第2章 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 1.已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小｜s｜＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（　　） A.7 B.10 C.14 D.70 2.点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的（　　） A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 3.在四边形ABCD中，若＝（1，2），＝（－4，2），则该四边形的面积为（　　） A.　　　B.2　　 C.5　　　D.10 4.已知P是边长为4的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（　　） A.[－8，24] B.[－8，8] C.[－4，24] D.[－8，16] 5.〔多选〕在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k）.若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（　　） A.－1 B. C. D. 6.〔多选〕点P是△ABC所在平面内一点，满足｜－｜－｜＋－2｜＝0，则△ABC的形状可能是（　　） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 7.已知点A（1，1），M（x，y），且A与M不重合，若向量与向量a＝（1，2）垂直，则点M的坐标x，y之间的关系为　　　　　　　　. 8.在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为　　　　千米/时. 9.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则（＋）·＝　　　　. 10. 已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m.力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（取重力加速度大小为10 m/s2） 11.在△ABC中，设－＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（　　） A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 12.〔多选〕一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　） A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N 13.如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知｜F1｜＝80 N，则G的大小为 ，F2的大小为 . 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，｜｜＝2｜｜＝2，∠OAB＝，＝（－1，）. （1）求点B，点C的坐标； （2）求四边形OABC的面积. 15.〔多选〕已知点P为△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　） A.若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上 B.若＋＋＝0，则点P为△ABC的重心 C.若·＞0，则△ABC为锐角三角形 D.若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2 16.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（cos θ＝，θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（注：cos（θ－45°）＝） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 1.D　F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜cos 60°＝10×14×＝70. 2.D　∵·＝·，∴（－）·＝0，∴·＝0，∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点. 3.C　∵·＝0，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝××2＝5. 4.A　连接AE，则正六边形中AB⊥AE，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），设P（m，n），则m∈[－2，6]，·＝（m，n）·（4，0）＝4m∈[－8，24]. 5.BCD　若A为直角，则AB⊥AC，则·＝0，∴2＋3k＝0，解得k＝－.若B为直角，则BC⊥AB，则·＝0，∵＝（2，3），＝（1，k），∴＝（－1，k－3），∴－2＋3k－9＝0，解得k＝.若C为直角，则BC⊥AC，则·＝0，∴－1＋k（k－3）＝0，解得k＝.综上可得，k的值可能为－，，，.故选B、C、D. 6.BC　因为P是△ABC所在平面内一点，且｜－｜－｜＋－2｜＝0，所以｜｜－｜（－）＋（－）｜＝0，即｜｜＝｜＋｜，所以｜－｜＝｜＋｜，两边平方并化简得·＝0，所以⊥，所以A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形.故选B、C. 7.x＋2y－3＝0（x≠1）　解析：·a＝（x－1，y－1）·（1，2）＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0.又A与M不重合，所以x≠1. 8.4　解析：用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度，则v0＋v1表示船实际航行速度.∵｜v0｜＝4，｜v1｜＝8，∴｜v0＋v1｜＝＝4. 9.－　解析：如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），∴C（2，1）.∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F（1，1），∴＋＝，＝（－2，1），∴（＋）·＝3×（－2）＋×1＝－. 10.解：如图所示，设木块的位移为s，则F·s＝｜F｜｜s｜·cos 30°＝50×20×＝500（J）. 将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2，则｜f1｜＝｜F｜sin 30°＝50×＝25（N）. 所以｜f｜＝μ（｜G｜－｜f1｜）＝0.02×（8×10－25）＝1.1（N）. 因此f·s＝｜f｜｜s｜cos 180°＝1.1×20×（－1）＝－22（J）. 故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J. 11.C　假设BC的中点是O，则－＝（＋）·（－）＝2·＝2·，即（－）·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故选C. 12.ACD　易知F1与G的夹角为90°.对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，F2的方向竖直向上，且｜F2｜＝4 N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确. 13.160 N　80 N 解析：如图，由向量分解的平行四边形法则，＝sin 30°，＝cos 30°，计算可得｜G｜＝160 N，｜F2｜＝80 N. 14.解：（1）在平面直角坐标系xOy中，设B（xB，yB），因为｜＝2｜｜＝2，所以A（2，0）.又∠OAB＝，所以xB＝2＋cos＝， yB＝0＋sin＝， 所以点B. 又＝（－1，），所以＝＋＝＝， 所以点C. （2）由（1）可得， ＝， ＝， 所以＝3， ∥. 又｜｜＝＝2＝｜｜， 所以四边形OABC为等腰梯形. 如图，延长CB交x轴于点D，则DC＝DO，BD＝AD. 又∠BAD＝π－＝，则△OCD，△ABD均为等边三角形. 所以四边形OABC的面积S＝S△OCD－S△ABD＝×32－×12＝2. 15.ABD　对于A，设AB的中点为点D，BC的中点为点E，∵＋3＋2＝0，∴＋＝－2（＋），∴2＝－4，即＝2，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A中说法正确；对于B，设AB的中点为点D，由＋＋＝0得＋＝－＝，又＋＝2，∴＝2，∴点P在中线CD上，且＝2，∴点P为△ABC的重心，B中说法正确；对于C，∵·＞0，∴与的夹角为锐角，即角A为锐角，但此时角B，C有可能是直角或钝角，故不一定能得出△ABC为锐角三角形，C中说法错误；对于D，∵＝＋，∴点P为线段BC上靠近点C的三等分点，则＝，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D中说法正确.故选A、B、D. 16.解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. ∵＝＋， ∴＝（＋）2＝＋＋2·. ∴＝＋－2｜｜｜｜·cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）. 依题意得≤（60＋10t）2， 解得12≤t≤24. 从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $