21.3.3《正方形》 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

正方形 1．欣赏下面的图片，你发现它们都是什么图形？ 正方形 1．欣赏下面的图片，你发现它们都是什么图形？ 2 2．从上面各种图片看出，正方形在我们日常生活中有广泛的应用，那么正方形的四条边有什么关系？四个角呢？ 正方形 四条边都相等，四个角都是直角．　　 2．从上面各种图片看出，正方形在我们日常生活中有广泛的应用，那么正方形的四条边有什么关系？四个角呢？ 四条边都相等，四个角都是直角． 3 3．正方形是矩形吗？是菱形？正方形和它们是什么关系？ 矩 形 正方形 = = = = 邻边相等 正方形是矩形，矩形当邻边相等时就是正方形． 3．正方形是矩形吗？是菱形？正方形和它们是什么关系？ 正方形是矩形，矩形当邻边相等时就是正方形． 4 3．正方形是矩形吗？是菱形？正方形和它们是什么关系？ 一个角是直角 正方形也是菱形． 菱形有一个角是直角时就是正方形． 菱形 正方形 3．正方形是矩形吗？是菱形？正方形和它们是什么关系？ 菱形有一个角是直角时就是正方形． 5 一个角是直角　 一组邻边相等　　 平行四边形 　 矩形 　 菱形 　 一组邻边相等　　 一个角是直角　 正方形　 正方形与矩形和菱形的关系: 正方形与矩形和菱形的关系: 6 你能给正方形下一个定义吗？ 正方形定义： 　　有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 　正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 你能给正方形下一个定义吗？ 正方形定义： 　　有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 7 1．由定义可知正方形既是特殊的矩形，又是特殊的 菱形．那么正方形又有哪些性质呢？ （1）边的性质：对边平行，四条边都相等． （2）角的性质：四个角都是直角． （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相 等，每条对角线平分一组对角． （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴． 1．由定义可知正方形既是特殊的矩形，又是特殊的 菱形．那么正方形又有哪些性质呢？ （1）边的性质：对边平行，四条边都相等． （2）角的性质：四个角都是直角． （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相 等，每条对角线平分一组对角． （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴． 8 定义法：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相 等的平行四边形是正方形； 菱形法：（2）有一个角是直角的菱形是正方形； 矩形法：（3）有一组邻边相等的矩形是正方形． 2．正方形既是矩形也是菱形，那么正方形又有哪些判定方法呢？ 　　可以以平行四边形，矩形和菱形为基础来考虑． 2．正方形既是矩形也是菱形，那么正方形又有哪些判定方法呢？ 可以以平行四边形，矩形和菱形为基础来考虑． 定义法：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相 等的平行四边形是正方形； 菱形法：（2）有一个角是直角的菱形是正方形； 矩形法：（3）有一组邻边相等的矩形是正方形． 9 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 1． 正方形 菱形 2． 一内角是直角 正方形的判定方法： 定义法 菱形法 矩形 3． 一组邻边相等 正方形 矩形法 正方形的判定方法： 10 【例】求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O． 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形． 　　 O　 A　 B　 C　 D　 【例】求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O． 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形． 11 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO，△BCO ， △CDO ， △DAO都是等腰直角三角 形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 　　 O　 A　 B　 C　 D　 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO，△BCO ， △CDO ， △DAO都是等腰直角三角 形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 12 【例2】如图，在△ABC中， ABC＝90°，BD平分 ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形． 证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC， ∴DE//AB．同理可得DF//BC． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF． 又∵∠ABC＝90°，四边形BEDF是平行四边形． ∴四边形BEDF是正方形． 【例2】如图，在△ABC中， ABC＝90°，BD平分 ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形． 证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AB．同理可得DF∥BC． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF． 又∵∠ABC＝90°，四边形BEDF是平行四边形． ∴四边形BEDF是正方形． 13 1．如图，在正方形ABCD的内部作等边△BCE，则∠AEB的度数为（ ）． A．60° B．65° C．70° D．75° 解析：∵△BCE为等边三角形，四边形ABCD为正方形，∴AB＝BE．∴∠BAE＝∠BEA． 又∵∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°． ∴ ，故选D． D 1．如图，在正方形ABCD的内部作等边△BCE，则∠AEB的度数为（ ）． 解析：∵△BCE为等边三角形，四边形ABCD为正方形，∴AB＝BE．∴∠BAE＝∠BEA． 又∵∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°． ∠AEB=75°故选D． 14 2．如图，正方形ABCD的对角线长为 ，E为AB上一点．若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF＋EG＝________． 　　解析：设AC与BD相交于点O．由正方形的性质易知△BEG是等腰直角三角形，四边形EGOF是矩形． ∴有EF＝GO，EG＝BG． ∴EF＋EG＝GO＋BG＝BO＝ 2．如图，正方形ABCD的对角线长为 ，E为AB上一点．若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF＋EG＝ 　解析：设AC与BD相交于点O．由正方形的性质易知△BEG是等腰直角三角形，四边形EGOF是矩形． ∴有EF＝GO，EG＝BG． ∴EF＋EG＝GO＋BG＝BO＝4根2 15 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由． 16 　　四边形CEDF是正方形． 理由：如图，作DG⊥AB于点G． ∵AD平分 ∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG． 同理可得DG＝DE．∴DF＝DE． ∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形． ∵DF＝DE， ∴四边形CEDF是正方形． 　四边形CEDF是正方形． 理由：如图，作DG⊥AB于点G． ∵AD平分 ∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG． 同理可得DG＝DE．∴DF＝DE． ∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形． ∵DF＝DE， ∴四边形CEDF是正方形． 17 1．判断下列说法的对错． （1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形． （ ） （2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形． （ ） （3）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形． （ ） （4）正方形一定是菱形．　　　　　　　　　　 （ ） （5）矩形一定是正方形．　　　　　　　　　　 （ ） （6）正方形是轴对称图形，一共有2条对称轴．　　 （ ） √ √ √ √ × × 1．判断下列说法的对错． （1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角 三角形． （ ） （2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形． （ ） （3）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形． （ ） （4）正方形一定是菱形．　　　　　　　　　　 　（ ） （5）矩形一定是正方形．　　　　　　　　　　 （ ） （6）正方形是轴对称图形，一共有2条对称轴．　　 （ ） 18 2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．四个角相等　　　　　B．对角线互相垂直平分 C．对角互补 　　　　 D．对角线相等 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 D B 2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．四个角相等　　　　　B．对角线互相垂直平分 C．对角互补 　　　　 D．对角线相等 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 19 4．下列命题正确的是（ ） A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 D 4．下列命题正确的是（ ） A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 20 5．下列说法中错误的是（ ）． A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 B 5．下列说法中错误的是（ ）． A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形 21 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联 系与区别？它有什么性质？怎样判定？ （3）回忆从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的学 习过程，我们研究这些图形的次序是什么？其中 体现了什么思想？ （1）本节课学习了哪些内容？ （2）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联 系与区别？它有什么性质？怎样判定？ （3）回忆从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的学 习过程，我们研究这些图形的次序是什么？其中 体现了什么思想？ 22 作业 1．判断下列说法的对错． （1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．（ ） （2）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是 正方形． （ ） （3）正方形一定是矩形．　 （ ） （4）菱形一定是正方形． 　（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形． （ ） （6）四个角都相等的四边形是正方形 ．　　 （ ） × × × √ √ √ 布置作业 1．判断下列说法的对错． （1）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．（ ） （2）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形． 　　 （ ） （3）正方形一定是矩形．　　　　 　　　（ ） （4）菱形一定是正方形．　　　　　 　（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形． （ ） （6）四个角都相等的四边形是正方形 ．　　 （ ） 23 2．已知：正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6 cm，则正方形的面积S＝_______． 3．正方形ABCD的面积是9 cm2．则AB＝_______，AC＝_______． 3 cm 2．已知：正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6 cm，则正方形的面积S＝ 3．正方形ABCD的面积是9 cm2．则AB＝_______，AC＝ 24 4．如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为_____cm． 7.5 4．如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为_____cm． 25 谢谢观看 $