ （1）解：原式=1 有理数加法运算律及符号问题 题型三 ⑵ （2）解：原式=1 同分母分数 【典例2】计算： 同分母分数 凑整数 【变式1】把 转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 解： 第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 有理数加法运算律及符号问题 题型三 B 【变式2】将 改写成省略加号的和的形式应为 ． 解： 【变式3】阅读：对于 ，可以按如下方法计算： 原式 ．上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算： ． 解： =-1 有理数加法运算律及符号问题 题型三 有理数加减混合运算（提高） 题型四 解｜题｜技｜巧 有理数有两大分类维度，需先看清题目要求： ①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 【典例1】计算： (1) ； （1）解： =90 有理数加减混合运算（提高） 题型四 先整理为省略加号和括号形式 (2) ； （2）解：原式 先整理为代数并凑整 （4）解： =-3 (3) ； (4) （3）解：原式 先运算绝对值和去括号 有理数加减混合运算（提高） 题型四 先运算括号里面的 【典例2】（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“－”结果得47，求 的值． 有理数加减混合运算（提高） 题型四 （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步 =103 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ． ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 解：（1）∵ ， ∴， ； 省略加号和括号 转化 交换律和结合律 ② =-18． ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 有理数加减混合运算（提高） 题型四 【变式1】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算： ． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 有理数加减混合运算（提高） 题型四 解：原式 ． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 有理数加减混合运算（提高） 题型四 【变式2】 计算： 。 解：设 有理数加减混合运算（提高） 题型四 得： =-1011 ∴ ∴ 【变式3】计算：． 解：原式 ． 有理数加减混合运算（提高） 题型四 有理数加减中的简便运算 题型五 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合； 2、凑整结合； 3、正、负分别结合； 4、同分母结合； 5、倒数结合 （2）解： = - 0.1； 有理数加减中的简便运算 题型五 【典例1】用简便方法进行运算 (1) ； (2) ； （1）解： （符号相同的两个数分别结合为一组） （互为相反数的和为0） =0； 将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组 （3）解： （将分母相同的两个数分别结合为一组） ； (4) ． (3) ； （4）解： =2－4=- 2． 有理数加减中的简便运算 题型五 【典例1】用简便方法进行运算 将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组 【典例2】计算： (1) ； (2) ． 解：（1）原式 = - 4.5； （2）原式 ． 有理数加减中的简便运算 题型五 【变式1】例 ． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 解： ． 有理数加减中的简便运算 题型五 【变式2】先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ．上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算： ． 解：原式 ． 有理数加减中的简便运算 题型五 【变式3】阅读例题的计算方法． 例：计算： ． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算： ； (2)计算： ． 有理数加减中的简便运算 题型五 （1）解： = - 5． （2）解： ． 利用拆项法计算． (1)计算： ； (2)计算： ． 省略加法和括号的形式 题型六 解｜题｜技｜巧 省略加法和括号的时候要注意符号的问题，尤其是前面是“—”时，省略时要记得加“—”号； 【典例1】把 写成省略加号的和的形式正确的是（ ） A． B． C． D． 解： 省略加法和括号的形式 题型六 C 【典例2】将 写成省略括号的和的形式是（　　） A． B． C． D． 解： B 【变式1】将 写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 解：原式 省略加法和括号的形式 题型六 A 【变式2】把 写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 解： 【变式3】把（－3）－（+4）－（－6）+（－7）+（+2）写成省略加号和括号的形式为 ． 解：（－3）－（+4）－（－6）+（－7）+（+2） 61 有理数的乘除法运算 题型七 解｜题｜技｜巧 1、有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】计算： (1) ； （2）解：原式 有理数的乘除法运算 题型七 (2) ． （1）解： 小数化为分数参加乘除运算更方便 除法化为乘法，在利用分配律进行简便运算 【典例2】计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． （1）解： =0 (2)解： =36 有理数的乘除法运算 题型七 （3） =20 【典例2】计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 有理数的乘除法运算 题型七 （3） =20 (4) 【变式1】规定一种运算!：， 则 ． 解：由题意可得， 有理数的乘除法运算 题型七 9900 【变式2】小王在计算一道除法算式时，误将除数15看成了60，结果所得的结果是20．如果将原算式的被除数乘5，除数除以9，所得的结果是 ． 解：∵小王在计算一道除法算式时，误将除数15看成了60， ∴所得到的商缩小了 倍， ∴正确的结果为 ， ∴将原算式的被除数乘5，除数除以9，所得的结果是： ． 3600 【变式3】计算： . 解： 有理数的乘除法运算 题型七 有理数乘除法的实际应用 题型八 解｜题｜技｜巧 找到数量关系进行求解； 【典例1】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地。约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： －70，＋120 ， －38，＋75 ，－90 ，＋100 ，－ 107，＋ 20． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油 0.08L，检修车油箱容量为 4.5L，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 有理数乘除法的实际应用 题型八 1）解：∵ （千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：开始： - 70； ； 50 38=12； 12＋75=87； 87 90= 3； 3 ＋100=97 ； 97 = ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． 【典例1】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地。约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： －70，＋120 ， －38，＋75 ，－90 ，＋100 ，－ 107，＋ 20． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油 0.08L，检修车油箱容量为 45L，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 有理数乘除法的实际应用 题型八 （3）解： =49.6(L) ， 49.6 45=4.6(L)， 答：检修车在检修过程中至少还需补充 燃油4.6(L) ． 【典例2】甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． 有理数乘除法的实际应用 题型八 （1）解： （元）， （2）解： （元）， 答：如果选择乙厂印制400份材料，需550元． 420． 【典例2】甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． 有理数乘除法的实际应用 题型八 420 （3）解：在甲厂印制： （份）， 在乙厂印制： （份）， ， ∴在乙厂印制的份数比较多． 【变式1】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件： (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？ (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 有理数乘除法的实际应用 题型八 （1）解：花钱要少，尽可能地买最便宜的物品， 三等奖选2元，二等奖选3元，一等奖4元， 共花： （元）， 答：年级组最少要花74 元买奖品； 方案一：一等奖8元，二等奖4元，三等奖2元， 总费用：（元）， 96＜200，符合题意； 方案二：一等奖16元，二等奖8元，三等奖4元， 总费用： （元），192＜200 ，符合题意； (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 有理数乘除法的实际应用 题型八 方案三：一等奖 20元，二等奖10 元，三等奖 5元， 总费用：（元），240 ＞ 200，不符合题意． 答：有两种购买方案，花费最多的需用192 元． （2）解： 【变式2】出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下： －5.5，＋6 ，－8 ，＋9 ， ＋6.5，－7 ． (1)若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为 0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？   起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 有理数乘除法的实际应用 题型八 （1）解： 千米，即小李在出发点的北方1千米处； （2）解： 千米， 升，即出租车共耗油 8.4升； （3）解： 元，即第三位乘客需支付车费43.5 元． 【变式3】定期进行视力检查，有助于全面掌握孩子的视力情况．为此，我校在开学初进行了全校学生视力检查．以 45人为基准人数，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，其中701~714 班检查人数记录如下： 班级 检查人数 班级 检查人数 701班 −1 708班 +1 702班 0 709班 +2 703班 + 2 710班 +3 704班 + 3 711班 −2 705班 −1 712班 0 706班 +2 713班 −1 707班 0 714班 −2 有理数乘除法的实际应用 题型八 (1) 705班接受视力检查的有多少人？ (2) 708班比 714班多检查多少人？ (3)若共有 6名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？ （3）解：45×14+(-1+0+2+3-1+2+0+1+2+3-2+0-1-2)=636 （人）， （人）， （1）解： 人， 答： 705班接受视力检查的有 44人； （2）解： 人 ， 答： 708班比714 班多检查 3人； 答：平均每位医生要检查 106名学生． 有理数乘法运算律 题型九 解｜题｜技｜巧 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【典例1】简便运算： (1) ； (2) ． 解： （1） = 5． （2） 有理数乘法运算律 题型九 【典例2】计算： 解： =46.4 有理数乘法运算律 题型九 【变式1】计算： (1) ；  （2）解：原式 = 13.34． 有理数乘法运算律 题型九 (2) . （1）解：原式 =； 有理数乘法运算律 题型九 【变式2】用简便方法计算： (1) ； (2) ； (3) ． （1）原式 ； （2）原式 ． （3）解：原式 ； （4）原式 ． (4) ； 有理数乘法运算律 题型九 【变式2】用简便方法计算： 【变式3】用乘法运算律简便计算： (1) ; (2)； (3) ； (4) ． 解：（1） =3500； （2） =12 有理数乘法运算律 题型九 （3） ； ； （4） ． 【变式3】用乘法运算律简便计算： (1) ; (2)； (3) ； (4) ． 有理数乘法运算律 题型九 有理数四则混合运算 题型十 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】选择合理的方法计算 (1) (2) 8 (3) (4) （1）解： =； （2）解： 8 ； 有理数四则混合运算 题型十 （3）解： =24 （4）解： =37.5 有理数四则混合运算 题型十 【典例1】选择合理的方法计算 (1) (2) 8 (3) (4) 【典例2】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) （1） ；（2） ； 有理数四则混合运算 题型十 （4） =8 （5） =31 =2 解： （6）解： =1 （3）=13 ； 【变式1】计算： 解：原式=（） = 126． 有理数四则混合运算 题型十 （） 【变式2】计算： (1) (2) （1）解： = 36 （2）解： 有理数四则混合运算 题型十 【变式3】计算 (1) ； (2) ． （1）解： =9 （2）解： ． 