第4章 阶段提升(五) 三角恒等变换与三角函数的最值(范围：§1～§3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学三角恒等变换与三角函数的最值，系统梳理含sinx±cosx、sinxcosx的函数，二次函数型，分式型及Asin(ωx+φ)+B型四类题型，构建从基础恒等到复杂最值求解的学习支架。 资料以例题解析与跟踪训练结合，通过换元法培养数学抽象能力，二次函数转化强化逻辑推理，辅助角公式应用提升数学建模意识。课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固方法，查漏补缺。

阶段提升(五)　三角恒等变换与三角函数的最值 (范围：§1～§3) 题型一　关于含sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x的函数求最值 [例1] 求函数y＝sin x＋cos x＋sin x cos x在上的最值． 【解】　令t＝sin x＋cos x＝sin ，(*) 因为－≤x≤，所以－≤x＋≤， 所以sin ∈，则t∈[－1，]. 由(*)式可得，sin x cos x＝. 所以y＝t＋＝t2＋t－＝(t＋1)2－1，t∈[－1， ]. 因为关于t的函数y在[－1，]上单调递增， 所以函数在x∈上的最小值ymin＝－1，最大值ymax＝＋. 解决此类问题常用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域． [跟踪训练1] 函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为__________． 解析：设t＝sin x－cos x＝sin ， 因为0≤x≤π，所以－≤x－≤， sin ∈， 所以－1≤t≤， 又t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcos x， 即sin x cos x＝. 所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－1，].因为关于t的函数y在[－1，1)上单调递增，在(1，]上单调递减， 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. 所以函数在x∈[0，π]上的值域为[－1，1]. 答案：[－1，1] 题型二　可化为形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的关于sin x(或cos x)的二次函数式求最值 [例2] (1)函数y＝cos 2x＋sin x－1的值域为 (　　) A． B． C． D． (2)求函数y＝5sin x＋cos 2x的最值． 【解】　(1)选D.因为y＝cos 2x＋sin x－1＝1－sin 2x＋sin x－1＝－sin 2x＋sin x，令t＝sin x，则y＝－t2＋t＝－2＋，－1≤t≤1，所以y＝－t2＋t在上单调递增，在上单调递减，当t＝－1时，ymin＝－2；当t＝时，ymax＝，所以－2≤y≤，即y＝cos 2x＋sin x－1的值域为.故选D. (2)y＝5sin x＋(1－2sin2x)＝－2sin2x＋5sinx＋1＝－2＋，因为－1≤sin x≤1，关于sin x的函数y在[－1，1]上单调递增，所以当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－2×＋＝－6；当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝－2×＋＝4. 对于此类函数解析式往往利用同角三角函数的平方关系式和二倍角的余弦公式等进行转化，同时要注意sin x和cos x的有界性，准确确定辅助元的范围． [跟踪训练2] 已知f(x)＝cos 2x＋sin x＋1，求函数f(x)在上的值域． 解：由题意可知f(x)＝cos 2x＋sin x＋1＝1－sin 2x＋sin x＋1＝－sin 2x＋sin x＋2， 令t＝sin x，当x∈时， 由y＝sin x在上单调递增，在上单调递减，则t∈， 令g＝－t2＋t＋2＝－2＋，t∈， 又g在上单调递增，在上单调递减， 则fmin＝g＝g(1)＝， fmax＝g＝， 所以f(x)∈，即函数f(x)在上的值域为. 题型三　形如y＝(或y＝)的分式型函数求最值 [例3] 求函数y＝的最大值和最小值． 【解】　y＝＝－ ＝－＝－－2， 由－1≤sin x≤1，得－3≤sin x－2≤－1， 则－1≤≤－，≤－≤1， 即－≤－－2≤－1， 故ymax＝－1，ymin＝－. (1)当分式函数中只含sin x或cos x时，也可反解求出sin x(或cos x)，利用有界性得到关于y的不等式，从而解得最值． (2)当函数解析式中既含sin x又含cos x时，可利用辅助角公式化为含有sin (x＋φ)的形式，再利用有界性建立不等式求解． [跟踪训练3] 求函数y＝的最大值和最小值． 解：由已知得y cos x－2y＝sin x－1， 即sin x－y cos x＝1－2y， 则·sin (x＋φ)＝1－2y(其中tan φ＝－y)，　 所以sin (x＋φ)＝， 因为|sin (x＋φ)|≤1， 因而有≤1， 解得0≤y≤， 所以ymax＝，ymin＝0. 题型四　化为y＝A sin (ωx＋φ)＋B的形式求最值 [例4] 已知函数f(x)＝sin ＋sin ＋cos x－1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的取值范围． 【解】　(1)由已知得f(x)＝sin (x＋)＋sin ＋cos x－1＝sin x cos ＋cos x sin ＋sin x cos －cos x sin ＋cos x－1 ＝sin x＋cos x－1 ＝2sin －1， 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). (2)由(1)知f(x)＝2sin －1.令t＝x＋，当x∈时，t∈. 因为函数f(t)＝2sin t－1在上单调递增，在上单调递减，所以当t＝，即x＝π时，f(x)取得最小值－－1. 当t＝，即x＝时，f(x)取得最大值1， 所以函数f(x)的取值范围为. 形如y＝a sin2ωx＋b sinωx cos ωx＋c cos2ωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝A sin(2ωx＋φ)＋B的形式求最值． [跟踪训练4] 已知函数f(x)＝sin2＋sin(x－)·cos －. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数f(x)在上的最值及取最值时相应的x值． 解：(1)由已知，f(x)＝sin2(x－)＋sin(x－)·cos － ＝＋sin － ＝sin －cos ＝sin ＝sin ， 所以函数f(x)＝sin 的最小正周期T＝＝π， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. (2)由(1)知，f(x)＝sin ，当0≤x≤时，－≤2x－≤， 所以由正弦函数的性质知 当2x－＝－，即x＝0时， f(x)＝sin (2x－)取最小值， 最小值为f(0)＝sin (－)＝－； 当2x－＝，即x＝时， f(x)＝sin 取最大值，最大值为f＝sin ＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $