5.3.1 课时2 利用导数判断函数的单调性 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1 课时2 利用导数判断函数的单调性 第五章 一元函数的导数及其应用 判断函数的单调性 观察函数的图象 函数单调性的定义 利用导数的正负 思考：如何探究函数的单调性？ 下面我们利用导数来研究形如f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)这种三次函数的单调区间问题。 ►课本P87 新课导入 解：函数 f(x)＝x3－x2－2x＋1的定义域为 R . 典例1. 求函数 f(x)＝x3－x2－2x＋1的单调区间. 对 f(x)求导数，得f ′(x)＝x2－x－2 ＝(x＋1)(x－2)； 令f ′(x)＝0，解得 x＝−1 或 x＝2； 则 x＝−1 和 x＝2 把函数定义域划分成三个区间： −1 2 (−∞，−1) (−1，2) (2，＋∞) ►课本P87 知识讲解 x (−∞，−1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) f(x) f ′(x) 在各区间上的正负，以及 f (x) 的单调性如下表所示： ＋ － ＋ 0 0 单调递减 单调递增 单调递增 f (−1) = f (2) = − 所以，f(x)在(−∞，−1)和(2，＋∞)上单调递增，在 (−1，2) 上单调递减，如图所示. x y O f (x) = x3 − x2 − 2x + 1 (−1，) -1 (2，) 2 第 1 步 确定函数的定义域； 第 2 步 求出导数 f ′(x)的零点； 第 3 步 用 f ′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性. 利用导数研究函数 y＝f(x)的单调性的一般步骤： (即 f ′(x)＝0 时，x 的值) ►课本P88 知识讲解 追问1：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你又如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？ 追问2：相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究三次函数单调性有何优势？ 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 思想升华 ►课本P88 当堂练习 ►课本P89 1. 判断函数的单调性，并求出单调区间. (1)f(x)＝3x－x3； (2)f(x)＝x3－x2－x ►课本P89 (1)f(x)＝3x－x3； 解：f ′(x) ＝3－3x2＝3(1－x2)＝3(1－x)(1＋x)； 令 f ′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝−1； 则 x＝1 和 x＝−1 把函数定义域划分成三个区间，f ′(x)在各区间上的正负，以及 f(x) 的单调性如下表所示： x (−∞，−1) −1 (−1，1) 1 (1，+∞) f ′(x) − 0 + 0 − f (x) 单调递减 f (−1) = − 2 单调递增 f (1) = 2 单调递减 故 f (x) 的单调递增区间为 (−1，1)，单调递减区间为 (−∞，−1)∪(1，+∞). ►课本P89 (2)f(x)＝x3－x2－x x 1 (1，+∞) f ′(x) + 0 − 0 + f (x) 单调递增 单调递减 f (1) = −1 单调递增 解：函数f(x)＝x3－x2－x的定义域为R. f ′(x) ＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)；令 f ′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝ ； 故 f (x) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 当堂练习 ►课本P89 2. 证明函数f(x)＝2x3－6x2＋7在区间(0，2)上单调递减. 证明： f ′(x) ＝6x2－12x＝6x (x－2) 当x∈(0，2)时，f ′(x)＜0， 因此函数区间(0，2)上单调递减. 当堂练习 ►课本P89 3. 函数y＝f ′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)图象的大致形状. x y O a b e d c 解： x y O a b e d c 函数y＝f(x)图象的大致形状如图所示 探究：研究对数函数 y＝ln x 与幂函数 y＝x3 在区间(0，＋∞)上增长快慢的情况. x y O y = ln x 随着 x 的增大，y′＝越来越小， 所以函数y＝ln x递增得越来越慢， 图象上升得越来越“平缓”. y = x3 x y O 随着 x 的增大，y′ = 3x2 越来越大， 说明函数 y＝x3 递增得越来越快， 图象上升得越来越“陡峭”. 对数函数y＝ln x的导数为y′＝ 幂函数 y＝x3 的 导数为y′＝3x2 知识讲解 函数增减的快慢与导数的关系 一般地，函数在某个区间上： 如果导数的绝对值越小，那么函数在这个区间上变化得较慢，图象比较“平缓”； 反之，如果导数的绝对值越大，那么函数在这个区间上变化得较快，图象比较“陡峭”. 知识讲解 函数 f (x) 的图象 f ′(x) 的 变化规律 函数值 变化规律 x y O x y O 函数值增减快慢与导数的关系 f ′(x) > 0 且越来越大 函数值增加得越来越快 f ′(x) > 0 且越来越小 函数值增加得越来越慢 x y O f ′(x) < 0 且越来越小 函数值增加得越来越快 x y O f ′(x) < 0 且越来越大 函数值增加 得越来越慢 知识讲解 ►课本P89 典例2. 设x＞0，f (x)＝ln x，g(x)＝1－ ，两个函数的图象如图所示. 判断 f (x)，g(x) 的图象与C1，C2 之间的对应关系. x y O 1 • C2 C1 解：f ′(x) = ，g′(x) = 所以 f (x)，g(x) 在(0，+∞) 上都是增函数； 当x > 1时，f ′(x) > g′(x) > 0，所以在区间 (1，+ ∞)上，g(x)的图象比f (x)的图象要“平缓”，因此f (x)，g(x)的图象依次是图中的 C2，C1. 当x > 0时，f ′(x)，g′(x) > 0； 知识讲解 结合本课关键词“函数的单调性与导数关系”，回答下列问题： 1. 如何利用导数判断函数的单调性? 2. 说说函数值增减快慢与导数有什么关系? 课堂总结 当堂练习 ►课本P89 1. 函数f (x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( ) A. (2，＋∞) B. (－∞，2) C. (－∞，0) D. (0，2) 解：f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 令f ′(x)<0，得0<x<2， 所以f (x)的单调递减区间为(0，2). D 课后练习 ►课本P89 2. 求函数 f (x)＝2x3＋3x2－36x＋1的单调区间． 解：f ′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)． 令f ′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，列表： x (－∞，-3) -3 (-3，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调递增 f (-3) 单调递减 f (2) 单调递增 故f (x)的单调递增区间是(-∞,-3),(2,＋∞)，单调递减区间为(-3,2)． 课后练习 解：函数f (x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x)＝eq \f(exx－2－ex,x－22)＝eq \f(exx－3,x－22). 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 由f ′(x)>0，得x>3，所以函数f (x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x)<0，得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)． 3．求函数f (x)＝eq \f(ex,x－2)的单调区间． $