2.6.1 第2课时 正弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦正弦定理核心知识点，从直角三角形特例引入，推导一般三角形中边与对角正弦比相等的关系，明确符号表示及与外接圆半径的联系，构建“定理推导-变形应用-实际建模”的学习支架。 该资料通过问题链驱动探究培养逻辑推理，多证法及变形公式强化数学运算，台风路径分析等实例发展数学建模。课中例题解析与方法提炼助力教学，课后对点练与任务再现帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第2课时　正弦定理 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，理解正弦定理的推导过程，培养逻辑推理的核心素养.　2.掌握正弦定理，并能用正弦定理解三角形，培养数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　正弦定理 问题1.如图，若△ABC是直角三角形，C＝90°，那么，，各自等于什么？ 提示：＝＝＝c. 问题2.在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？如果成立，如何证明它成立呢？ 提示：在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，教材借助直角三角形和三角函数的定义来证明.还可以借助外接圆或向量的数量积来证明. 正弦定理 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号表示 ＝＝ 作用 实现三角形边与角的互化 [微思考]　在△ABC中，a＞b 能得到sin A＞sin B吗？反之是否成立呢？ 提示：在△ABC中，由a＞b得到A＞B，所以sin A＞sin B，反之也成立. (链教材P117例4)(1)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝，则sin B＝(　　) A. B.－ C. D.－ (2)在△ABC中，b＝，B＝30°，C＝45°，则c＝(　　) A. B. C.1 D.2 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝＝.故选C. (2)因为b＝，B＝30°，C＝45°，由正弦定理＝，即＝，解得c＝2.故选D. 利用正弦定理解三角形的两类题型 1.已知两角和一边，其解法是先求第三角，再利用正弦定理求另两边. 2.已知两边及一边的对角，其解法是先利用余弦定理求第三边，再利用正弦定理求另两角；或利用正弦定理求另一边的对角，此时应注意大边对大角，注意讨论. 学生用书⬇第89页 对点练1.(1)在△ABC中，A＝60°，C＝75°，AC＝，则BC＝(　　) A. B. C. D.2 (2)在△ABC中，若AC＝，C＝45°，AB＝2，则B等于(　　) A. B. C.或 D.或 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)由A＝60°，C＝75°，得B＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝＝.故选C. (2)由正弦定理得＝，所以＝，所以sin B＝.因为AC＞AB，所以B＞，所以B＝.故选D. 任务二　正弦定理的变形公式 问题3.如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值与该三角形外接圆的半径有什么关系呢？ 提示：这个比值是该三角形外接圆半径的2倍. 证明：如图在Rt△ABC中，C＝90°，＝c，又＝＝，且c＝2R，所以＝＝＝2R. 问题4.对于钝角三角形、锐角三角形，上述结论还成立吗？ 提示：如图所示，成立；推导过程略. 　　若R为△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R. (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (4)＝＝＝； (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则＝(　　) A.2 B. C.2 D.4 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos B＝－，asin B＝bsin C，则该三角形的形状是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由正弦定理得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C.所以＝＝2.故选A. (2)由cos B＝－，B∈，则B＝，由asin B＝bsin C，则sin Asin B＝sin Bsin C，由于sin B≠0，则sin A＝sin C.因为A，C均为三角形的内角，所以A＝C，即a＝c，故该三角形的形状是等腰三角形.故选B. 1.在利用正弦定理判断三角形的形状时，应利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝角化边或利用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C边化角，进而确定三角形的形状. 2.注意正弦定理的变形应用. 对点练2.(1)在△ABC中，若a＝2bsin A，则∠B等于(　　) A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150° (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，其面积为，则＝(　　) A.3 B. C. D. 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)由a＝2bsin A，结合正弦定理可得sin A＝2sin Bsin A，因为sin A≠0，所以sin B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝60°或120°.故选C. (2)因为A＝60°，b＝1，其面积为，所以S＝bcsin A＝·1·c·sin 60°＝，所以c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－2×1×4×＝13，所以a＝.由正弦定理可得＝＝2R＝＝＝.故选C. 学生用书⬇第90页 任务三　正弦定理的简单应用 (链教材P119例6)如图，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向、距城市A 300 km的海面点P处，并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为100 km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. 解：如图所示，设台风中心x h后到达位置Q，且此时AQ＝100 km. 在△AQP中，有∠APQ＝60°－30°＝30°，且AP＝300 km，PQ＝20x km， 因此，由正弦定理，得＝＝. 从而可得sin ∠AQP＝＝，所以∠AQP＝60°或∠AQP＝120°. 当∠AQP＝60°时，∠PAQ＝180°－30°－60°＝90°，因此20x＝，x＝10； 当∠AQP＝120°时，∠PAQ＝180°－30°－120°＝30°，因此20x＝100，x＝5. 这就说明，城市A在5 h后会受到台风影响，持续的时间为10－5＝5(h). 　　将实际问题转化为三角形中的边角问题，根据实际问题首先确定在哪个三角形中利用正弦定理，注意存在双解的情况.对点练3.(1)“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具.有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短边为5 cm，若将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝3 cm，则sin C＝　　　　. (2)如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上.1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为　　　　海里. 答案：(1)　(2)15 解析：(1)设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝5(cm).由正弦定理＝2R，可得sin C＝＝＝. (2)依题意，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝30，∠BSA＝75°－30°＝45°.由正弦定理得＝，即＝，解得BS＝15(海里). [教材拓展6]　三角形解的个数的判断(源于教材P119思考交流) 在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍.具体解的情况如下表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中若A为锐角，则当a＜bsin A时无解；若A为钝角或直角，则当a≤b时无解. (1)(多选题)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是(　　) A.b＝7，c＝3，C＝ B.b＝5，c＝6，C＝ C.a＝6，b＝3，B＝ D.a＝20，b＝15，B＝ (2)(开放题)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝10，则使得△ABC有两组解的a的值为　　　　.(写出满足条件的一个整数值即可) 答案：(1)BC　(2)6(答案不唯一，6，7，8，9任意一个均可) 解析：(1)对于A，因为bsin C＝，有c＜bsin C， 所以该三角形无解， 故A错误； 对于B，因为bsin C＝，C为锐角，有bsin C＜b＜c，所以该三角形有一解，故B正确；对于C，因为asin B＝3，B为锐角，有b＝asin B，所以该三角形有一解，故C正确；对于D，因为asin B＝10，B为锐角，有asin B＜b＜a，所以该三角形有两解，故D错误.故选BC. (2)由正弦定理＝， 结合A＝，b＝10，可得sin B＝＝＝＝. 因为A＝，b＝10，要使△ABC有两组解，则B有两个值.因为B∈(0，π)，当sin B＝1时，B＝，此时a＝bsin A＝10×＝5.要使B有两个值，则a＜b且a＞bsin A，即5＜a＜10.所以满足条件的一个整数值a＝6(答案不唯一，只要满足5＜a＜10的整数均可). 任务再现 1.正弦定理.2.正弦定理的变形结论及其应用.3.正弦定理的简单应用 方法提炼 公式法、特殊到一般的思想方法、分类讨论思想方法、数形结合思想方法、转化与化归思想方法 易错警示 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论 学生用书⬇第91页 1.在△ABC中，sin A＝，b＝sin B，则a＝(　　) A. B. C. D.2 答案：B 解析：由正弦定理＝，得a＝＝＝.故选B. 2.在△ABC中，若a＝2，A＝30°，则的值为(　　) A.4 B.2 C.4 D.2 答案：A 解析：依题意，知a＝2，A＝30°.而＝＝2R＝＝＝4，即＝4.故选A. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin B＝bsin C，则△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案：A 解析：在△ABC中，由正弦定理及asin B＝bsin C，得ab＝bc，而b＞0，因此a＝c，所以△ABC是等腰三角形.故选A. 4.在△ABC中，A＝，BC＝，AB＝1，则C＝　　　　. 答案： 解析：由正弦定理＝，得＝，解得sin C＝，又AB＜BC，所以C＜A，即C＝. 学科网（北京）股份有限公司 $