（讲义）第5章 §2 2. 2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法几何意义初探-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

2.2　复数的乘法与除法 *2.3　复数乘法几何意义初探 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． (难点) 3．了解复数乘法的几何意义． 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学生数学运算素养． 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养． 在研究复数的加、减法运算时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则，让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果． 阅读教材，回答下列问题． 问题1：复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 问题2：复数乘法的运算律有哪些？ 问题3：如何在复数范围内求方程的解？ 知识点1　复数的乘法 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·_(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1· (z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 (3)复数的指数幂的运算性质 对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z． (4)虚数单位i乘方的周期性 对于任意自然数n，有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． (5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝||2＝|z|2＝a2＋b2. (6)复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为OZ1． ①z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长或压缩c倍得到的． ②z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为OZ3，则OZ3是由OZ1逆时针旋转得到的． 1．复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相似？ [提示]　相似，但是运算的结果要把i2写成－1. 1．复数(1＋i)(1－i)＝________． 2　[(1＋i)(1－i)＝1－i2＝2.] 知识点2　复数的除法 (1)复数的除法： 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·.即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝－i． (2)复数除法的运算： 在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝－i． 由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”． 2．类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？ 提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i. 2．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 A　[z＝＝－i.] 类型1　复数的乘法及其几何意义 【例1】　(1)计算：①(2＋i)(2－i)；②(1＋2i)2. (2)设O是坐标原点，在矩形OABC(点O，A，B，C按逆时针排列)中，OA＝3OC，若A对应的复数是3＋4i，求点B，C所对应的复数． [解]　(1)①(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； ②(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. (2)因为在矩形OABC中，OA＝3OC，且A对应的复数是3＋4i， 所以点C对应的复数为(3＋4i)·i＝－＋i， 因为＝(3，4)，＝，所以＝＋＝， 所以点B对应的复数为＋5i. 1．两个复数代数形式乘法的运算步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i2换成－1； (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i. [跟进训练] 1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　) A．2－13i　　 B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i (2)复数(1－i)2(2－3i)的值为(　　) A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i (3)设复数2＋i对应的向量为，把沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(　　) A．－1＋2i　　　　　 B．6＋3i C．6＋i D．－6－3i (1)D　(2)B　(3)B　[(1)(1