第6章 §2 直观图 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是(　　) A．三角形的直观图可能不是三角形 B．正方形的直观图是正方形 C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形 解析：选D.根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半．对于A，三角形的直观图中，三角形的高与底边的夹角为45°，长度为原来的一半，依然是三角形，故A错误；对于B，正方形的直角在直观图中变为45°或135°，所以不是正方形，故B错误；对于C，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45°，所以菱形的直观图不是菱形，故C错误；对于D，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，故D正确．故选D. 2．下面每个选项的2个边长为1的等边三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　) 解析：选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．故选C. 3．已知一个建筑物上部分为四棱锥，下部分为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(　　) A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D．4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm 解析：选C.由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.故选C. 4．(2025·阜阳月考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　　) A．4＋4 B．4＋4 C．8 D．8 解析：选B.由题可知O′D′＝A′D′＝2， ∠A′O′D′＝45°， 所以O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图， 则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，AB＝DC＝2， 所以AD＝＝＝2， 所以原平面图形的周长为4＋4.故选B. 5.在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，A(2，0)，B(2，2)，C(0，6).在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O′A′B′C′的面积为(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 解析：选A.由题意得，直角梯形OABC的面积为S＝×(2＋6)×2＝8，所以直观图中四边形O′A′B′C′的面积S′＝S＝×8＝4.故选A. 6．(多选)如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝2C′D′＝4，则(　　) A．A′D′＝ B．BC＝2 C．四边形ABCD的周长为6＋2＋2 D．四边形ABCD的面积为6 解析：选ACD. 由已知等腰梯形中，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2C′D′＝4，所以A′D′＝，由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，AD＝2，∠BAD＝90°，易得BC＝2，所以四边形ABCD的周长为6＋2＋2，面积为×2＝6.故选ACD. 7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________． 解析：将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为. 答案： 8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为__________cm. 解析：其直观图如图所示，由图可得，直观图中这两个顶点之间的距离为5 cm. 答案：5 9．如图，边长为2的正方形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，若a＝(1，m)，且(－)∥a，则m的取值为________． 解析：由 直观图还原平面图形OABC，如图所示，OA＝BC＝2，OB＝2×2＝4，则O(0，0)，B(0，4)，C(－2，4)，所以＝(2，－4)，＝(0，4)，－＝(－2，8).因为(－)∥a，所以8＝－2m，所以m＝－4.　 答案：－4 10．(13分)用斜二测画法画出如下水平放置的平面图形直观图． 解： 如图所示，画出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴作线段O′B′＝OB＝2，在y′轴作线段O′A′＝OA＝，再由A′C′∥x′轴，且A′C′＝AC＝4，B′D′∥y′轴，且B′D′＝BD＝1，作出点C′，D′，连接B′C′，C′D′，D′A′，即可得出该平面图形的直观图． 11．已知一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为(　　) A．8 cm2 B．4 cm2 C．2 cm2 D． cm2 解析：选C.由题意及余弦定理可知，较长的对角线的长度是＝4(cm)，易知较短的对角线的长度是4 cm，则菱形直观图的面积S＝×4×4×＝2 (cm2).故选C. 12.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的直观图如图，且AB＝4，AC＝2，侧棱AA1＝5，则底面ABC、侧面BB1C1C的真实形状的面积分别为__________． 解析：由直观图的斜二测画法得，底面ABC的真实形状为腰长为4的等腰直角三角形，斜边长为4，其面积为×4×4＝8.又AA1＝5，所以侧面BB1C1C的真实形状为长、宽分别为4，5的矩形，其面积为4×5＝20.故底面ABC、侧面BB1C1C的真实形状的面积分别为8和20. 答案：8，20 13．(13分)画出一个底面边长为1.5 cm，高为2.5 cm的正六棱柱的直观图． 解：(1)画轴．如图1，画x，y，z轴，三轴相交于点O，使得∠xOy＝45°，∠xOz＝90° . (2)画底面．在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC＝3 cm，在y轴上以O为中点取线段GH，使GH＝ cm ，分别过点G，H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G，H为中点截取AB＝1.5 cm，ED＝1.5 cm，连接BC，CD，EF，FA，则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图． (3)画侧棱．在z轴正半轴上取线段OO′，使OO′＝2.5 cm，过A，B，C，D，E，F各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取2.5 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′ . (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到所要求作的正六棱柱的直观图如图2. 14.(15分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(≈1.414，结果精确到1元) 解： 在直观图中，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为点E，如图所示． 则在Rt△A′B′E中， A′B′＝1m，∠A′B′E＝45°， 所以A′E＝B′E＝ m， 又四边形A′EC′D′为矩形，A′D′＝1 m， 所以EC′＝1 m， 则B′C′＝B′E＋EC′＝ m， 由此可得S直观图＝(A′D′＋B′C′)·A′E＝××＝ m2， 设这块菜地面积为S，则S∶S直观图＝2∶1， 所以S＝m2， 故这块菜地所产生的总经济效益是300×(2＋)≈812 (元). 15．已知△ABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形A′B′C′(如图所示)，则点C的坐标为__________． 解析：在直观图中，在x′轴上取点D′，使得D′C′∥y′轴，如图1. 则A′C′＝2，∠C′D′A′＝45°，∠D′A′C′＝120°，∠D′C′A′＝15°，由正弦定理可得＝＝，又sin 15°＝sin (60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝，可得D′C′＝×＝，A′D′＝×＝－1，故将直观图还原为平面图如图2所示． 　 连接DC，AD＝A′D′＝－1，DC＝2D′C′＝2.故C(1－，2). 答案：(1－，2) 学科网（北京）股份有限公司 $