21.3.1《矩形》（第1课时） 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

矩形 1、矩形的性质 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． A B C D 四边形ABCD 如果 AB//CD ，AD//BC B D □ ABCD A C 1．平行四边形的概念． （一）复习导入 1．平行四边形的概念． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2 平行四边形的性质： 边 平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等； 角 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补． 对角线 平行四边形的对角线互相平分； 2．平行四边形有哪些性质？ （2．平行四边形有哪些性质？ 边：对边平行；对边相等． 对角线：对角线互相平分． 角：对角相等；邻角互补． 3 平行四边形的判定： 边 两组对边分别平行的四边形； 两组对边分别相等的四边形； 角 两组对角分别相等的四边形． 对角线 对角线互相平分的四边形； 一组对边平行且相等的四边形； 3．平行四边形有哪些判定定理： 3．平行四边形有哪些判定定理？ 边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 4 一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 　　我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形→ 矩形 4．我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形． 设计意图：通过复习平行四边形的性质和判定，巩固旧知识，同时又为顺利自然的引出矩形的性质做好铺垫和准备． 5 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 1．矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形． （二）探究新知 多媒体展示平行四边形与矩形的关系，引导学生思考，探究． 1．矩形的定义． 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． （矩形是特殊的平行四边形） 6 具备平行四边形所有的性质． A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等． 对角相等． 对角线互相平分． 2．矩形的一般性质： 2．矩形的一般性质：具备平行四边形的所有性质． 边：对边平行且相等． 角：对角相等． 对角线：对角线互相平分． 7 3．矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 大家各自画一个矩形，用量角器和直尺分别量一下四个内角的度数和两条对角线的长度，你发现了什么？猜想一下矩形还有什么性质． 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． 3．矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 大家各自画一个矩形，用量角器和直尺分别量一下四个内角的度数和两条对角线的长度，你发现了什么？猜想一下矩形还有什么性质． 发现四个内角都是直角，两条对角线长度相等． 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． 8 已知：四边形ABCD是矩形． 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°. 又矩形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A＋∠B=180°． ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°． 即矩形的四个角都是直角． A B C D 4．你能证明一下上面猜想的正确性吗？ 4．你能证明一下上面猜想的正确性吗？ 猜想1的证明： 已知：四边形ABCD是矩形． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°． 又矩形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°． ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 即矩形的四个角都是直角． 9 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°． 性质1：矩形的四个角都是直角． D A B C 性质1：矩形的四个角都是直角． 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 10 已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线． 求证：AC=BD． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=∠DCB． 又BC=CB， ∴△ABC≌△DCB． ∴AC=BD． A B C D 猜想2的证明： 已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线． 求证：AC＝BD． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB． 又BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB． ∴AC＝BD． 11 性质2：矩形的对角线相等． 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD． A B C D 性质2：矩形的对角线相等． 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． 12 矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 边 对角线 角 5．总结：矩形的性质． 矩形的性质 5．总结：矩形的性质 边：两组对边分别平行；两组对边分别相等． 角：四个角都是直角（∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°）． 对角线：两条对角线相等且互相平分． 13 6．说说矩形与平行四边形的性质相同和不同之处． 平行四边形 矩形 边 角 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 对角线相等 且互相平分 四个角都是直角 对边平行且相等 6．你能说说矩形与平行四边形的性质相同和不同之处吗？ 14 7．三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处，这样的队形对每个人公平吗？ O A B C 　　上一节，我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面我们用矩形的性质研究直角三角形的一个性质． 7．三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处，这样的队形对每个人公平吗？为什么？ 上一节，我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面我们用矩形的性质研究直角三角形的一个性质． 15 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC O C B A 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC上的中线． 求证：BO＝ 1/2AC． 16 ∵∠ABC=90°， ∴□ABCD是矩形． O D 证明: 延长BO至D，使OD=BO ，连接AD，DC. ∵AO=OC ， BO=OD ， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AC=BD． ∴BO= BD= AC． 证明：延长BO至D，使OD＝BO，连接AD，DC． ∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°， ∴□ABCD是矩形． ∴AC＝BD． ∴BO＝ 1/2BD＝ 1/2AC． 17 得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 因此，我们得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 设计意图：通过平行四边形性质引出矩形性质，通过“设疑——猜想——度量——证明”等活动，加深学生知识形成过程的认识，强化记忆．