第1章 §6 第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换这一核心知识点，从基础的y=sinx出发，逐步探究ω（横向伸缩与周期）、φ（平移与相位）、A（纵向伸缩与振幅）对图象的影响，构建从简单到复杂的学习支架。 该资料以明朝筒车实例导入，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过思考问题引导探究参数影响，体现数学思维，例题与跟踪训练结合助力学生用数学语言表达变换过程，课中帮助教师系统授课，课后便于学生巩固查漏。

§6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 新课导入 学习目标 明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘出了筒车的工作原理．如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，筒车从点P0运动到点P.设点P距水面的高度为H，筒车转轮的中心O到水面的距离为h，筒车的半径为r，转动的角速度为ω，则H＝r sin (ωt＋φ)＋h.这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 1.理解y＝A sin (ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响． 2.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． 3.会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 4.能根据函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式. 5.整体把握函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质，并能解决相关问题． 第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 一　ω对y＝sin ωx的图象的影响 思考　观察下图，你能发现什么？ 提示：由题图我们可以看到，函数的最小正周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin 的图象上对应点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍． [知识梳理] 1．一般地，对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω.根据周期函数的定义，T＝是函数y＝sin ωx 的最小正周期． 2．函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的． 3．频率：通常称周期的倒数＝为频率． [例1] (对接教材例1)(1)将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　) A．y＝3sin x B．y＝sin x C．y＝sin 3x D．y＝sin x (2)将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为________________． 【解析】　(1)由y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 3x，故选C. (2)将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为y＝sin . 【答案】　(1)C　(2)y＝sin 对于函数y＝sin x，若将图象上所有点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，则得到函数y＝sin 的图象，即横向伸缩是反比例伸缩变换． [跟踪训练1] (1)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：选B.所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，所以ω＝.故选B. (2)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象的解析式是______________． 答案：y＝sin 2x 二　φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 思考　观察如图所示的图象，比较函数y＝sin 与函数y＝sin x的图象的形状和位置，你有什么发现？ 提示：两图象形状完全相同，只是位置不同，把正弦曲线y＝sin x上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象． [知识梳理] 1．函数y＝sin (x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点(－φ，0)． 2．函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x 图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度得到的． 3．函数y＝sin (ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点．函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到的． 4．在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． [例2] (1)(多选)为了得到余弦曲线y＝cos x，只需将正弦曲线y＝sin x沿x轴(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 (2)将函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的解析式是__________． 【解析】　(1)将正弦曲线y＝sin x沿x轴向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin (x－)＝－cos x，A不正确；将正弦曲线y＝sin x沿x轴向左平移个单位长度，得到曲线y＝sin (x＋)＝cos x，B正确；将正弦曲线y＝sin x沿x轴向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin (x－)＝cos x，C正确；将正弦曲线y＝sin x沿x轴向左平移个单位长度，得到曲线y＝sin (x＋)＝－cos x，D不正确． (2)函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位长度，得y＝sin (x－－)＝sin (x－)的图象． 【答案】　(1)BC　(2)y＝sin (x－) 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数．再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． [跟踪训练2] (1)将函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析：选D.函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到y＝sin 2，即y＝sin 的图象，故选D. (2)要得到y＝sin 的图象，只要将y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选D.因为y＝sin ＝sin .所以要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin x 的图象向右平移个单位长度．故选D. 三　A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 思考　借助多媒体，在同一平面直角坐标系下画出y＝sin 和y＝3sin 的图象，如图所示，你能发现什么？ 提示：可以发现对于同一个x值，y＝3sin 的图象上对应点的纵坐标总是等于y＝sin 的图象上对应点的纵坐标的3倍． [知识梳理] 1．y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的． 2．A决定了函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． [例3] (对接教材例2)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin ，求f(x)的解析式． 【解】　y＝2sin (x＋) y＝3sin (x＋)y＝3sin (x＋) y＝3sin (x＋＋)＝3sin ＝3cos x． 所以f(x)＝3cos x． (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法． (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可． [跟踪训练3] 为了得到函数y＝sin (x－)的图象，只需将函数y＝sin (x－)的图象上各点(　　) A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 解析：选D.先将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象，再将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－)的图象，即将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－)的图象． 　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 简谐运动y＝4sin 的初相是(　　) A．4 B． C．－ D．5x－ 解析：选C.相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.故选C. 2．(多选)(2025·桂林月考)为得到函数y＝cos 的图象，只需将y＝cos 2x的图象(　　) A．先将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) D．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) 解析：选BC.如果是先伸缩再平移，那么需先将y＝cos 2x横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x，再向右平移个单位长度，即得y＝cos ；如果是先平移再伸缩，需先将y＝cos 2x向右平移的单位长度，得到y＝cos ＝cos ，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即得y＝cos . 3．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的函数解析式是____________． 解析：由题知y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin (x＋)的图象，再将图象向上平移2个单位长度可得y＝sin (x＋)＋2的图象． 答案：y＝sin (x＋)＋2 4．将函数y＝sin 的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度后，得到函数y＝cos 的图象，则φ＝______． 解析：将函数y＝sin (2x＋)的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度得到y＝sin ＝sin (2x＋2φ＋)的图象，y＝cos (2x＋) ＝sin (2x＋＋＋2kπ)，又0≤φ≤，所以2φ＝，所以φ＝. 答案： 1．已学习：三角函数图象的伸缩变换、平移变换、振幅变换． 2．须贯通：用三种变换方法得到函数图象． 3．应注意：先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样． 学科网（北京）股份有限公司 $