（讲义）第6章 §4 4.1 第2课时 直线与平面平行的判定-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

第2课时　直线与平面平行的判定 1．理解直线与平面平行的判定定理．(重点) 2．掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．(重点、难点) 1．通过对直线与平面平行判定定理的归纳及发现，培养学生数学抽象素养． 2．借助于线面平行判定定理的应用，培养学生逻辑推理素养． 门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要不关门，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与门框存在不变的位置关系． 问题1：情境中存在着不变的位置关系是指什么？ 问题2：若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？ 知识点　直线与平面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒l∥α 1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？ [提示]　平行． 2．如果一条直线与一个平面内无数条直线都平行，那么该直线与平面具有什么位置关系？ [提示]　平行或在平面内． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α. (　　) (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行． (　　) (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． (　　) [提示]　(1)错误．当直线l与平面α相交时，在直线l上也存在两点到平面α的距离相等． (2)错误．若直线l与平面α平行时，l与平面α内的直线平行或异面． (3)错误．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条与这个平面可能平行，也可能在这个平面内． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　直线和平面平行的判定 【例1】　已知正方形ABCD，如图(1)，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE. [证明]　∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD． 又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形， ∴BF∥ED． ∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE， ∴BF∥平面ADE. 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理． 易错警示：线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊂α与b⊄α. (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． [跟进训练] 1．如图，O是长方体ABCD­A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D． [证明]　如图，连接B1D1交A1C1于O1，连接DO1. ∵O1B1∥DO，O1B1＝DO， ∴四边形O1B1OD为平行四边形， ∴B1O∥O1D. ∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D. 类型2　线面平行的判定与性质的综合应用 【例2】　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 要证AP∥GH，只需证明AP∥平面BDM，由此思考需要作哪条辅助线，进而借助平面几何知识求证即可． [证明]　连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点， ∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH， 平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH. [母题探究] 本例条件不变，求证：GH∥平面PAD． [证明]　由例2证得AP∥GH. 又AP⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD． 证明平行关系的一般思路是：“由已知想性质，由求证想判定”，即看到题目的条件要想到这个已知条件有什么性质，看到要求证的结论要想到应用什么样的判定方法去证明. [跟进训练] 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG. [证明]　∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1. 又∵AC⊂平面AB1C，平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG. 类型3　线面平行的探索性问题 【例3】　在三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． [解]　如图，取线段AB的中点为M， 连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点． 由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE， 则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MD∥AC且MD＝AC， OE∥AC且OE＝AC， 因此MD∥OE且MD＝OE. 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC. 平行中的探索问题解题策略 1．主要类型：(1)对平行关系的探索；(2)对条件或结论不完备的开放性问题的探索． 2．解题思路：首先假设存在，然后在这个假设的条件下推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，若推出了矛盾就否定假设． 3．注意事项：(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来；(2)在转化过程中要有理有据，不能凭空猜测． [跟进训练] 3．如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论． [解]　存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时， PM∥平面BCE. 证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN， 则MN∥AB且MN＝AB. 又PC∥AB且PC＝AB，所以MN∥PC且MN＝PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN. 因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE， 所以PM∥平面BCE. 1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　) A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交 C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交 D　[由直线和平面平行的概念可知选D．] 2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b D　[由线面平行的判定定理可知，D正确．] 3．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　) A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 C　[选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．] 4．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A．1个　 B．2个　 C．3个 D．4个 D　[由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．] 5．如图，在五面体FE­ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________． 平行　[因为MN∥CF, ED∥CF，所以MN∥ ED，又MN⊄平面ADE，ED⊂平面ADE， 所以MN∥平面ADE.] 回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．利用线面平行的性质定理和判定定理是如何实现线、面之间的平行关系转化的？ [提示]　 2．证明线面平行的常用方法有哪些？ [提示]　判断或证明线面平行的常用方法 (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作). (2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$