通过从“一般——特殊——再特殊”的性质的递推，培养学生演绎推理能力． 18 【例】如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA=OB． 又∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形． ∴OA=AB=4． ∴AC=BD=2OA=8． A B C D O （三）例题精析 【例】如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA＝OB． 又∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形． ∴OA＝AB＝4． ∴AC＝BD＝2OA＝8． 19 　　 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝20°，则∠BDC＝（ ）． A．30° B．40° C．45° D．60° 解析：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD． ∴∠A＝∠DCA＝20° ， ∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝20°＋20°＝40°．故选B． B 巩固练习 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝20°，则∠BDC＝（ ）． A．30° B．40° C．45° D．60° 解析：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD．∴∠A＝∠DCA＝20°，∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝20°＋20°＝40°．故选B． 20 A B C D O 1．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，图中有哪些直角三角形？有哪些等腰三角形？有哪几对全等三角形？ （四）课堂练习 1．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，图中有哪些直角三角形？有哪些等腰三角形？有哪几对全等三角形？ 21 A B C D O 两对全等的等腰三角形． 22 A B C D O 四个全等的直角三角形． 23 A B C D O △OAB；△OBC；△OCD；△OAD． Rt△ABC≌Rt△DCB≌Rt△CDA≌Rt△BAD； △OAB≌△OCD；△OAD≌△OCB． 直角三角形：Rt△ABC；Rt△BCD；Rt△CDA；Rt△DAB 等腰三角形： 全等三角形： 注意：矩形问题常常转化为直角三角形和等腰三角形问题来解决． 让学生分解图形，得出答案： 直角三角形：Rt△ABC；Rt△BCD；Rt△CDA；Rt△DAB． 等腰三角形：△OAB；△OBC；△OCD；△OAD． 全等三角形：Rt△ABC≌Rt△DCB≌Rt△CDA≌Rt△BAD；△OAB≌△OCD；△OAD≌△OCB． 24 2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）． A．对角相等 　　 B．对边相等 C．对角线相等 　　 D．对角线互相平分 C 注意：矩形问题常常转化为直角三角形和等腰三角形问题来解决． 2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）． A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 答案：C． 25 3．已知：四边形ABCD是矩形． （1）若已知AB＝8㎝，AD＝6㎝，则AC＝_____ cm， OB＝_____ cm． （2）若已知 ∠DOC＝120°，AC＝8㎝，则AD＝_____cm，AB＝ _____cm． 10 4 5 3．已知：四边形ABCD是矩形， （1）若已知AB＝8cm，AD＝6cm，则AC＝_______cm，OB＝_______cm． （2）若已知∠DOC＝120°，AC＝8 cm，则AD＝_______cm，AB＝_______cm． 答案：（1）10，5．（2）4， ． 设计意图：通过练习，培养学生分析问题解决问题的能力，综合运用知识的能力． 26 1．两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线 长为（　　）． A．26 　 B．13 C．8.5 D．6.5 2．如图，要使□ABCD成为矩形， 需添加的条件是（　　）． A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2 D C 1．两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为（ ）． A．26 B．13 C．8.5 D．6.5 解析：由勾股定理得，斜边长为13，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．故选D． 2．如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）． A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2 解析：因为有一个直角的平行四边形是矩形．故选C． 27 3．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE//AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ） A．1个 　　　 B．2个 C．3个 D．4个 　　解析：与△ABC全等的三角形有：△DCB，△BAD，△CDA，△DCE共4个．故选D． D 3．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：与△ABC全等的三角形有：△DCB，△BAD，△CDA，△DCE共4个．故选D． 28 4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为_______度 ． 　　解析：由折叠可知，∠DEF＝∠BEF，∠EFC＝∠EFC′． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°． 又∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°， ∴∠DEF＝55°． 在四边形EFCD中，∠EFC＝125°， ∴∠EFC′＝125°． 125 4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为_______度． 解析：由折叠可知，∠DEF＝∠BEF，∠EFC＝∠EFC′． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°． 又∠ABE＝20°， ∴∠AEB＝70°． ∴∠DEF＝55°． 在四边形EFCD中，∠EFC＝125°， ∴∠EFC′＝125°． 答案：125 29 1．矩形是如何从平行四边形演变而来的？ 谈谈本节课你的收获？ 两组对边分别平行 平行四边形 有一个角是直角 矩形 四边形 （五）课堂小结 谈谈本节课你的收获？ 1．矩形是如何从平行四边形演变而来的？ 30 2．对比平行四边形的性质，矩形还有哪些特殊性质？ 平行四边形 矩形 边 角 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 对角线相等 且互相平分 四个角都是直角 对边平行且相等 3．矩形的问题经常转化到等腰三角形或直角三角形中解决． 2．对比平行四边形的性质，矩形还有哪些特殊性质？ 3．矩形的问题经常转化到等腰三角形或直角三角形中解决． 设计意图：通过让学生对比新旧知识，明确研究平行四边形性质的方法可以迁移到研究特殊平行四边形性质的方法，这种思维方式还可以来研究其他特殊平行四边形，渗透类比和转化的数学思想，形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性． 31 A B C E D F 1 2 布置作业 1．已知：矩形ABCD中，E是BC上一点， DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF． （七）布置作业 1．已知：矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC． 求证：CE＝EF． 32 2．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE//AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝4， 求四边形ABED的面积． 2．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积． 33 谢谢观看 $