专题02 有理数的运算（期中复习讲义）（知识必备+16大核心题型+分层验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

专题02 有理数的运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在选择题 近似数 掌握近似数的相关概念，确定近似数的有效数字 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 有理数加法法则与运算律 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若a＞0，b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）； 若a＜0，b＜0，则a+b=—（|a|+|b|）； 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等时，两数之和为0； 3.一个数与0相加，仍得这个数； 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1.有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2.有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3.有理数加法中的一些计算技巧： （1）相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2）同号结合法：符号相同的数先相加； （3）同分母结合法：分母相同的数先相加； （4）凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 知识点02 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 1.较大的数－较小的数＝正数； 2.较小的数－较大的数＝负数； 3.相等的两个数相减等于0； 4.0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 知识点03 有理数加减混合运算 1.利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2.去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3.利用加法法则和加法运算律进行计算. 知识点04 有理数乘法法则与运算律 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2.0与任何数相乘都得0； 3.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4.拓展： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3）一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 4.拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 知识点05 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 知识点06 有理数除法法则 1.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3.0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4.一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1）两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2）有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 知识点07 有理数乘除混合运算 1.有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2.要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1.有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2.一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1）相反数结合； （2）凑整结合； （3）正、负分别结合； （4）同分母结合； （5）倒数结合 有理数的混合运算顺序 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3.如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点08 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1.乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2.一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4.当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1.有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2.有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3.拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 知识点09 科学记数法 1.科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2.如何确定科学记数法中的a和n （1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； （2）确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a)用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b)用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c)用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d)对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 知识点10 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 题型一 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】计算： (1)； (2)． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型二 有理数加减法的应用 答｜题｜技｜巧 加减法的应用，关键在于找到等量关系，然后进行求解计算； 【典例1】王大伯把收获的土豆装在同样大的袋子里，一共装了袋．他任意称了其中的袋，结果如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 21千克 20千克 18千克 22千克 19千克 估一估，王大伯大约一共收获了 千克的土豆． 【典例2】某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，记标准搭载货物重量为，几架飞行器的搭载质量分别为：，，，，，（正数表示超过标准搭载货物重量，负数表示低于标准搭载货物重量，单位：）．则无人驾驶飞行器上装载的货物的平均重量是 ． 【变式1】甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻时间之差，如北京时间为，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为，李教授搭乘北京早上的飞机经过到达巴黎，那么李教授到达巴黎时，巴黎时间为 ． 【变式2】下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化/米 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ (2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？ 【变式3】2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为__________万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． (3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 题型三 有理数加法运算律及符号问题 解｜题｜技｜巧 加法运算律包含交换律、结合律，注意加法运算律的作用是为了简化计算，提高计算效率和正确率，因此在使用运算律时要注意符号的问题； 【典例1】计算：． 【典例2】计算： (1)． (2)． 【变式1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【变式3】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 题型四 有理数加减混合运算（提高） 【典例1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【典例2】（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【变式1】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 【变式2】计算：． 【变式3】计算：． 题型五 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】用简便方法进行运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【变式2】先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 【变式3】阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 题型六 省略加法和括号的形式 解｜题｜技｜巧 省略加法和括号的时候要注意符号的问题，尤其是前面是“—”时，省略时要记得加“—”号； 【典例1】把写成省略加号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】将写成省略括号的和的形式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【变式2】把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【变式3】把（－3）－（+4）－（－6）+（－7）+（+2）写成省略加号和括号的形式为 ． 题型七 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】规定一种运算!：，则 ． 【变式2】小王在计算一道除法算式时，误将除数15看成了60，结果所得的结果是20．如果将原算式的被除数乘5，除数除以9，所得的结果是 ． 【变式3】计算：． 题型八 有理数乘除法的实际应用 解｜题｜技｜巧 找到数量关系进行求解； 【典例1】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【典例2】甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 【变式1】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件： 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？ (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 【变式2】出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：，，，，，． 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 每4分钟元 (1)若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 【变式3】定期进行视力检查，有助于全面掌握孩子的视力情况．为此，我校在开学初进行了全校学生视力检查．以人为基准人数，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，其中班检查人数记录如下： 班级 检查人数 班级 检查人数 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 (1)班接受视力检查的有多少人？ (2)班比班多检查多少人？ (3)若共有名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？ 题型九 有理数乘法运算律 解｜题｜技｜巧 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【典例1】简便运算： (1)； (2)． 【典例2】计算：． 【变式1】计算： (1)； (2) 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】选择合理的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【典例2】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式1】计算：． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算 (1)； (2)． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】近年来，我国大力发展新能源汽车，对新能源汽车的购置税有优惠政策．淘气的爸爸最近想购置一款新能源汽车．他了解到，最近的购置税政策如下： 汽车价格 购置税税费 当售价低于或等于30万时 免税 当售价高于30万时 售价万 淘气的爸爸看中的这款新能源汽车售价是38万元． (1)如果一次性付款，淘气的爸爸一共需要支付多少钱？ (2)某新能源汽车专卖店推出活动：购买汽车时，如果分期付款，可以享受售价的九八折优惠，但需额外支付一笔利息，利息总额约占汽车售价的，淘气的爸爸购买新能源汽车一共需要付多少钱？ 【典例2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以千米为标准，多于千米的记为“”，不足千米的记为“”，刚好千米的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） (1)这7天里，路程最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？ (2)求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶千米需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶千米耗电量为度，每度电为元，请通过计算估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【变式1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【变式2】如表是某市地铁收费标准： 分段 乘坐里程(千米) 单程票票价 1 里程 2元 2 里程 3元 3 里程 4元 4 里程 5元 5 里程 6元 6 里程30千米以上，每9千米分段 加1元 备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价折优惠，即只需付票价的 亮亮的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12千米，每月按21天上下班计算． (1)求亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； (2)地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票 130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，亮亮妈妈每天上下班乘坐地铁交通费最少是多少？请你帮助亮亮妈妈选取一种地铁交通费最少的方案并说明理由． 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 题型十二 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 【典例2】计算的式子为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果n是正整数，则 ． 【变式2】计算： ； ； ； ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型十三 程序流程图与算24点 【典例1】按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 【典例2】“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【变式1】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【变式2】任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【变式3】按流程图进行计算： 如第一次，不大于100，第二次重复再做， 请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程． 题型十四 科学记数法 解｜题｜技｜巧 1、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 【典例1】2024年中国新能源汽车年产量突破辆，数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【典例2】赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．请你把下列算式或命题①．②．③是一个12位数．④是一个13位数，正确的序号填写在 ． 【变式2】2025年4月19日6时51分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将试验二十七号卫星01星~06星发射升空，发射任务获得圆满成功．长征六号改运载火箭重量约为530000千克，数据530000用科学记数法表示为 ． 【变式3】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 题型十五 近似数 解｜题｜技｜巧 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字 【典例1】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【典例2】下列各个数字属于准确数的是（    ） A．我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区 B．半径厘米的圆的周长是厘米 C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个 D．据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人 【变式1】用四舍五入法按要求取近似值： （1）2.268（精确到百分位） ； （2）9.403（精确到个位） ； （3）8.965（精确到0.1） ． 【变式2】据文化和旅游部数据中心测算，2023年“五一”假期期间国内旅游收入1480.56亿元，同比增长，其中1480.56亿用科学记数法可表示为 （精确到百亿位）． 【变式3】用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 题型十六 有理数中规律计算问题 解｜题｜技｜巧 有理数的规律计算问题，主要掌握计算公式： 【典例1】观察下列各式：；根据规律解答下列各题： (1)________________． (2)计算：________． (3)计算：． 【典例2】阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【变式1】观察下列算式． …… 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式：________； (2)第五个算式为__________； (3)计算：． 【变式2】（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 【变式3】【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？ 【阅读理解】 ． 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______，是第______个数． （2）请直接写出计算结果：______． 【拓展运用】 （3）已知，，，计算：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·全国·期中）粮食安全是“国之大者”，2024年《政府工作报告》明确将粮食产量1.3万亿斤以上作为发展主要预期目标之一，将1.3万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）计算的值为（   ） A． B．29 C． D．92 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（    ）． A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到百分位 4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·期中）计算： ． 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）你会玩“24点”游戏吗？ 现有“，， 6， 10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）： ． 7．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）某股民上周五买进某公司的股票，每股18元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是 元 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（与前一天相比） 8．（25-26七年级上·全国·期中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（25-26七年级上·全国·期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，向西走为负，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）： ． (1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)若汽车每千米耗油，已知汽车出发时油箱里有汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 10．（25-26七年级上·全国·期中）某自行车厂原计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·全国·期中）（　　） A．最大负整数 B．绝对值最小的有理数 C． D．最大的负数 12．（24-25七年级上·全国·期中）若的相反数是，，则的值为（    ） A．9 B．1 C．9或 D．或1 13．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·云南丽江·期中）计算： ． 15．（24-25七年级上·湖南永州·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 16．（24-25七年级上·广东韶关·期中）如图，第十四届国际数学教育大会（ICME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，则八进制数2025换算成十进制数是 ．（注：） 17．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1) (2) 18．（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 19．（24-25六年级上·山东济宁·期中）现规定一种新运算，满足，例如． (1)求的值； (2)求的值． 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是 和 (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，则这两张卡片上的数分别是 和 ，商为 ． (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河南南阳·期中）在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 23．（25-26七年级上·全国·期中）计算： ． 24．（25-26七年级上·江苏·期中）随着智能化的发展，密码锁逐渐成为众多家庭的选择．某天，小明从外地回家发现家里新换了密码锁，但碰巧家里没人，小明便用手机询问父亲，父亲只发了一张图片过来(如图)，则他家密码锁的密码是 ． 25．（25-26七年级上·全国·期中）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是年份减3，除以12所得的余数．以2025年为例： 天干为； 地支为． 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历 年． 26．（24-25七年级上·北京·期中）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到 商店买比较省钱，这时实际只需要付 元． 27．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【发现问题】小华同学通过初中这段时间以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律的一种游戏规则． 【提出问题】基于之前的学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求：①；②，其中可以取任何有理数，问题：求的值． 【分析问题】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了，由①可以知道____，于是有…记为（1）式．第二步，令②中的，则有，由①可以知道____（用含字母的式子表示）…记为（2）式．结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到____（用含字母，的式子表示）． 【解决问题】的值是_____． 【拓展问题】已知，其中符号“”为绝对值，求的倒数． 28．（24-25七年级上·四川德阳·期中）阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，两点P，Q之间的距离表示为，回答以下问题： (1)若点P表示的数为，点Q表示的数为3，则P、Q两点之间的距离__________； (2)若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则：____________； (3)当x的取值范围是 时，代数式有最小值，最小值是_______； (4)结合数轴求出的最小值为 ，此时为 ； (5)请根据上面的规律求的最小值为 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在选择题 近似数 掌握近似数的相关概念，确定近似数的有效数字 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 有理数加法法则与运算律 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若a＞0，b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）； 若a＜0，b＜0，则a+b=—（|a|+|b|）； 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等时，两数之和为0； 3.一个数与0相加，仍得这个数； 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1.有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2.有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3.有理数加法中的一些计算技巧： （1）相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2）同号结合法：符号相同的数先相加； （3）同分母结合法：分母相同的数先相加； （4）凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 知识点02 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 1.较大的数－较小的数＝正数； 2.较小的数－较大的数＝负数； 3.相等的两个数相减等于0； 4.0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 知识点03 有理数加减混合运算 1.利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2.去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3.利用加法法则和加法运算律进行计算. 知识点04 有理数乘法法则与运算律 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2.0与任何数相乘都得0； 3.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4.拓展： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3）一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 4.拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 知识点05 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 知识点06 有理数除法法则 1.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3.0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4.一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1）两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2）有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 知识点07 有理数乘除混合运算 1.有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2.要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1.有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2.一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1）相反数结合； （2）凑整结合； （3）正、负分别结合； （4）同分母结合； （5）倒数结合 有理数的混合运算顺序 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3.如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 知识点08 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1.乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2.一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4.当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1.有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2.有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3.拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 知识点09 科学记数法 1.科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2.如何确定科学记数法中的a和n （1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； （2）确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a)用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b)用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c)用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d)对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 知识点10 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 题型一 有理数的加减法运算 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解∶原式 ． 题型二 有理数加减法的应用 答｜题｜技｜巧 加减法的应用，关键在于找到等量关系，然后进行求解计算； 【典例1】王大伯把收获的土豆装在同样大的袋子里，一共装了袋．他任意称了其中的袋，结果如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 21千克 20千克 18千克 22千克 19千克 估一估，王大伯大约一共收获了 千克的土豆． 【详解】解： （千克） ∴王大伯大约一共收获了千克土豆． 故答案为：． 【典例2】某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，记标准搭载货物重量为，几架飞行器的搭载质量分别为：，，，，，（正数表示超过标准搭载货物重量，负数表示低于标准搭载货物重量，单位：）．则无人驾驶飞行器上装载的货物的平均重量是 ． 【分析】本题主要考查了正数和负数及有理数加减混合运算，根据题意列式，然后通过运算法则计算即可，熟练掌握正数和负数是表示一对相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：无人驾驶飞行器上装载的货物的平均重量为： ， 故答案为：． 【变式1】甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻时间之差，如北京时间为，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为，李教授搭乘北京早上的飞机经过到达巴黎，那么李教授到达巴黎时，巴黎时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，先求出李教授搭乘北京早上的飞机经过10小时到达巴黎的北京时间，然后加上巴黎与北京的时差小时，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： （时）， ∴李教授到达巴黎时，巴黎时间为11时， 故答案为：． 【变式2】下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化/米 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ (2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？ 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较，理解题意是解题的关键． （1）先设标准水位，再计算出这一周中每一天的水位，即可得出答案； （2）将这些数据相加，和为正，表示跟上周相比，本周的水位上升了；和为负，表示跟上周相比，本周的水位下降了． 【详解】（1）解：（1）根据题意，设警戒水位为0，则： 星期一为：米， 星期二为：米， 星期三为：米， 星期四为：米， 星期五为：米， 星期六为：米， 星期日为：米． ∴本周星期二河流水位最高，位于警戒水位之上米，星期一河流的水位最低，位于警戒水位之上米． （2）根据题意，得： ， ∵， ∴与上周相比，本周的水位上升了． 【变式3】2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为__________万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． (3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算的应用． （1）根据题意列式将9月30日的游客人数为万人依次加上10月1日到10月3日变化人数即可； （2）分别计算出10月1日到10月7日每天的人数，继而得到本题答案； （3）根据（2）的结论列式，再计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意列式：（万人）， ∴10月3日的人数为万人． （2）解：10月1日人数：（万人）， 10月2日人数：（万人）， 10月3日人数：（万人）， 10月4日人数：（万人）， 10月5日人数：（万人）， 10月6日人数：（万人）， 10月7日人数：（万人）， ∴游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数最少的是10月7日，达到万人． （3）解：（万人）， ∴黄山风景区在这八天内一共接待了万人游客． 题型三 有理数加法运算律及符号问题 解｜题｜技｜巧 加法运算律包含交换律、结合律，注意加法运算律的作用是为了简化计算，提高计算效率和正确率，因此在使用运算律时要注意符号的问题； 【典例1】计算：． 【详解】解：原式 ． 【典例2】计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式2】将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式3】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 题型四 有理数加减混合运算（提高） 【典例1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先根据去括号法则去括号，再算加减法即可； （2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律计算即可； （3）先根据绝对值的性质化简绝对值，再算加减法即可； （4）先算中括号里的式子，再根据加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算． （1）根据题意先求出的值，再计算即可； （2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案； ②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律． 故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律； ② ． 【变式1】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 根据题意，将带分数拆成成整数部分和分数部分的和，然后整数部分相加减，分数部分相加减，分别计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算：． 【分析】本题考查归纳推理与有理数的混合运算，解题的关键是先算出每个括号内的值，发现规律，熟练掌握有理数的加减运算法则是解本题的关键． 设，得到，然后相加求解即可． 【详解】解：设， ∴ 得： ． ∴， ∴． 【变式3】计算：． 【分析】本题考查有理数加减混合运算，能够灵活运用有理数加减法法则和运算律是解题的关键．先分别将算式中第2个至11个数用两个分数的和表示，再利用有理数加法结合律进行简便运算，即可计算出结果． 【详解】解： ． 题型五 有理数加减中的简便运算 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 【典例1】用简便方法进行运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算法则． （1）利用符号相同的两个数分别结合进行求解； （2）将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解； （3）将分母相同的两个数分别结合为一组进行求解； （4）将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解． 【详解】（1）（1）解： （符号相同的两个数分别结合为一组） （互为相反数的和为0） ； （2）解： （将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ； （3）解： （将分母相同的两个数分别结合为一组） ； （4）解： （将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ． 【典例2】计算： (1)； (2)． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式1】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 【变式2】先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 【分析】本题主要考查了有理数的加法，牢牢掌握有理数的加法运算律是解答本题的关键． 根据（1）可知利用拆分法即可解答本题． 【详解】解：原式 ． 【变式3】阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六 省略加法和括号的形式 解｜题｜技｜巧 省略加法和括号的时候要注意符号的问题，尤其是前面是“—”时，省略时要记得加“—”号； 【典例1】把写成省略加号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确的去括号是解题的关键．根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 【典例2】将写成省略括号的和的形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了有理数加减运算中去括号的知识，属于基础题，注意掌握括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号前面是负号则括号里面的各项要变号． 【解答】解：， 故选：B． 【变式1】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 【变式2】把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用减法法则变形即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】把（－3）－（+4）－（－6）+（－7）+（+2）写成省略加号和括号的形式为 ． 【答案】-3-4+6-7+2 【分析】直接根据去括号法则即可解答． 【详解】解：（－3）－（+4）－（－6）+（－7）+（+2） 故答案为：． 【点睛】此题主要考查把一个式子写成省略加号和的形式，熟练掌握去括号法则是解题关键． 题型七 有理数的乘除法运算 解｜题｜技｜巧 1、 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2、 2、要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据有理数乘除法运算法则计算即可． （2）先将除法转化为乘法，再运用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】规定一种运算!：，则 ． 【答案】9900 【分析】本题考查新运算的计算，解题的关键是根据题意得到新运算的规律． 根据新运算直接代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【变式2】小王在计算一道除法算式时，误将除数15看成了60，结果所得的结果是20．如果将原算式的被除数乘5，除数除以9，所得的结果是 ． 【答案】3600 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．先根据误将除数15看成了60，结果所得的结果是20，求出正确结果为80，然后将原算式的被除数乘5，除数除以9后，得出的结果将扩大为原来倍，列出算式，计算即可． 【详解】解：∵小王在计算一道除法算式时，误将除数15看成了60， ∴所得到的商缩小了倍， ∴正确的结果为， ∴将原算式的被除数乘5，除数除以9，所得的结果是： ． 故答案为：3600． 【变式3】计算：． 【分析】先化小数为假分数，再化除为乘，计算即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，化小数为假分数，再化除为乘，是解题的关键． 【详解】解： ． 题型八 有理数乘除法的实际应用 解｜题｜技｜巧 找到数量关系进行求解； 【典例1】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 【典例2】甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 【分析】本题考查的是有理数四则混合运算的实际应用，掌握有理数四则混合运算的实际应用是解题的关键． （1）根据题意列出式子即可求出； （2）根据题意列出总费用等于材料费加上制版费即可； （3）分别求出甲厂与乙厂印制的份数，再进行比较即可； 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：420． （2）解：（元）， 答：如果选择乙厂印制400份材料，需550元． （3）解：在甲厂印制：（份），在乙厂印制：（份）， ，在乙厂印制的份数比较多． 【变式1】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件： 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？ (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 【分析】本题考查了简单的最佳方案选择，解题的关键是在理解题意的基础上列出算式． （1）要用最少的钱买奖品，则一等奖为圆规，二等奖为笔记本，三等奖为圆珠笔，据此求出所花的钱； （2）根据要求可以得到两种方案，在总费用不超过元的前提下，即可确定花费最多是多少元． 【详解】（1）解：花钱要少，尽可能地买最便宜的物品，三等奖选2元，二等奖选3元，一等奖4元，共花（元），答：年级组最少要花元买奖品； （2）解：方案一：一等奖8元，二等奖4元，三等奖2元， 总费用：（元），，符合题意； 方案二：一等奖16元，二等奖8元，三等奖4元， 总费用：（元），，符合题意； 方案三：一等奖元，二等奖元，三等奖元， 总费用：（元），，不符合题意． 答：有两种购买方案，花费最多的需用元． 【变式2】出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：，，，，，． 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 每4分钟元 (1)若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及正数和负数的意义： （1）利用有理数的加法列出算式，再计算即可； （2）求出各数的绝对值的和，再利用耗油量行驶路程可得答案； （3）利用起步价超过3千米部分的费用等候费可得答案． 【详解】（1）解：千米， 即小李在出发点的北方1千米处； （2）解：千米， 升， 即出租车共耗油升； （3）解：元， 即第三位乘客需支付车费元． 【变式3】定期进行视力检查，有助于全面掌握孩子的视力情况．为此，我校在开学初进行了全校学生视力检查．以人为基准人数，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，其中班检查人数记录如下： 班级 检查人数 班级 检查人数 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 (1)班接受视力检查的有多少人？ (2)班比班多检查多少人？ (3)若共有名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？ 【分析】（）根据正负数的意义列式计算即可； （）根据正负数的意义列式计算即可； （）根据正负数的意义列式求出七年级学生人数，再除以医生人数即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加法和减法的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：人，       答：班接受视力检查的有人； （2）解：人 ，    答：班比班多检查人； （3）解：（人）， （人）， 答：平均每位医生要检查名学生． 题型九 有理数乘法运算律 解｜题｜技｜巧 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【典例1】简便运算： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律， （1）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）将变形为，再利用乘法分配律进行简便计算即可得答案. 【详解】（1）解： ． （2） 【典例2】计算：． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，逆用乘法分配律，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1)； (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先将式子分组，再利用乘法分配律计算即可 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的简便运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律、加法交换律与结合律、乘法交换律与结合律，以及拆分带分数简化计算． （1）利用乘法分配律，将括号内各项分别与相乘再求和； （2）将带分数拆分为整数与分数的和，再用乘法分配律计算； （3）拆分带分数为整数和分数部分，分别对整数和分数运用加法交换律与结合律凑整计算； （4）运用乘法交换律与结合律，将便于计算的数结合相乘． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式 ． （4）解：原式； 【变式3】用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便． （1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的分配律计算； （3）利用乘法的交换律计算即可； （4）逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十 有理数四则混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【典例1】选择合理的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算与简便计算，熟练掌握有理数的运算、简便计算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算，计算即可； （2）根据“连续减去两个数等于减去这两个数的和”，简便计算即可； （3）根据加法交换律与加法结合律，简便计算即可； （4）逆用乘法分配律，简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练地运用有理数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）根据有理数乘法法则进行计算即可； （3）根据乘法分配律逆运用计算即可； （4）根据乘法分配律求出即可； （5）先算乘法，再算加减即可； （6）先去小括号，把除法变成乘法，再根据乘法分配律求出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式1】计算：． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内，再进行乘除法计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算： (1) (2) 【分析】本题考查有理数乘法运算律，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）按照运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】计算 (1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的运算顺序． （1）先分别计算除法和乘法，再计算减法． （2）先算乘方，再算括号内的减法，接着算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】近年来，我国大力发展新能源汽车，对新能源汽车的购置税有优惠政策．淘气的爸爸最近想购置一款新能源汽车．他了解到，最近的购置税政策如下： 汽车价格 购置税税费 当售价低于或等于30万时 免税 当售价高于30万时 售价万 淘气的爸爸看中的这款新能源汽车售价是38万元． (1)如果一次性付款，淘气的爸爸一共需要支付多少钱？ (2)某新能源汽车专卖店推出活动：购买汽车时，如果分期付款，可以享受售价的九八折优惠，但需额外支付一笔利息，利息总额约占汽车售价的，淘气的爸爸购买新能源汽车一共需要付多少钱？ 【分析】本题考查了百分数计算，涉及折扣、利息及购置税的计算．解题关键是准确理购置税的计算方法，同时在分期付款情境中，先计算折扣和利息得到分期总价，再根据售价计算相应的购置税，最后求和得出总支付金额． （1）一次性付款时，需先根据购置税政策计算购置税，再将购置税与汽车售价相加得到总支付金额。由于汽车售价38万元高于30万元，购置税为“售价万”，因此总支付金额为购置税加上汽车售价； （2）分期付款时，需先计算九八折后的售价，再加上利息得到分期付款的总价，最后根据购置税政策计算该售价对应的购置税，将分期付款总价与购置税相加得到最终总支付金额．九八折即原价的，利息为售价的，购置税按“售价万”计算． 【详解】（1）解：（万元）， 答：淘气的爸爸一共需要支付38.8万元； （2）解：（万元），（万元）， （万元）， （万元） 答：一共需要支付万元． 【典例2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以千米为标准，多于千米的记为“”，不足千米的记为“”，刚好千米的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） (1)这7天里，路程最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？ (2)求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶千米需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶千米耗电量为度，每度电为元，请通过计算估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、正负数的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）利用表格中最大的数减去最小的数即可得； （2）利用7天标准的总路程加上表格中的七个数字的和即可得； （3）根据汽油价和电价分别求出汽油车行驶的费用和新能源汽车行驶的费用，由此即可得． 【详解】（1）解：由表格得：（千米）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶千米， （2） （千米）， （千米）； （3）（元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 【变式1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【分析】本题主要考查有理数混合运算，分段收费的计算，理解分段收费的方法及计算是关键． （1）根据分段收费方法计算即可求解； （2）根据医疗保险基金支付的方法计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：他本次住院需要个人支付元钱； （2）解：（元）， 答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元． 【变式2】如表是某市地铁收费标准： 分段 乘坐里程(千米) 单程票票价 1 里程 2元 2 里程 3元 3 里程 4元 4 里程 5元 5 里程 6元 6 里程30千米以上，每9千米分段 加1元 备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价折优惠，即只需付票价的 亮亮的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12千米，每月按21天上下班计算． (1)求亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； (2)地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票 130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，亮亮妈妈每天上下班乘坐地铁交通费最少是多少？请你帮助亮亮妈妈选取一种地铁交通费最少的方案并说明理由． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，理解题意，列出相应式子，同时进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意和表格中的数据，可得出亮亮的妈妈每次单程票票价为4元，依据乘车时间及一天两次和普通乘客单程票价的折扣，可以计算出亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，分别求出购买各种月票的较低费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格可知，亮亮的妈妈每次单程票票价为4元， 故亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费为： （元）， 答：亮亮的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费是元； （2）解：∵亮亮妈妈一个月需要坐地铁（次）， ∴当选择A月票时较低的费用为：（元）， 当选择B月票时较低的费用为：（元）， 当选择C月票时的费用为130元； ∵， ∴亮亮的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是元． 费用最少的方案为：购买2个A月票，刷卡乘车2次． 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解； （2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可； （3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 答：工厂当周一共加工件零件； （2）解：根据题意得：（元）， 答：该工厂当周的加工总成本为元； （3）解：根据题意得：元， 答：该工厂当周的奖励总额为元． 题型十二 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例1】在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，乘方运算，以及有理数大小比较．先将各项化简计算出结果，再进行比较大小，即得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最大的数为 故选：B 【典例2】计算的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．由乘法的意义知10个2相加可表示为，由乘方意义可得12个2相乘表示为，据此即可解答． 【详解】解：原式， 故选：A． 【变式1】如果n是正整数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 【变式2】计算： ； ； ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的定义计算即可； 【详解】解：； ； ； ． 故答案为；；；． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型十三 程序流程图与算24点 【典例1】按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算，然后和10比较逐步求解即可． 【详解】当输入x的值为时，， ∴，∴，∴输出的值为63．故选：A． 【典例2】“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，．故答案为：． 【变式1】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 【变式2】任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【答案】 答案不唯一 961 【分析】本题主要考查对题意的理解，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空：选取三位数100进行运算，……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是答案不唯一，还可能是169等 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义．所以，最大的幸运数为961，故答案为：1（答案不唯一）；961． 【变式3】按流程图进行计算： 如第一次，不大于100，第二次重复再做， 请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程． 【答案】，计算过程见详解 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：最后输出的结果是，计算过程如下： 依题意，， 第二次重复再做，， 第三次重复再做，， ∴最后输出的结果是． 题型十四 科学记数法 解｜题｜技｜巧 1、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 【典例1】2024年中国新能源汽车年产量突破辆，数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，将数据用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：数据“”用科学记数法表示为． 故选：A． 【典例2】赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，有理数的乘法的实际应用，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 答：该芯片的频率用科学记数法可表示为． 故选：C． 【变式1】光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．请你把下列算式或命题①．②．③是一个12位数．④是一个13位数，正确的序号填写在 ． 【答案】④ 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此判断即可． 【详解】解：①，故原算式错误； ②，故原算式错误； ③是一个13位数，故原说法错误； ④是一个13位数，正确； 故正确的是：④， 故答案为：④． 【变式2】2025年4月19日6时51分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将试验二十七号卫星01星~06星发射升空，发射任务获得圆满成功．长征六号改运载火箭重量约为530000千克，数据530000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 【变式3】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法，正确确定a，n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，n的值为整数，当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的原数为2000000； （2）解：∵， ∴的原数为603000； （3）解：∵， ∴的原数为． 题型十五 近似数 解｜题｜技｜巧 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字 【典例1】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 【分析】根据近似数，精确度的定义解答即可． 本题考查了近似数和精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【详解】解：A. （精确到十分位）正确，不符合题意；     B. （精确到）正确，不符合题意     C. 用四舍五入法精确到千分位是，不是，故该选项错误，符合题意； D. （精确到）正确，不符合题意；     故选：C． 【典例2】下列各个数字属于准确数的是（    ） A．我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区 B．半径厘米的圆的周长是厘米 C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个 D．据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人 【答案】A 【分析】本题考查了准确数与近似数，准确数是真实准确的数，而近似数就是与准确数接近的数，通过估计得到的数，据此逐项判断即得答案，掌握准确数与近似数的定义是解题的关键． 【详解】解：、我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区，是准确的数据，故本选项符合题意； 、半径厘米的圆的周长，所以厘米是近似数，故本选项不符合题意； 、一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个，数据太大，根本查不清，所以亿是近似数，故本选项不符合题意； 、据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人，数据太大，根本查不清，所以万是近似数，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1】用四舍五入法按要求取近似值： （1）2.268（精确到百分位） ； （2）9.403（精确到个位） ； （3）8.965（精确到0.1） ． 【答案】 9 【分析】本题考查了近似数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，再结合四舍五入进行求解即可． （2）根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，再结合四舍五入进行求解即可． （3）根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，再结合四舍五入进行求解即可． 【详解】解：（1）2.268（精确到百分位）； 故答案为：2.27 （2）9.403（精确到个位）； 故答案为：9 （3）8.965（精确到0.1）． 故答案为：，9， 【变式2】据文化和旅游部数据中心测算，2023年“五一”假期期间国内旅游收入1480.56亿元，同比增长，其中1480.56亿用科学记数法可表示为 （精确到百亿位）． 【答案】 【分析】先将1480.56亿精确到百亿位，再利用科学记数法表示即可求解． 本题考查了科学记数法、求一个数的近似数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1480.56亿亿． 故答案为：． 【变式3】用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看后一位的数字与5的大小比较，利用四舍五入法解答．熟练掌握四舍五入法是解题关键． （1）根据万分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （2）根据十分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （3）根据千分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （4）根据百位的数字，利用四舍五入法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到千分位）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到）； （4）解：（精确到千位）． 题型十六 有理数中规律计算问题 解｜题｜技｜巧 有理数的规律计算问题，主要掌握计算公式： 【典例1】观察下列各式：；根据规律解答下列各题： (1)________________． (2)计算：________． (3)计算：． 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据题目中给定的等式，得到，即可得出结论； （2）利用裂项相加法进行求解即可； （3）利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【典例2】阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：①；②；③；把①、②、③三个等式相加，于是．阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) ； (2)根据以上观察，聪明的你发现_____； (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】观察下列算式． …… 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式：________； (2)第五个算式为__________； (3)计算：． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意写出第五个算式即可； （3）根据题意可得规律可得，据此把所求式子裂项约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：由题意得，第五个算式为， （3）解：； ； ； 以此类推可知，， ∴ ． 【变式2】（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 【答案】（1）3；；；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为3；第三项与第二项之比为3；第四项与第三项之比为3；所以每一项与前一项之比是3，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】解： ∵，； ，； ，； ，； 以此类推：， ∴， 故答案为：3；；； （2）可令，则，因此，所以，即． 【变式3】【情境假设3】是一组有规律的数，我们如何求这些连续数和呢？ 【阅读理解】 ． 【数学理解】 （1）根据规律，第6个数是______，是第______个数． （2）请直接写出计算结果：______． 【拓展运用】 （3）已知，，，计算：． 【答案】（1）；11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算，有理数的乘法运算等知识．熟练掌握裂项法进行求和计算是解题的关键． （1）由题意知，可推导一般性规律为：第个数为，由，作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据给出的已知算式，将变形为，计算求解即可． 【详解】解：（1）解：由题意知，第1个数为； 第2个数为； 第3个数为； 第4个数为； 第5个数为； ∴可推导一般性规律为：第个数为， ∴第6个数是， ∵， ∴是第11个数； （2） ； （3）解：由题意知， ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·全国·期中）粮食安全是“国之大者”，2024年《政府工作报告》明确将粮食产量1.3万亿斤以上作为发展主要预期目标之一，将1.3万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将1.3万亿写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1.3万亿， 故选B． 2．（25-26七年级上·全国·期中）计算的值为（   ） A． B．29 C． D．92 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法化为加法，再结合加法法则计算，即可作答． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（    ）． A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到百分位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数的精确度判断，解题的关键是明确小数不同数位对应的精确位（十分位为小数点后第一位，百分位为小数点后第二位等）． 先确定近似数最后一位数字所在的数位，的最后一位数字是0，位于小数点后第二位，该数位为百分位，再结合选项判断精确位对应的正确选项． 【详解】解：A、精确到十分位指精确到小数点后第一位（数字1），而最后一位数字在小数点后第二位，此选项不符合题意； B、精确到个位指精确到数字2所在的位，与最后一位数字的数位不符，此选项不符合题意； C、精确到百位指精确到数字5所在的位，与最后一位数字的数位不符，此选项不符合题意； D、精确到百分位指精确到小数点后第二位，最后一位数字0在小数点后第二位，此选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值与偶次方的非负性以及有理数乘方运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据绝对值和偶次方的非负性得到，，分别求出和的值，再进行计算即可解答． 【详解】解：依题意得，， ． ． 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算乘除，最后运算加法，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）你会玩“24点”游戏吗？ 现有“，， 6， 10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用“24点游戏”规则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）某股民上周五买进某公司的股票，每股18元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是 元 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（与前一天相比） 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的实际意义及有理数加法运算的应用，解题的关键是理解正数和负数所代表的实际意义．根据正负数的意义，列式计算即可． 【详解】解：， 元， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·期中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查有理数的四则运算，根据有理数的四则运算法则计算即可： （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的四则运算法则运算即可； （3）根据有理数的乘除法法则运算即可； （4）根据有理数的乘法法则运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 9．（25-26七年级上·全国·期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，向西走为负，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）： ． (1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？ (2)若汽车每千米耗油，已知汽车出发时油箱里有汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 【分析】本题考查的是有理数混合运算的应用， （1）根据有理数的加法计算，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得需油量，根据所需油量减去已有有油量，可得答案． 【详解】（1）解：将行走记录相加： ， 答：收工时在A地东边，距A地． （2）总路程为各数绝对值之和： ， 总耗油量：． 因，需加油：， 答：需要中途加油，应加． 10．（25-26七年级上·全国·期中）某自行车厂原计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据题意求出星期一到星期日这七天的产量，然后进行判断即可； （3）分别求出基础工资和奖励工资，然后相加，即可得出答案． 【详解】（1）解：计划每天生产300辆，星期四超产辆， 故星期四产量（辆）； （2）解：星期一：（辆）； 星期二：（辆）； 星期三：（辆）； 星期四：313辆（已求）； 星期五：（辆）； 星期六：（辆）； 星期日：（辆）． 产量最多：星期六316辆；产量最少：星期五290辆， 差值（辆）． （3）解：总增减量（辆）， 实际总产量（辆）， 基础工资：（元）， 超额奖励：（元）， 总工资：（元）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·全国·期中）（　　） A．最大负整数 B．绝对值最小的有理数 C． D．最大的负数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数，熟练掌握乘方法则是解题关键．先根据有理数的乘方法则求出结果，再根据负整数的定义即可得． 【详解】解：，是最大负整数， 故选：A． 12．（24-25七年级上·全国·期中）若的相反数是，，则的值为（    ） A．9 B．1 C．9或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查相反数，绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论思想是解题的关键．先用相反数与绝对值求出x，y，再代入求值即可． 【详解】解：∵的相反数是，， ∴，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为9或． 故选：C 13．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点．理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴． 故选：A． 14．（24-25七年级上·云南丽江·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是有理数的加法运算，掌握加法法则是解题的关键． 依据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解；原式＝ 故答案为：． 15．（24-25七年级上·湖南永州·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是根据程序列出算式． 先根据程序列出算式，再计算，根据结果判断能否输出，否则进入下一轮计算． 【详解】解：当输入的x为时， ， 输入的x为， ， 最后输出的结果y是， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·广东韶关·期中）如图，第十四届国际数学教育大会（ICME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，则八进制数2025换算成十进制数是 ．（注：） 【答案】1045 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意，正确求解是解答的关键． 根据题意列出算式，然后利用有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：八进制数 2025换算成十进制数为 ． 故答案为：1045． 17．（25-26七年级上·全国·期中）计算： (1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算括号内，然后运算乘除，最后运算加法，即可作答． （2）先整理原式，再运用有理数的乘法运算律进行简便计算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 18．（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据数轴可知m是正数，n是负数，然后根据绝对值的意义可进行求解； （2）由（1）可分别得出和的值，然后问题可求解； （3）由（2）及有理数的运算可进行求解 【详解】（1）解：因为m在原点右侧，，所以； 因为n在原点左侧，，所以． （2）解：由（1）可知：，， ∴， 因为， 所以． （3）解：由（2）可得：． 19．（24-25六年级上·山东济宁·期中）现规定一种新运算，满足，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【分析】此题考查有理数的混合运算，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据新运算进行计算即可； （2）根据新运算进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴ （2）解： 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小明有五张写着不同数的卡片（如图），请你按要求选择卡片，回答下列问题∶ (1)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数的乘积最大，则这两张卡片上的数分别是 和 (2)若从中选择两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，则这两张卡片上的数分别是 和 ，商为 ． (3)从中选择四张卡片，每张卡片的数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）． 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：找出两个数字，要使其商最小，必须是异号， ∴，， ，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：，；； （3）解：由题意得： ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·河南南阳·期中）在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 22．（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，（k为正整数）这一列数，每四个数的末尾数字循环一次，依次为2，4，8，6，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，… ∴（k为正整数）这一列数，每四个数的末尾数字循环一次，依次为2，4，8，6， ∵ ∴的末位数字是8． 故选：D． 23．（25-26七年级上·全国·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 24．（25-26七年级上·江苏·期中）随着智能化的发展，密码锁逐渐成为众多家庭的选择．某天，小明从外地回家发现家里新换了密码锁，但碰巧家里没人，小明便用手机询问父亲，父亲只发了一张图片过来(如图)，则他家密码锁的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索数字的规律、有理数的混合运算，根据前三个的运算结果找到运算规律，根据规律计算即可得到密码． 【详解】解：， 最左边两位数是，中间两位数是，最右边两位数是， ， 最左边两位数是，中间两位数是，最右边两位数是， ， 最左边两位数是，中间两位数是，最右边两位数是， 的最左边两位数是，中间两位数是，最右边两位数是， 小明家的密码是． 故答案为：． 25．（25-26七年级上·全国·期中）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是年份减3，除以12所得的余数．以2025年为例： 天干为； 地支为． 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历 年． 【答案】乙亥 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，可以计算出2055年对应的天干和地支，然后根据表格中的信息，即可写出2055年对应的农历年． 【详解】解：由题意，得天干为； 地支为…0， 对照表格可知，2055年为农历乙亥年． 故答案为：乙亥． 26．（24-25七年级上·北京·期中）甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到 商店买比较省钱，这时实际只需要付 元． 【答案】 甲 1250 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题意，可以分别计算出三家店的花费情况，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲店每买十送二，所以只需要买50个即可， ∴到甲店购买需要花费：（元）， 到乙店购买需要花费：（元）， 到丙店购买需要花费：（元）， ∵， ∴到甲店购买比较省钱， 故答案为：甲，1250． 27．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【发现问题】小华同学通过初中这段时间以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律的一种游戏规则． 【提出问题】基于之前的学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求：①；②，其中可以取任何有理数，问题：求的值． 【分析问题】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了，由①可以知道____，于是有…记为（1）式．第二步，令②中的，则有，由①可以知道____（用含字母的式子表示）…记为（2）式．结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到____（用含字母，的式子表示）． 【解决问题】的值是_____． 【拓展问题】已知，其中符号“”为绝对值，求的倒数． 【分析】本题考查定义新运算，按照题中所给步骤依次计算即可得到答案． 【详解】【分析问题】由知； 令②中的，则有， 即， 即； 由及可知，； 故答案为：； 【解决问题】由可知：； 故答案为：12； 【拓展问题】，， ， 或， 或， 的倒数为或． 28．（24-25七年级上·四川德阳·期中）阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，两点P，Q之间的距离表示为，回答以下问题： (1)若点P表示的数为，点Q表示的数为3，则P、Q两点之间的距离__________； (2)若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则：____________； (3)当x的取值范围是 时，代数式有最小值，最小值是_______； (4)结合数轴求出的最小值为 ，此时为 ； (5)请根据上面的规律求的最小值为 ． 【分析】本题考查两点间的距离，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式分两种情况进行求解即可； （3）根据表示数轴上数到数之间的距离之和，得到当在到3之间时，最小，进行求解即可； （4）同（3）可知当时，的值最小，进行求解即可； （5）同（4）可知当的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：4； （2）解：由题意，或； 故答案为：或1； （3）解：∵表示数轴上数到数之间的距离之和， ∴当在到3之间时，最小，为到3的距离， ∴最小值为：； 故答案为：5； （4）解：同（3）可知：当时，的最小值为； 故答案为：5，1； （5）解：同（4）可知，当时，的值最小， 为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $