1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦任意角的正弦函数、余弦函数定义这一核心知识点，从初中锐角三角函数（直角三角形边角关系）切入，通过单位圆将定义推广到任意角，构建从具体到抽象的学习支架，涵盖定义理解、终边上点坐标求函数值等内容。 该资料以问题链引导学生用数学眼光观察从锐角到任意角的推广过程，通过例题变式（如终边上点、直线上的角）培养数学思维，用坐标符号化表达定义体现数学语言。课中辅助教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义．　2.会用三角函数定义解决相关问题． 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示． 定义sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示：不变． 思考2　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆⊙O的交点是P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝；能． 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，故u是由角α唯一确定的，v也是由角α唯一确定的．过点P向x轴作垂线，垂足为M.在 Rt△OMP 中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有sin α＝＝＝v，cos α＝＝＝u. 由此可知，对于锐角α来说，点P的__________是该角的正弦值，点P的____________是该角的余弦值． [答案自填] 纵坐标v　横坐标u 【即时练】 1．已知锐角α的终边与单位圆交于点P，则sin α＝________，cos α＝________． 解析：因为角α的终边与单位圆交于点P，所以sin α＝y＝，cos α＝x＝. 答案：　 2．当α＝时，则sin α＝____________，cos α＝____________． 解析：当α＝时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x>0，y>0).根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知y＝(如图)，又由勾股定理得x2＋＝1，解得x＝.所以点P的坐标为.因此sin ＝，cos ＝. 答案：　 锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，则v＝sin α为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数． 1.如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．把点P的纵坐标v叫作角α的____________，把点P的横坐标u叫作角α的____________． 于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝______为任意角α的正弦函数，u＝________为任意角α的余弦函数． 2．设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 sin α＝________，cos α＝________．其中r＝ . [答案自填] 正弦值　余弦值　sin α　cos α 　 角度1　单位圆法求正弦函数值、余弦函数值 　(对接教材例2)在单位圆中，已知α＝－π. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点P的坐标； (3)求出角α的正弦函数值和余弦函数值． 【解】　(1)因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点O为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)因为α＝－π，所以点P在第四象限． 过点P作PM⊥x轴于点M，由(1)知，∠MOP＝－，则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1，由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝，所以点P的坐标为. (3)根据正弦、余弦函数的定义，得sin ＝－，cos ＝. 单位圆法求三角函数的步骤 (1)先求出角的终边与单位圆交点的坐标； (2)再利用任意角的三角函数的定义求解． [跟踪训练1] (1)在平面直角坐标系xOy中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终边与单位圆的交点的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为sin α＝－，cos α＝，所以角α的终边与单位圆的交点的坐标为.故选A. (2)已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin α＝________． 解析：由题意得，＋y2＝1，所以y＝±，所以sin α＝y＝±. 答案：± 角度2　已知角的终边上一点求正弦函数值、余弦函数值 　(对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α＋1的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 【解析】　根据题意，r＝OP＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，所以cos α＋sin α＋1＝＋(－)＋1＝.故选C. 【答案】　C 【变式探究】 1．(条件变式)将本例中“已知角α的终边经过点P(4，－3)”变为“设函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P，且点P在角α的终边上”，求cos α＋sin α＋1的值． 解：对于函数f(x)＝ax＋1＋1，令x＋1＝0，所以x＝－1，f(－1)＝2，故f(x)＝ax＋1＋1的图象过定点P(－1，2)，r＝OP＝＝，所以cos α＝－＝－，sin α＝＝，所以cos α＋sin α＋1＝－＋＋1＝. 2．(综合变式)将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin α，cos α的值． 解：当a>0时，sin α＝＝－，cos α＝＝； 当a<0时，sin α＝＝，cos α＝＝－. 综上所述，当a>0时，sin α＝－，cos α＝；当a<0时，sin α＝，cos α＝－. 已知角的终边上一点求正弦函数值、 余弦函数值的步骤 (1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)； (2)根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，求出三角函数值． [跟踪训练2] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(2，－2)，则cos θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.因为角θ的终边过点P(2，－2)，所以P到原点的距离r＝ ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝＝.故选A. (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则sin α＝__________． 解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，所以r＝＝，由三角函数定义可得sin α＝＝＝，所以sin α＝. 答案： 角度3　已知角的终边所在直线求正弦函数值、余弦函数值 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 【解】　由题意知，cos α≠0.设角α的终边上除原点外的任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. 当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， 所以10sin α＋＝10×＋3×＝－3＋3＝0； 当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， 所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α＝，cos α＝ . [跟踪训练3] 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值． 解：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)，则r＝＝5|a|. 当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－； 当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝，cos α＝＝－，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝.故2sin α＋cos α的值为或－. 1．(教材P16T1改编)已知角α的终边经过点，则cos α的值为(　　) A．－2 B． C．－ D．－ 解析：选D.由题知点在单位圆上，根据三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即cos α＝－.故选D. 2．已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝，则m的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或2 D．2或－2 解析：选D.因为点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝，所以sin α＝＝，解得m＝2或m＝－2.故选D. 3．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________． 解析：因为sin 30°＝，cos 30°＝， 所以角α的终边过点P(1，－)， 所以r＝OP＝＝2， 所以sin α＝－. 答案：－ 4．已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝________． 解析：在直线y＝2x上任取一点P(x，2x)(x≠0)， 则r＝＝|x|. ①若x>0，则r＝x， 从而sin α＝＝，cos α＝＝， 所以sin α＋cos α＝. ②若x<0，则r＝－x， 从而sin α＝＝－，cos α＝＝－， 所以sin α＋cos α＝－. 综上，sin α＋cos α＝±. 答案：± 1．已学习：任意角的正弦函数和余弦函数、利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关． 学科网（北京）股份有限公司 $