第1章 §3 弧度制（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦弧度制核心知识点，从初中角度制过渡，系统构建弧度概念、角度与弧度互化方法及扇形弧长面积公式，形成“概念理解—互化应用—实际计算”的学习支架。 资料以生活实例导入激发兴趣，通过思考问题引导学生抽象弧度本质，培养数学眼光与思维。例题与跟踪训练结合，强化互化及公式应用，助力教师授课，学生可课后巩固，弥补知识盲点，提升数学语言表达与应用能力。

§3　弧度制 新课导入 学习目标 弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵……而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 一　弧度制概念 思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 提示：1度的角等于周角的. 思考2　 射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 提示：设α＝n°，因为l1＝，所以＝n. 故＝. [知识梳理] 1．单位圆：半径为单位长度1的圆． 2．弧度制 (1)弧度：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写). (2)弧度制：在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 3．弧度数 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.(　　) (3)1弧度是1度的圆心角所对的弧．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．要在半径OA＝100 cm的圆形金属板上截取一块扇形板OAB，使弧AB的长为120 cm，则圆心角∠AOB＝(　　) A． rad B． rad C． rad D． rad 解析：选B.设扇形弧长为l，圆心角为α，半径为r，则α＝＝＝ rad. 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 答案：1弧度 关于弧度制的理解 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 二　弧度与角度的换算 [知识梳理] 1．常见角度与弧度互化公式如下： 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad＝ rad ≈0.017 45 rad 1 rad＝＝ ≈57°18′ 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 角度1　角度制与弧度制的互化 [例1] (多选)(对接教材例1、例2)下列角度与弧度互化正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° 【解析】　对于A，67°30′化成弧度是×67.5＝，故A正确；对于B，－＝－×＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，＝×＝15°，故D正确．故选ABD. 【答案】　ABD 角度制与弧度制的互化原则及方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·；n°＝n· rad. [跟踪训练1] (1)将－157°30′化成弧度为__________． 解析：－157°30′＝－157.5°＝－157.5×＝－. 答案：－ (2)将－ rad化为角度是________． 解析：－ rad＝－×＝－396°. 答案：－396° 角度2　用弧度制表示角 [例2] (1)与60°角终边相同的角的集合是(　　) A． B．{α|α＝2kπ＋60°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋60°，k∈Z} D． (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是___________________________________________________________________． 【解析】　(1)对于A，B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A，B错误；对于C，D，因为60°换算成弧度制为，所以与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}或{α|α＝2kπ＋，k∈Z}，C错误，D正确．故选D. (2)由题图，终边OB对应角为2kπ－，k∈Z，终边OA对应角为2kπ＋，k∈Z，所以终边落在题图中阴影部分角θ的集合是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z. 【答案】　(1)D　(2)[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． [跟踪训练2] (1)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析：选B.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边相同，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边相同．故选B. (2)与终边重合的最小正角是________． 解析：因为与终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，当k＝－1时，＋2kπ取得最小正角－2π＝. 答案： 三　扇形的弧长面积公式 [例3] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角． 【解】　(1)由题意知α＝120°＝，所以弧长l＝αR＝×10＝(cm). (2)由题意得解得 (舍去)或故扇形的圆心角为. 母题探究　若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：由题意知l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2. 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的弧长公式：l＝αR，面积公式：S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解． [跟踪训练3] 已知扇形的圆心角为α，半径为r. (1)若α＝2，r＝2，求扇形的周长和面积； (2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的周长最小时，圆心角α的值． 解：(1)由题意可得扇形的周长C＝2r＋αr＝2×2＋2×2＝8， 面积S＝αr2＝×2×4＝4. (2)由题意可得S＝αr2，则αr＝，则扇形周长为C＝2r＋αr＝2r＋≥2＝4，当且仅当2r＝，即r＝时等号成立，此时α＝＝2.即扇形的周长取最小值4时，α＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)(教材P12练习T1，T2改编)下列转化结果正确的是(　　) A．150°化成弧度是 B．－化成角度是45° C．－120°化成弧度是－ D．化成角度是315° 解析：选ACD.150°化成弧度是，故A正确；－化成角度是－45°，故B错误；－120°化成弧度是－，故C正确；＝×＝315°，故D正确．故选ACD. 2．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.因为分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨快是顺时针旋转，所以分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为－×2π＝－.故选B. 3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二、四象限的平分线上，则角α的集合是___________________________．(用弧度制表示) 解析：因为角的终边所在直线在第二、四象限的平分线上，所以角α的集合为 . 答案： 4．(2025·吉安月考)已知扇形的弧长为20π cm，面积为300π cm2，求： (1)扇形的半径r； (2)扇形圆心角θ的弧度数． 解：(1)由S＝lr得300π＝×20πr， 解得r＝30 cm. (2)由题意得扇形圆心角θ＝＝. 1．已学习：弧度制的概念、角度制与弧度制的互化、扇形的弧长与面积的计算． 2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系． 3．应注意：(1)弧度与角度不能混用； (2)弧长公式、扇形面积公式的圆心角必须以弧度为单位． 学科网（北京）股份有限公司 $