有理数四则混合运算 题型十 【典例1】近年来，我国大力发展新能源汽车，对新能源汽车的购置税有优惠政策．淘气的爸爸最近想购置一款新能源汽车．他了解到，最近的购置税政策如下： 淘气的爸爸看中的这款新能源汽车售价是38万元． (1)如果一次性付款，淘气的爸爸一共需要支付多少钱？ (2)某新能源汽车专卖店推出活动：购买汽车时，如果分期付款，可以享受售价的九八折优惠，但需额外支付一笔利息，利息总额约占汽车售价的5% ，淘气的爸爸购买新能源汽车一共需要付多少钱？ 汽车价格 购置税税费 当售价低于或等于30万时 免税 当售价高于30万时 售价万 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 （1）解： （万元） 答：淘气的爸爸一共需要支付38.8万元； 【典例1】近年来，我国大力发展新能源汽车，对新能源汽车的购置税有优惠政策．淘气的爸爸最近想购置一款新能源汽车．他了解到，最近的购置税政策如下： 淘气的爸爸看中的这款新能源汽车售价是38万元． (1)如果一次性付款，淘气的爸爸一共需要支付多少钱？ (2)某新能源汽车专卖店推出活动：购买汽车时，如果分期付款，可以享受售价的九八折优惠，但需额外支付一笔利息，利息总额约占汽车售价的5% ，淘气的爸爸购买新能源汽车一共需要付多少钱？ 汽车价格 购置税税费 当售价低于或等于30万时 免税 当售价高于30万时 售价万 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 （2）解： （万元）， （万元）， （万元）， （万元） 答：一共需要支付 39.826万元． 【典例2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以 50千米为标准，多于50 千米的记为“＋”，不足50 千米的记为“－”，刚好50 千米的记为“ 0”． (1)这7天里，路程最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？ (2)求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶100 千米需用汽油7 升，汽油价8 元 升，而新能源汽车每行驶100 千米耗电量为20 度，每度电为 0.8元，请通过计算估计小明家换成新能源汽车后这 7天的行驶费用比原来节省多少元？   第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） 12 16 0 31 33 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 （1）解：由表格得： （千米）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶49 千米， 【典例2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以 50千米为标准，多于50 千米的记为“＋”，不足50 千米的记为“－”，刚好50 千米的记为“ 0”． (1)这7天里，路程最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？ (2)求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶100 千米需用汽油7 升，汽油价8 元 升，而新能源汽车每行驶100 千米耗电量为20 度，每度电为 0.8元，请通过计算估计小明家换成新能源汽车后这 7天的行驶费用比原来节省多少元？   第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） 12 16 0 31 33 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 （2） =50 （千米）， （千米）； 【典例2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以 50千米为标准，多于50 千米的记为“＋”，不足50 千米的记为“－”，刚好50 千米的记为“ 0”． (1)这7天里，路程最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？ (2)求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶100 千米需用汽油7 升，汽油价8 元 升，而新能源汽车每行驶100 千米耗电量为20 度，每度电为 0.8元，请通过计算估计小明家换成新能源汽车后这 7天的行驶费用比原来节省多少元？   第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） 12 16 0 31 33 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 3）=160 （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省160 元． 【变式1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？   标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付25% ，剩余 75%由医疗保险基金支付 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 解： （1） （元）， 答：他本次住院需要个人支付1537.5 元钱； （2）1650÷75%+650 =2200+650=2850（元）， 答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元． 【变式2】如表是某市地铁收费标准： 分段 乘坐里程(千米) 单程票票价 1 0＜里程 ≤6 2元 2 6＜里程≤ 11 3元 3 11＜里程 ≤16 4元 4 16＜里程≤ 23 5元 5 23＜里程 ≤30 6元 6 里程30千米以上，每9千米分段 加1元 备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠，即只需付票价的95% 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 亮亮的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12千米，每月按21天上下班计算． (1)求亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； (2)地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票 130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，亮亮妈妈每天上下班乘坐地铁交通费最少是多少？请你帮助亮亮妈妈选取一种地铁交通费最少的方案并说明理由． 【变式2】如表是某市地铁收费标准： 分段 乘坐里程(千米) 单程票票价 1 0＜里程 ≤6 2元 2 6＜里程≤ 11 3元 3 11＜里程 ≤16 4元 4 16＜里程≤ 23 5元 5 23＜里程 ≤30 6元 6 里程30千米以上，每9千米分段 加1元 备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠，即只需付票价的95% 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 亮亮的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12千米，每月按21天上下班计算． (1)求亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； （1）解：由表格可知，亮亮的妈妈每次单程票票价为4元， 故亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费为： （元）， 答：亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费是 159.6元； 【变式2】如表是某市地铁收费标准： 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 亮亮的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12千米，每月按21天上下班计算． (2)地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票 130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，亮亮妈妈每天上下班乘坐地铁交通费最少是多少？请你帮助亮亮妈妈选取一种地铁交通费最少的方案并说明理由． （2）解：∵亮亮妈妈一个月需要坐地铁 21×2=42（次）， ∴当选择A月票时较低的费用为：（元）， 当选择B月票时较低的费用为： （元）， 当选择C月票时的费用为130元； ∵， ∴亮亮的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是 127.6元． 费用最少的方案为：购买2个A月票，刷卡乘车2次． 3 11＜里程 ≤16 4元 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工2 0 件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过20 件记为正，不足20 件记为负）： (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为 0.5元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励10 元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予200 元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳 100元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） ＋5 －2 －4 ＋3 －1 ＋8 －7 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 （1）解：根据题意得： （件）， 答：工厂当周一共加工 142件零件； 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工2 0 件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过20 件记为正，不足20 件记为负）： (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为 0.5元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励10 元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予200 元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳 100元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） ＋5 －2 －4 ＋3 －1 ＋8 －7 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 （2）解：根据题意得：142×0.5=71 （元）， 答：该工厂当周的加工总成本为71 元； 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工2 0 件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过20 件记为正，不足20 件记为负）： (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为 0.5元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励10 元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予200 元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳 100元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） ＋5 －2 －4 ＋3 －1 ＋8 －7 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 （3）解：根据题意得： 元， 答：该工厂当周的奖励总额为 1620元． 有理数的乘方运算 题型十二 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】在 ， ， ， 中，最大的数为（ ） A． B． C． D． 解： ， ， ， ， ∵ 27＞27， ∴最大的数为27 有理数的乘方运算 题型十二 B 【典例2】计算的式子为（ ） A． B． C． D． 解：原式= 有理数的乘方运算 题型十二 A 【变式1】如果n是正整数，则 ． 解： =0． 0 【变式2】计算： ； ； ； ． 【变式3】计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： =1 ． 有理数的乘方运算 题型十二 【典例1】按如图所示的程序计算，当输入x的值为2 时，输出的值为（ ） A．63 B．8 C．64 D．80 【解析】当输入x的值为 2时， ， ∴ ， ∴ ，∴输出的值为63． 程序流程图与算24点 题型十三 A 【典例2】“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中 ．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为 ．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． ． 【变式1】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或 24，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 解：由题意得： 或 或． 程序流程图与算24点 题型十三 或 或 【变式2】任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ； 若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 程序流程图与算24点 题型十三 1（答案不唯一） 解：第一空：选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：1＋0＋1=1 ， 再对和进行平方：=1 ， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， ∴最后输出的结果可能是 1（答案不唯一，还可能是169等 ） 【变式2】任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ； 若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 程序流程图与算24点 题型十三 1（答案不唯一） 从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为 999÷3=333，②333是3的倍数，下一个数为333÷3=111 ，③111是3的倍数，下一个数为 111÷3=37，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为 ，②676不是3的倍数，下一个数为 ，③361不是3的倍数，下一个数为 ，继续运算，运算次数超过3次； 同理，997、962 运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为 ，②256不是3的倍数，下一个数为 ，③169不是3的倍数，下一个数为 ，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义．所以，最大的幸运数为961 961 【变式3】按流程图进行计算： 如第一次 ，不大于100，第二次重复再做，请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程． 程序流程图与算24点 题型十三 解：最后输出的结果是361 ，计算过程如下： 依题意， ， 第二次重复再做， ， 第三次重复再做， ， ∴最后输出的结果是 361． 科学记数法 题型十四 解｜题｜技｜巧 1、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 【典例1】2024年中国新能源汽车年产量突破，数据“”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． 0. D． 科学记数法 题型十四 A 【典例2】赫兹 是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫 、兆赫 、吉赫 ”．某国产芯片的频率为840 ，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（ ） A．B． C． D． 解： ． 答：该芯片的频率用科学记数法可表示为 ． C 【变式1】光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 ．请你把下列算式或命题① ．② ．③ 是一个12位数．④ 是一个13位数，正确的序号填写在 ． ① ，故原算式错误； ② ， 故原算式错误； ③ 是一个13位数，故原说法错误； ④ 是一个13位数，正确； 科学记数法 题型十四 ④ 解： 【变式2】2025年4月19日6时51分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将试验二十七号卫星01星~06星发射升空，发射任务获得圆满成功．长征六号改运载火箭重量约为530000千克，数据530000用科学记数法表示为 ． 科学记数法 题型十四 【变式3】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1) ； (2) ； (3) ． （1）∵ ， ∴ 的原数为2000000； （2）∵ ， ∴ 的原数为603000； （3）∵ ， ∴ 的原数为 ． 解： 近 似 数 题型十五 解｜题｜技｜巧 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字 【典例1】用四舍五入法按要求对 0.06029分别取近似值，其中错误的是（ ） A． 0.1（精确到十分位） B． 0.06（精确到 0.01） C． 0.06（精确到千分位） D．0.0603 （精确到 0.0001） 解： A. 0.1 （精确到十分位）正确，不符合题意； B. 0.06 （精确到0.01 ）正确，不符合题意 C. 0.06029用四舍五入法精确到千分位是 0.060，不是 0.06 ， 故该选项错误，符合题意； D. 0.0603 （精确到 0.0001 ）正确，不符合题意； 近 似 数 题型十五 C 【典例2】下列各个数字属于准确数的是（ ） A．我国目前共有 34个省、市、自治区及特别行政区 B．半径 厘米的圆的周长是31.4 厘米 C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌3.9 亿个 D．据国家统计局数据，2019 年年底上海市常住人口达到了 2428.14万人 解：A 、我国目前共有 34个省、市、自治区及特别行政区， 34 是准确的数据，故本选项符合题意； B、半径 5厘米的圆的周长=2×5π=10π ， 所以 31.4厘米是近似数，故本选项不符合题意； C 、一只没洗干净的手，约带有各种细菌 3.9亿个，数据太大，根本查不清， 所以3.9 亿是近似数，故本选项不符合题意； D、据国家统计局数据，2019 年年底上海市常住人口达到了2428.14 万人， 数据太大，根本查不清，所以2428.14 万是近似数，故本选项不符合题意； 近 似 数 题型十五 A 【变式1】用四舍五入法按要求取近似值： （1）2.268（精确到百分位）≈ ； （2）9.403（精确到个位） ≈ ； （3）8.965（精确到0.1）≈ ． 解： （1）2.268（精确到百分位） ≈ 2.27； （2）9.403（精确到个位） ≈9 ； （3）8.965（精确到0.1） ≈ 9.0． 近 似 数 题型十五 【变式2】据文化和旅游部数据中心测算，2023年“五一”假期期间国内旅游收入1480.56亿元，同比增长128.90% ，其中1480.56亿用科学记数法可表示为 （精确到百亿位）． 2.27 9 9.0 解：1480.56亿 亿 ． 【变式3】用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1) 0.34082（精确到千分位）；(2) 64.8（精确到个位）； ( 3) 1.5046（精确到 0.01）； (4)130542（精确到千位）． （1）解： （精确到千分位）； （2）解： 64.8 65（精确到个位）； （3）解： 1.5046 1.50 （精确到 0.01）； （4）解：130542 131000 （精确到千位）． 近 似 数 题型十五 有理数中规律计算问题 题型十六 解｜题｜技｜巧 有理数的规律计算问题， 主要掌握计算公式： 【典例1】观察下列各式： ； 根据规律解答下列各题： (1) ________ ________． (2)计算： ________． (3)计算： ． （1）解： ∵ ； ； ∴ ， ∴ ， 有理数中规律计算问题 题型十六 【典例1】观察下列各式： ； 根据规律解答下列各题： (1) ________ ________． (2)计算： _____． (3)计算： ． 有理数中规律计算问题 题型十六 （2）解： = ， 【典例1】观察下列各式： ； 根据规律解答下列各题： (1) ________ ________． (2)计算： ________． (3)计算： ． 有理数中规律计算问题 题型十六 （3）解： ) ． 【典例2】阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是： ，其中 n是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题： ？观察下面三个特殊的等式：① ；② ；③ ；把①、②、③三个等式相加，于是 ． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现 _____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： ． 有理数中规律计算问题 题型十六 （2）解： ； 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现 _____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： ． （1）解： =； 有理数中规律计算问题 题型十六 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现 _____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： ． （3）解： ． 有理数中规律计算问题 题型十六 【变式1】观察下列算式． …… 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式： ________； (2)第五个算式为 ； (3)计算： ． （1）解：由题意得， ， （2）解：由题意得，第五个算式为 有理数中规律计算问题 题型十六 （3）解： ； ； ； (3)计算： ． 有理数中规律计算问题 题型十六 ∴ ． …… 以此类推可知， 【变式2】（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______； 根据此规律，如果 （n为正整数）表示这一列数的第n项， 那么= ______， =______．（直接写出结果） （2）为了求 的值，可令 则 ，因此 ， 所以，即 ． 仿照以上推理，计算 ，请写出计算过程． 有理数中规律计算问题 题型十六 （1）解： ∵ n=1， =1； n=2， =3； n=3， ； n=4， ； 以此类推： ， ∴ ， 【变式2】（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______； 根据此规律，如果 （n为正整数）表示这一列数的第n项， 那么= ______， =______．（直接写出结果） （2）为了求 的值，可令 则 ，因此 ， 所以，即 ． 仿照以上推理，计算 ，请写出计算过程． 有理数中规律计算问题 题型十六 （2）可令 ， 则 ， 因此 ，所以， 即 ． 【变式3】【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？【阅读理解】 ． 有理数中规律计算问题 题型十六 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______， 是第______个数． （2）请直接写出计算结果： ______． 【拓展运用】 （3）已知 ， ， ， 计算：． 【变式3】【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？【阅读理解】 ． 有理数中规律计算问题 题型十六 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______， 是第 个数． 解：（1）解：由题意知，第1个数为 ； 第2个数为 ；第3个数为 ；第4个数为 ；第5个数为 ； ∴可推导一般性规律为：第 n个数为 ， ∴第6个数是 ， ∵ ，∴ 是第11个数； 11个数 【变式3】【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？【阅读理解】 ． 有理数中规律计算问题 题型十六 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______， 是第______个数． （2）请直接写出计算结果： ______． （2） 11个数 【变式3】【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？【阅读理解】 ． 有理数中规律计算问题 题型十六 【拓展运用】 （3）已知 ， ， ， 计算：． （3）解：由题意知， . 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1.（25-26七年级上·全国·期中）计算： 解：原式 期中基础通关练 期中基础通关练 2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）由四舍五入法得到的近似数562.10 ，下列说法正确的是（ ）． A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到百分位 D 解： A、精确到十分位指精确到小数点后第一位（数字1），而562.10 最后一位数字在小数点后第二位，此选项不符合题意； B、精确到个位指精确到数字2所在的位，与562.10 最后一位数字的数位不符， 此选项不符合题意； C、精确到百位指精确到数字5所在的位，与 562.10最后一位数字的数位不符， 此选项不符合题意； D、精确到百分位指精确到小数点后第二位， 562.10最后一位数字0在小数点后第二位， 此选项符合题意； 8．（25-26七年级上·全国·期中）计算（能简算的要简算）： (1) （2） （1）解：原式 （2）解：原式= 期中基础通关练 8．（25-26七年级上·全国·期中）计算（能简算的要简算）： （3） （4） （3）解：原式= （4）解：原式 期中基础通关练 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）定义新运算“⊕”如下：当a≥b 时， ；当a＜b 时，．按上述规定计算 的值为（ ） A． -1 B． -2 C． -5 D. -4． ∵ ∴ 解：当a≥b 时， ； 当a＜b 时， A 期中重难突破练 2．（24-25七年级上·广东韶关·期中）如图，第十四届国际数学教育大会（ICME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，则八进制数2025换算成十进制数是 ．（注： ） 解：八进制数 2025换算成十进制数为 = = 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $