第6章 §4 4.2 平面与平面平行（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦平面与平面平行的判定定理和性质定理，通过上海世博会中国馆等现实情境导入，经直观感知、操作确认归纳定理，再结合例题、母题探究及跟踪训练实现应用，构建“感知-归纳-应用-拓展”的学习支架。 该资料以现实情境和动手操作（如矩形硬纸片、三角尺实验）培养数学眼光，通过定理推导和正方体中平面平行证明等例题发展数学思维，用文字、图形、符号语言梳理知识培养数学语言表达。课中辅助教师引导探究，课后通过跟踪训练和截面问题拓展帮助学生查漏补缺，提升空间观念与应用能力。

4．2　平面与平面平行 新课导入 学习目标 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留，中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉． 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理． 2．掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题． 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β. 思考1　直线a与平面β的位置关系如何？ 提示：平行． 思考2　直线a与直线b的位置关系如何？ 提示：平行或异面． 思考3　在什么条件下可使a∥b? 提示：当a与b不异面，即a与b在同一平面内时，a∥b. [知识梳理] 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b [例1] (对接教材例5) 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与平面α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． 【解】　(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD. (2)由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝，所以CD＝ cm， 所以PD＝PC＋CD＝(cm). 母题探究　在本例中，若点P在平面α与平面β之间，在第(2)问的条件下求CD的长． 解： 如图所示，因为PB∩PD＝P， 所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD， 又α∥β， 所以AC∥BD. 所以∠PAC＝∠PBD，∠PCA＝∠PDB， 所以△PAC∽△PBD，所以＝， 即＝. 又PB＝AB－PA＝1 cm，则PD＝ cm， 所以CD＝PC＋PD＝3＋＝(cm). 平面与平面平行的性质定理的解题步骤 [跟踪训练1] 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.点E为棱A1D1的中点，平面CB1E交棱DD1于点F. (1)求证：B1C∥EF； (2)确定点F在棱DD1上的位置，并求EF的长． 解：(1)证明：由长方体的性质知，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，又平面CB1E∩平面BCC1B1＝B1C，平面CB1E∩平面ADD1A1＝EF，由平面与平面平行的性质定理可知，B1C∥EF. (2)如图，连接A1D，所以A1D∥B1C，由(1)知B1C∥EF，所以A1D∥EF.又因为点E为棱A1D1的中点，所以点F为棱DD1的中点，且EF＝A1D＝×＝. 思考1　如图1，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下硬纸片，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，硬纸片与桌面平行吗？ 提示：不一定平行． 思考2　如图2， c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？ 提示：平行． [知识梳理] 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒α∥β [例2] (对接教材例6)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.　 若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD. 【证明】　 由BD∥B1D1，BD⊄平面EB1D1， B1D1⊂平面EB1D1， 得BD∥平面EB1D1. 如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG. 易得GF∥AD，GF＝AD，所以四边形ADFG 是平行四边形，所以AG∥DF， 所以B1E∥DF，又DF⊄平面EB1D1，B1E⊂平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D，BD，DF⊂平面FBD，所以平面EB1D1∥平面FBD. 母题探究　把本例的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝AA1”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD? 解：当F满足CF＝CC1时，平面EB1D1∥平面FBD，证明如下： 如图，在D1D上取点M，且DM＝DD1，连接AM，FM，则AE綊D1M， 从而四边形AMD1E是平行四边形，所以D1E∥AM. 同理，FM綊CD，又因为AB綊CD，所以FM綊AB，从而四边形FMAB是平行四边形，所以AM∥BF，即有D1E∥BF. 又BF⊂平面FBD，D1E⊄平面FBD， 所以D1E∥平面FBD. 又B1B綊D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD， 又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，从而B1D1∥平面FBD， 又D1E∩B1D1＝D1，D1E，B1D1⊂平面EB1D1，所以平面EB1D1∥平面FBD. (1)利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤 (2)判断两平面平行的基本方法 ①定义法：两个平面没有公共点． ②转化法：转化为线线平行，平面α内的两条相交直线分别与平面β内的两条相交直线平行，则α∥β. ③利用平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 　 [跟踪训练2] 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，CD∥AB, 求证：平面PAB∥平面EFG. 证明：因为E，G分别是PC，BC的中点，所以EG∥PB，又因为EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB， 因为E，F分别是PC，PD的中点， 所以EF∥CD， 又因为AB∥CD，所以EF∥AB， 因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， 所以平面PAB∥平面EFG. [例3] (2025·九江期末)在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a, PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l. (1)证明：l∥CD； (2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． 【解】　(1)证明：由四边形ABCD为菱形，得AB∥CD， 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则AB∥平面PCD， 又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，则AB∥l，所以l∥CD. (2) 存在．当F是PC的中点时，BF∥平面AEC， 如图，取PE的中点M，连接FM，当F为PC的中点时，得FM∥CE，又CE⊂平面AEC，FM⊄平面AEC，所以FM∥平面AEC.由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，故E是MD的中点， 连接BM，BD，设BD∩AC＝O，由四边形ABCD是菱形，得O为BD的中点，连接OE， 则BM∥OE，又OE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，所以BM∥平面AEC， 又FM∩BM＝M，FM，BM⊂平面BFM，则平面BFM∥平面AEC， 又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC. (1)证明直线与平面平行，除了定义法、判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行． (2)空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下： [跟踪训练3] 如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝2，BC＝3，AD＝4，线段AD的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，现将四边形CDEF沿EF折起，使C，D分别到点G，H的位置，得到几何体ABFEHG，如图2所示．判断线段EH上是否存在一点P，使得平面PAF∥平面BGH，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． 解：存在．当点P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH. 证明如下：由题易知EH＝2，GF＝1，EH∥GF. 因为点P为线段EH的中点， 所以HP＝GF＝1，HP∥GF， 所以四边形HPFG是平行四边形， 所以HG∥PF， 因为PF⊂平面PAF，HG⊄平面PAF， 所以HG∥平面PAF. 连接PG(图略).因为PE∥GF，PE＝GF＝1， 所以四边形PEFG是平行四边形， 所以PG∥EF，且PG＝EF， 又EF∥AB，EF＝AB， 所以PG∥AB，PG＝AB， 所以四边形ABGP是平行四边形， 所以PA∥BG. 因为PA⊂平面PAF，BG⊄平面PAF， 所以BG∥平面PAF. 又HG，BG⊂平面BGH，HG∩BG＝G， 所以平面PAF∥平面BGH. 拓视野 截面问题 截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫作这个几何体的截面，与几何体表面的交集(交线)叫作截线，与几何体棱的交集(交点)叫作截点． [典例] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB中点，P为线段C1D1上一动点，过D，E，P的平面截正方体的截面图形不可能是(　　) A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【解析】　 对于B，当点P与D1重合时，如图1，取A1B1中点H，连接DE，EH，HD1，因为E是AB中点，则EH∥DD1，且EH＝DD1， 所以四边形EHD1D为平行四边形， 又因为DD1⊥DE，所以平行四边形EHD1D为矩形，故排除B选项； 对于C，当点P与C1重合时，如图2， 取BB1的中点为G，连接DE，EG，GC1，C1D，因为E是AB的中点，所以EG∥DC1， 截面四边形EGC1D为梯形，故排除C选项； 对于D，当点P为C1D1中点时，如图3， 连接PB1，B1E，DE，DP，因为E是AB中点，所以PB1∥DE，且PB1＝DE， 则四边形EB1PD是平行四边形． 又因为B1P＝ ＝＝， B1E＝＝ ＝， 且C1D1＝B1C1＝AB＝BB1， 所以B1P＝B1E，所以平行四边形EB1PD是菱形，故排除D选项； 对于A，不管点P在线段C1D1的什么位置，截面图形都不可能是三角形． 【答案】　A 截面的作法 (1)直接法作截面：若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面． (2)平行线法作截面：若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面． [练习] 如图，已知正三棱柱木料ABC­A1B1C1各棱长都为2，O1，O分别为△A1B1C1和△ABC的中心，Q为线段O1O上的点，且＝，过A，B，Q三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为________． 解析： 如图，连接CO，C1O1并延长分别交AB，A1B1于点D，D1，易知CD∥C1D1，连接DQ并延长交C1D1于点P，过点P作EF∥A1B1分别交B1C1，A1C1于点E，F，连接BE，AF.因为EF∥A1B1，所以EF∥AB，故梯形ABEF为所求截面．因为O1，O分别为△A1B1C1和△ABC的中心， ＝，CD∥C1D1，所以O1P＝OD＝O1D1．又△A1B1C1是等边三角形，所以O1D1＝C1D1，故D1P＝C1D1，即P是C1D1的中点，所以EF＝A1B1，易知四边形ABEF为等腰梯形，所以PD为等腰梯形的高．又正三棱柱ABC­A1B1C1各棱长都为2，所以EF＝1，BE＝＝，PD＝＝＝，所以S梯形ABEF＝(AB＋EF)×PD＝×3×＝. 答案： 1．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是(　　) A．α，β都平行于直线a B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 解析：选D.当α∩β＝l，l∥a，a⊄α，且a⊄β时，满足α，β都平行于直线a，不能推出α∥β，故A错误；当α∩β＝b，且在α内直线b一侧有两点，另一侧有一点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β，故B错误；当l与m平行时，不能推出α∥β，故C错误；因为l∥α，m∥α，所以在α内有两条直线l′，m′，使得l′∥l，m′∥m.因为l与m异面，则l′与m′相交．又l∥β，m∥β，则l′∥β，m′∥β，所以α∥β，故选D. 2．(教材P235T3改编)在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G 解析：选A. 如图，因为EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1.易知B，C，D均不正确． 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F在DD1上，点E在BB1上，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是________． 解析： 因为AF∥EC1，所以A，F，E，C1四点共面，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面AFC1E＝AE，平面CDD1C1∩平面AFC1E＝C1F，所以AE∥C1F，又因为AF∥EC1， 所以四边形AEC1F是平行四边形． 答案：平行四边形 4.如图所示，在棱锥A­BCD中，截面EFG平行于底面BCD，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，则△BCD的周长为________． 解析：因为平面EFG∥平面BCD， 而平面EFG∩平面ABC＝EG， 平面BCD∩平面ABC＝BC，故EG∥BC， 故＝＝，同理＝＝， 所以△EFG∽△BDC，且相似比为1∶3， 所以△EFG与△BDC的周长之比为1∶3，而△EFG的周长是9，故△BCD的周长为9×3＝27. 答案：27 1．已学习：平面与平面平行的性质定理、平面与平面平行的判定定理． 2．须贯通：应用判定定理，只要找出一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行即可；应用性质定理，一般是找到或作出与两个平面相交的辅助面，两个平面的交线必定平行． 3．应注意：判定平面与平面平行的条件是否充分． 　 学科网（北京）股份有限公司 $