第5章 § 1 1.2 复数的几何意义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，从复数代数形式出发，构建复数与复平面内点、平面向量的一一对应关系，衔接复数的模、共轭复数等概念，形成从代数到几何的完整知识支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察复数与点、向量的联系，通过例题与跟踪训练培养数学思维中的推理能力，借助复平面直观呈现几何意义，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

复数的几何意义 新课导入 学习目标 德国数学家高斯把复数与平面内的点一一对应起来，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 思考1　有序实数对和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示：能．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应． 思考2　能用平面向量表示复数吗？ 提示：能．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数． [知识梳理] 1．复平面：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的一个点(a，b)来表示，如图： 2．复数的几何意义 角度1　复数与复平面内的点 [例1] 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点满足下列条件，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二或第四象限． 【解】　(1)由题意，复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4. (2)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，所以2<m<4或－5<m<－2. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：利用复数的几何表示法，将复数z＝a＋bi(a，b∈R)用复平面内的点Z(a，b)来表示． (2)列出方程：利用复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)求解． [跟踪训练1] (1)复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i(i为虚数单位)，则z2＝ (　　) A．1＋2i B．－1－2i C．－1＋2i D．2＋i 解析：选B.由题意可得，z1在复平面内对应的点为(1，－2)，该点关于虚轴对称的点为(－1，－2)，所以z2在复平面内对应的点为(－1，－2)，所以z2＝－1－2i.故选B. (2)在复平面内，点A，B表示的复数分别为2－i，5＋3i，则||＝________． 解析：在复平面内，点A对应的坐标为(2，－1)，点B对应的坐标为(5，3)，所以＝(3，4)，所以||＝＝5. 答案：5 角度2　复数与复平面内的向量 [例2] 在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所表示的复数． 【解】　方法一：由复数的几何意义得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则AC的中点为.由平行四边形的性质知，该点也是BD的中点，设D(x，y)，则解得即点D的坐标为(3，3)，所以点D表示的复数为3＋3i. 方法二：设O为坐标原点，由已知得＝(0，1)，＝(1，0)，＝(4，2)，所以＝(－1，1)，＝(3，2)，因为＝＋＝(2，3)，所以＝＋＝(3，3)，即点D表示的复数为3＋3i. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化． [跟踪训练2] (1)(2025·桂林月考)在复平面内，O为原点，已知复数z＝1－i对应的向量为，向量＝(2，0)，则向量在上的投影向量对应的复数是 (　　) A．1 B．1＋i C．1－i D．i 解析：选A.由题意知＝(1，－)，由投影向量的定义知，向量在上的投影向量的坐标为(1，0)，其对应的复数是1. (2)在复平面内，设复数z1＝m＋i(m∈R)，z2＝4－i对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，若⊥，则实数m的值为________． 解析：在复平面内，复数z1＝m＋i，z2＝4－i对应的点分别为Z1(m，1)，Z2(4，－1)，则＝(m，1)，＝(4，－1).由⊥，得·＝4m－1＝0，解得m＝. 答案： 思考　设＝(a，b)，那么||的值是什么？ 提示：||＝，我们称为复数a＋bi的模． [知识梳理] 向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模|z|＝＝＝|a|(a的绝对值). 虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小． 角度1　复数的模的计算 [例3] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝ (　　) A．0 B．1 C． D．2 (2)已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|＝ (　　) A．3 B． C． D． 【解析】　(1)|z|＝|－1－i|＝＝.故选C. (2)因为1＋xi＝(2－y)－3i， 所以解得 则|x＋yi|＝|－3＋i|＝＝.故选B. 【答案】　(1)C　(2)B 解决复数的模的计算问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数模的计算公式|a＋bi|＝(a，b∈R)求解． [跟踪训练3] (1)已知复数z＝8＋6i，则|z|＝ (　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选D.由z＝8＋6i，得|z|＝＝10. (2)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________． 解析：依题意，可知z＝a＋i(0<a<2)，则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈(1，5)，即|z|∈(1，). 答案：(1，) 角度2　复数的模的几何意义 [例4] (对接教材例3)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|<3； (2)|z|＝2. 【解】　(1)由|z|＜3得向量的模小于3，所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆的内部． (2)由|z|＝2得向量的模等于2，所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆． 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [跟踪训练4] (1)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是 (　　) A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆 解析：选A.由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1， 因为|z|≥0，所以|z|＝3， 所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆． (2)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则满足＜|z|≤4的复数z在复平面内对应的点Z(x，y)构成的平面图形的面积为________． 解析：在复平面内，＜|z|≤4的几何意义为：复数z对应的动点Z到坐标原点的距离大于，不大于4.因此动点Z(x，y)构成的图形是以坐标原点为圆心，以和4为半径的两个同心圆所夹的圆环(包括以4为半径的圆的边界，但不包含以为半径的圆的边界)，故其面积为π×42－π×()2＝13π. 答案：13π 思考　复数z1＝3＋4i与复数z2＝3－4i的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示：相等，关于实轴对称． [知识梳理] 若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示．当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 点拨　任意一个实数的共轭复数仍是它本身． [例5] (1)在复平面内，复数z＝1－6i的共轭复数对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知a，b∈R，若a＋4i与3－bi互为共轭复数，则|a＋bi|＝________． 【解析】　(1)因为z＝1－6i，所以＝1＋6i，所以对应的点为(1，6)，位于第一象限．故选A. (2)因为a＋4i与3－bi互为共轭复数，所以a＝3，b＝4，则有|a＋bi|＝|3＋4i|＝＝5. 【答案】　(1)A　(2)5 共轭复数的考查常与复数的运算，复数的几何意义相结合．通常解法是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，根据题目条件列出关于a，b的方程组(不等式组)，化简求解即可，常见的有如下两种题型： (1)求共轭复数：具体方法是先把复数写成代数形式，再利用定义写出已知复数的共轭复数； (2)求对应点：明确表示两个共轭复数的点的对称关系． [跟踪训练5] (1)已知i为虚数单位，若复数z＝1－i，则＝ (　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选C.因为z＝1－i，所以＝＝＝4.故选C. (2)已知复数z在复平面内对应的点与复数3－2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数z的共轭复数＝ (　　) A．3＋2i B．2－3i C．－3－2i D．－3＋2i 解析：选D.复数3－2i在复平面内对应的点为(3，－2)，其关于虚轴对称的点为(－3，－2)，所以复数z在复平面内对应的点为(－3，－2)，即z＝－3－2i，所以＝－3＋2i. 1．(教材P180T6改编)已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－1，2) B．(－2，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：选B.因为z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，所以m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是(－2，1). 2．(多选)(2025·宿州月考)已知复数z＝－1＋i，其中i是虚数单位，下列说法正确的是 (　　) A．z的虚部为i B．＝1＋i C.||＝2 D．z在复平面内对应的点在第二象限 解析：选CD.对于A，因为z＝－1＋i，所以z的虚部为，故A错误； 对于B，＝－1－i，故B错误； 对于C，||＝＝2，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为(－1，)，位于第二象限，故D正确． 3．若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，满足|z|＝3，则a的值为________． 解析：由|z|＝3得|z|＝＝3，解得a＝±. 答案：± 4．(教材P179T3改编)在复平面内，复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量对应的复数是________． 解析：因为在复平面内，复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4，3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量对应的复数是－6－8i. 答案：－6－8i 1．已学习：复数与复平面内的点、平面向量之间的对应关系、复数的模及几何意义、共轭复数． 2．须贯通：灵活应用复数的模及几何意义解决有关问题． 3．应注意：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小． 学科网（北京）股份有限公司 $