2026年中考数学二轮专题复习之解答题复习——9：《全等三角形》　

2026 年中考第二轮复习 解答题专题 9 . 全等三角形   本课题是中考数学几何模块的核心得分板块，是二轮复习中打通 “基础几何证明→几何综合探究→压轴题拆解” 的核心枢纽，在全国中考解答题中固定考查 1-2 题，基础题分值 6-8 分，综合探究题分值 8-12 分，是学生几何得分的基本盘，更是破解四边形、圆、几何变换压轴题的核心工具。二轮复习中，本课时核心目标是实现 “基础证明零失分、中档探究稳拿分、压轴拓展能破分”，全面强化学生的模型识别能力、逻辑推理能力、规范书写能力与综合迁移能力。 一、题型特点 梯度化设问明确，适配全员分层复习 基础问（第 1 问）：100% 聚焦全等三角形的直接证明，核心考查 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五大判定定理的基础应用，题干多结合平行线、角平分线、垂直平分线、平行四边形等基础性质，适配全员保底得分，是必拿分板块。 中档问（第 2 问）：基于前序全等结论，延伸考查线段的数量关系（和差、倍分、相等）、位置关系（垂直、平行），或特殊图形的判定（菱形、正方形、等边三角形），重点考查全等性质的迁移应用，是二轮复习的核心突破点。 压轴问（第 3 问）：以 “类比迁移、拓展探究” 为核心命题形式，从特殊到一般，结合旋转、折叠、动点等动态几何背景，探究一般化的线段规律、角度定值，或结合勾股定理、面积计算进行综合考查，是本课时的核心拉分点，完全贴合中考几何压轴题的命题逻辑。 模型化特征突出，四大核心模型全覆盖本课时所有题目 100% 覆盖中考全等解答题四大核心模型，且均以递进式设问呈现： 中点类模型：中线倍长法（如 24、25 题），是解决中点相关线段数量关系的核心方法； 角和差类模型：截长补短法（如 21、24 题），是解决线段和差等式证明的核心抓手； 垂直类模型：一线三垂直（K 型）全等（如 30 题），是正方形、等腰直角三角形背景下的高频考法； 旋转类模型：手拉手全等（如 27、28、29 题），是动态几何、类比探究题的核心载体，占比超 40%。 考点融合度极高，是几何综合的核心工具极少单独考查全等证明，超 90% 的题目与特殊图形深度融合：平行四边形 / 菱形 / 正方形（2、4、11、23、26 题）、等腰 / 等边 / 直角三角形（5、10、16、28 题）、圆（21 题）、图形旋转与折叠（22、27 题），全等三角形是搭建边角等量关系、实现几何条件转化的唯一核心桥梁，与中考几何综合题的命题逻辑高度契合。 新课标导向明确，注重核心素养考查高频出现材料阅读、类比迁移类题型（如 25、30 题），以 “发现→类比→拓展” 的递进式结构，考查学生的几何直观、逻辑推理与模型迁移能力，完全贴合新课标对初中几何核心素养的考查要求。 二、答题要点 审题标图先行，锁定核心条件第一步先将题干中的已知条件（边相等、角相等、平行、垂直、中点、角平分线等）标注在图形上，同时挖掘隐含条件：公共边 / 公共角、对顶角、平行线的内错角 / 同位角、同角的余角 / 补角相等等，快速梳理可用于全等证明的核心条件，避免遗漏关键信息。 模型优先识别，缩短解题路径见题先匹配核心模型，快速锁定解题方法： 遇 “中点、中线”：优先用中线倍长法构造全等，将分散的线段集中到同一三角形中； 遇 “线段和差等式证明”：优先用截长补短法，构造全等三角形实现线段转化； 遇 “正方形、等腰直角三角形、双垂直”：优先构造一线三垂直全等，用 AAS/ASA 快速证全等； 遇 “共顶点、等线段、旋转”：优先证手拉手 SAS 全等，锁定对应边、对应角的等量关系。 递进设问关联，实现方法迁移中考全等解答题均为 “环环相扣” 的递进式设问，前一问的全等结论、证明思路、辅助线做法，可直接迁移至后续拓展问。如第 1 问证了△ABC≅△ADC，第 2 问可直接用对应边、对应角相等的结论，无需重复证明；第 2 问用了中线倍长法，第 3 问可沿用相同的辅助线构造思路，避免重新构建解题逻辑，大幅提升解题效率。 规范书写步骤，确保踩点得分解答题按步骤踩分，必须严格遵循标准化书写流程，杜绝跳步：① 先写辅助线的规范作图语言（如 “延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE”），仅画辅助线不写做法会失分；② 完整推导全等的三组对应条件，公共边 / 角、对顶角等基础条件必须写明，不可省略；③ 严格按照 “对应顶点顺序” 书写全等三角形，注明全等判定定理（如△ABC≅△DEF（SAS））；④ 基于全等性质，明确写出对应边相等、对应角相等的结论，再推导后续的线段、角度关系。 动态几何分类，杜绝漏解失分遇旋转、动点、无图几何题，先拆分点的所有可能位置（在线段上、在线段延长线上、在射线 / 直线上），结合图形变换的性质，分类讨论全等关系的存在性，逐一验证后给出完整答案。 三、避坑指南 判定定理误用，核心逻辑崩盘 严禁使用 “SSA”“AAA” 判定一般三角形全等，这是中考最高频的易错点； HL 定理仅限直角三角形使用，不可用于一般三角形，且必须先写明直角前提，再用 HL 判定； 使用 SAS 判定时，必须确认角是两组对应边的夹角，非夹角的边边角条件绝对不可用于全等判定； 混淆 AAS 与 ASA 的使用条件，两角及夹边用 ASA，两角及其中一角的对边用 AAS，不可混用。 对应关系错配，全等证明无效书写全等三角形时，未严格按照对应顶点的顺序书写，导致对应边、对应角匹配错误；旋转、折叠后的动态图形中，误判对应顶点、对应边、对应角，导致全等证明的三组条件完全错位，证明逻辑无效。 步骤跳跃漏写，踩分点缺失 省略公共边 / 公共角、对顶角、平行线性质、等角的余角相等等基础条件的推导，直接使用结论，造成步骤踩分点缺失； 未证明三角形全等，直接使用全等三角形的性质（对应边 / 角相等），逻辑链条完全断裂； 使用直角三角形斜边中线定理、等腰三角形三线合一等性质时，未写明前提条件，直接使用结论，造成步骤失分。 辅助线表述不规范，隐性失分 仅在图中画出辅助线，未在解答中写明规范的作图语言，属于严重的答题不规范，会直接扣除辅助线对应的步骤分； 辅助线作图语言表述错误，如 “过点 A 作 AD⊥BC” 未写垂足、“延长 AD 到 E，使 AD=DE” 表述颠倒，造成几何逻辑错误。 模型迁移断层，拓展问无从下手忽略递进式设问的关联性，前一问已经用中线倍长、截长补短等方法构造了全等，拓展问却重新构建解题思路，导致思路断层；无法将特殊图形中的全等模型，迁移到一般化的图形中，造成拓展问完全失分。 特殊图形性质误用，推导前提不成立未证明图形是平行四边形 / 菱形 / 正方形，直接使用其对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质；未证明三角形是等腰 / 等边三角形，直接使用三线合一、三边相等等性质，导致全等证明的前提条件不成立，全盘推导错误。 本课时二轮复习的核心逻辑是 **“抓模型、练规范、强迁移、破易错”**，核心目标是让全等三角形成为学生破解几何题的 “万能钥匙”，而非单纯的得分点。 二轮复习中，本课时需围绕 “分层突破、模型贯通、规范落地” 三大核心展开： 基础层：保底得分，零失误突破针对全员学生，聚焦五大判定定理的规范应用，重点训练基础全等证明的标准化书写，确保所有学生能完整、规范地完成基础问的全等证明，杜绝概念性、书写性失分，实现基础题 100% 得分。 进阶层：模型贯通，方法迁移针对中等以上学生，以四大核心全等模型为抓手，通过 “一题多解、多题归一” 的专项训练，让学生形成 “见图形→识模型→构全等→推结论” 的标准化解题思维，能熟练运用辅助线构造全等，解决线段和差、倍分、位置关系等中档问题，实现中档题稳拿分。 拔高层：类比探究，综合突破针对尖子生，聚焦中考高频的类比迁移、动态几何综合题，强化 “从特殊到一般” 的方法迁移能力，让学生能沿用前序设问的全等思路，破解一般化的规律探究问题，同时结合勾股定理、四边形、圆等考点，实现全等模型的跨模块综合应用，突破压轴拓展问。 同时，必须针对学生高频易错点，开展专项错题复盘：重点纠正 “SSA 误用、步骤跳跃、对应关系错配、辅助线不规范” 四大核心失分点，通过错题重做、规范书写示范、踩分点拆解，让学生形成严谨的几何证明逻辑与规范的答题习惯。 最终，通过本课题的二轮复习，不仅要让学生掌握全等三角形的核心知识与解题方法，更要让学生形成 “用全等搭建边角等量关系” 的几何思维，为后续的四边形、圆、几何压轴题复习打下坚实的基础，实现几何模块的整体提分。 四、真题练习 1.（24-25·云南中考）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】 证明见解析 【解析】 本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【解答】 证明；在和中， ， ．  2.（22-23·江苏中考）如图，在中，点，分别在边，上，且，对角线分别交，于点，．求证． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接交于，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】 证明：连接交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 3.（24-25·江苏模拟）如图，点，分别在的延长线上，．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【解答】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 4.（24-25·四川中考）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】 见解析， 【解析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【解答】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是平行四边形边的中点， ， ， ， ．  5.（24-25·河北中考）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】 证明见解析 证明见解析 【解析】 （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【解答】 （1）解：证明：， ， ，， ； （2）证明：， ， ， ，即 6.（24-25·四川中考）如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【解答】 （1）解：证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 7.（24-25·四川中考）如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 见解析 四边形是菱形，理由见解析 【解析】 （1）根据垂直的定义可得，根据平行线的性质可得，根据已知条件可得，即可证明结论； （2）根据可得，，即得，进而可得四边形是平行四边形，然后根据度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得，即可得到结论. 【解答】 （1）解：证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ，， ， 四边形是平行四边形， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， ， ， 四边形是菱形. 8.（23-24·河南模拟）如图，四边形中，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】 见解析； 【解析】 （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【解答】 （1）解：证明：， ， 平分， ， 又， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ．  9.（24-25·江苏模拟）如图，已知：，，、相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据定理先证明，再证明，再利用等腰三角形两腰相等证明 （2）通过勾股定理先算出长度，再求长度． 【解答】 （1）解：证明：在和中， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 10.（22-23·浙江中考）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；                 （2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案. 【解答】 （1）解：如图，连结， 半圆与相切于点， ．                     ， ，， ．                 ． （2）如图，，， ，     ， 在中，， 在中，， ． 11.（25-26·山东模拟）如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且，连接、．求证：． 【答案】 见解答 【解析】 由四边形是菱形，得出，，根据等角的补角相等得出，从而证，即可得答案． 【解答】 四边形是菱形，，， ，， ， 在和中， ， ． 12.（25-26·江苏模拟）已知：如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由得出，再由全等三角形的判定证明即可． 【解答】 证明：， ，即， 在和中， ， ． 13.（25-26·云南模拟）如图，平分．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【解答】 证明：平分， ， ，， ， ． 14.（25-26·江苏模拟）如图，、、、是直线上的四点，相交于点，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与的位置关系是________． 【答案】 见解析 【解析】 （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【解答】 （1）解：证明：在和中 ， ， ， ， 是等腰三角形； （2），， ， ， ， ， ， ， ． 15.（25-26·河南模拟）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】 详见解析 详见解析 【解析】 （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【解答】 （1）解：证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 16.（24-25·重庆模拟）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】 见解析 【解析】 （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【解答】 （1）解：， ， 与的平分线，交于点 ， 是的外角， ； （2）证明：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中 ，     ， ， ， ． 17.（24-25·湖北模拟）如图，点，，，在一条直线上，，，若选择___②或③___，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 选择②或③，见解析 【解析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可证明，则选择②可得，可利用证明得到；选择③可利用证明得到，选择①不能证明得到． 【解答】 解：选择②，理由如下： ， ，即， ， ， ， ， 在与中， ， ； 选择③，理由如下： ， ，即， ， ． 在与中， ， ； 选择①是错误的，边边角不能作为判定全等三角形的条件 18.（24-25·山东模拟）如图，已知，点，在线段上，且． （1）请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_①或②____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； （2）利用的结论，求证：． 【答案】 ①或②，理由见解析 见解析 【解析】 （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解， （2）根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【解答】 （1）解：可选取①或②； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 当选取②时， 在与中， ， ； （2）证明：当选取①时， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当选取②时， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 19.（24-25·河南模拟）如图，点为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） （1）你添加的条件是______； （2）根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】 过程见解析 【解析】 （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【解答】 （1）解：． （2）证明：， ， 即． 在和中，， ，， ， ． 20.（24-25·江苏模拟）如图，在和中，，点、、、在同一直线上． （1）从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是___①②或①③____（填序号）． （2）连接，在的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 ①②或①③，见解析 见解析 【解析】 （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点． 【解答】 （1）解：选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； （2）解：如图，连接与的交点即为所求作点， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点． 21.（24-25·贵州模拟）如图，、、、是上四点，． （1）判断的形状并证明你的结论； （2）当点位于什么位置时，四边形是菱形？并说明理由． （3）求证：． 【答案】 是等边三角形，证明见解析 当点位于中点时，四边形是菱形，理由见解析 证明见解析． 【解析】 （1）利用圆周角定理可得，，而，则可得，从而可判断的形状； （2）当点位于中点时，四边形是菱形，通过证明和均为等边三角形，得到即可得证； （3）在上截取，则是等边三角形，然后证明，证明即可得证结论． 【解答】 （1）解：是等边三角形． 证明如下：在中， 与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ，， 又， ， 为等边三角形； （2）当点位于中点时，四边形是菱形， 如图，连接． ，是的中点， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形是菱形； （3）如图，在上截取， 又， 是等边三角形， ，，即． 又， ． 在和中， ， ， 又， ． 22.（24-25·山东模拟）如图，在等腰中，， ，是直角三角形，，，连接，，点是的中点，连接． （1）如图①，当，点在边上时，线段与线段的数量关系是______； （2）如图②，当，点不在边上时．中线段与线段的数量关系是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由； （3）如图③，当为任意角度时，直接写出线段与线段的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】 成立，理由见详解 【解析】 （1）可证，再证，即可求解； （2）分别取、的中点为、，连接，，，可证，即可求解； （3）分别取、的中点为、，连接，，，可证，从而可证，再证，可得，由即可求解． 【解答】 （1）解：，， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， ， ， ． （2）解：成立． 理由：如图，分别取、的中点为、，连接，，， ，， ，， ，， ， ， 由得：， ， ，， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ． 故中线段与线段的数量关系依然成立． （3）解：如图，分别取、的中点为、，连接，，， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 由同理可求：， ， ， ， 在中：， ， ， ． 23.（24-25·内蒙古模拟）如图，在正方形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 【答案】 见解析；见解析； 【解析】 由正方形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，然后根据即可得证； 利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； 延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【解答】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ； 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； 解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 24.（24-25·山东模拟）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，是边上的中点，于点交于点交于点，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】 见解析 ，证明见解析 【解析】 （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【解答】 （1）解：延长至，使，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同得，， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． ， ．  25.（24-25·山东模拟）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图，延长到点，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】 ；；； ，理由见解析 【解析】 （1）如图，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】 （1）解：延长，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ． ， ，即， ， ， ； （2）， 证明：如图所示，延长到，使，连接， ，， 是线段的垂直平分线， ， 是的中点， ， 在和中， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， ； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点， ， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 26.（24-25·江西模拟）如图，在正方形中，点分别在边上，且，延长到点，使得，连接． 【特例感知】 （1）图中与的数量关系是______________． 【结论探索】 （2）图，将图中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，此时与还存在中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （3）在的条件下，若，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】 ，存在，证明见解析，或或或 【解析】 （1）连接，证，得出为等腰直角三角形即可； （2）类似的方法，先证，再证，得出为等腰直角三角形即可； （3）根据、是直角顶点分类讨论，结合中结论，利用勾股定理求解即可． 【解答】 （1）解：连接， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）存在，连接， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 与同理，； （3）当时，如图，因为， 所以，、、在一条直线上， ， , , ； 如图，在延长线上，同理可得，， ； 当时，如图，， 由得，，， 所以，、、在一条直线上，作，垂足为， ， ，， ， ， ； 如图，同图，，，， ， 综上，的长为或或或   27.（24-25·北京模拟）已知和都是等腰直角三角形，，将绕着点旋转，连接，，是的中点． （1）如图①，当与重合，与重合时，线段，的数量关系是 ； （2）当的位置如图②和图③时，线段，又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 【答案】 ，证明见解析 【解析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，等量代换得到； 如图②，证明：如图中，延长到使得．如图③中，延长到使得．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】 （1）解：； 理由：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是的中点， ， ； 故答案为：； （2）解：； 理由：如图④，证明：如图④中，延长到使得． ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 如图⑤，证明：如图⑤中，延长到使得． ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 28.（25-26·广东模拟）如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于． （1）如图，猜想＝ 60° ； （2）如图，若当是锐角时，其他条件不变，猜想的度数，并证明； （3）如图，若，，且，求的长． 【答案】 ．证明见解析 ． 【解析】 （1）如图，先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出，进而可利用证明，进而得，再在和中利用三角形的内角和定理即可求得，从而完成猜想； （2）以是锐角为例，如图，仿的证明思路利用证明，可得，进一步即可证得结论； （3）仿可证明，于是，再求出的长即可，作于，如图，易证，为等腰直角三角形，由可求得的长，于是可得，问题即得解决． 【解答】 （1）解：； 证明：连接，如图，由题意得：，且， 是等边三角形， ， ， 则在和中， ， ， ， 又因为和中，， ． 故答案为：； （2）． 证明：如图，是等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）连结，作于，如图， 与一样可证明， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， ． 29.（22-23·新疆模拟）已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图，当点恰好在边上时，求证：； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】 见解析 ①见解析；②或 【解析】 （1）利用定理证明即可； （2）①连接，证明，即可证； ②当点在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点在线段上时，同理即可求得． 【解答】 （1）解：证明： 即， ， 即． 和是等腰直角三角形， ， （2）①证明：如图，连接． ， ， 即． 和是等腰直角三角形， ， ， ， ． 是等腰直角三角形， ， ． ②或． 温馨提示： 如图，当点在线段上时，连接，设， 在中，， ； 如图，当点在线段上时，连接，设， 在中， 解得：．   30.（24-25·四川模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ，， ，， ， ， ， __________； ②，，则_____9_____； 【类比】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为_____10_____． 【答案】 ①②；结论，理由见解析； 【解析】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． ①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； 根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； 延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【解答】 解：①， ， ，， ，， ， ， ，，， ； 故答案为： ②由①知， ， ，， ； 故答案为：； 结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 9 . 全等三角形   本课题是中考数学几何模块的核心得分板块，是二轮复习中打通 “基础几何证明→几何综合探究→压轴题拆解” 的核心枢纽，在全国中考解答题中固定考查 1-2 题，基础题分值 6-8 分，综合探究题分值 8-12 分，是学生几何得分的基本盘，更是破解四边形、圆、几何变换压轴题的核心工具。二轮复习中，本课时核心目标是实现 “基础证明零失分、中档探究稳拿分、压轴拓展能破分”，全面强化学生的模型识别能力、逻辑推理能力、规范书写能力与综合迁移能力。 一、题型特点 梯度化设问明确，适配全员分层复习 基础问（第 1 问）：100% 聚焦全等三角形的直接证明，核心考查 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五大判定定理的基础应用，题干多结合平行线、角平分线、垂直平分线、平行四边形等基础性质，适配全员保底得分，是必拿分板块。 中档问（第 2 问）：基于前序全等结论，延伸考查线段的数量关系（和差、倍分、相等）、位置关系（垂直、平行），或特殊图形的判定（菱形、正方形、等边三角形），重点考查全等性质的迁移应用，是二轮复习的核心突破点。 压轴问（第 3 问）：以 “类比迁移、拓展探究” 为核心命题形式，从特殊到一般，结合旋转、折叠、动点等动态几何背景，探究一般化的线段规律、角度定值，或结合勾股定理、面积计算进行综合考查，是本课时的核心拉分点，完全贴合中考几何压轴题的命题逻辑。 模型化特征突出，四大核心模型全覆盖本课时所有题目 100% 覆盖中考全等解答题四大核心模型，且均以递进式设问呈现： 中点类模型：中线倍长法（如 24、25 题），是解决中点相关线段数量关系的核心方法； 角和差类模型：截长补短法（如 21、24 题），是解决线段和差等式证明的核心抓手； 垂直类模型：一线三垂直（K 型）全等（如 30 题），是正方形、等腰直角三角形背景下的高频考法； 旋转类模型：手拉手全等（如 27、28、29 题），是动态几何、类比探究题的核心载体，占比超 40%。 考点融合度极高，是几何综合的核心工具极少单独考查全等证明，超 90% 的题目与特殊图形深度融合：平行四边形 / 菱形 / 正方形（2、4、11、23、26 题）、等腰 / 等边 / 直角三角形（5、10、16、28 题）、圆（21 题）、图形旋转与折叠（22、27 题），全等三角形是搭建边角等量关系、实现几何条件转化的唯一核心桥梁，与中考几何综合题的命题逻辑高度契合。 新课标导向明确，注重核心素养考查高频出现材料阅读、类比迁移类题型（如 25、30 题），以 “发现→类比→拓展” 的递进式结构，考查学生的几何直观、逻辑推理与模型迁移能力，完全贴合新课标对初中几何核心素养的考查要求。 二、答题要点 审题标图先行，锁定核心条件第一步先将题干中的已知条件（边相等、角相等、平行、垂直、中点、角平分线等）标注在图形上，同时挖掘隐含条件：公共边 / 公共角、对顶角、平行线的内错角 / 同位角、同角的余角 / 补角相等等，快速梳理可用于全等证明的核心条件，避免遗漏关键信息。 模型优先识别，缩短解题路径见题先匹配核心模型，快速锁定解题方法： 遇 “中点、中线”：优先用中线倍长法构造全等，将分散的线段集中到同一三角形中； 遇 “线段和差等式证明”：优先用截长补短法，构造全等三角形实现线段转化； 遇 “正方形、等腰直角三角形、双垂直”：优先构造一线三垂直全等，用 AAS/ASA 快速证全等； 遇 “共顶点、等线段、旋转”：优先证手拉手 SAS 全等，锁定对应边、对应角的等量关系。 递进设问关联，实现方法迁移中考全等解答题均为 “环环相扣” 的递进式设问，前一问的全等结论、证明思路、辅助线做法，可直接迁移至后续拓展问。如第 1 问证了△ABC≅△ADC，第 2 问可直接用对应边、对应角相等的结论，无需重复证明；第 2 问用了中线倍长法，第 3 问可沿用相同的辅助线构造思路，避免重新构建解题逻辑，大幅提升解题效率。 规范书写步骤，确保踩点得分解答题按步骤踩分，必须严格遵循标准化书写流程，杜绝跳步：① 先写辅助线的规范作图语言（如 “延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE”），仅画辅助线不写做法会失分；② 完整推导全等的三组对应条件，公共边 / 角、对顶角等基础条件必须写明，不可省略；③ 严格按照 “对应顶点顺序” 书写全等三角形，注明全等判定定理（如△ABC≅△DEF（SAS））；④ 基于全等性质，明确写出对应边相等、对应角相等的结论，再推导后续的线段、角度关系。 动态几何分类，杜绝漏解失分遇旋转、动点、无图几何题，先拆分点的所有可能位置（在线段上、在线段延长线上、在射线 / 直线上），结合图形变换的性质，分类讨论全等关系的存在性，逐一验证后给出完整答案。 三、避坑指南 判定定理误用，核心逻辑崩盘 严禁使用 “SSA”“AAA” 判定一般三角形全等，这是中考最高频的易错点； HL 定理仅限直角三角形使用，不可用于一般三角形，且必须先写明直角前提，再用 HL 判定； 使用 SAS 判定时，必须确认角是两组对应边的夹角，非夹角的边边角条件绝对不可用于全等判定； 混淆 AAS 与 ASA 的使用条件，两角及夹边用 ASA，两角及其中一角的对边用 AAS，不可混用。 对应关系错配，全等证明无效书写全等三角形时，未严格按照对应顶点的顺序书写，导致对应边、对应角匹配错误；旋转、折叠后的动态图形中，误判对应顶点、对应边、对应角，导致全等证明的三组条件完全错位，证明逻辑无效。 步骤跳跃漏写，踩分点缺失 省略公共边 / 公共角、对顶角、平行线性质、等角的余角相等等基础条件的推导，直接使用结论，造成步骤踩分点缺失； 未证明三角形全等，直接使用全等三角形的性质（对应边 / 角相等），逻辑链条完全断裂； 使用直角三角形斜边中线定理、等腰三角形三线合一等性质时，未写明前提条件，直接使用结论，造成步骤失分。 辅助线表述不规范，隐性失分 仅在图中画出辅助线，未在解答中写明规范的作图语言，属于严重的答题不规范，会直接扣除辅助线对应的步骤分； 辅助线作图语言表述错误，如 “过点 A 作 AD⊥BC” 未写垂足、“延长 AD 到 E，使 AD=DE” 表述颠倒，造成几何逻辑错误。 模型迁移断层，拓展问无从下手忽略递进式设问的关联性，前一问已经用中线倍长、截长补短等方法构造了全等，拓展问却重新构建解题思路，导致思路断层；无法将特殊图形中的全等模型，迁移到一般化的图形中，造成拓展问完全失分。 特殊图形性质误用，推导前提不成立未证明图形是平行四边形 / 菱形 / 正方形，直接使用其对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质；未证明三角形是等腰 / 等边三角形，直接使用三线合一、三边相等等性质，导致全等证明的前提条件不成立，全盘推导错误。 本课时二轮复习的核心逻辑是 **“抓模型、练规范、强迁移、破易错”**，核心目标是让全等三角形成为学生破解几何题的 “万能钥匙”，而非单纯的得分点。 二轮复习中，本课时需围绕 “分层突破、模型贯通、规范落地” 三大核心展开： 基础层：保底得分，零失误突破针对全员学生，聚焦五大判定定理的规范应用，重点训练基础全等证明的标准化书写，确保所有学生能完整、规范地完成基础问的全等证明，杜绝概念性、书写性失分，实现基础题 100% 得分。 进阶层：模型贯通，方法迁移针对中等以上学生，以四大核心全等模型为抓手，通过 “一题多解、多题归一” 的专项训练，让学生形成 “见图形→识模型→构全等→推结论” 的标准化解题思维，能熟练运用辅助线构造全等，解决线段和差、倍分、位置关系等中档问题，实现中档题稳拿分。 拔高层：类比探究，综合突破针对尖子生，聚焦中考高频的类比迁移、动态几何综合题，强化 “从特殊到一般” 的方法迁移能力，让学生能沿用前序设问的全等思路，破解一般化的规律探究问题，同时结合勾股定理、四边形、圆等考点，实现全等模型的跨模块综合应用，突破压轴拓展问。 同时，必须针对学生高频易错点，开展专项错题复盘：重点纠正 “SSA 误用、步骤跳跃、对应关系错配、辅助线不规范” 四大核心失分点，通过错题重做、规范书写示范、踩分点拆解，让学生形成严谨的几何证明逻辑与规范的答题习惯。 最终，通过本课题的二轮复习，不仅要让学生掌握全等三角形的核心知识与解题方法，更要让学生形成 “用全等搭建边角等量关系” 的几何思维，为后续的四边形、圆、几何压轴题复习打下坚实的基础，实现几何模块的整体提分。 四、真题练习 1.（24-25·云南中考）如图，与相交于点，．求证：． 2.（22-23·江苏中考）如图，在中，点，分别在边，上，且，对角线分别交，于点，．求证． 3.（24-25·江苏模拟）如图，点，分别在的延长线上，．求证：． 4.（24-25·四川中考）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 5.（24-25·河北中考）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 6.（24-25·四川中考）如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 7.（24-25·四川中考）如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并说明理由． 8.（23-24·河南模拟）如图，四边形中，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 9.（24-25·江苏模拟）如图，已知：，，、相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 10.（22-23·浙江中考）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 11.（25-26·山东模拟）如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且，连接、．求证：． 12.（25-26·江苏模拟）已知：如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 13.（25-26·云南模拟）如图，平分．求证：． 14.（25-26·江苏模拟）如图，、、、是直线上的四点，相交于点，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与的位置关系是________． 15.（25-26·河南模拟）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 16.（24-25·重庆模拟）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 17.（24-25·湖北模拟）如图，点，，，在一条直线上，，，若选择______，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 18.（24-25·山东模拟）如图，已知，点，在线段上，且． （1）请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； （2）利用的结论，求证：． 19.（24-25·河南模拟）如图，点为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） （1）你添加的条件是______； （2）根据你添加的条件，写出证明过程． 20.（24-25·江苏模拟）如图，在和中，，点、、、在同一直线上． （1）从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是______（填序号）． （2）连接，在的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 21.（24-25·贵州模拟）如图，、、、是上四点，． （1）判断的形状并证明你的结论； （2）当点位于什么位置时，四边形是菱形？并说明理由． （3）求证：． 22.（24-25·山东模拟）如图，在等腰中，， ，是直角三角形，，，连接，，点是的中点，连接． （1）如图①，当，点在边上时，线段与线段的数量关系是_____； （2）如图②，当，点不在边上时．中线段与线段的数量关系是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由； （3）如图③，当为任意角度时，直接写出线段与线段的数量关系（用含的式子表示）． 23.（24-25·内蒙古模拟）如图，在正方形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 24.（24-25·山东模拟）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，是边上的中点，于点交于点交于点，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 25.（24-25·山东模拟）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图，延长到点，使，连接．根据_________可以判定__________，得出_________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 26.（24-25·江西模拟）如图，在正方形中，点分别在边上，且，延长到点，使得，连接． 【特例感知】 （1）图中与的数量关系是______________． 【结论探索】 （2）图，将图中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，此时与还存在中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （3）在的条件下，若，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 27.（24-25·北京模拟）已知和都是等腰直角三角形，，将绕着点旋转，连接，，是的中点． （1）如图①，当与重合，与重合时，线段，的数量关系是 ； （2）当的位置如图②和图③时，线段，又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 28.（25-26·广东模拟）如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于． （1）如图，猜想＝ ； （2）如图，若当是锐角时，其他条件不变，猜想的度数，并证明； （3）如图，若，，且，求的长． 29.（22-23·新疆模拟）已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图，当点恰好在边上时，求证：； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 30.（24-25·四川模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ，， ，， ， ， ， __________； ②，，则_________； 【类比】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为_________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $