第1章 §1 周期变化 §2 任意角（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦周期变化与任意角核心知识点，先通过周期函数定义及最小正周期构建函数周期性认知，再从初中0°-360°角扩展到任意角（正角、负角、零角），进而学习终边相同的角的集合表示、象限角与区域角判定，形成连贯知识支架。 资料以体操旋转等实例导入培养数学眼光，通过思考问题与例题推理发展数学思维，用集合精确表示角体现数学语言。课中即时练与跟踪训练助教师高效授课，课后练习题与知识梳理帮学生查漏补缺，强化知识应用。

§1　周期变化 §2　任意角 新课导入 学习目标 同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围． 1.了解现实生活中的周期现象，会利用周期函数的定义判断函数是否为周期函数． 2．了解最小正周期的定义，会求某些周期函数的最小正周期． 3．了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 4．了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合． 5．利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题． 一　函数周期性的应用 思考　探索下图所呈现的规律，判断2 024至2 026箭头的方向是什么？ 提示：由题图易知，周期T＝4， 因为2 024＝506×4，所以2 024至2 026箭头的方向和0至2箭头的方向相同． [知识梳理] 1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． [例1] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x). (1)证明：函数f(x)是周期函数； (2)若f(－1)＝1，求f(985). 【解】　(1)证明：由于f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数． (2)由(1)知函数f(x)的周期为4，故 f(985)＝f(4×246＋1)＝f(1)＝f(－1＋2)＝－f(－1)＝－1. 判断函数周期性的方法 (1)观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现． (2)用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x). [跟踪训练1] 定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3(x∈R)，f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－1. (1)求证：函数f(x)为周期函数； (2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(211)的值． 解：(1)证明：因为f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3，所以f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝3，两式相减得f(x)＝f(x＋3)，所以函数f(x)是周期为3的周期函数． (2)由(1)可知f(1)＋f(2)＋f(3)＝3，f(4)＋f(5)＋f(6)＝3，…，f(208)＋f(209)＋f(210)＝3，f(211)＝f(70×3＋1)＝f(1)＝1， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(211)＝70[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝70×3＋1＝211. 二　角的概念推广 思考1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°. 思考2　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问有几种旋转方向？ 提示：两种，分别为顺时针方向与逆时针方向． 思考3　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问旋转的角度确定吗？ 提示：不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍． [知识梳理] 1．角的概念如图，平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边． 2．角的分类(按旋转方向分为三类) 点拨　设角α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边对应的角是α＋β. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)终边与始边重合的角是零角．(　　) (2)终边与始边都相同的两个角一定相等．(　　) (3)小于90°的角是锐角．(　　) (4)第二象限角是钝角．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB的位置，再顺时针旋转120°到达OC的位置，则∠AOC＝________． 解析：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，所以∠AOC＝270°－120°＝150°. 答案：150° 3．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________. 解析：因为时针每小时转30°，分针每小时转360°，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转过的角度数为－3×30°＝－100°，分针转过的角度数为－3×360°＝－1 200°. 答案：－100°　－1 200° 任意角的理解 (1)正确理解零角、正角、负角、锐角、钝角、周角等概念． (2)处理任意角问题的两个关键点： ①定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的． ②定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小． 三　终边相同的角 思考　如图所示，60°角的终边是OA. －660°，420°角的终边与60°角的终边有什么关系？如何表示与60°角终边相同的角？ 提示：相同.60°＋k·360°(k∈Z). [知识梳理] 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． [例2] (对接教材例2、例3)写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中符合－360°<β<720°的元素β写出来． 【解】　如图， 在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即45°和225°角．因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．由于－360°<β<720°，即－360°<45°＋k·180°<720°，k∈Z，解得－<k<，k∈Z.所以k＝－2，－1，0，1，2，3.所以S中符合－360°<β<720°的元素分别是： 45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°， 45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°， 45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°. (1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在0°～360°内，终边在直线上的角； ②用终边相同的角的表示方法写出角的集合； ③根据条件能合并一定要合并，使结果简洁． (2)三个常用结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍； ②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． [跟踪训练2] (1)若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　) A.120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 解析：选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B. (2)(多选)在0°～720°范围内，下列给出角度与800°角终边相同的角是(　　) A．80° B．120° C．180° D．440° 解析：选AD.800°－360°×2＝80°，800°－360°×1＝440°，A，D正确，B，C错误． (3)终边在直线y＝x上的角β的集合S＝________________． 解析： 在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即30°和210°角(如图)， 所以终边在直线y＝x上的角的集合是 S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z} 四　象限角和区间(域)角 [知识梳理] 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． 角度1　象限角的判定 [例3] (1)1 860°角是第________象限角． (2)若角α是第一象限角，则角2α，各是第几象限角？ 【解】　(1)由于1 860°＝360°×5＋60°，且60°角为第一象限角，故1 860°角是第一象限角．故填一． (2)因为角α是第一象限角， 所以k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，(*) 所以k·720°<2α<k·720°＋180°(k∈Z). 故角2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角． 方法一：由(*)式得k·180°<<k·180°＋45°(k∈Z).　 ①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)， 得n·360°<<n·360°＋45°(n∈Z)，这表明角是第一象限角． ②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋180°<<n·360°＋225°(n∈Z)，这表明角是第三象限角． 综合①②知，角是第一或第三象限角． 方法二： 如图，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为角的终边所在的区域，故角是第一或第三象限角． 母题探究　若角α是第一象限角，则角是第几象限角？ 解： 如图，将各象限分成三等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为角的终边所在的区域，故角是第一、第二或第三象限角． 由角α所在象限确定角nα或所在象限的方法 (1)用不等式表示角α的范围，再确定角nα或的范围，再判断角所在象限． (2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限，即求角所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按逆时针顺序标记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，找到原象限数字即可． 角度2　区域角的表示 [例4] 如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合． 【解】　①{α|－30°＋k·360°≤α≤k·360°，k∈Z}∪{α|150°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－30°＋2k·180°≤α≤2k·180°，k∈Z}∪{α|－30°＋(2k＋1)·180°≤α≤(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|－30°＋k·180°≤α≤k·180°，k∈Z}． ②{α|－30°＋k·360°<α<60°＋k·360°，k∈Z}． 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． [跟踪训练3] (1)(多选)角的终边在第三象限，则角θ的终边可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 解析：选ABC.因为角的终边在第三象限，所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°，k∈Z，所以360°＋k·720°<θ<540°＋k·720°，k∈Z.所以角θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴．故选ABC. (2) 已知角α的终边在图中阴影部分内，则角2α的终边一定不在第________象限． 解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 设β＝2α，则角β的取值范围为{β|60°＋k·360°≤β<210°＋k·360°，k∈Z}， 所以角2α的终边一定不在第四象限． 答案：四 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知角α＝563°，那么α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.因为α＝563°＝360°＋203°，又180°<203°<270°，所以α的终边在第三象限．故选C. 2．已知函数y＝f(x)的周期为1，且当0<x≤1时，f(x)＝，则f＝________． 解析：由题意可知，函数f(x)的周期为1，f＝f＝f＝＝. 答案： 3．如图所示，终边落在阴影部分的角α的集合是______________． 解析：因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以题图中终边落在阴影部分的角α的集合为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}． 答案：{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z} 4．(教材P8练习T3改编)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角． 解：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得≤k<.又k∈Z，所以k＝1或k＝2. 当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°. 综上所述，在360°～1 080°范围内且与75°角终边相同的角为435°角和795°角． 1．已学习：周期变化、角的概念、终边相同的角、象限角与区域角． 2．须贯通：终边相同的角以及区域角的表示． 3．应注意：(1)终边相同的角的表示中勿漏掉k∈Z； (2)表示区域角时，按逆时针旋转方向来确定区域的始边与终边所对应的角． 学科网（北京）股份有限公司 $